汕頭市金平區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析

PAGE12023～2024學(xué)年度第一學(xué)期八年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷說明：本試卷共4頁，滿分120分．考試用時120分鐘．注意事項：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫準(zhǔn)考證號、姓名、學(xué)生考號，再用2B鉛筆把學(xué)生考號的對應(yīng)數(shù)字涂黑．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)答案選項涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再重新選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請將答題卡上對應(yīng)的小題所選的選項涂黑.1.杭州亞運會中有各種比賽項目，下列可以看作是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查軸對稱，熟練掌握軸對稱的定義：“如果一個圖形沿著一條直線折疊，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．”利用定義逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的定義可得，C符合題意，故選：C．2.若一個三角形的兩邊長分別為，，則它的第三邊的長可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先設(shè)第三邊長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，再解不等式即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，解得：，故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．3.分式與的最簡公分母是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．當(dāng)各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．【詳解】解：在分式與中，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積即最簡公分母為：，故選：C．【點睛】本題考查最簡公分母，解題的關(guān)鍵是：需要掌握最簡公分母的定義．4.如圖，和是一副直角三角板，其中，，將它們?nèi)鐖D中方式疊放在一起，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了直角三角形和外角性質(zhì)，根據(jù)三角板的特殊角，外角性質(zhì)就可求出最后結(jié)果．【詳解】解：∵，是直角三角板，，，，故選：C．5.在下列運算中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘除法則、冪的乘方與積的乘方運算法則，根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法則、冪的乘方與積的乘方運算法則即可求出答案．【詳解】解：A、，故A符合題意．B、，故B不符合題意．C、，故C不符合題意．D、，故D不符合題意．故選：A．6.分式方程的解是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將分式方程化為整式方程求解，再檢驗即可．【詳解】解：化為整式方程為：，整理，得：，解得：．經(jīng)檢驗是原方程的解．故選A．【點睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵，注意檢驗．7.如圖，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說明的依據(jù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定．利用三角形全等的判定證明．【詳解】解：從角平分線的作法得出，與的三邊全部相等，則．故選：D．8.把分式中的、都擴大到原來的5倍，則分式的值（）A.不變 B.縮小為原來的 C.擴大到原來的5倍 D.擴大到原來的25倍【答案】B【解析】【分析】本題考查分式的性質(zhì)，根據(jù)分式的性質(zhì)，進行化簡后，判斷即可．【詳解】解：由題意，得：；∴分式的值縮小為原來的；故選B．9.計算的結(jié)果中一次項為，則常數(shù)的值為（）A.6 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查多項式乘多項式，利用多項式乘多項式的法則將原式計算后得到關(guān)于的方程，解方程即可．詳解】解：，則，解得：，故選：A．10.如圖，已知的內(nèi)角，分別作內(nèi)角與外角的平分線，兩條平分線交于點，得；和的平分線交于點，得；……以此類推得到，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得，，整理即可求出的度數(shù)，同理求出，可以發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟知三角形的外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的平分線，是的平分線，∴，，又∵，，∴，∴，∵，∴；同理可得，∴，∴，故選：D．二、填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）請將下列各題的正確答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上．11.點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是____________．【答案】【解析】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化軸對稱；根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．【詳解】解：點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是．故答案為：．12.要使分式有意義，則的取值范圍是______．【答案】x≠4【解析】【分析】根據(jù)分式的分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【詳解】解：要使分式有意義，則x-4≠0，解得x≠4，故答案為：x≠4．【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．13.計算：_______．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了零次冪，首先利用零次冪的性質(zhì)，再算加減即可，關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪：．【詳解】解：原式，故答案為：．14.如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，若，則_______°．【答案】【解析】【分析】本題考查多邊形的外角和，結(jié)合已知條件，利用多邊形的外角和列式計算即可．【詳解】解：由圖形可得，，，故答案為：．15.分解因式：_______．【答案】##【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式進行因式分解即可．掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：；故答案為：．16.如圖，是中角平分線，，，，則的長是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：過作于點，于點，過作于，∵，∴是中的角平分線，，，，，∵∴解得．∵∴故答案為：．