第3章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法

第3章正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法【本章內(nèi)容提要】正弦電路的基本概念；正弦量的相量表示及正弦電路的相量分析法；正弦電路的功率及功率因數(shù)；串聯(lián)諧振與并聯(lián)諧振；三相電路；互感電路與理想變壓器。

本章內(nèi)容提要重點：（1）正弦量的三要素；（2）正弦量的相量表示方法及相量圖；（3）R、L、C各元件VCR的相量形式；（4）正弦電路的相量分析法；（5）正弦電路的功率及功率因數(shù)的提高；（6）對稱三相電源及對稱三相電路的計算。難點：（1）幾個同頻率正弦電壓、電流的合成只滿足相量形式合成、瞬時值（解析式）合成，而不滿足有效值合成；（2）諧振電路的諧振條件及諧振電路的諧振特征。3.1基爾霍夫定律及支路電流分析法

3.1.1正弦量的三要素

正弦量：正弦電壓、電流和電動勢的統(tǒng)稱正弦量。

正弦量的瞬時值：一個周期內(nèi)，正弦量在不同瞬間具有不同的值，將此稱為正弦量的瞬時值，一般用小寫字母如i（）、u（）或i、u來表示時刻正弦電流、電壓的瞬時值。

正弦量的解析式：表示正弦量的瞬時值隨時間變化規(guī)律的數(shù)學式叫做正弦量的瞬時值表達式，也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。

正弦波：表示正弦量的瞬時值隨時間變化規(guī)律的圖像叫正弦量的波形。正弦電壓u（t）、正弦電流i（t）的解析式可寫為（3-1）由式（3-1）看出,一個正弦量是由振幅、角頻率和初相來確定的，稱為正弦量的三要素。它們分別反映了正弦量的大小、變化的快慢及初始值三方面的特征。1.振幅正弦量瞬時值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用來反映正弦量的幅度大小。有時提及的峰-峰值是指電壓正負變化的最大范圍，即等于2Um。必須注意，振幅總是取絕對值，即正值。在分析正弦電路時，有時也常用有效值來反映正弦量的幅度大小，正弦電壓、電流的有效值與其振幅之間具有倍的關(guān)系，即常用的交流儀表所指示的數(shù)字均為有效值。交流電機和交流電器銘牌上標的電壓或電流也都是有效值。市電的有效值是220V，其振幅為311V。2.角頻率角頻率ω是正弦量在每秒鐘內(nèi)變化的電角度，單位是弧度/秒（rad/s）。正弦量每變化一個周期T的電角度相當于2π電弧度，因此角頻率ω與周期T及頻率f的關(guān)系如下：（3-2）上式中，T為正弦量的周期。所謂周期，就是交流電完成一個循環(huán)所需要的時間，用字母T表示，單位為秒（s）。上式中，f為正弦量的頻率。單位時間內(nèi)交流電循環(huán)的次數(shù)稱為頻率，用f表示，據(jù)此定義可知，頻率與周期互為倒數(shù)關(guān)系。頻率的單位為1/秒，又稱赫茲（Hz），工程實際中常用的單位還有kHz、MHz、GHz、THz等，相鄰兩個單位之間是103進制。工程實際中，往往也以頻率區(qū)分電路，例如：高頻電路、低頻電路。角頻率ω、周期T、頻率f都可用來反映正弦量隨時間變化得快慢。3.初相在正弦量的解析式（3-1）中，（ωt

+

）是隨時間變化的電角度，它決定了正弦量每一瞬間的狀態(tài)，稱為正弦量的相位角或相位，單位是弧度（rad）或度（o）。

初相是正弦量在t=0時刻的相位，用

表示，我們規(guī)定|

|≤π。初相反映了正弦量在t=0時的狀態(tài)。需要注意的是，初相的大小和正負與計時起點（即t=0時刻）的選擇有關(guān)，選擇不同，初相則不同，正弦量的初始值也隨之不同?，F(xiàn)規(guī)定：靠近計時起點最近的，并且由負值向正值變化所經(jīng)過的那個零值叫做正弦量的零值，簡稱正弦零值。正弦量初相的絕對值就是正弦零值到計時起點（坐標原點）之間的電角度。初相的正負這樣判斷：看正弦零值與計時起點的位置，若正弦零值在計時起點之左，則初相為正；若在右邊，則為負值；若正弦零值與計時起點重合，則初相為零。例3-1圖3-1給出一正弦電壓的波形，試根據(jù)所給條件確定該正弦電壓的三要素，并寫出其解析式。解由波形圖可知：電流振幅Im=20A周期T=(25–5)×2=40ms=0.04s角頻率假定此電流的解析式為

