2024年長沙市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案

2024年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題試卷一、選擇題(在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題意的.請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng).本大題共10個(gè)小題,每小題3分,共30分)1.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B. C. D.2.我國近年來大力推進(jìn)國家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動(dòng),截至2024年6月上旬,上線慕課數(shù)量超過7.8萬門,學(xué)習(xí)人次達(dá)1290000000,建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一.用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為()A. B. C. D.3.“玉兔號(hào)”是我國首輛月球車,它和著陸器共同組成“嫦娥三號(hào)”探測器.“玉免號(hào)”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是-180℃,最高溫度是150℃,則它能夠耐受的溫差是()A. B. D. C.4.下列計(jì)算正確的是()A. B.C. D.5.為慶祝五四青年節(jié),某學(xué)校舉辦班級(jí)合唱比賽,甲班演唱后七位評委給出的分?jǐn)?shù)為:9.5,9.2,9.6,9.4,9.5,8.8,9.4,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A.9.2 B.9.4 C.9.5 D.9.66.在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長度后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.7.對于一次函數(shù),下列結(jié)論正確的是()A.它的圖象與軸交于點(diǎn) B.隨的增大而減小C.當(dāng)時(shí), D.它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限8.如圖,在中,,,則的度數(shù)為()A. B. C. D.9.如圖,在中,弦的長為8.圓心到的距離.則的半徑長為()A.4 B. C.5 D.10.如圖,在菱形中,,點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn),連接,過點(diǎn)作于點(diǎn).設(shè),則與之間的函數(shù)解析式為()(不考慮自變量的取值范圍)A. B. C. D.二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.為了比較甲、乙、丙三種水稻秧苗的長勢,每種秧苗各隨機(jī)抽取40株,分別量出每株高度,計(jì)算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣,并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6,10.8,15.8,由此可知____種秧苗長勢更整齊(填“甲”、“乙”或“丙”).12.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村,新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì),進(jìn)入抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié).抽獎(jiǎng)方案如下:不透明的箱子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球(除顏色外其余都相同),其中紅球有2個(gè),黃球有3個(gè),藍(lán)球有5個(gè),每次搖勻后從中隨機(jī)摸一個(gè)球,摸到紅球獲一等獎(jiǎng),摸到黃球獲二等獎(jiǎng),摸到藍(lán)球獲三等獎(jiǎng),每個(gè)家庭有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).小明家參與抽獎(jiǎng),獲得一等獎(jiǎng)的概率為_______.13.要使分式有意義,則需滿足的條件是______.14.半徑為4,圓心角為的扇形的面積為______(結(jié)果保留).15.如圖,在中,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),連接.若,則的長為______.16.為慶祝中國改革開放46周年,某中學(xué)舉辦了一場精彩紛呈的慶?；顒?dòng),現(xiàn)場參與者均為在校中學(xué)生、其中有一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目是“選數(shù)字猜出生年份”,該活動(dòng)項(xiàng)目主持人要求參與者從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字,先乘以10,再加上4.6,將此時(shí)的運(yùn)算結(jié)果再乘以10,然后加上1978,最后減去參與者的出生年份(注:出生年份是一個(gè)四位數(shù),比如2010年對應(yīng)的四位數(shù)是2010),得到最終的運(yùn)算結(jié)果.只要參與者報(bào)出最終的運(yùn)算結(jié)果,主持人立馬就知道參與者的出生年份.若某位參與者報(bào)出的最終的運(yùn)算結(jié)果是915,則這位參與者的出生年份是____.三、解答題(本大題共9個(gè)小題,第17,18,19題每小題6分,第20,21題每小題8分第22,23題每小題9分,第24,25題每小題10分,共72分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.計(jì)算:18.先化簡,再求值:,其中.19.如圖,在中,,分別以點(diǎn)為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧分別交于點(diǎn)和.作直線分別交于點(diǎn),連接.(1)求的長;(2)求的周長.20.中國新能源產(chǎn)業(yè)異軍突起.中國車企在政策引導(dǎo)和支持下,瞄準(zhǔn)純電、混動(dòng)和氫燃料等多元技術(shù)路線,加大研發(fā)投入形成了領(lǐng)先的技術(shù)優(yōu)勢.2023年,中國新能源汽車產(chǎn)銷量均突破900萬輛,連續(xù)9年位居全球第一.在某次汽車展覽會(huì)上,工作人員隨機(jī)抽取了部分參展人員進(jìn)行了“我最喜歡的汽車類型”的調(diào)查活動(dòng)(每人限選其中一種類型),并將數(shù)據(jù)整理后,繪制成下面有待完成的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.類型人數(shù)百分比純電混動(dòng)氫燃料3油車5請根據(jù)以上信息,解答下列問題:(1)本次調(diào)查活動(dòng)隨機(jī)抽取了_______人;表中____,______;(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(3)請計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“混動(dòng)”類所在扇形的圓心角的度數(shù);(4)若此次汽車展覽會(huì)的參展入員共有4000人,請你估計(jì)喜歡新能源(純電、混動(dòng)、氫燃料)汽車的有多少人?21.如圖,點(diǎn)在線段上,.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).22.刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝.湘繡作為中國四大刺繡之一,聞名中外.在巴黎奧運(yùn)會(huì)倒計(jì)時(shí)50天之際,某國際旅游公司計(jì)劃購買A,B兩種奧運(yùn)主題的湘繡作品作為紀(jì)念品.已知購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元,購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元.(1)求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價(jià)分別為多少元?(2)該國際旅游公司計(jì)劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件,總費(fèi)用不超過50000元,那么最多能購買A種湘繡作品多少件?23.如圖,在中,對角線相交于點(diǎn).(1)求證:;(2)點(diǎn)在邊上,滿足.若,求的長及的值。24.對于凸四邊形,根據(jù)它有無外接圓(四個(gè)頂占都在同一個(gè)圓上)與內(nèi)切圓(四條邊都與同一個(gè)圓相切),可分為四種類型,我們不妨約定既無外接圓,又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形只有外接圓,而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形只有內(nèi)切圓,而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形既有外接圓,又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形請你根據(jù)該約定,解答下列問顧請你判斷下列說法是否正確(在題后相應(yīng)的括號(hào)中,正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形;()②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形()③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合,外接圓半徑為,內(nèi)切圓半徑為,則有()(2)如圖1,已知四邊形內(nèi)接于四條邊長滿足:.①該四邊形是“_______”四邊形(從約定的四種類型中選一種填入);②若的平分線交于點(diǎn)的平分線交于點(diǎn),連接,求證:是的直徑.(3)已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形,它的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)①如圖2,連接交于點(diǎn)P.求證:.②如圖3,連接,若,求內(nèi)切圓的半徑及的長.

