2022年浙江省寧波市高考數學聯考試卷及答案解析

2022年浙江省寧波市高考數學聯考試卷

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（4分）己知4={x6Z|f<4},B={xGN|x>0},則ACB=（）

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

x—y<0

2.（4分）已知實數x,y滿足約束條件x+2yW2,則z=2x-y的最大值為（）

x—2

A.-6B.-2C.-D.不存在

3.（4分）設i為虛數單位，復數z滿足（1+i）z=（-1+/）2,則z吃為（）

A.V2B.2C.3D.4

4.（4分）已知a,0為兩個不同的平面，加，〃為兩條不同的直線，且〃u平面a,wiu平面

P1則機〃”是a〃0的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.（4分）函數/（x）=簫（a>0且的圖象如圖所示，則（）

A.&>1,a>\B.k>l,a<lC.“VID.0<jt<l,a>\

6.（4分）中國代表團在2022年北京冬奧會獲得九枚金牌，其中雪上項目金牌為5枚，冰

上項目金牌為4枚.現有6名同學要報名參加冰雪興趣小組，要求雪上項目和冰上項目

都至少有2人參加，則不同的報名方案有（）

A.35B.50C.70D.100

7.（4分）將函數y=tan（a）x-y）（a）>0）的圖象分別向左、向右各平移各個單位長度后,

46

所得的兩個圖象對稱中心重合，則3的最小值為（）

3

A.-B.2C.3D.6

2

8.（4分）從裝有2個白球和3個黑球的袋中無放回任取2個球，每個球取到的概率相同，

規(guī)定：

第1頁共20頁

（〃）取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2個球所得分數和記為隨機變量81；

”）取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2個球所得分數和記為隨機變量已

則()

A.E⑦）<E(⑵,D⑷）=D

B.E（H）<E(⑵,D⑦）<Dv2)

c.E（H）>E92),D（H）=D(0)

D.E>E92),D（⑴<D

9.（4分）已知點P（x,y）的坐標滿足方程（3工+/）3+/+飄+）2=0,則點尸一定在（）

上.

A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

1

10.(4分)已知數列｛“〃｝滿足41=2，Cln=\+lnan+\(〃WN*),記T〃表示數列｛a〃｝的前n項

乘積，則（）

1111

A.79G(―,—)B.796(―,—)

30262622

1111

C.796(―,—)D.796(一,一—)

22181814

二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題6分.

11.（6分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是07?,

體積是cm3.

2

12.（6分）已知Ioga2+log2〃=搟，則。=.已知OVlogq<L則b的取值范圍

是

13.（6分）已知（a+b）〃的展開式的第3項與第5項的二項式系數相等，則〃=

此時，（21-1）〃展開式中4的系數為

14.(6分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，4c,asinA-bsinB-csinC=/?sinC,

a=3,R為△A3C的外接圓半徑，則cosA=,R=

第2頁共20頁

15.(4分)在△ABC中，點。、點”分別為aABC的外心和垂心，|A8|=5,|AC|=3,貝i]OH?

BC=.

16.(4分)不等式力-1|+仇+〃|+|3工-6|<4的解集非空，則實數〃的取值范圍為.

17.(4分)已知函數y=/(x)滿足8'+**=1,且方程4(x)+V^x+〃?=O有2個實

43

數解，則實數相的取值范圍為.

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

,、、一，7TTC1

18.(14分)已知/(x)=2sin(-+x)sin(—―x)—于

(I)求/G)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

)—>—>R

(II)已知a=(sirtv,cosx),b=/(x—.)),g(x)=a*b,求g(x)在[一誦，—]_t

的值域.

第3頁共20頁

19.(15分)如圖，在直四棱柱ABC。-AiBCiOi中，底面A3C。為菱形，ZABC=60°,

AA\=AB=2,

(I)點尸為直線C1C上的動點，求證：BDLA\P,

(0)點尸為直線CiOi上的動點，求直線AC與平面物力所成角正弦值的最大值.

第4頁共20頁

20.(15分)已知數列｛?！ǎ凉M足〃“+14〃-2〃2(aw+i-an)+1=0,且m=l.