i（t）=20sin（50πt+

i）A由圖可知正弦電流在t=5ms時，i=0，即20sin（50π×0.05

+

i）=0因此50π×0.05

+

i

=0求得初相角圖3-1此正弦電流的解析式為：

i（t）=20sin（50πt）A3.1.2相位差兩個同頻率正弦量的相位之差，稱為相位差，用

表示。同樣規(guī)定|

|≤π?，F(xiàn)有兩個同頻率的正弦電流：i1（t）=I1msin（ωt

+

1

）i2（t）=I2msin（ωt

+

2）它們的相位差為

=（ωt

+

1）-（ωt

+

2

）=

1

-

2

（3-3）上式表明兩個同頻率正弦量的相位之差等于它們的初相之差。相位差不隨時間變化，與計時起點也沒有關(guān)系。通常用相位差

的量值來反映兩同頻率正弦量在時間上的“超前”和“滯后”關(guān)系。所謂超前，是指一個正弦量比另一個正弦量早到達振幅（或零值）。以式（3-3）為例，若

=

1

-

2＞0，表明i1（t）超前i2（t），超前的角度為

；若

=

1

-

2＜0，表明i1（t）滯后i2（t），滯后的角度為|

|。圖3-2（a）、（b）分別表示電流i1（t）超前i2（t）和i1（t）滯后i2（t）的情況。圖3-2

3種特殊的相位關(guān)系：同頻率正弦量的相位差有3種特殊的情況。（1）

=

1

-

2=0，稱電流i1（t）與i2（t）同相；（2）

=

1

-

2=±π/2，稱電流i1（t）與i2（t）正交；（3）

=

1

-

2=±π，稱電流i1（t）與i2（t）反相。3.2正弦量的相量表示

相量表示法的產(chǎn)生背景：前面學習了正弦量解析式表示法和波形圖表示法。這兩種表示方法都能直觀地反映出正弦量的三要素，表示出正弦量的瞬時值隨時間變化的關(guān)系。然而，用這兩種方法去分析和計算正弦電路就比較繁瑣。為了解決這個問題，引入了正弦量的第三種表示方法——相量表示法。相量表示法的基本形式：相量表示法，實際上采用的是復數(shù)的表示形式。3.2.1復數(shù)的表示形式及運算規(guī)則

圖3-3所示直角坐標系中，實軸（+1）和虛軸（+j）組成一個復平面，該復平面內(nèi)，點A的坐標為（a，b），復矢量的長度、方向角分別為r、

，則它們之間的關(guān)系為：或a=rcos

b=rsin

其中a、b叫做復數(shù)的實部、虛部；r、

叫做復數(shù)的模、幅角。規(guī)定：幅角|

|≤π。圖3-31.復數(shù)的表示形式（1）代數(shù)形式：

A=a+

jb其中“j”叫虛數(shù)單位，且有

j2

=-1，。（2）三角函數(shù)形式：

A=rcos

+jrsin

（3）指數(shù)形式：指數(shù)形式是根據(jù)歐拉公式“”得到的。（4）極坐標形式：2.復數(shù)的運算規(guī)則復數(shù)相加或相減時，一般采用代數(shù)形式，實部、虛部分別相加減。復數(shù)相加或相減后，與復數(shù)相對應的矢量亦相加或相減。在復平面上進行加減時，其矢量滿足“平行四邊形”或“三角形”法則。復數(shù)相乘或相除時，以指數(shù)形式和極坐標形式進行較為方便。兩復數(shù)相乘時，模相乘，幅角相加；復數(shù)相除時，模相除，幅角相減。3.2.2正弦量的相量表示1.正弦量的相量表示形式相量用大寫字母上面加一點表示，電壓相量用表示，電流相量用表示，對應的模用有效值U和I而一般不用振幅表示。所以，一個正弦電壓u（t），電流i（t）的解析式與其對應的相量形式有以下關(guān)系：關(guān)于正弦量的相量表示，需注意以下幾點：（1）正弦量的相量形式一般采用的是復數(shù)的極坐標表示形式，正弦量與其相量形式是“相互對應”關(guān)系（即符號“”的含義），不是相等關(guān)系。（2）若已知一個正弦量的解析式，可以由有效值及初相角兩個要素寫出其相量形式，這時角頻率w是一個已知的要素，但w不直接出現(xiàn)在相量表達式中。（3）后面關(guān)于正弦電路的分析均采用相量分析法。所謂相量分析法，就是把正弦電路中的電壓、電流先表示成相量形式，然后用相量形式進行運算的方法。由前面分析可知，相量分析法實際上利用了復數(shù)的四則運算。2.相量圖把畫在同一復平面上表示正弦量相量的圖稱為相量圖。只有同頻率的正弦量，其相量圖才能畫在同一復平面上。在相量圖上，能夠非常直觀地表示出各相量對應的正弦量的大小及相互之間的相位關(guān)系。為使圖面清晰，有時畫相量圖時，可以不畫出復平面的坐標軸，但相位的幅角應以逆時針方向的角度為正，順時針方向的角度為負。例3-2寫出下列各正弦量的相量形式，并畫出相量圖。

