線代大一上線期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)

線性代數(shù)曹霑懋

§5-4對(duì)稱矩陣的相似矩陣§5-4對(duì)稱矩陣的相似矩陣對(duì)稱矩陣的性質(zhì)用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化用相似變換將方陣對(duì)角化小結(jié)，思考定理1

對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)說明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣．于是有兩式相減，得定理1的意義證明于是證明它們的重?cái)?shù)依次為根據(jù)定理1（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定理3(

如上)可得：設(shè)的互不相等的特征值為由定理2知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得個(gè).故這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣，則

根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.解例對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對(duì)角陣.(1)第一步求的特征值解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化于是得正交陣1.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié)(1)特征值為實(shí)數(shù)；

(2)屬于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；

(4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟：

(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向量單位化；(4)最后正交化．思考題思考題解答第五章感謝12本4羅彭婷據(jù)課堂邏輯圖整理知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi)積

[a,b]=aTb

正交向量（n）

[a,b]=0

正交向量組（n≧2）

[a,b]=0

方法：施密特正交化個(gè)數(shù)=維數(shù)特征向量正交單位化B=Λ若有可逆矩陣P，P-1AP=B（B是A的相似矩陣）線性無關(guān)向量組

對(duì)稱矩陣A＝AT

矩陣Anxn特征值~特征向量(A-

iE)對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系

B=Λ，Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)應(yīng)用如：矩陣的多項(xiàng)式如：二次型的標(biāo)準(zhǔn)化特征值是實(shí)數(shù)，特征向量是實(shí)向量。同一個(gè)特征值的特征向量有重?cái)?shù)個(gè)，且無關(guān)。不同的特征值的特征向量正交。