2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：四邊形

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：四邊形（10

題）

一.解答題（共10小題）

1.（2021?寧夏）如圖，8。是必的對(duì)角線(xiàn)，NBA。的平分線(xiàn)交8。于點(diǎn)E,NBCO的

平分線(xiàn)交BD于點(diǎn)F.求證：AE〃C尸.

2.（2021?西寧）如圖，四邊形A8CQ是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC,8。相交于點(diǎn)O,△BOC也ZXCEB.

（1）求證：四邊形OBEC是矩形；

(2)若NABC=120°,A8=6,求矩形OBEC的周長(zhǎng).

3.（2021?濱州）如圖，矩形ABC。的對(duì)角線(xiàn)AC、BO相交于點(diǎn)O,BE//AC,AE//BD.

（1）求證：四邊形AOBE是菱形；

（2）若/AOB=60°,AC=4,求菱形AO8E的面積.

4.（2021?盤(pán)龍區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)E是cABCQ中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,連接AC,BF,AF=BC.

（1）求證：四邊形ABFC為矩形；

（2）若△AFO是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4,求四邊形ABFC的面積.

A

D

5.(2021?白銀一模)如圖，在矩形48CD中，40=6,CO=8,菱形EFG”的三個(gè)頂點(diǎn)E,

G,H分別在矩形A8CZ)的邊AB,CD,DA±,AH=2,連接CF.

(1)當(dāng)OG=2時(shí)，求證：四邊形EFGH是正方形；

(2)當(dāng)aFCG的面積為2時(shí)，求OG的值.

6.(2021?開(kāi)江縣模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AB=AD,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交

于點(diǎn)。，AC平分NBA。，過(guò)點(diǎn)C作CELAB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接OE.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若4B=3,BD=4,求OE的長(zhǎng).

7.(2021?甘肅模擬)如圖，在矩形ABC3中，E是邊4力上點(diǎn).連接BE,過(guò)點(diǎn)C向BE作

垂線(xiàn)，交BE于點(diǎn)F,交ZM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.且滿(mǎn)足AG=￡>E.

(1)求證：BF=EF；

(2)若4￡=」C￡>=2,求CG的長(zhǎng).

2

BC

8.(2021?廣州)如圖，在菱形ABC。中，ZDAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF、OE相交于點(diǎn)G.

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形ZJFEC是平行四邊形；

(2)當(dāng)CG=2時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

9.(2021?五峰縣模擬)已知正方形A8CD與正方形BEFG,正方形BEFG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)a度，其中0°<a<360°.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在邊。C上時(shí)，/BCE的值是否會(huì)改變，若不變，請(qǐng)求出NBCE的

度數(shù)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若正方形ABC。的面積是正方形BEFG面積的5倍，直線(xiàn)AG與直線(xiàn)C8、CE分別

相交于點(diǎn)P、H,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)F重合時(shí).

①求PG：尸F(xiàn)的值.

②當(dāng)AB=旄時(shí)，求。G的值.

10.(2021?蘭州)己知正方形ABC。,E,尸為平面內(nèi)兩點(diǎn).

圖1圖2

【探究建?！?/p>

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊4B上時(shí)，DELDF,且B,C,尸三點(diǎn)共線(xiàn).求證：AE=CF；

【類(lèi)比應(yīng)用】

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在正方形A8CQ外部時(shí)，DEVDF,AEVEF,且E,C,F三點(diǎn)共

線(xiàn).猜想并證明線(xiàn)段AE,CE,DE之間的數(shù)量關(guān)系：

【拓展遷移】

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCO外部時(shí)，AE1EC,AEVAF,DE±BE,且。，F(xiàn),

E三點(diǎn)共線(xiàn)，與A8交于G點(diǎn).若￡>F=3,AE=E求CE的長(zhǎng).

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：四邊形（10

題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2021?寧夏）如圖，8。是QABCO的對(duì)角線(xiàn)，NBA。的平分線(xiàn)交8。于點(diǎn)E,/8C。的

平分線(xiàn)交8。于點(diǎn)凡求證：AE//CF.

【考點(diǎn)】角平分線(xiàn)的定義；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】證明題；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】由在nABCZ）中，可證得AO=BC,AD//BC,NBAD=NBCD,又由/BAD和

N2CD的平分線(xiàn)AE、CF分別與對(duì)角線(xiàn)8。相交于點(diǎn)E,F,可證得繼

而可證得（AS4）,由全等三角形的性質(zhì)可得N4EO=NCF8,進(jìn)而可得

AE//CF.

