必修5綜合測試卷

綜合測試卷一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的)1．設(shè)a，b，c，d∈R，且a>b，c<d，那么以下結(jié)論中正確的選項是()A．a(chǎn)＋c>b＋d B．a(chǎn)－c>b－dC．a(chǎn)c>bd D.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)解析：利用不等式的性質(zhì)：a>b，c<d，所以－c>－d，因此a－c>b－d.應(yīng)選B.答案：B2．(2009·全國卷Ⅰ)不等式|eq\f(x＋1,x－1)|<1的解集為()A．{x|0<x<1}∪{x|x>1}B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0}D．{x|x<0}解析：由得|x＋1|<|x－1|，(x＋1)2<(x－1)2，由此解得x<0，選D.答案：D3．表示圖中陰影局部的不等式組是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1,2x－y＋2＝0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1,2x－y＋2≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0,y≥－1,2x－y＋2≥0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0,y≥－1,2x－y＋2≤0))解析：由題意可知直線y＝－1上方對應(yīng)的不等式是y≥－1，y軸左側(cè)的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式是x≤0，直線2x－y＋2＝0右下方對應(yīng)的不等式是2x－y＋2≥0，故答案為C.答案：C4．△ABC的三邊長分別為a－2，a，a＋2，且它的最大角的正弦值為eq\f(\r(3),2)，那么這個三角形的面積是()A.eq\f(\r(15),4) B.eq\f(15\r(3),4)C.eq\f(2\r(3),4) D.eq\f(35\r(3),4)解析：先判斷出a＋2所對角最大，設(shè)為α，那么sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴cosα＝±eq\f(1,2).當(dāng)cosα＝eq\f(1,2)時，由(a＋2)2＝a2＋(a－2)2－2a(a－2)cosα解得a當(dāng)cosα＝－eq\f(1,2)時，由(a＋2)2＝a2＋(a－2)2－2a(a－2)cosα，解得a＝5或a＝0(舍去)．∴S＝eq\f(1,2)(a－2)·a·sinα＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)，應(yīng)選B.答案：B5．在等比數(shù)列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，那么a99＋a100等于()A.eq\f(b9,a8) B．(eq\f(b,a))9C.eq\f(b10,a9) D．(eq\f(b,a))10解析：∵a19＋a20＝a9q10＋a10q10＝q10(a9＋a10)(q為公比)，∴q10＝eq\f(a19＋a20,a9＋a10)＝eq\f(b,a).又a99＋a100＝a19q80＋a20q80＝q80(a19＋a20)＝(eq\f(b,a))8·b＝eq\f(b9,a8)，應(yīng)選A.答案：A6．0<a<b，且a＋b＝1，那么以下不等式正確的選項是()A．log2a>1 B．log2a＋log2C．log2(b－a)<0 D．log2(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))<1解析：因?yàn)?<a<b，且a＋b＝1，所以0<a、b<1.故0<b－a<1，即C正確；因?yàn)閘og2aab<(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，∴l(xiāng)og2a＋log2b<－2，故B錯；因?yàn)閑q\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，所以log2(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))>1，故D錯，應(yīng)選C.答案：C7．首項為2，公比為3的等比數(shù)列，從第n項到第N項的和為720，那么n，N的值分別是()A．n＝2，N＝6 B．n＝2，N＝8C．n＝3，N＝6 D．n＝3，N>6解析：∵SN－Sn－1＝720，∴eq\f(21－3N,1－3)－eq\f(21－3n－1,1－3)＝720，即3N－3n－1＝720.經(jīng)檢驗(yàn)可知N＝6，n＝3適合上述方程，應(yīng)選C.答案：C8．如以下圖，四邊形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，那么該四邊形的面積等于()A.eq\r(3) B．5eq\r(3)C．6eq\r(3) D．7eq\r(3)解析：在△BCD中，BC＝CD＝2，∠C＝120°，那么∠DBC＝30°，所以BD＝2eq\r(3)，∠ABD＝90°，所以S四邊形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5eq\r(3)，應(yīng)選B.答案：B9．a(chǎn)>0、b>0，a、b的等差中項是eq\f(1,2)，且α＝a＋eq\f(1,a)，β＝b＋eq\f(1,b)，那么α＋β的最小值是()A．3 B．4C．5 D．6解析：由題意知a＋b＝1，那么α＋β＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(1,ab)≥1＋eq\f(1,\f(a＋b,2)2)＝5，應(yīng)選C.