u1（t）=10sin（100πt+60o

）V

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o）V解

因為

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）=6sin（100πt+135o

–180o）=6sin（100πt-45o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o

）=5sin（100πt+60o+90o）=5sin（100πt+150o

）V所以其相量圖如圖3-4所示。圖3-43.3R、L、C各元件的相量模型3.3.1電阻元件圖3-5（a）所示為一純電阻電路，選取電阻元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)方向，根據(jù)歐姆定律不難推出電阻元件電壓u與電流i的關(guān)系為：（1）電壓與電流的頻率關(guān)系：同頻率；（2）電壓與電流的大小關(guān)系：U=RI；（3）電壓與電流的相位關(guān)系：（電壓與電流同相）。由以上結(jié)論可以推出電阻元件電壓與電流的相量關(guān)系式為：圖3-53.3.2電感元件

1.電壓、電流關(guān)系圖3-6（a）所示為一純電感電路，選取電感元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)方向，根據(jù)電感元件電壓、電流的瞬時值關(guān)系式，不難推出電感元件電壓u與電流i的關(guān)系為：（1）電壓與電流的頻率關(guān)系：同頻率；（2）電壓與電流的大小關(guān)系：U=wL

I。（3）電壓與電流的相位關(guān)系：（電壓超前電流90o）。2.感抗電感元件上電壓與電流的有效值滿足“wL”倍關(guān)系，wL稱為電感元件的感抗，用XL表示。感抗的表達式為

XL=wL=2

fL（3-13）感抗的單位是歐姆（Ω），用來表征電感元件對正弦電流阻礙作用的大小。在L確定的條件下，XL與w成正比，據(jù)此可知，電感具有“通低頻、阻高頻”的特點。3.電壓、電流的相量關(guān)系式根據(jù)正弦電路中電感元件電壓與電流的關(guān)系（指頻率、大小和相位關(guān)系）可以推出電壓、電流的相量關(guān)系式為：3.3.3電容元件1.電壓、電流關(guān)系圖3-7（a）所示為一純電容電路，選取電容元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)方向，根據(jù)電容元件電壓、電流的瞬時值關(guān)系式，不難推出電容元件電壓u與電流i的關(guān)系為：（1）電壓與電流的頻率關(guān)系：同頻率；（2）電壓與電流的大小關(guān)系：。（3）電壓與電流的相位關(guān)系：（電壓滯后電流90o）。2.容抗稱為電容元件的容抗，用XC表示。容抗的表達式為容抗的單位是歐姆（Ω），用來表征電容元件對正弦電流阻礙作用的大小。在電容C確定的條件下，XC與w成反比，據(jù)此可知電容具有“通高頻、阻低頻”以及“通交隔直”的特點。3.電壓、電流的相量關(guān)系式根據(jù)正弦電路中電容元件上電壓與電流的關(guān)系（指頻率、大小和相位關(guān)系）可以推出電壓、電流的相量關(guān)系式為：3.4復阻抗與復導納及正弦電路的相量分析法3.4.1復阻抗相量分析法的引入使得正弦交流電路的分析和計算變得相當簡單。以圖3-8所示R、L、C串聯(lián)電路為例，選取各電壓、電流的參考方向如圖所示。圖3-8根據(jù)相量形式的KVL得：上式中，“Z”是串聯(lián)電路的復數(shù)阻抗，簡稱復阻抗。其表達式為：復阻抗的單位是歐姆（Ω），它是一個復數(shù)，其實部為串聯(lián)電路的電阻R，虛部為串聯(lián)電路的電抗X，X=XL–XC

，即電抗等于感抗與容抗之差，單位是歐姆（Ω）。X可正、可負、也可為零，X的正負體現(xiàn)了電路中電感和電容所起作用的大小，關(guān)系到電路的性質(zhì)。復阻抗的極坐標形式為：說明：（1）阻抗∣Z∣反映了RLC串聯(lián)電路各元件對正弦電流總的阻礙作用大小。∣Z∣越大，對正弦電流的阻礙作用越大。∣Z∣只與元件的參數(shù)及頻率有關(guān)，與電壓、電流無關(guān)。