【解答】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,NBAD=NBCD.

:.NADB=NCBD.

'：ABAD.NBC。的平分線(xiàn)分別交對(duì)角線(xiàn)80于點(diǎn)E、F,

;./EAD=L/BAD,NFCB=LNBCD,

22

：.ZEAD=ZFCB.

在△AE￡）和△CF8中，

'/ADE=/CBF

'AD=CB，

ZEAD=ZFCB

：.AAED迫/XCFB（ASA）,

:./AED=4CFB,

J.AE//CF.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意證得△AED

絲△CF8是證題的關(guān)鍵.

2.(2021?西寧)如圖，四邊形ABCQ是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC,8。相交于點(diǎn)O,△BOC絲△CE8.

(1)求證：四邊形OBEC是矩形；

(2)若/ABC=120°,AB=6,求矩形OBEC的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；矩形的判定與性

質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正

方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(1)由全等三角形的性質(zhì)得OB=EC,OC=EB,則四邊形OBEC是平行四邊形,

再由菱形的性質(zhì)得/BOC=90°,即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得ACLBD,BC=AB=6,/￡>BC=2NABC=60°,則/OCB=30°,

2

再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得O8=」BC=3,然后由勾股定理求出OC的長(zhǎng)，即

2

可求解.

【解答】(1)證明：,:叢BOC坦叢CEB,

：.OB=EC,OC=EB,

四邊形OBEC是平行四邊形，

?.?四邊形A8C。是菱形，

.,.ACLBD,

：.ZBOC=90°,

平行四邊形OBEC是矩形；

(2)解：：四邊形ABCC是菱形，AB=6,/4BC=120°,

J.ACLBD,BC=AB=6,NQBC=4NABC=60°,

2

AZBOC=90°,

：.ZOCB=30°,

0B=JLBC=3,

2

℃=橄2_082=必2_32=3遙,

矩形OBEC的周長(zhǎng)=2(3代+3)=6?+6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等

三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)：熟練掌握菱形的性質(zhì),

證明四邊形OBEC為矩形是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?濱州)如圖，矩形ABC。的對(duì)角線(xiàn)AC、相交于點(diǎn)。，BE//AC,AE//BD.

(1)求證：四邊形AOBE是菱形；

(2)若/AO8=60°,AC=4,求菱形408E的面積.

【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；推理能力；應(yīng)用意識(shí).

【分析】(1)根據(jù)8E〃/IC,AE//BD,可以得到四邊形40BE是平行四邊形，然后根據(jù)

矩形的性質(zhì)，可以得到0A=08,由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；

(2)根據(jù)乙4。8=60°,AC=4,可以求得菱形AOBE邊0A上的高，然后根據(jù)菱形的

面積=底乂高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【解答】(1)證明：?:BE//AC,AE//BD,

...四邊形AOBE是平行四邊形，

?.?四邊形A8C。是矩形，

：.AC=BD,OA=OC=LC,OB=OD=LBD,

22

：.OA=OB,

四邊形AO8E是菱形；

(2)解：作BFLOA于點(diǎn)凡

?..四邊形A8CC是矩形，AC=4,

.\AC=BD=4,OA=OC=2AC,OB=OD=』BD,

22

：.OA=OB=2,

VZAOB=60°,

.,.BF=0B?sinNA0B=2X返=道，

2

菱形408E的面積是：0A，BF=2乂如=2如.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，

知道菱形的面積=底乂高或者是對(duì)角線(xiàn)乘積的一半.

4.(2021?盤(pán)龍區(qū)二模)如圖，已知點(diǎn)E是。A8C。中8C邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交。C

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)凡連接4C,BF,AF=BC.

(1)求證：四邊形ABFC為矩形；

(2)若△AFD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4,求四邊形A8FC的面積.