答案：C10．△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，B＝30°，△ABC的面積為eq\f(3,2)，那么b＝()A.eq\f(1＋\r(3),2) B．1＋eq\r(3)C.eq\f(2＋\r(3),2) D．2＋eq\r(3)解析：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.在△ABC中，B＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)ac·sin30°＝eq\f(3,2)，∴ac＝6.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos30°＝(a＋c)2－(2＋eq\r(3))ac，即b2＝4b2－6(2＋eq\r(3))，∴b2＝4＋2eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)＋1，應(yīng)選B.答案：B11．?dāng)?shù)列{an}中，an>0，且{anan＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列，滿足anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3(n∈N*)，那么公比q的取值范圍是()A．0<q<eq\f(1＋\r(2),2) B．0<q<eq\f(1＋\r(5),2)C．0<q<eq\f(－1＋\r(2),2) D．0<q<eq\f(－1＋\r(5),2)解析：令n＝1，不等式變?yōu)閍1a2＋a2a3>a3∴a1a2＋a1a2q>a1a2∵a1a2>0，∴1＋q>q2解得0<q<eq\f(1＋\r(5),2)，應(yīng)選B.答案：B12．設(shè)α，β是方程x2－2x＋k2＝0的兩根，且α，α＋β，β成等比數(shù)列，那么k為()A．2 B．4C．±4 D．±2解析：α＋β＝2，αβ＝k2，又(α＋β)2＝αβ，∴4＝k2，∴k＝±2，應(yīng)選D.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)13．?dāng)?shù)列{an}的通項公式an＝2n－49，那么Sn到達(dá)最小時，n等于________．解析：an＝2n－49，∴{an}是等差數(shù)列，且首項為－47，公差為2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2n－49>0，,an－1＝2n－1－49≤0，))解得n＝25，∴從第25項開始為正，前24項都為負(fù)數(shù)，故前24項之和最?。鸢福?414．在△ABC中，假設(shè)b＝2eq\r(2)，a＝2，且三角形有解，那么A的取值范圍是________．解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(\r(2),2)sinB≤eq\f(\r(2),2).因?yàn)閍<b，所以A<B，所以A為銳角，所以0°<A≤45.答案：{A|0°<A≤45°}15．設(shè)點(diǎn)P(x，y)在函數(shù)y＝4－2x的圖像上運(yùn)動，那么9x＋3y的最小值為________．解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)在y＝4－2x上，所以2x＋y＝4，所以9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(34)＝18.答案：1816．約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,y－x≤\f(1,2)))表示的平面區(qū)域的面積是________．解析：畫出可行域，如以下圖陰影局部所示，易知所求面積．S＝S四邊形OABE－S△CED＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8).答案：eq\f(7,8)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)集合P＝{x|x2－x－2>0}，Q＝{x|x2＋4x＋a<0}，假設(shè)P?Q，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：解不等式x2－x－2>0得x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(1)假設(shè)Q＝?，那么x2＋4x＋a<0無解，即Δ＝16－4a≤0，a≥4，此時P?Q(2)假設(shè)Q≠?，設(shè)f(x)＝x2＋4x＋a，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16－4a>0，,f－1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<4，,a≥3，))即3≤a<4.綜上可得a≥3，即a的取值范圍為[3，＋∞)．18．(12分)假設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an>0，公比q≠1，lga2是lga1和1＋lga4的等差中項，且a1a2a3＝1，求{解析：由題知2lga2＝lga1＋(1＋lga4)，即lgaeq\o\al(2,2)＝lg10a1a4，那么aeq\o\al(2,2)＝10a1a4，aeq\o\al(2,1)q2＝10aeq\o\al(2,1)q3，∵a1>0，q2>0，∴q＝eq\f(1,10).又a1a2a3＝1，∴aeq\o\al(3,1)q3＝aeq\o\al(3,1)·(eq\f(1,10))3＝1，∴aeq\o\al(3,1)＝103，∴a1＝10，∴an＝10·(eq\f(1,10))n－1＝102－n.19．