（2）阻抗角

是在關(guān)聯(lián)參考方向下，端電壓u與端電流i的相位差，即

=

u-

i。當XL＞XC即X＞0時，

＞0，端電壓超前端電流

電角度，此時電路呈感性；當XL＜XC即X＜0時，

＜0，端電壓滯后端電流∣

∣電角度，此時電路呈容性；當XL

=XC

即X=0時，

=0，端電壓與端電流同相，此時電路呈中性（阻性）。RLC串聯(lián)電路推廣到一般的情況，就是多個復阻抗的串聯(lián)。根據(jù)相量形式的KVL可以推得，當多個復阻抗串聯(lián)時，等效復阻抗等于各個復阻抗之和。例如，R、L、C串聯(lián)組成的電路，其等效復阻抗為：復阻抗串聯(lián)，分壓公式仍然成立，以兩個復阻抗串聯(lián)為例，分壓公式為：3.4.2復導納復阻抗Z的倒數(shù)稱為復導納，用字母Y表示，單位是西門子（S）。有以下關(guān)系式：提示：對于有多個（兩個以上）復阻抗并聯(lián)的電路，用復導納分析較為方便。多個復阻抗并聯(lián)，其等效復導納等于各并聯(lián)復導納之和。例3-3電路如圖3-9所示，端口電壓為，試求各支路電流及電壓。解圖中注明的各段電路的復阻抗為：圖3-9電路的等效復阻抗為：電路的總電流為：各支路電流為：各支路電壓為：3.5正弦交流電路的功率3.5.1瞬時功率和平均功率圖3-10所示二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓、端電流為同頻率正弦量，其解析式為u（t）=Umsin（ωt

+

u）

=Usin（ωt

+

u

）

i（t）=Imsin（ωt

+

i）=Isin（ωt

+

i）當u、i為關(guān)聯(lián)方向時，可推出該二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為

p（t）=u（t）i（t）=UIcos

-UI

cos（2wt+2

u-

）其中

=

u-

i是二端網(wǎng)絡(luò)端電壓與端電流的相位差，即電路的阻抗角。由上式可知，瞬時功率p（t）作周期性變化，且有正有負，表明二端網(wǎng)絡(luò)既消耗功率，也能發(fā)出功率。通常用平均功率來表征二端網(wǎng)絡(luò)的能量消耗情況。平均功率是指周期性變化的瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值，用P

表示，單位瓦特（W），其表達式為：圖3-10（3-25）（3-26）討論：（1）當二端網(wǎng)絡(luò)是一個電阻，或其等效阻抗為一個電阻，此時二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓、端電流為同相關(guān)系，即相位差

=

u-

i=0，則cos

=1，sin

=0，式（3-25）變?yōu)椋?/p>

p（t）=UI-UIcos2（wt+

u

）

可見，瞬時功率在任何時刻均大于或等于零，表明電阻元件始終吸收功率。此時平均功率的表達式（3-26）變?yōu)椋?）當二端網(wǎng)絡(luò)是一個電感或電容，或其等效阻抗為一個電抗，此時二端網(wǎng)絡(luò)電壓與電流相位為正交關(guān)系，即

=

u-

i=±90o，則cos

=0，式（3-25）變?yōu)椋?/p>

PL（t）=-UIsin（2wt+2

u）

PC（t）=UIsin（2wt+2

u）由上兩式可以看出，電感或電容的瞬時功率隨時間按正弦規(guī)律變化，正、負值交替，一段時間內(nèi)

p（t）＞0，電感或電容吸收功率；另一段時間內(nèi)p（t）＜0，電感或電容發(fā)出功率。此時平均功率表達式（3-26）變?yōu)椋?/p>

P=UI

cos（±90o）=0（3-28）式（3-28）表明，在正弦穩(wěn)態(tài)中，儲能元件電感或電容的平均功率等于零，不消耗能量，和電源之間只是存在能量的交換作用，即在前半個周期吸收電源的功率并儲存起來，后半個周期又將其全部釋放，這種能量交換的速率用另外一種功率——無功功率來描述。3.5.2復功率、視在功率和無功功率圖3-10所示二端網(wǎng)絡(luò)工作于正弦穩(wěn)態(tài)，其電壓、電流采用關(guān)聯(lián)的參考方向，假設(shè)電壓、電流的相量表達式分別為：