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正

方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(1)證△ABE絲△尸CE(AAS),得A8=FC,再由A8〃FC,證四邊形ABFC是

平行四邊形，然后由AF=BC即可得出結(jié)論；

(2)由矩形的性質(zhì)得N4C尸=90°,再由等邊三角形的性質(zhì)得尸=4,CF=XDF

2

=2,然后由勾股定理求出AC=2近，即可求解.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCO是平行四邊形，

J.AB^CD,AB//CD,

；.NBAE=NCFE,

;點(diǎn)E是。A8C￡＞中BC邊的中點(diǎn),

:.BE=CE,

在△ABE和△人;￡中，

<ZBAE=ZCFE

-ZAEB=ZFEC>

BE=CE

.,.△ABE2"CE(AAS),

：.AB=FC,

'：AB//FC,

，四邊形4BFC是平行四邊形，

又：AF=8C,

，平行四邊形A8FC為矩形；

(2)解：由(1)得：四邊形ABFC為矩形,

AZACF=9Q°,

：△AFC是等邊三角形，

：.AF=DF^4,CF=ADF=2,

C==V42-22=2?，

/.四邊形ABFC的面積=ACXCF=2相X2=4相.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三

角形全等是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?白銀一模)如圖，在矩形A8C￡)中，40=6,CD=8,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,

G,H分別在矩形A3CC的邊A3,CD,DA±,AH=2,連接CF.

(1)當(dāng)。G=2時(shí)，求證：四邊形EFG”是正方形；

(2)當(dāng)△FCG的面積為2時(shí)，求。G的值.

DGC

【考點(diǎn)】三角形的面積；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的全等；矩形菱形正方形：推理能力.

【分析】(1)由于四邊形ABC。為矩形，四邊形"EFG為菱形，那么/Z)=NA=90°,

HG=HE,而AH=OG=2,易證△AHE之△Z)GH,從而有NDHG=NHEA,等量代換可

得NAHE+NDHG=90°,易證四邊形HEFG為正方形；

(2)過(guò)產(chǎn)作FQ_LOC于根據(jù)AB〃CD,可得NAEG=NQGE,同理有/”EG=N

FGE,利用等式性質(zhì)有NAEH=NQGF,再結(jié)合NA=NM=90°,HE=FG,可證△AaE

生叢QFG,利用三角形面積解答即可.

【解答】(1)證明：在矩形A5CD中，有NA=N￡>=90°,

：.ZDGH+ZDHG=90a,

在菱形EFG4中，EH=GH,

'：AH=2,DG=2,

：.AH=DG,

：.RtAAE/Z^RtADWG(HL),

：.NAHE=NDGH,

：.ZAHE+ZDHG=90°,

；.NEHG=90°,

四邊形是正方形；

(2)過(guò)F作FQ_L￡>C于Q,連接EG,如圖所示，則/FQG=90°,

.,./A=/FQG=90°,連接EG,

由矩形和菱形性質(zhì)，Afi//DC,HE//GF,

：.NAEG=NQGE,ZHEG=ZFGE,

：.NAEH=NQGF,

；EH=GF,

.?.△AE%Z\QGF(A4S),

：.FQ=AH=2,

：S"CG=aCG?PQ弓XCGX2=2,

：.CG=2,

：.DG=DC-CG^6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.解題的

關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)：過(guò)F作/MLDC,交0c延長(zhǎng)線(xiàn)于M,連接GE,構(gòu)造全等三角形和內(nèi)

錯(cuò)角.

6.（2021?開(kāi)江縣模擬）如圖，在四邊形A8C。中，AB//DC,AB^AD,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交

于點(diǎn)O,AC平分NBA。，過(guò)點(diǎn)C作CEJ_AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接0E.

（1）求證：四邊形ABC7）是菱形；

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線(xiàn)的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；菱形

的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】線(xiàn)段、角、相交線(xiàn)與平行線(xiàn)；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運(yùn)算

能力；推理能力.

【分析】（1）先證CO=AO=AB,則四邊形4BC￡＞是平行四邊形，再由即可

得出結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得0A=0C,0B=0D,BD±AC,再由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性

質(zhì)得0E=0A=0C,然后由勾股定理得。4=遙，即可求解.

【解答】（1）證明：

：.Z0AB=ZDCA,

為ND48的平分線(xiàn)，

：.ZOAB^ZDAC,

：.ZDCA^ZDAC,

：.CD=AD=AB,

'.,AB//CD,

...四邊形A8C。是平行四邊形，

\'AD=AB,

四邊形A8CD是菱形；

(2)解：?.?四邊形ABCD是菱形，

：.OA=OC,BDrAC,

'JCELAB,

：.OE=^AC=OA^OC,

2

；B￡>=4,

0B=、BD=2,

2

在Rt/XAOB中，AB=3,0B=2,

???OA=VAB2-0B2=V32-22^^

.'.OE=OA=\[^.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定

與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握菱

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(2021?甘肅模擬)如圖，在矩形4BCD中，E是邊AD上點(diǎn).連接BE,過(guò)點(diǎn)C向8后作

垂線(xiàn)，交BE于點(diǎn)F,交D4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.且滿(mǎn)足AG=￡>E.

