安徽渦陽縣育萃中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（理）試卷

育萃高中高二年級(jí)第一學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.數(shù)列1,3,7,15，…的通項(xiàng)an可能是()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－12.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為A∶B∶C＝3∶2∶1，那么對(duì)應(yīng)的三邊之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.eq\r(3)∶2∶1C.eq\r(3)∶eq\r(2)∶1 D．2∶eq\r(3)∶13.已知不等式ax2＋3x－2>0的解集為{x|1<x<b}，則a，b的值等于()A．a(chǎn)＝1，b＝－2 B．a(chǎn)＝2，b＝－1C．a(chǎn)＝－1，b＝2 D．a(chǎn)＝－2，b＝14.已知命題p：對(duì)任意x∈R，總有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.則下列命題為真命題的是()A.p∧﹁q B.﹁p∧qC.﹁p∧﹁q D.p∧q5.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線l、y軸、拋物線于A，B，C三點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→))，那么直線AF的斜率是()A.－eq\r(3) B.－eq\f(\r(3),3)C.－eq\f(\r(2),2) D.－16.函數(shù)y＝(sin2x)3的導(dǎo)數(shù)是()A．y′＝3x(sin2x)2cos2x B．y′＝6x(sin2x)2cos2xC．y′＝3(sin2x)2cos2x D．y′＝6(sin2x)2cos2x7.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 D．48.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若A＝eq\f(π,3)，b＝1，△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則a的值為()A．1 B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D.29.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元 B．16萬元C．17萬元 D．18萬元10.給定兩個(gè)命題p，q.若﹁p是q的必要條件，則p是﹁q的()A.充要條件 B.必要條件C.充分條件 D.既不充分也不必要條件11.若直線y＝2x與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A.(1,eq\r(5)) B.(eq\r(5)，＋∞)C.(1,eq\r(5)] D.[eq\r(5)，＋∞)12.如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①BE與CF異面；②BE與AF異面；③EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，則a5＝________.14.曲線y＝xex＋2x＋1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________________.15.橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，則m的值是________.16.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，已知下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2；⑤a2>b2；⑥2a>2b.其中正確的不等式的序號(hào)為______．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（10分）設(shè)命題p：方程eq\f(x2,1－2m)＋eq\f(y2,m＋4)＝1表示的曲線是雙曲線；命題q：?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.（12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4).(1)求△ABC的周長；(2)求cosA的值．19.（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．20.（12分）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)證明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；(2)若∠BAD＝60°，求二面角B-OB1-C的余弦值．21.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．22.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓的直徑為。（1）求橢圓及圓的方程；（2）設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)（=1\*romani）設(shè)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（=2\*romanii）直線與橢圓交于兩點(diǎn).若的面積為，求直線的方程。育萃高中高二年級(jí)第一學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.數(shù)列1,3,7,15，…的通項(xiàng)an可能是()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1時(shí)，a1＝1，排除A、B，取n＝2時(shí)，a2＝3，排除D.【答案】C2.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為A∶B∶C＝3∶2∶1，那么對(duì)應(yīng)的三邊之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.eq\r(3)∶2∶1C.eq\r(3)∶eq\r(2)∶1 D．2∶eq\r(3)∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，∴a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)＝2∶eq\r(3)∶1.【答案】D3.已知不等式ax2＋3x－2>0的解集為{x|1<x<b}，則a，b的值等于()A．a(chǎn)＝1，b＝－2 B．a(chǎn)＝2，b＝－1C．a(chǎn)＝－1，b＝2 D．a(chǎn)＝－2，b＝1【解析】因?yàn)椴坏仁絘x2＋3x－2>0的解集為{x|1<x<b}，所以方程ax2＋3x－2＝0的兩個(gè)根分別為1和b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得1＋b＝－eq\f(3,a)，b＝－eq\f(2,a)，所以a＝－1，b＝2.【答案】C4.已知命題p：對(duì)任意x∈R，總有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.則下列命題為真命題的是()A.p∧﹁q B.﹁p∧qC.﹁p∧﹁q D.p∧q【解析】命題p為真命題，命題q為假命題，所以命題﹁q為真命題，所以p∧﹁q為真命題，故選A.【答案】A5.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線l、y軸、拋物線于A，B，C三點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→))，那么直線AF的斜率是()A.－eq\r(3) B.－eq\f(\r(3),3)C.－eq\f(\r(2),2) D.－1【解析】過點(diǎn)B，C分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為B1，C1，設(shè)|BC|＝a.因?yàn)镺是EF的中點(diǎn)，BO∥AE，所以|AB|＝|BF|＝3a，|CF|＝|CC1|＝2a，在△ACC1中，|AC1|＝2eq\r(3)a，tan∠AFO＝tan∠ACC1＝eq\r(3)，故直線AF的斜率是－eq\r(3)，故選A.【答案】A6.函數(shù)y＝(sin2x)3的導(dǎo)數(shù)是()A．y′＝3x(sin2x)2cos2x B．y′＝6x(sin2x)2cos2xC．y′＝3(sin2x)2cos2x D．y′＝6(sin2x)2cos2x解析：y′＝[(sin2x)3]′＝3(sin2x)2·(sin2x)′＝3(sin2x)2·cos2x·2＝6(sin2x)2cos2x.【答案】D7.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 D．4【解析】eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)≥eq\f(4xy,xy)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立．【答案】D8.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若A＝eq\f(π,3)，b＝1，△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則a的值為()A．1 B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D.2【解析】根據(jù)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2)，可得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，故a＝eq\r(3).【答案】B9.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A.12萬元 B．16萬元C．17萬元 D．18萬元【解析】設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))z＝3x＋4y，作出可行域如圖陰影部分所示，由圖形可知，當(dāng)直線z＝3x＋4y經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取最大值，最大值為3×2＋4×3＝18.【答案】D10.給定兩個(gè)命題p，q.若﹁p是q的必要條件，則p是﹁q的()A.充要條件 B.必要條件C.充分條件 D.既不充分也不必要條件【解析】q?﹁p等價(jià)于p?