電流相量的共軛復數(shù)為，則二端網(wǎng)絡(luò)吸收的復功率為：復功率的實部P=UIcos

稱為有功功率，它是二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率，單位為瓦（W）。復功率的虛部Q=UIsin

稱為無功功率，它反映了電源與單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)儲能元件之間能量交換的速率，為與平均功率相區(qū)別，單位為乏（Var）。復功率的模||=UI

稱為視在功率，用S表示，即它表征一個電氣設(shè)備的功率容量，為與其它功率相區(qū)別，用伏安（V?A）作單位。例如我們說某個發(fā)電機的容量為100kV?A，而不說其容量是100kW。顯然，視在功率是二端網(wǎng)絡(luò)所吸收平均功率的最大值。3.5.3功率因數(shù)的提高由式（3-26）可知，在二端網(wǎng)絡(luò)電壓、電流有效值乘積UI一定的情況下，二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率P與cos

的大小密切相關(guān)，cos

表示功率的利用程度，稱為功率因數(shù)，記為

，其表達式為功率因數(shù)介于0和1之間，當功率因數(shù)不等于1時，電路中發(fā)生能量交換，出現(xiàn)無功功率，

角越大，功率因數(shù)愈低，發(fā)電機發(fā)出的有功功率就愈小，而無功功率就愈大。無功功率愈大，即電路中能量交換的規(guī)模愈大，發(fā)電機發(fā)出的能量就不能充分為負載所吸收，其中一部分，在發(fā)電機與負載之間進行交換，這樣，發(fā)電設(shè)備的容量就不能充分利用。例如，一臺容量為100kVA的變壓器，若負載的功率因數(shù)

=0.9，變壓器能輸出90kW的有功功率（即平均功率）；若功率因數(shù)

=0.6，變壓器就只能輸出60kW的有功功率?？梢娯撦d的功率因數(shù)低，電源設(shè)備的容量就不能得到充分利用。因此提高功率因數(shù)有很大的經(jīng)濟意義。常用的交流感應電動機在額定負載時，功率因數(shù)約在0.8～0.85，輕載時只有0.4～0.5，而在空載時僅為0.2～0.3，因此選擇與機械配套的電機容量時，不宜選得過大，并且應在額定情況下工作，避免或盡量減少電機的輕載或空載。不裝電容器的日光燈，功率因數(shù)約在0.45～0.6左右。常用的方法是用電容器與感性負載并聯(lián)，這樣可使電感的磁場能量與電容的電場能量進行部分交換，從而減少了電源與負載間能量的交換，即減少了電源提供給負載的無功功率，也就提高了功率因數(shù)。但是用電容來提高功率因數(shù)時，一般補償?shù)?/p>

=0.9左右，而不能補償?shù)礁?，因為補償?shù)焦β室驍?shù)接近1時，所需的電容量大，反而不經(jīng)濟了。3.6諧振電路1.諧振及諧振條件圖3-11所示為R、L、C組成的串聯(lián)正弦電路，電路的等效阻抗為:圖3-11由上式可知，當正弦電壓的角頻率w變化時，電路的等效復阻抗Z隨之變化。當感抗等于容抗時，復阻抗Z=R，串聯(lián)電路的等效復阻抗變成了純電阻，端電壓與端電流同相，這時就稱電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。可見，串聯(lián)電路的諧振條件是：w0稱為電路的固有諧振角頻率，簡稱諧振角頻率，它由元件參數(shù)L和C確定。用頻率f表示的諧振條件為：RLC串聯(lián)電路在諧振時的感抗和容抗相等，其值稱為諧振電路的特性阻抗，用表示，即2.串聯(lián)諧振的特點（1）電流特點（有效值）可見諧振時電路中電流最大，且與電壓源電壓同相。（2）電壓特點其中小結(jié)：諧振時，電感和電容兩端的電壓大小相等，都等于電源電壓US的Q倍。Q稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，它是衡量電路特性的一個重要物理量，它取決于電路的參數(shù)。諧振電路的Q值一般在50～200之間，因此外加電源電壓即使不很高，諧振時電感和電容上的電壓仍可能很大。（3）通頻帶諧振電路的通頻帶△f與品質(zhì)因數(shù)Q成反比，Q越高通頻帶越窄，選擇性越好。所以說，品質(zhì)因數(shù)Q是衡量諧振回路頻率選擇性的參數(shù)?！鱢與Q的關(guān)系式為：3.6.2RLC并聯(lián)諧振電路圖3-12所示為R、L、C組成的并聯(lián)正弦電路，是另一種典型的諧振電路。1.諧振條件圖3-12電路中，其等效復導納為：當復導納Y的虛部為零時，電路呈純阻性，端電壓與端電流同相，電路即發(fā)生了并聯(lián)諧振，與是可得RLC并聯(lián)電路的諧振條件為：2.并聯(lián)諧振的特點并聯(lián)諧振時，等效復導納Y為最小，等于純電導，即Y=G?；蛘哒f等效復阻抗最大，Z=R，所以諧振時端電壓達最大值：并聯(lián)諧振時有（所以并聯(lián)諧振又稱電流諧振）：式中Q稱為并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)：3.7三相電路3.7.1三相電源

