4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法

第四章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的主要區(qū)別：溫度不僅隨空間變化，還隨時間變化，控制方程中多一個非穩(wěn)態(tài)項；非穩(wěn)態(tài)項熱源項？能量平衡關(guān)系：網(wǎng)格單元不僅與相鄰的網(wǎng)格單元之間有熱量的導(dǎo)入或?qū)С觯W(wǎng)格單元本身的熱力學(xué)能也隨時間發(fā)生變化下面我們直接用一維、有內(nèi)熱源、常物性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例給出非穩(wěn)態(tài)項的處理方法一維、有內(nèi)熱源、常物性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題離散方程的建立過程——空間和時間的離散化時間步長：從一個時層到下一個時層的間隔稱為時間步長

x

m-1,m,m+1Mi+1

0ii-1(m+1,i)(m-1,i)(m,i)(m,i+1)(m,i-1)

xm-1,m,m+1M0m+1mm-1

表示形式一維、有內(nèi)熱源、常物性的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題離散方程的建立過程——熱平衡法建立內(nèi)部節(jié)點的離散方程考察(m,i)點，則擴散項可直接寫出：源項：非穩(wěn)態(tài)項：不同的型線導(dǎo)致了不同的差分格式假設(shè)溫度隨空間分段線性分布t

顯式隱式C-N格式t

向前差分向后差分中心差分t

顯式隱式(1)向前差分以網(wǎng)格尺寸為特征尺度的Fourier數(shù)t

顯式隱式(2)向后差分第3種形式(中心差分格式)感興趣的自己推導(dǎo)可以看出，對于第一個公式，一旦i層時間上個節(jié)點的溫度已知，則可以立即算出(i+1)時層上個內(nèi)部節(jié)點的溫度，而不必求解聯(lián)立方程組，因而，稱之為顯式差分格式；第二個公式則必須求解第i時層的一個聯(lián)立方程才能得出(i)時層各節(jié)點的溫度(迭代求解)，因此，稱之為隱式差分格式。兩種差分格式的優(yōu)缺點:(1)顯式差分格式計算速度快，但對時間步長和空間步長有限制，如果和取得不好，很有可能導(dǎo)致計算結(jié)果發(fā)散穩(wěn)定性條件：的系數(shù)必須大于或等于零即：同理，對于二維不穩(wěn)定，均勻網(wǎng)格的顯式差分格式，穩(wěn)定性條件為：若溫度對時間的一階導(dǎo)數(shù)采用向后差分，則式等價寫為：將上式移項整理：此式為隱式差分格式隱式差分式顯式差分式優(yōu)缺點或比較用熱平衡法建立邊界節(jié)點的節(jié)點方程邊界節(jié)點也有顯式格式隱式格式考察一無限大平板，其左側(cè)面為第三類邊界條件，針對邊界節(jié)點，其節(jié)點方程邊界的熱容項網(wǎng)格劃分如圖所示網(wǎng)格畢渥數(shù)，從為特征長度整理上式：其中移項整理上式與內(nèi)節(jié)點穩(wěn)定性條件相比更為嚴(yán)格，在第三類邊界條件下，應(yīng)采用上式作為穩(wěn)定性條件在第一類邊界條件下，只需采用內(nèi)節(jié)點方程定性條件此式為的顯式差分表達式：穩(wěn)定性條件即對于絕熱邊界條件,可令邊界上的對流換熱量為零即在第三類邊界條件下，二維不穩(wěn)定態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式差分格式，其穩(wěn)定性條件為：即令針對圖中的邊界節(jié)點1應(yīng)用熱平衡法也可以寫出其隱式差分格式即整理上式，得令移項整理隱式差分格式無條件穩(wěn)定同樣，若是絕熱邊界條件可令作業(yè)：4-10，4-15說明：4-15：只列出1，2，4三個節(jié)點的離散方程即可，無需化簡，也不用求解§4-4導(dǎo)熱問題數(shù)值計算實例穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題：例：一矩形薄板，幾何尺寸及節(jié)點布置。如圖所示。薄板左側(cè)邊界給定溫度為200℃，其他三個界面給定溫度為50℃，求各節(jié)點的溫度計算所用公式溫度節(jié)點變量標(biāo)志符如下：節(jié)點的坐標(biāo)變量節(jié)點的溫度所算出的節(jié)點溫度沿X方向和Y方向網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)左側(cè)邊界溫度右側(cè)邊界溫度頂部邊界底部邊界溫度節(jié)點溫度的初始假定值控制迭代過程終止的誤差允許的最大迭代次數(shù)輸入數(shù)據(jù)開始輸入M，N，EPS，K，TTB，TLB，TRB，TBB迭代次數(shù)IT＝0YESNOYESNO打印“IT”打印“不收斂”打印Ti,j停機非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題例：一厚度為0.06m的無限大屏壁，初始溫度為20℃，給定壁兩側(cè)的對流換熱邊界條件，流體溫度為150℃壁表面對流換熱系數(shù)已知壁的導(dǎo)熱系數(shù)，試計算2分鐘后，無限大屏壁內(nèi)各節(jié)點的溫度。選定壁的半厚度作為計算對象，將半壁厚度等分為10層即N=10節(jié)點1Q熱邊界面節(jié)點11對流邊界面令節(jié)點的編號K時刻的節(jié)點溫度K+1時刻節(jié)點溫度時間間隔k變量變量標(biāo)志符無限大平面的厚度半壁厚劃分的間距數(shù)目選定的時間間隔初始溫度流體溫度導(dǎo)熱溫度導(dǎo)熱系數(shù)輸入數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)壁表面的對流換熱系數(shù)控制打印各打