25.已知四個(gè)不同的點(diǎn)都在關(guān)于的函數(shù)是常數(shù),且的圖象上.(1)當(dāng)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為時(shí),求代數(shù)式的值:(2)當(dāng)兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí),請你判斷此函數(shù)圖象與軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由:(3)當(dāng)時(shí),該函數(shù)圖象與軸交于兩點(diǎn),且四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足:,.請問是否存在實(shí)數(shù),使得這三條線段組成一個(gè)三角形,且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為?若存在,求出的值和此時(shí)函數(shù)的最小值;若不存在,請說明理由(注:表示一條長度等于的倍的線段).

2024年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題試卷一、選擇題.題號(hào)12345678910答案BCDABDACBC二、填空題.11.甲12.13.14.15.16.三、解答題.17.【答案】18.【答案】19.【答案】20.【答案】(1)(2)如圖所示(3).(4)人答:估計(jì)喜歡新能源(純電、混動(dòng)、氫燃料)汽車的有3600人21.解:(1)證明:在與中所以.(2)因?yàn)?所以所以是等邊三角形.所以22.解:(1)設(shè)種湘繡作品的單價(jià)為元,種湘繡作品的單價(jià)為元.根據(jù)題意,得解得答:種湘繡作品的單價(jià)為300元,種湘繡作品的單價(jià)為200元.(2)設(shè)購買種湘繡作品件,則購買種湘繡作品件.根據(jù)題意,得,解得.答:最多能購買100件種湘繡作品.23.解:(1)證明:因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?且所以四邊形是矩形.所以(2)在中,.所以.因?yàn)樗赃^點(diǎn)作于點(diǎn)因?yàn)樗倪呅问蔷匦?所以所以.所以在中,.所以.24.【答案】(1)①(×);②(?);③(?)(2)①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形;②證法1:如圖1,因?yàn)槠椒制椒炙?.所以,即所以與均為半圓.所以是的直徑.證法2:如圖1,連接因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)接于,所以因?yàn)槠椒制椒炙?所以由同弧所對的圓周角相等可得所以,即.所以是的直徑...證法3:如圖2,連接因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)接于,所以由題意,得由同弧所對的圓周角相等可得:所以,所以(3)①證明:如圖3,連接因?yàn)槭撬倪呅蔚膬?nèi)切圓所以所以.所以在四邊形中,同理可證因?yàn)樗倪呅问恰巴昝佬碗p圓”四邊形所以四邊形有外接圓所以所以所以又因?yàn)樗运?即②方法1:如圖4,連接因?yàn)槭撬倪呅蔚膬?nèi)切圓所以.所以.所以在四邊形中,同理可證.因?yàn)樗倪呅问恰巴昝佬碗p圓”四邊形所以四邊形有外接圓.又因?yàn)樗?所以,即2方法1:如圖4,連接.因?yàn)樗倪呅问恰巴昝佬碗p圓”四邊形所以}.又因?yàn)榕c分別相切于點(diǎn)又因?yàn)?所以.又因?yàn)?所以.所以即,解得.在中,有,即解得在,.同理可證所以即,解得.方法2:如圖4,由,得即,解得.由,得即,解得25.·解:(1)將代入得得,即.所以.(2)此函數(shù)圖象與軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè).方法1:由,得.可得或.當(dāng)時(shí),,此拋物線開口向上,而兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在軸的下方,此時(shí)該函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),,此拋物線開口向下,而兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在軸的上方,此時(shí)該函數(shù)圖象與軸也有兩個(gè)公共點(diǎn).綜上所述,此函數(shù)圖象與軸必有兩個(gè)公共點(diǎn).方法2:由,得.可得或所以拋物線上存在縱坐標(biāo)為的點(diǎn),即一元二次方程有.所以該方程根的判別式,即.因?yàn)?所以.所以原函數(shù)圖象與軸必有兩個(gè)公共點(diǎn).方法3:由,可得或.當(dāng)時(shí),有,即所以.此時(shí)該函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí),同理可得,此時(shí)該函數(shù)圖象與軸也有兩個(gè)公共點(diǎn).綜上所述,此函數(shù)圖象與軸必有兩個(gè)公共點(diǎn).(3)因?yàn)?所以該函數(shù)圖象開口向上.所以直線均與軸平行.由圖象可知,即.所以的兩根為,可得.同理的兩根為,可得.同理的兩根為,可得.由于,結(jié)合圖象與計(jì)算可得.若存在實(shí)數(shù),使得這三條線段組成