(I)求出〃2,。3的值，猜想數列伍〃｝的通項公式，并給出證明；

(II)設數列｛〃〃)的前〃項和為且依就3,求數列｛加｝的前幾項和7k

第5頁共20頁

21.(15分)已知直線/：x=〃y+f與拋物線V=4x交于A,B兩點，點C為拋物線上一點,

且AABC的重心為拋物線焦點F.

(I)求m與/的關系式；

(II)求△ABC面積的取值范圍.

第6頁共20頁

22.(15分)已知函數/(x)=",xGR.

(I)設m>〃，證明：f(空八功；

J2m—n

(II)已知f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)為偶函數，/?(x)為奇函數.若y=/i(x)

+A+；(/?,cGR.c￥0)有兩個不同的零點xi,X2,證明：|xi-X2\<>Jb2—4c.

第7頁共20頁

2022年浙江省寧波市高考數學聯考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的)

1.(4分)已知4={x€Z|?V4},B={xGN|x>0},則ACIB=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

解：A={xeZ*<4}={-1,0,1},8={xeN|x>0},

則ACB={1}.

故選：A.

x—y<0

2.（4分）已知實數尢，y滿足約束條件％+2y工2,貝Uz=2x-y的最大值為（）

x—2

A.-6B.-2C.-D.不存在

解：由約束條件作出可行域如圖，

聯立匕2解得A

（%+2y=233

由z=2r-y,得y=2x-z,由圖可知，當直線y=2v-z過A時,

直線在），軸上的截距最小，Z有最大值為2x,-|=,.

故選：C.

3.（4分）設i為虛數單位，復數z滿足（1H）z=（-1+z）2,則為（）

A.V2B.2C.3D.4

解：*.*(1+i)z=(-1+i)2

???(1+z)z=-2z,

-2i_-2i(l-i)

I+I=(l+i)(l-0=

第8頁共20頁

：.z=-l+i

.-.zz=（-l-i）（-l+i）=2.

故選：B.

4.（4分）已知a,0為兩個不同的平面，，"，〃為兩條不同的直線，且"U平面a,mu平面

p,則m//n是a〃0的（）

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解：a,0為兩個不同的平面，m,“為兩條不同的直線，且“u平面a,mu平面由如圖，

滿足〃?〃"，但a,0相交，故充分性不成立,

再如下圖：

滿足a〃0,但也，〃異面，故必要性不成立,

：.m//n是a〃0的不充分不必要條件.

故選：D.

5.（4分）函數=箭（a>0且的圖象如圖所示，則（）

A.k>\,a>lB.k>l,a<lC.0<jt<l,a<lD.O<A<1,a>l

解：由圖象可得/（x）=0的根為x=ke（0,1）,

第9頁共20頁

■y^_"

當x>0時，f(x)=~^x->且xf+8時，f(JC)-0,

由于y=〃（a>l）比y=x-k的增加速度快，

所以a>\,

故選：D.

6.（4分）中國代表團在2022年北京冬奧會獲得九枚金牌，其中雪上項目金牌為5枚，冰

上項目金牌為4枚.現有6名同學要報名參加冰雪興趣小組，要求雪上項目和冰上項目

都至少有2人參加，則不同的報名方案有（）

A.35B.50C.70D.100

解：參加雪上項目和冰上項目人2數分配有：“4人、2人”，“3人、3人”,“2人、4人”,

所以不同報名方案有點戲+CfCl+《以=50.

故選：B.

ITTC

7.（4分）將函數y=tan（o）x-）（<o>0）的圖象分別向左、向右各平移一個單位長度后,

476

所得的兩個圖象對稱中心重合，則3的最小值為（）

3

A.-B.2C.3D.6

2

解：??,將函數），=1211（3L?）（U）>0）的圖象分別向左、向右各平移四個單位長度后，

所得的兩個圖象對稱中心重合，

T[]L71

.?.當3最小時，函數y的半個周期等于工+二=不

663

171713

X-=—,/.O）=

2332

故選：A.