三相電路：三相電路是指由三相電源供電的電路。

三相電源：三相交流電源是三個單相交流電源按一定方式進行的組合。三相供電系統(tǒng)的三相電源是三相發(fā)電機。圖3-14所示是三相發(fā)電機的結(jié)構(gòu)示意圖，它有定子和轉(zhuǎn)子兩大部分。定子鐵心的內(nèi)圓周的槽中對稱地安放著三個繞組（線圈）AX、BY和CZ。A、B、C為始端；X、Y、Z為末端。三繞組在空間上彼此間隔120o。轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)的電磁鐵。當轉(zhuǎn)子恒速旋轉(zhuǎn)時，AX、BY、CZ三繞組的兩端將分別感應出振幅相等、頻率相同的三個正弦電壓uA（t）、uB（t）、uC（t）。圖3-14指定uA（t）、uB（t）、uC（t）的參考方向都由首端指向末端，則它們的初相彼此相差120o。若以作為參考相量，這三個電壓相量為：它們的相量圖和波形圖分別如圖3-15（a）、（b）所示。圖3-15（3-42）對稱三相電源：像這樣由三個振幅相等、頻率相同、相位彼此相差120o的三個單相正弦電源組合而成的電源稱為對稱三相正弦電源。其中的每個單相正弦電源分別稱為A相、B相和C相電源。相序：按照各相電壓經(jīng)過正峰值的先后次序來說，若它們的順序是A-B-C-A時，稱為正序，若為A-C-B-A時，稱為負序。式（3-42）就是正序時三個單相電源電壓的相量表達式。

說明：工程上通用的相序是正序，如果不加說明，都是指的這種相序。用戶可以改變?nèi)嚯娫磁c三相電動機的連接方式來改變相序，從而改變?nèi)嚯妱訖C的旋轉(zhuǎn)方向。3.7.2三相電源的聯(lián)接1.星形聯(lián)接將三相電源中每一個繞組的末端X、Y、Z連在一起，組成一個公共點N，對外形成A、B、C、N四個端子，這種聯(lián)接形式稱為三相電源的星形聯(lián)接（也叫Y形聯(lián)接），如圖3-16（a）所示。圖3-16

端線：從三相電源的始端A、B、C引出的導線稱為端線或火線。

中線：從中點N引出的導線稱為中線或零線。線電流：流出端線的電流稱為線電流，表示為：。

相電流：每一相繞組中的電流稱為相電流，表示為：。

線電壓：端線與端線間的電壓稱為線電壓，表示為：。

相電壓：每相繞組兩端的電壓稱為相電壓，表示為：。星形聯(lián)接時，線電流與相電流相等，線電壓是相電壓的倍，相位超前對應的相電壓30o。

應用：因為三相電源的相電壓對稱，所以在三相四線制的低壓配電系統(tǒng)中，可以得到兩種不同數(shù)值的電壓，即相電壓220V與線電壓380V。一般家用電器及電子儀器用220V，動力及三相負載用380V。

2.三角形聯(lián)接對稱三相電源可以采用三角形聯(lián)接（又稱△聯(lián)接），它是將三相電源各相的始端和末端依次相連，再由A、B、C引出三根端線與負載相連，如圖3-17所示。