(1)求證：BF=EF；

(2)若AE=」CD=2,求CG的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】證明題；圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△GEF四△CBF,進(jìn)而可以解決問(wèn)題；

(2)根據(jù)勾股定理可得BE的長(zhǎng)，然后證明可得絲=旦1,得AG=3,

BEAE

進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【解答】(1)證明：在矩形A8CC中，AB=DC,AD=BC,AD//BC,

:.NG=/FCB,

\'AG=DE,

：.AG+AE=DE+AE,

：.GE=AD,

：.GE=BC,

在△GEF和△CBF中，

2G=NFCB

<NGFE=NCFB，

GE=CB

:.XGEF沿XCBF(AAS),

:.EF=BF；

(2)解：'：AE=1CD=2,

2

.??A8=CO=4,

B￡=VAB2+AE2=V42+22=2^

:.EF=BF=Afi￡=5/5,

'：GFLBE,

：.ZGFE=ZBAD=90°,

AZG+ZGEF^ZABE+ZBEA=90a,

NG=NABE,

:.△GFES/\BAE,

?GE=EF

"BEAE'

-AG+2;娓

??跖v,

；.AG=3,

DG^AG+AE+DE^2AG+AE=6+2=8,

CG=VDG2-K：D2=VS2+42=4^-

??.CG的長(zhǎng)為4遙.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì),

解決本題的關(guān)鍵是得到△GEFs^BEA.

8.(2021?廣州)如圖，在菱形ABC。中，ZDAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF、OE相交于點(diǎn)G.

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；

(2)當(dāng)CG=2時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專(zhuān)題】綜合題；幾何直觀.

【分析】(1)利用平行四邊形的判定定理：兩邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,

(2)利用三角形相似，求出此時(shí)FG的長(zhǎng)，再借助直角三角形勾股定理求解，

(3)利用圖形法，判斷G點(diǎn)軌跡為一條線(xiàn)段，在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處求解.

【解答】解：(1)證明：連接OF,CE,如圖所示：

為A8中點(diǎn)，

:.AE=AF=1AB,

2

：.EF=AB=CD,

?.?四邊形ABC。是菱形,

：.EF//AB//CD,

...四邊形。汽EC是平行四邊形.

(2)作設(shè)AE=/^=%,如圖所示,

?.?四邊形ABC。是菱形，

J.CD//EF,

.?.△COGs"EG,

?CDEF

CGFG

FG~2m,

在RtZXCB”中，NCBH=60°,BC=2,

sin6O°=里CH=M，

BC

cos60°=里BH=1,

BC

在Rtz^CFH中，CF=2+2，〃，CH=?,FH=3+m,

CP^Cff+FH2,

2

即(2+2/T?)2=(73)+(3+〃?)2,

整理得：3m2+2m-8=0,

解得：，m=匹，mi--2(舍去)，

3

.4

.?杷宣

(3)G點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段AG,

證明：如圖，

EMB（此圖僅作為證明AG軌

跡用）,

延長(zhǎng)線(xiàn)段AG交CD于4,作于M,作DNLAB于N,

???四邊形ABC。是菱形，

J.BF//CD,

:.△DHGS^EGA,△HGCS^AGF,

.AE_AGAF_AG

,?麗而而言

???A--E二---A-F,

DHCH

'：AE=AF,

:*DH=CH=l,

在RtZ\A￡)N中，AD=2,ZDAB=60°.

.?.sin60°=迦，DN=ECOS60°=迎，AN=l,

ADAD

在RtZXAHM中，HM=DN=M，AM=AN+NM=AN+DH=2,

tanZHAM=^-,

2

G點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段AG.

.??G點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段4G.

如圖所示，作GH_LA8,

:四邊形ABC。為菱形，ND4B=60°,AB=2,

J.CD//BF,BD=2,

:.△CDGSXFBG,

ACE^^DG,BpBG=2DG,

BFBG

BG+DG=BD=2,

.-.BG=A,

3

在RtZ\GHB中，BG=_1,ZDBA=60°,

3

sin60°=里G”=?叵

BG3

cos60°=典，BH=Z,

BG3

在RtZVlHG中，AH=2-Z=_1,GH=^^,

333

AG2=（A）2+（2立）2=歿，

339

；.AG=」".