8.（4分）從裝有2個白球和3個黑球的袋中無放回任取2個球，每個球取到的概率相同,

規(guī)定：

（。）取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2個球所得分數和記為隨機變量日；

Ch）取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2個球所得分數和記為隨機變量已

則（）

A.E⑶)<E(0),D=D年）

B.E(日)<E（口）,D（日）<D（已）

C.E(牛)>E?。?D%）=D（乜）

D.E(?i)>E⑷),D（H）<D

第10頁共20頁

解：由題意，隨機變量U1,的所有可能取值分別為4,5,6,

則P&=4)=焉，P?=5)=云，P&=6)=占

所以E(A)=4x京+5x*+6x^=等，

所以D&)=(4-第2x白+(5-第2*白+(6一雪/乂喘=急

隨機變量女的所有可能取值分別為4,5,6,

則P&=4)=務P&=5)=4,P&=6)=卷，

所以E(A)=4x余+5'4+6*1=尋，

所以。&)=(4-第2*,+(5_a2%書+母—%2*■

所以E(fi)>E—2),D(gi)=D(已).

故選：C.

9.(4分)已知點P(x,y)的坐標滿足方程(3x+y2)3+/+4無+),2=0,則點p一定在()

上.

A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線

解：由方程(3x+y2)3+x3+4x+y2=0,得(3x+y2)3+x3+3x+x+y2=0,

(3x+y2)3+(3x+y2)+(x3+x)=0,

令h(r)=?+n則人(r)為單調增函數，且力(r)為奇函數，

??.由(3x+)2)3+(3x+)?)+(丁+工)=0,

得h(31+/)+h(x)=0,貝!Ih(3x+y2)=-h(x)=h(-x),

HP3x+y2=-x,.*.y2=-4K.

???點尸(x,y)的坐標滿足方程(3x+V)3+x3+4x+y2=0,則點P一定在拋物線上.

故選：B,

10.(4分)已知數列｛“〃｝滿足〃1=中a〃=l+bu5+i("WN”)，記刀7表示數列｛板｝的前〃項

乘積，則()

1111

A.796(一，一)B.796(一，一)

30262622

1111

C.79E(—，—)D.79E(一，一)

22181814

解：an—\+lnan+\fdn-￥i=^而一】，

下面用數學歸納法證明0Va〃Vl,

第11頁共20頁

當〃=1時，a\=符合OV〃〃V1,

假設〃=攵（221）時，結論成立，即0V或VI,

afc-1

當幾=%+1時，ak+1=e,由題意a〃+i=e%T>0成立,

akx

\*0<ak<1,??ak-IVO,/.ak+1=e~<e0=1,

：.0<aM<l,結論成立，

故0<aft<\對任意的均成立.

記函數y=/?x-(x-1),(0<xWl),y'=]-l=](l-x),

VO<x^l,20,(x=l時，取等號)，

：.y=lnx-(x-1)在(0,1)單調遞增，

/./(x)<f(1)=0,KPlnx<x-1,.?.a〃=l+/〃a〃+i<l+〃〃+i-l=a〃+i,

??ClnQ〃+1,

1

J數列｛板｝為單調遞增數列，???5＜冊＜1，

2

記g(x)=Inx-2。？(0<后1),則g'(%)=：------土^=(”」?>0(x=1取等號),

x(x+1)x(x4-l)

：.g(x)在(0,1)上單調遞增，：.g(x)<g(1)=0,-??加V隼泮，

2(%什1-1)2-(l-gn+1)+2

??Cln~1~lno，n+\V，

an+l+1，?'l-ttn1—Qn+i

22

—>1,

1一即+11-Gn

22

累加得?—>-------+(H-1)XI,

1-an1一(1工

2222

------->--------+(〃-1)XI,即----->-----+(H-1)XI,

1-。711-Q]1一Qn1一四

13101

A79=6/1Xtz2X*Xa9>2X5X--X12=22J

.?.T9>蕓,

記力(x)=//ix—Vx+X,(0<x^l),則〃'()_1__1_______1逐一%一1

x-x2Vx2%Vx-2%Vx'

：.h(x)在(0,1)上單調遞減，；./?(x)<h(1)=0,：,lnx>G-&

曲-1=3+1>時一焉=植5.11-%+1

7an+l

lf+l)2,

??(1n+14(?

1—Qn

第12頁共20頁

x222

79=aiX?2X?X?9<5(iX---X—)=i('.)=2(1-“9),

v

2、l-ajl-a82i-ai

九+15

22

.?.T9<2(l-a9)<2(l-1)=^.

?寸9〈卷

11

綜上,——<T9V—.

22918

故選：C.

二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題6分.

11.（6分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:cm）,則該幾何體的表面積是_8+4&_刖2,

解：根據幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體為四棱錐體4-BCOE.

|X2X2A/2+|X2X2V2=8+4V2；

18

^A-BCDE=qX2x2x2=w.