(12分)為迎接2008年奧運(yùn)會召開，某工藝品加工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)具有收藏價值的奧運(yùn)會標(biāo)志——“中國印·舞動的北京”和奧運(yùn)會桔祥物——“福娃”．該廠所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會桔祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒．假設(shè)奧運(yùn)會標(biāo)志每套可獲利700元，奧運(yùn)會桔祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進(jìn)原料A、B的量分別為200盒和300盒．問該廠生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會桔祥物各多少套才能使該廠月利潤最大，最大利潤為多少？解析：設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會桔祥物分別為x，y套(x，y為整數(shù))，月利潤為z元，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≤200，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0，))目標(biāo)函數(shù)為z＝700x＋1200y.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如以下圖：目標(biāo)函數(shù)可變形為y＝－eq\f(7,12)x＋eq\f(z,1200)，∵－eq\f(4,5)<－eq\f(7,12)<－eq\f(3,10)，∴當(dāng)y＝eq\f(－7,12)x＋eq\f(z,1200)通過圖中的點(diǎn)A時，eq\f(z,1200)最大，即z最大．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))得點(diǎn)A坐標(biāo)為(20,24)，且20,24∈N，將點(diǎn)A(20,24)代入z＝700x＋1200y得zmax＝700×20＋1200×24＝42800元．∴該廠生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會桔祥物分別為20、24套時月利潤最大，最大利潤為42800元．20．(12分)a、b、c分別是△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊，(1)假設(shè)△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，c＝2，A＝60°，求a、b的值．(2)假設(shè)acosA＝bcosB，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．解析：(1)由得eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)bcsinA＝bsin60°，∴b＝1.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝eq\r(3).(2)由正弦定理得2RsinA＝a,2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B又A，B為三角形內(nèi)角，∴A＋B＝90°或A＝B.故△ABC為直角三角形或等腰三角形．21．(12分)某化裝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2008年北京奧運(yùn)會期間進(jìn)行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化裝品的年銷量x萬件與年促銷費(fèi)t萬元之間滿足關(guān)系式：x＝3－eq\f(2,t＋1).2008年生產(chǎn)化裝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化裝品需要投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，假設(shè)化裝品的年銷售收入額為其年生產(chǎn)本錢的150%與年促銷費(fèi)的一半之和．問：該企業(yè)2008年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤y(萬元)最大？(注：利潤＝銷售收入－生產(chǎn)本錢－促銷費(fèi)，生產(chǎn)本錢＝固定費(fèi)用＋生產(chǎn)費(fèi)用)解析：當(dāng)年生產(chǎn)x(萬件)時，年生產(chǎn)本錢＝年生產(chǎn)費(fèi)用＋年固定費(fèi)用＝32x＋3＝32(3－eq\f(2,t＋1))＋3，年銷售收入＝150%[32(3－eq\f(2,t＋1))＋3]＋eq\f(t,2).∵年利潤＝銷售收入－生產(chǎn)本錢－促銷費(fèi)，∴y＝150%[32(3－eq\f(t,t＋1))＋3]＋eq\f(t,2)－[32(3－eq\f(2,t＋1))＋3]－t＝eq\f(1,2)[32(3－eq\f(2,t＋1))＋3]－eq\f(t,2)＝50－eq\f(1,2)[eq\f(64,t＋1)＋(t＋1)]≤50－eq\f(1,2)·2eq\r(\f(64,t＋1)·t＋1)＝42(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(64,t＋1)＝t＋1，即t＝7時ymax＝42.∴當(dāng)促銷費(fèi)定在7萬元時，利潤最大．22．(12分)對于數(shù)列{an}，定義{Δan}為數(shù)列{an