三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題6分，共18分）17.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了整式的乘法，先利用完全平方公式展開，再去括號合并即可；【詳解】解：．18.如圖，在中，是上一點，是上的一點，、相交于點，，，．求：（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．【答案】（1）100度（2）【解析】【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角，掌握三角形的內(nèi)角和為180度，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，是解題的關(guān)鍵．（1）利用外角的性質(zhì)，得到，計算即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和進行求解即可．【小問1詳解】解：∵是的一個外角，，，∴；【小問2詳解】∵，∴．19.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值，除法變乘法，約分化簡后，代值計算即可，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式；當(dāng)時，原式．四、解答題.（二）（本大題共3小題，每小題8分，共24分）20.如圖，已知，，，與交于點．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)：（1）先證明，再利用證明，即可證明；（2）先由三角形內(nèi)角和定理得到，進而由全等三角形的性質(zhì)得到，再由三角形外角的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴21.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：在邊上求作一點，使，并連接；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，當(dāng)，時，_____，的周長為_____．【答案】（1）見詳解（2）1，3【解析】【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形等知識，（1）作線段的垂直平分線交于點，點即為所求；（2）由作圖可知：，，，可得為等邊三角形，即可得出答案【小問1詳解】解：點即為所求；【小問2詳解】∵，，∴∵，∴∵，∴∴為等邊三角形∴的周長，故答案為：1，3．22.如圖①所示是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．（1）你認為圖②中陰影部分的正方形的邊長等于_______．（2）請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積.方法①___________；方法②__________．（3）觀察圖②，試寫出，，這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系______．（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，則求的值．【答案】（1）（2），（3）（4）16【解析】【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，用不同的方法表示同一個圖形的面積是得出等量關(guān)系式的關(guān)鍵．（1）由拼圖可知，圖②陰影部分是邊長為的正方形；（2）方法一，直接利用正方形的面積公式表示陰影部分的面積；方法二，從邊長為的大正方形減去四個長為，寬為的矩形面積即可；（3）由（2）的兩種方法求陰影部分的面積可得等式；（4）將的變形為：即可求解．【小問1詳解】解：由拼圖可知，陰影部分是邊長為的正方形，故答案為：；【小問2詳解】方法一：直接利用正方形的面積公式得正方形的面積為；方法二：從邊長為的大正方形減去四個長為，寬為的矩形面積即為陰影部分的面積，即；故答案為：，；【小問3詳解】由（2）的兩種方法可得，；故答案為：；【小問4詳解】．，，．五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題10分，共30分）23.列方程或不等式解應(yīng)用題：小公園某商鋪販賣關(guān)于小公園文化的紀(jì)念明信片和鑰匙扣，若一個鑰匙扣的進價比一份紀(jì)念明信片進價少1元.且用120元購進紀(jì)念明信片的數(shù)量與用100元購進鑰匙扣的數(shù)量相同．（1）求每份紀(jì)念明信片和一個鑰匙扣的進價分別是多少元？（2）若該商鋪購進紀(jì)念明信片的數(shù)量比鑰匙扣的數(shù)量的3倍還少4個，且購進紀(jì)念明信片和鑰匙扣兩種商品的總數(shù)量不超過100個，則商鋪最多購進鑰匙扣多少個？（3）在（2）的條件下，如果一份紀(jì)念明信片售價是12元，一個鑰匙扣的售價為9元，且將購進的紀(jì)念明信片和鑰匙扣兩種商品全部售出后，可使銷售兩種商品的總利潤超過480元，那么該商鋪購進紀(jì)念明信片和鑰匙扣兩種商品有哪幾種方案？【答案】（1）鑰匙扣的進價為5元，紀(jì)念明信片的進價為6元（2）商鋪最多購進鑰匙扣26個（3）有4種方案【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗．（1）設(shè)鑰匙扣的進價為元，紀(jì)念明信片的進價為元，根據(jù)用120元購進紀(jì)念明信片的數(shù)量與用100元購進鑰匙扣的數(shù)量相同，列方程求解；（2）設(shè)購進鑰匙扣的個，則紀(jì)念明信片的，根據(jù)購進紀(jì)念明信片和鑰匙扣兩種商品的總數(shù)量不超過100個，列不等式求解；（3）設(shè)購進鑰匙扣的個，則紀(jì)念明信片的，根據(jù)可使銷售兩種商品的總利潤超過480元，列不等式求解．小問1詳解】解：設(shè)鑰匙扣的進價為元，紀(jì)念明信片的進價為元，由題意得，，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意，則．答：鑰匙扣的進價為5元，紀(jì)念明信片的進價為6元；【小問2詳解】設(shè)購進鑰匙扣的個，則紀(jì)念明信片的，解得：答：商鋪最多購進鑰匙扣26個；【小問3詳解】設(shè)購進鑰匙扣的個，則紀(jì)念明信片的，解得：．∵∴為整數(shù)，，24，25，26，該有4種方案．方案一：購進鑰匙扣：23個，紀(jì)念明信片：65個；方案二：購進鑰匙扣：24個，紀(jì)念明信片：68個；方案三：購進鑰匙扣：25個，紀(jì)念明信片：71個；方案四：購進鑰匙扣：26個，紀(jì)念明信片：74個；24.已知為等邊三角形，點為的垂直平分線上一點，連接、，點、分別在、所在的直線上，連接、．（1）如圖①，若，點、在邊、上，，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是_______；若，則的周長為______；（2）如圖②，點在上，，求證：；（3）如圖③，點在邊上，點在的延長線上，在（2）的條件下，若，證明：．【答案】（1），2（2）見詳解（3）見詳解【解析】【分析】（1）延長至點，使，結(jié)合等邊三角形以及垂直平分線性質(zhì)，證明，然后證明，進行邊的等量代換，即可作答．結(jié)合的周長，且，即可作答．（2）過點作，因為為等邊三角形，點為的垂直平分線上一點，得到為中位線，從而證明，；（3）設(shè)，如圖：過點作，同理證明，則，故，即可作答．【小問1詳解】解：如圖：延長至點，使∵點為的垂直平分線上一點，∴,∵為等邊三角形，∴∴故∴∵∴∵∴則；∵的周長，且∴【小問2詳解】解：如圖：過點作，∵為等邊三角形，點為的垂直平分線上一點，∴∵∴∵∴∵∴∴；【小問3詳解】解：設(shè)，如圖：過點作，同理可證∴∵∴∴則【點睛】本題考查了全等三角形的綜合，涉及判定三角形全等以及全等三角形的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和，垂直平分線的性質(zhì)，輔助線等內(nèi)容，綜合性強，難度大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線證明三角