「8

故答案為：8+4或；-

c_2

12.（6分）已知Ioga2+log2〃=3則。=4或魚.已知0<k>g『Vl,則6的取值范圍

，3

2

是(0,-)

----3~

第13頁共20頁

51

解：Vlog?2+log26Z=.*.log2tl=2或log24=于

若log2〃=2,則a=4；

若log24=2，則〃=&，

故。=4或&-

2（0<b<l2

由OVlog/^VL可得2，求得0VAV1

3（0<&<13

2

故答案為：4或無；（0,-）.

13.（6分）已知（a+b）"的展開式的第3項與第5項的二項式系數相等，則尸6；此

時，（2%-1）”展開式中小的系數為-160.

解：由已知可得（7「=廉,則"=2+4=6,

所以二項式（2x-1）6的展開式中含小的項為c式2乃3.（-1）3=-160爐，

則x3的系數為-160,

故答案為：6；*160.

14.（6分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinA-bsinB-csinC=bsinC,

a=3,R為△ABC的外接圓半徑，則cos4=-鼻，R=痘.

解：因為asinA-bsinB-csinC=bsinC,

222

由正弦定理得，a-h-c=hcf

由余弦定理得，cosA=°與［°=-i,

由A為三角形內角，得A=120°,

由正弦定理得2R=^=|=2后

~2

故答案為：—a，V3.

15.（4分）在△ABC中，點。、點”分別為△ABC的外心和垂心，|A8|=5,|AC|=3,則力7?

BC=8.

解：OH=AH-AO,

OHBC=（^AH-AO）-BC=AHBC

因為“為垂心，

第14頁共20頁

所以4HBC=0,OHBC=-AO-BC,

設NAOB=A,ZAOB=B,外接圓的半徑為r,

由余弦定理得|AB|2=|AOF+|O8|2.21Ao卜|O8|cosA=a+a-2^cosA=2^-2rcosA,

同理忸@2=依0|2+|0cp_21Aoi-10C]-cosB=，+/-24COSB=2,-2^cosB,

所以AO-BC=AO-（BO+OQ=AO-BO+AO-OC=OA-OB-OA-OC=\0A\■

\OB\-cosA-\0A\■\0C\-cosB=JcosA-/cosB=（|AC『_澳團2）x1=-8.

所以南?品=8,

故答案為：8.

16.（4分）不等式|2x-l|+k+a|+|3x-6|<4的解集非空，則實數a的取值范圍為（-9,

-1）.

解：由題意12r-l|+|x+a|+|3x-6|2|3x-6-2x+l-x-a|=|a+5],

A|?+5|<4,

-9<a<-1,

故答案為：（-9,-1）.

17.（4分）已知函數y—f（%）滿足’」+=1,且方程2/（x）+V5x+〃?=0有2個實

43

數解，則實數，"的取值范圍為（-2通，0）.

%2y2

解：當x20,>20時，方程為了+二~=1,為橢圓在第一象限部分，

43

x2y2

當元20,yVO時，方程為一—-=1,為雙曲線在第四象限的部分，

當xVO,y>0時，方程為一1+[=1,為雙曲線在第二象限的部分，

雙曲線的漸近線方程為y=苧x,

當x<0,y<0時，方程為一[一]=1,不成立，如圖所示，

第15頁共20頁

If(x)+次龍+機=0有2個實數解，等價于y=/(x)與y=有兩個交點,

又、=一冬廣/機與雙曲線的漸近線平行，要有兩個交點需-3n>0,

由消去y得67+2次〃a+力2-12=0,

x2,y2

T+T-1

當直線與第一象的橢圓相切時△=(2V3/77)2-4X6X(m2-12)=0,可得m=-2后,

故有兩個交點時實數〃?的取值范圍為(-2遍，0).

故答案為：(-2逐，0).

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.(14分)已知/(x)=2sin(-+x)sin(—―x)—

(I)求/(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

(II)已知a=(sinx,cosx),b=(/(x),/(x—與))，g(x)=a?b,求g(x)在［一各—］_h

的值域.