﹁q，﹁peq\o(?,\s\up0(/))q等價(jià)于﹁qeq\o(?,\s\up0(/))p.故p是﹁q的充分條件.【答案】C11.若直線y＝2x與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A.(1,eq\r(5)) B.(eq\r(5)，＋∞)C.(1,eq\r(5)] D.[eq\r(5)，＋∞)【解析】雙曲線的兩條漸近線中斜率為正的漸近線為y＝eq\f(b,a)x.由條件知，應(yīng)有eq\f(b,a)>2，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq\r(5).【答案】B12.如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①BE與CF異面；②BE與AF異面；③EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：畫出該幾何體，如圖．因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，所以EF∥BC，BE與CF是共面直線，故①不正確；BE與AF滿足異面直線的定義，故②正確；由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因?yàn)镋F?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，故③正確；因?yàn)锽E與PA的關(guān)系不能確定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正確．故選B.【答案】B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，則a5＝________.【解析】由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加，得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.【答案】1514.曲線y＝xex＋2x＋1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________________.【解析】y′＝ex＋xex＋2，k＝y(tǒng)′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切線方程為y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.【答案】3x－y＋1＝015.橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，則m的值是________.【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.【答案】3或516.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，已知下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2；⑤a2>b2；⑥2a>2b.其中正確的不等式的序號(hào)為______．【解析】∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴b<a<0，故③錯(cuò)；又b<a<0，可得|a|<|b|，a2<b2，故②⑤錯(cuò)，可證①④⑥正確．【答案】①④⑥三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（10分）設(shè)命題p：方程eq\f(x2,1－2m)＋eq\f(y2,m＋4)＝1表示的曲線是雙曲線；命題q：?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】對(duì)于命題p，因?yàn)榉匠蘣q\f(x2,1－2m)＋eq\f(y2,m＋4)＝1表示的曲線是雙曲線，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得m<－4或m>eq\f(1,2)，則命題p：m<－4或m>eq\f(1,2).對(duì)于命題q，因?yàn)?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在實(shí)數(shù)集R上有解，所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)>0，解得m<－3或m>6.則命題q：m<－3或m>6.因?yàn)槊}p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以命題p與命題q有且只有一個(gè)為真命題.若命題p為真命題且命題q為假命題，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－4或m>\f(1,2)，,－3≤m≤6，))得eq\f(1,2)<m≤6；若命題p為假命題且命題q為真命題，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤m≤\f(1,2)，,m<－3或m>6，))得－4≤m<－3.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－4，－3)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，6)).18.（12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4).(1)求△ABC的周長；(2)求cosA的值．【解】(1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×eq\f(1,4)＝4，∴c＝2，∴△ABC的周長為a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.(2)∵cosC＝eq\f(1,4)，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(\r(15),4)，∴sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(\f(\r(15),4),2)＝eq\f(\r(15),8)∵a<c，∴A<C，故A為銳角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),8)))2)＝eq\f(7,8).19.（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解】(1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，則an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．20.（12分）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)證明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；(2)若∠BAD＝60°，求二面角B-OB1-C的余弦值．解：(1)證明：∵A1O⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴A1O⊥BD.∵四邊形ABCD是菱形，∴CO⊥BD.∵A1O∩CO＝O，∴BD⊥平面A1CO.∵BD?平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D.(2)∵A1O⊥平面ABCD，CO⊥BD，∴OB，OC，OA1兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(OA1,\s\up7(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∵AB＝2，AA1＝3，∠BAD＝60°，∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝eq\r(3)，OA1＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝eq\r(6).則O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，eq\r(3)，0)，A(0，－eq\r(3)，0)，A1(0,0，eq\r(6))，∴eq\o(OB,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq\o(BB1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＝(0，eq\r(3)，eq\r(6))，eq\o(OB1,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＝(1，eq\r(3)，eq\r(6))．設(shè)平面OBB1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\o(OB,\s\up7(→))·n＝0，,eq\o(OB1,\s\up7(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,x＋\r(3)y＋\r(6)z＝0.))令y＝eq\r(2)，得z＝－1，∴n＝(0，eq\r(2)，－1)是平面OBB1的一個(gè)法向量．同理可求得平面OCB1的一個(gè)法向量m＝(eq\r(6)，0，－1)，∴cosn，m＝eq\f(n·m,|n|·|m|)＝eq\f(1,\r(3)×\r(7))＝eq\f(\r(21),21)，由圖可知二面角B-OB1-C是銳二面角，∴二面角B-OB1-C的余弦值為eq\f(\r(21),21).21.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．[解]f′(x)＝eq\f(1,x＋1)＋a(2x－1)＝eq\f(2ax2＋ax－a＋1,x＋1)(x＞－1)．令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．②當(dāng)a＞0時(shí)，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．當(dāng)0＜a≤eq\f(8,9)時(shí)，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．當(dāng)a＞eq\f(8,9)時(shí)，Δ＞0，設(shè)方程2ax2＋ax－a＋1＝0的兩根為x1，x2(x1＜x2)，因?yàn)閤1＋x2＝－eq\f(1,2)，所以x1＜－eq\f(1,4)，x2＞－eq\f(1,4).由g(－1)＝1＞0，可得－1＜x1＜－eq\f(1,4).所以當(dāng)x∈(－1，x1)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．因此函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)．③當(dāng)a＜0時(shí)，Δ＞0，由g(－1)＝1＞0，可