材料-06彎曲變形

第六章彎曲變形材料力學(xué)§6–1概述§6–2梁的撓曲線近似微分方程及其積分§6–3按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角§6–4梁的剛度校核第六章彎曲變形§6–5

梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能§6–6簡單超靜定梁的求解方法§6–7提高梁彎曲剛度的措施§6－１概述彎曲變形研究范圍：等直梁在平面彎曲時位移的計算。研究目的：①對梁作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w(x)表示。符號：與y軸同向為正，反之為負。[w(x)]

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用

表示，逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。

二、撓曲線：變形后，梁的軸線變?yōu)榭v向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條光滑連續(xù)的曲線，稱為撓曲線。其方程：

w=w(x)撓曲線方程三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：彎曲變形一、度量梁變形的兩個基本位移量FxwCqC1y小變形q

§6-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分一、撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程EIxMxw)()(=￠￠

彎曲變形小變形yxM>0yxM<0對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、積分法求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分彎曲變形

支座邊界條件：

連續(xù)條件：

光滑條件：彎曲變形FABCFD2.待定系數(shù)的確定（邊界條件及光滑連續(xù)條件）討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的位移條件確定。支座邊界條件連續(xù)條件光滑條件④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出撓曲線的精確解；基本方法。缺點：計算較繁。彎曲變形例1求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解：FLxyx

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xyFL解：

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分彎曲變形xyFLa例2求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形FLaxy

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形FLaxy彎曲變形例3用積分法求圖示梁（剛度為EI）的wA

、

B、

A及最大撓度。解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：用邊界條件確定積分常數(shù)：Cl/2l/2ABMeFAxy彎曲變形例3用積分法求下列各梁（剛度為EI）的wA

、

B、

A及最大撓度。Cl/2l/2ABMeFAxy列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：[例4]用積分法求梁（剛度為EI）的wA和

B。解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：FBClaABF彎曲變形xy[例4]用積分法求梁（剛度為EI）的wA和

B。彎曲變形用邊界條件確定積分常數(shù)：FBClaABFxy列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：彎曲變形FBClaABFxy［例5］試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。（a）CaaABmDa（b）CaaABq（c）C3aaABqD（d）CaaABmDam彎曲變形[例5]試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。解：作彎矩圖：邊界條件：（a）CaaABmDam/2m/2解：作彎矩圖：邊界條件：（b）CaaABqqa2/49qa2/32解：作彎矩圖：邊界條件：（c）C3aaABqDqa2/28qa2/9解：作彎矩圖：邊界條件：（d）CaaABmDamm§6-3按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加（直接疊加法）：

多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。彎曲變形CL/2L/2BF1F2F3Fn彎曲變形Cl/2l/2ABMeCl/2l/2ABFCl/2l/2ABqCl-bbABFP188表6－1彎曲變形qlABFlABlABMe例1按疊加原理求A截面轉(zhuǎn)角和C截面撓度。解、

載荷分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqFF=+AAABBBCaa表1彎曲變形qqFF=+AAABBB

Caa

疊加例2按疊加原理求C截面撓度。解：

載荷無限分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。

疊加彎曲變形q00.5L0.5LxyC表1xdx例3用疊加法求梁（剛度為EI）的wB和

B。解：Cl/2l/2ABF彎曲變形2Cl/2l/2ABFqCl/2l/2ABq

BqwBq例4用疊加法求梁（剛度為EI）的wB

和

B。解：彎曲變形Cl/2l/2ABqCl/2l/2ABqCl/2l/2ABq

B2wB22彎曲變形qCABl/2l/2例5用疊加法求梁（剛度為EI）的wC。qCABl/2l/2qCABl/2l/2qwC1wC2wC解：1例6用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。解：將載荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABFCl/2l/2ABFl=+彎曲變形表2例6用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。解：將載荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABF=Cl/2l/2ABFl+彎曲變形表2Cl/2l/2ABFFl/2=+彎曲變形FL1L2ABCBCFL2w1w2等價等價xywFL1L2ABC剛化AC段FL1L2ABC剛化BC段FL1L2ABCMxyxy二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。解：qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaa=+彎曲變形表1表2wA1

B1例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。ACaBaaqCaABaa+=彎曲變形表1表2qa2/2qawA2

B2wA3qAB例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA和

B。qCaABqaaa+彎曲變形表1表2CaABqaaa=wA1

B1ACaBaa+qa2/2wA2

B2wA3qABqa例8已知：梁的剛度為EI，欲使wD＝0，求：F與q的關(guān)系及wC。解：F彎曲變形CaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF例8已知：梁的剛度為EI，欲使wD＝0，求：F與q的關(guān)系及wC。彎曲變形FCaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF§6-4梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[

]稱為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱為許用撓度。通常依此條件進行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設(shè)計截面尺寸；

、確定許可載荷。彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=100mm200mmDF1=1kNB例9

一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C截面的[w]=110-5m,B截面的[

]=0.001rad,試核此桿的剛度。=++=彎曲變形F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAMF2BCa=++圖1圖2圖3解：

結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy表1表2F2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy

疊加求復(fù)雜載荷下的變形

校核剛度彎曲變形[例10]已知：F=20KN，E=200GPa，規(guī)定A處的許可轉(zhuǎn)角為：[

]=0.50。試確定軸的直徑。解：用逐段剛化法：（設(shè)軸的直徑為d）CABF20001000CABF20001000mF=+彎曲變形表1dxxFSFS+dFSMM+dM彎曲應(yīng)變能的計算：§6–5

梁的彎曲應(yīng)變能

彎曲變形應(yīng)變能等于外力功。不計剪切應(yīng)變能并略去dqM(x)F1MxyF2dxdqr例1用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能應(yīng)用對稱性，得：思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？彎曲變形FaaqxyC§6-6簡單超靜定梁的求解方法處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解法：

建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束得到原結(jié)構(gòu)的靜定基相當(dāng)系統(tǒng)（基本結(jié)構(gòu)）。=彎曲變形q0LABLq0MABAq0LFBABxy

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+彎曲變形q0LFBAB=FBABq0AB

物理方程——變形與力的關(guān)系

補充方程

求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）表2彎曲變形q0LFBAB

求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）MAFAFSM由幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）和物理方程（變形與力的關(guān)系）建立補充方程。彎曲變形

求多余約束反力，必要時需建立平衡方程。

求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形及強度與剛度計算。）解超靜定梁的方法：

建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)：確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束，得到靜定基相當(dāng)系統(tǒng)（基本結(jié)構(gòu)）。

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：解：

建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)=例1結(jié)構(gòu)如圖，求B點反力。LBC彎曲變形xyq0LABCq0LFBAB=FBAB+q0AB=LBC彎曲變形xfq0LABCFBAB+q0AB

物理方程——變形與力的關(guān)系

補充方程反力與EI、EA有關(guān)表2[例2]已知：梁AB、CD長度均為L，抗彎剛度均為EI，求：B點的撓度。解：此結(jié)構(gòu)為一次超靜定，取靜定基相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示：OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F'利用變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程：彎曲變形表1表2利用疊加法求B點的撓度：彎曲變形OL/2L/2ABPFODCL/2L/2F'[例3]已知：梁AB在自由端受集中力P、DF為加固梁，兩梁在C點可視為簡支支承，抗彎剛度均為EI，求：（1）C處反力F，（2）梁AB的最大彎矩和B點的撓度比無加固時減少