3_

...G點(diǎn)路徑長(zhǎng)度為2互.

3

解法二：如圖，連接AG,延長(zhǎng)AG交C。于點(diǎn)W.

,JCD//BF,

?FA=AG(AG=AE；

,,CWWGV而‘

?FA=AE(

'*cw而，

"：AF=AE,

：.DW=CW,

.?.點(diǎn)G在AW上運(yùn)動(dòng).

下面的解法同上.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是借助銳角三角比和

勾股定理求解.

9.(2021?五峰縣模擬)已知正方形ABCQ與正方形8EFG,正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)a度，其中0°<a<360°.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在邊DC上時(shí)，NBCE的值是否會(huì)改變，若不變，請(qǐng)求出N8CE的

度數(shù)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若正方形ABCD的面積是正方形BEFG面積的5倍，直線(xiàn)AG與直線(xiàn)CB、CE分別

相交于點(diǎn)P、H,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)尸重合時(shí).

①求PG：PF的值.

②當(dāng)48=注時(shí)，求OG的值.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；應(yīng)用意識(shí).

【分析】(1)延長(zhǎng)AG交直線(xiàn)CE于點(diǎn)M,根據(jù)SAS證△ABG四△C8E,得出AG=CE,

再根據(jù)角的關(guān)系，得出NCMG=NABC=90°即可；

(2)根據(jù)/￡>CB=NF￡B=90°,得點(diǎn)尸、B、E、C四點(diǎn)共圓，即可得出NBCE=NBFE

=45。；

(3)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度分情況求出PG：尸尸的值；

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度分情況求出DG的值即可.

【解答】(1)證明：延長(zhǎng)AG交直線(xiàn)CE于點(diǎn)M,

,/正方形ABCD與正方形BEFG,

圖1

：.AB=BC,BG=BE,ZABC=ZGBE=90°,

/ABG=NCBE=a,

：.AABG^ACBE(SAS),

：.AG=CE,/BAG=/BCE,

又???N1=N2,

???NCMG=NA3C=90°,

：.AG.LCEf

即AG=CE,AGA.CE；

(2)N8CE的值不變，NBCE=45°,

理由如下：??,正方形ABC。與正方形3EFG,

:?NDCB=NFEB=90°，

：.ZBCE=ZBFE=45°；

(3)設(shè)正方形A5CD與正方形BEFG的邊長(zhǎng)分別為mb,

???正方形ABC。的面積是正方形8E/G面積的5倍，

，〃2：b2=5：1,

***a=\Z'^b，

如圖，當(dāng)0°<a<90°,

①在△AGB中，/AGB=90°,48=遙卜BG=b,

：.AG=2b,

.".tanZGAB=—,

2

???BP1,

AB2

又；AB=V^b,

：.BP=^-b'CP=CB-BP=與b

又,：BG//CE,

:.△GBPs^FCP,

：.PG：PF=PB：PC=1；

②二過(guò)點(diǎn)D作DT±AP于點(diǎn)T,

A.B

圖3

在△A￡>7與△BAG中，

\'AB=AD,ND7A=NAGB=9O°,ZDAB=9QQ,

/D4T+/A￡>r=90°,/D4T+NG4B=90°,

NADT=NGAB,

：.^ADT^/\BAG(A4S),

：.DT^AG=2b,AT=BG=b,

：.GT=b,

AB=\[^,

:?a=b=I,

在RtZ\GOT中，

DG=VDT2+TG2=V5;

當(dāng)90°<a<360°時(shí)，如圖,

①此時(shí)gP=2^b，PC=PB+BC=^&b，

同理可得PG：PF=PB：PC=A；

3

?DT=AG=2b,AT=BG^b,

：.GT=3b,

,:AB=/

??a=*^5，b=1,

在RtZ\G。7中，

=22

DGVDT+TG=V13,

綜上，當(dāng)0°<a<90°時(shí)，PG：PF=\,OG=泥，當(dāng)90°<a<360°時(shí)，PG：PF=X,

3

DG=A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查四邊形的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角

形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?蘭州）已知正方形ABCD,E,F為平面內(nèi)兩點(diǎn).