TC7T1V31V31

角軍：(/)/(x)=2sin(一+x)sin(——x)一不=2(-cosx+-sinx)(—cosx--sinx)

,3322222

r/321.2\3l+cos2x1l-cos2x1,

=2(-cosx一彳sin%)=x--------------7Tx------------=+cosn2x,

4422222

故T=TI,

令2HrW2rW2Hr+2n,得ZmWxW/nr+n,

故函數的單調遞增區(qū)間為［內r,匕r+E，依Z；

TT7111

(〃)g(x)=a?b=/(x)siar+cosx/'Cx—^)=-^sinx+sinxcos2x+-^cosx—cosxsin2x=

第16頁共20頁

(cosx-sinx)=

717171

由一W%W

642

所以OWcos(x+今)W坐，

V6

故函數g(x)的值域為［0,一］.

4

19.(15分)如圖，在直四棱柱ABC。-AiBiCiQi中，底面ABCD為菱形，ZABC=60°,

AAi—AB—2.

(I)點P為直線C1C上的動點，求證：8O_LAiP；

(ID點P為直線Ci￡?i上的動點，求直線4c與平面抬。所成角正弦值的最大值.

解：(I)如圖所示，由菱形的性質可知，BD1.AC,

由線面垂直的定義可知8OJLA41,且ACT14A1=A,

故平面AAiCiC,結合線面垂直的定義可知BDLA\P.

(II)連接4c與B力相交與點O,以O為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，過。且

垂直平面ABCD向上方向為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,-I,0),Ai(0,-1,2),C(0,1,0),D(-V3,0,0),Ci(0,1,2),

D\(-V3,0,2),

因為點P為直線C\D\上的動點，設=人小,OP=04+X(\D=(-V3A,-A+1,2),

即點P的坐標為(—V3A,-X+l,2),

第17頁共20頁

AD=(-V3,1,0),AP=(-V3A,-A+2,2),

設平面API)的法向量為m=(x,y,z),

貝4&W=。，即卜任+y=。，

124P-m=0l—v32x+(—A4-2)y4-2z=0

據此可得租=(1,A/3,V3(A-1)),

4；C=(0,2,-2),

設直線AC與平面雨。所成角為6,

TT《|A-2|

則sin0=|cos<4C,m>\=-y>

1yj4+3(A-l)2

設片入-2,則sing導t212

3t2+6t+7

則sin0=辱714

~4~,

...直線AC與平面PAD所成角正弦值的最大值為當.

20.（15分）已知數列｛〃〃｝滿足的+14〃-2〃2（〃〃+]-〃〃）+1=0,且41=1.

（I）求出。2,〃3的值，猜想數列｛〃〃｝的通項公式，并給出證明;

（II）設數列｛〃〃｝的前n項和為Sn,且bn=,求數列｛b｝的前〃項和

an'an+l

解：(/)42=3,43=5,

猜想an=2n-1.

下用數學歸納法證明:

證明：（1）當〃=1時，41=2X1-1=1,成立;

（2）假設當〃=左（依N*）時，ak=2k-1成立,

2/%+1__2/(23-1)+1_4必一2必+1

當〃=女+1時，以+i=-=2Z+1=2(k+1)一

2k-l-2kZ-2/一2A+1

ak-2k

1,

所以當n=k+1時成立；

由（1）,（2）得，對任意尤N*,板=2〃-1成立.

（〃）由（【）可知1,

所以%=n2,

第18頁共20頁

則”“二(2n-l)(2n+l)=4口+(2n-l)(2n+l)l=4+8-2n+T^

所以〃=守+41一焉)=哈§?

21.(15分)已知直線/：x=,”)，+f與拋物線y2=4x交于A,8兩點，點C為拋物線上一點,

且aABC的重心為拋物線焦點F.

(I)求機與f的關系式；

(II)求aABC面積的取值范圍.

解：(I)設A(xi,yi),B(x2,”)，C(工3,”),

x=my+t

由得/-4沖-4f=0,

y2=4x

△=16切2+16〉0,

糕;”4*所以石+&=4病+23

因為△ABC的重心為拋物線的焦點尸(1,0),

所以產產產=：,解得產=3；4m2-2t,

Ui+丫2+%=0ly3=-4m

又因點C為拋物線上一點，

22

所以y字=4X3>即16m=4(3-4m-2t),

所求m與t的關系式為8〃，+2r=3且w2+r>0；

(II)由(I)得，沉2=警，

結合判別式得-