三相電源作三角形聯(lián)接時，其線電壓和相電壓相等，線電流等于相電流的倍，相位滯后對應的相電流30o。

注意：由于發(fā)電機每相繞組本身的阻抗較小，所以當三相電源接成三角形時，其閉合回路內(nèi)的阻抗并不大。通常因回路內(nèi)uA+uB+uC=0，所以在負載斷開時電源繞組內(nèi)并無電流。如果三相電壓不對稱，或者雖然對稱，但有一相接反，則uA+uB+uC≠0，即使外部沒有負載，閉合回路內(nèi)仍有很大的電流，這將使繞組過熱，甚至燒毀。所以三相電源作三角形連接時必須嚴格按照每一相的末端與次一相的始端連接。圖3-173.7.3三相電源和負載的連接1.單相負載單相負載主要包括照明負載、生活用電負載及一些單相設(shè)備。單相負載常采用三相中引出一相的供電方式。為保證各個單相負載電壓穩(wěn)定，各單相負載均以并聯(lián)形式接入電路。在單相負荷較大時，如大型居民樓供電，可將所有單相負載平分為三組，分別接入A、B、C三相電路，如圖3-18所示，以保證三相負載盡可能平衡，提高安全供電質(zhì)量及供電效率。圖3-182.三相負載三相負載的聯(lián)接方式有Y形聯(lián)接和△形聯(lián)接。當三相負載中各相負載都相同，即ZA=ZB=ZC=Z=|Z|時，稱為三相對稱負載。因為三相電源也有兩種聯(lián)接方式，所以它們可以組成以下幾種三相電路：三相四線制的Y-Y聯(lián)接、三相三線制的Y-Y聯(lián)接、Y-△聯(lián)接、△-Y聯(lián)接和△-△聯(lián)接等，如圖3-19所示。圖3-193.7.4三相電路的計算例3-4今有三相對稱負載作星形聯(lián)接，設(shè)每相負載的電阻為R=12Ω，感抗為XL

=16Ω，電源線電壓，試求各相電流。解由于負載對稱，只需計算其中一相即可推出期余兩相。相電壓的有效值所以相電壓所以由此可推出其余兩相電流為：例3-5圖3-20電路中，已知線電壓，，試求負載上的相電流和線電流。解三個相電流為：三個線電流為：3.7.5三相電路的功率相電路的總功率，等于三相負載各相的功率之和，即

P=PA+PB+PC

（3-48）對于三相對稱負載，各相電壓、電流大小相等，阻抗角相同，故各相的有功功率是相等的，即

P=PA+PB+PC=UAIAcos

A+UBIBcos

B+UCICcos

C=3UP

IP

cos

其中，UP是相電壓的有效值，IP是相電流的有效值，

為UP

與IP的相位差，cos

是功率因數(shù)。由于設(shè)備銘牌中給出的電壓、電流均是指額定線電壓UN和額定線電流IN，故無論是Y形連接還是△形連接，三相有功功率的常用計算公式都可表示為：三相電路的無功功率為：Q=QA+QB+QC=3UPIPsin

三相電路的視在功率為：測量三相電路的功率，對于三相四線制，應對各相分別測量，通過求和得到三相電路的總功率，如圖3-21所示；對于三相三線制，可用兩瓦計法，如圖3-22所示。圖3-21圖3-223.8互感耦合電路3.8.1互感現(xiàn)象及同名端1.互感現(xiàn)象

自感現(xiàn)象：這種由于線圈自身磁鏈的變化而在其自身兩端產(chǎn)生感應電壓的現(xiàn)象叫做自感現(xiàn)象。

互感現(xiàn)象：所謂互感現(xiàn)象，是指載流線圈之間通過彼此的磁場相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象，也叫磁耦合。圖3-23圖3-23（a）所示為兩個有互感的載流線圈，載流線圈中的電流i1和i2稱為施感電流，線圈的匝數(shù)分別為N1和N2。線圈1中的電流i1產(chǎn)生的磁通設(shè)為Φ11，參考方向如圖所示，在穿越自身的線圈時，所產(chǎn)生的磁通鏈（簡稱磁鏈）設(shè)為Ψ11，稱為自感磁鏈；Ψ11中的一部分或全部交鏈線圈2時產(chǎn)生的磁鏈設(shè)為Ψ21，稱為互感磁鏈。同樣，線圈2中的電流i2也產(chǎn)生自感磁鏈Ψ22和互感磁鏈Ψ12（圖中未畫出），這就是兩線圈彼此耦合的情況。2.互感線圈的同名端

（1）定義具有互感的線圈，同一瞬間極性相同的端子，叫做同極性端，又叫同名端。由于線圈被同一磁通交鏈，故同名端是確定的。

（2）同名端的判斷

A）已知繞向：對于相對位置和線圈繞向確定的互感線圈的同名端，可以借助右手螺旋法則來判斷，即假定給互感線圈同時通以電流。且電流與磁通的方向符合右手螺旋定則，當各電流產(chǎn)生的磁通是相互加強時（即方向相同時），則電流流進或流出的端子為同名端。同名端可用相同的符號標記，如“·”或“*”等。