圖1圖2圖3

【探究建?！?/p>

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊A8上時(shí)，DELDF,且8,C,尸三點(diǎn)共線(xiàn).求證：AE=CF；

【類(lèi)比應(yīng)用】

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在正方形A8CD外部時(shí)，DE1DF,AELEF,且E,C,F三點(diǎn)共

線(xiàn).猜想并證明線(xiàn)段AE,CE,OE之間的數(shù)量關(guān)系；

【拓展遷移】

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCC外部時(shí)，AE±EC,AE±AF,DELBE,且。，F(xiàn),

E三點(diǎn)共線(xiàn)，OE與AB交于G點(diǎn).若。F=3,AE=&,求CE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專(zhuān)題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】(1)證明△〃￡；畛△QCF(ASA),可得結(jié)論.

(2)猜想：EA+EC=MDE.如圖2中，證明0△CCF,推出。E=￡?EAE=CF,

即可證明.

(3)如圖3中，連接AC,取AC的中點(diǎn)。，連接OE,0D.證明NAEQ=N￡>EC=45°,

利用(2)中結(jié)論求解即可.

【解答】(1)證明：如圖1中，

圖1

?.?四邊形A8CO是正方形，

：.DA=DC,/A=NAOC=NDCB=NZ)CF=90°,

,：DE1.DF,

：.ZEDF=ZADC=90°,

ZADE=ZCDF,

在△加￡：和△￡>'中,

fZADE=ZCDF

<DA=DC，

ZA=ZDCF

：./\DAE^^DCF(ASA),

：.AE=CF.

(2)解：猜想：EA+EC=MDE.

理由：如圖2中，

圖2

;四邊形A5CZ)是正方形，

：.DA=DC,ZADC=90Q,

DEIDF,AE.LEF,

：.ZAEF=ZEDF=90°,

：./ADC=/EDF,

：.ZADE=ZCDFf

VZADC+ZA￡C=180°,

：.ZDAE+ZDCE=\S0°,

VZDCF+ZDCE=180°,

：.ZDAE=ZDCFf

：./\DAE^/^DCF(A4S),

:?AE=CF,DE=DF,

：?EF=MDE,

?:AE+EC=EC+CF=EF,

：.EA+EC=yp2PE.

（3）解：如圖3中，連接AC,取AC的中點(diǎn)。，連接OE,0D.

圖3

???四邊形ABC。是正方形，AEVEC,

：.ZAEC=ZADC=90°,

"：OA=OC,

：.OD=OA=OC=OE,

：.A,E,C,。四點(diǎn)共圓，

...NAEC=NAC￡>=45°,

AZAED=ZDEC^45Q,

由（2）可知，AE+EC=yf2DE,

'.'AEA.AF,

：.ZEAF^90°,

AZAEF=ZAFE=45°,

：.AE=AF=y/2,

:.EF={^E=2,

"：DF=3,

：.DE=5,

.?.揚(yáng)￡C=5&,

，EC=4&.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四

點(diǎn)共圓，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決

問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用建模的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

考點(diǎn)卡片

1.角平分線(xiàn)的定義

（1）角平分線(xiàn)的定義

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn).

（2）性質(zhì)：若。C是乙40B的平分線(xiàn)

則/AOC=ZBOC^^ZAOB或/AOB=2/AOC=2/BOC.

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐.

2.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線(xiàn)乘積的一半，即義=工義底義高.

2

（2）三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分.

3.全等三角形的性質(zhì)

（1）性質(zhì)1：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

性質(zhì)2：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

說(shuō)明：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線(xiàn)以及對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等

②全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等

③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等

（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意

①全等三角形的性質(zhì)是證明線(xiàn)段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.

②要正確區(qū)分對(duì)應(yīng)邊與對(duì)邊，對(duì)應(yīng)角與對(duì)角的概念，一般地：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角

形而言，而對(duì)邊、對(duì)角是對(duì)同一個(gè)三角形的邊和角而言的，對(duì)邊是指角的對(duì)邊，對(duì)角是指邊

的對(duì)角.

4.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔

助線(xiàn)構(gòu)造三角形.

5.角平分線(xiàn)的性質(zhì)

角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線(xiàn)段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線(xiàn)段相

等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線(xiàn)，有垂直角平分

線(xiàn)的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，在/A02的平分線(xiàn)上，CDLOA,CE10B：.CD=CE

6.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線(xiàn)段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線(xiàn)段相

等、角相等的重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線(xiàn)的問(wèn)題，其頂角平分線(xiàn)、底邊上的高、

底邊上的中線(xiàn)是常見(jiàn)的輔助線(xiàn)，雖然“三線(xiàn)合一”