由此可判斷出，圖3-23（a）所示兩互感線圈，1、2或1/、2/為同名端，圖中是用小圓點標出的，如圖3-23（b）所示。圖3-24畫出了幾組實際繞向和相對位置不同的互感線圈。利用上述同名端的定義可以判斷出各組互感線圈的同名端。在圖3-24（a）中，若電流分別從1端和3端流入，它們產(chǎn)生的磁通相互加強，因此1端和3端是同名端，同理，圖（b）中1、4端是同名端，圖（c）中1、4是同名端。

圖3-24圖3-25所示電路中，由于三個線圈沒有一條磁感應線可以同時穿過它們，因此它們沒有共同的一組同名端，只能每兩個線圈之間具有同名端。利用上述定義可以得出，對線圈Ⅰ、Ⅱ來說，1、4端是同名端，線圈Ⅱ、Ⅲ的同名端為3端和5端，線圈Ⅰ、Ⅲ的同名端為1端和5端，分別用“·”、“△”和“*”標記。圖3-25B）繞向不可知：這種情況下，可以采用實驗的方法來測定兩線圈的同名端。在圖3-26電路中，直流電壓源正負極通過開關(guān)S與線圈Ⅰ的1、2端連接，直流電壓表（或電流表）接到線圈Ⅱ的3、4端。在開關(guān)S閉合瞬間，電流由電源正極流入線圈Ⅰ的1端且正在增大，即電流的變化率＞0，則與電源正極相連的1端為高電位端，2端為低電位端。此時若電壓表指針正向偏轉(zhuǎn)，則與電壓表正接線端相連的線圈Ⅱ的3端為高電位端，4端為低電位端，因為同名端的感應電壓的實際極性始終一致，由此可判斷出，端鈕1、3是同名端。如果電壓表指針反偏，端鈕1、4是同名端。圖3-26

說明：在繪電路圖時，為了簡便起見，常常不繪出線圈的繞向，而用電感元件的符號代替，同時在相應端鈕上標出同名端的標記即可，如圖3-27所示。圖3-27

注意：互感線圈的同名端在理論分析時非常重要，在實際問題中對電氣設(shè)備有磁耦合的線圈，同名端的正確判別是非常必要的。例如電力變壓器在并聯(lián)運行時，必須根據(jù)其同名端按規(guī)定的接線組別正確連接，否則將不能正常工作甚至出重大事故。變壓器反饋的振蕩器，振蕩線圈也必須按同名端正確連接，否則將不能起振。3.耦合系數(shù)兩個耦合線圈的電流所產(chǎn)生的磁通，一般情況下，只有部分磁通相互交鏈，彼此不交鏈的那部分磁通稱為漏磁通。兩耦合線圈相互交鏈的磁通越大，說明兩個線圈耦合得越緊密。為了表示兩個線圈耦合得緊密程度，通常用耦合系數(shù)k來表示。耦合系數(shù)k表達式為：其中M為兩耦合線圈的互感系數(shù)，簡稱互感，單位為亨利（H）。由于漏磁通，耦合系數(shù)k總是小于1。k值大小取決于兩個線圈的相對位置及磁介質(zhì)的性質(zhì)。k值越大，表明漏磁通越小，兩線圈之間的耦合越緊密。k=1時，稱為全耦合。在電力變壓器中，為了有效地傳輸功率，采用緊密耦合，k值接近于1，而在無線電和通信方面，要求適當?shù)?、較松的耦合時，就需要調(diào)節(jié)兩個線圈的相互位置。有的時候為了避免耦合作用，就應合理布置線圈的位置，使之遠離，或使兩線圈的軸線相互垂直，或采用磁屏蔽方法等。3.8.2互感電壓

符號判斷：自感電壓前的“+”、“-”號可直接根據(jù)自感電壓與產(chǎn)生它的電流是否為關(guān)聯(lián)方向確定，關(guān)聯(lián)時取“+”號，非關(guān)聯(lián)時取“-”號?；ジ须妷呵暗摹?”、“-”號的正確選取原則可簡明地表述如下：如果互感電壓的“+”極端子與產(chǎn)生它的電流流進的端子為一對同名端，則互感電壓前取“+”號，反之取“-”號。例3-6圖3-28所示的互感電路中，同名端標記如圖所示。已知L1=L2=0.05H，M=0.025H，i1=2.82sin（1000t）A，試求自感電壓uL1和互感電壓u21。解選取自感電壓uL1和互感電壓u21參考方向如圖3-28所示。由于uL1與i1參考方向相反，u21的“+”極端子與產(chǎn)生它的電流i1流進的端子是同名端，所以可得：自感電壓：互感電壓：由已知可得：自感抗:互感抗：則自感電壓、互感電壓的相量形式為：于是可得自感電壓、互感電壓的解析式為：例3-7圖3-29（a）、（b）所示的電路中