2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第30講平面向量的數(shù)量積（講）

第30講平面向量的數(shù)量積（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線(xiàn)與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．2．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0題型歸納題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【例11】（2020春?南崗區(qū)校級(jí)期末）已知向量，滿(mǎn)足，，則A．0 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解．【解答】解：．故選：．【例12】（2020春?臨渭區(qū)期末）在中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，則A． B． C．3 D．4【分析】以，為基底，分別表示，，即可求解．【解答】解：為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，又，，則，．．故選：．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?泉州期末）平行四邊形中，，，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則A．0 B．2 C．4 D．【分析】根據(jù)條件即可得出，，從而得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．【解答】解：如圖，根據(jù)題意：，，且，，，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練12】（2020春?道里區(qū)校級(jí)期末）已知，滿(mǎn)足，，的夾角為，則．【分析】直接利用向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：，滿(mǎn)足，，的夾角為，．故答案為：．【名師指導(dǎo)】求非零向量a，b的數(shù)量積的3種方法方法適用范圍定義法已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角基底法直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解坐標(biāo)法①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積題型2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用【例21】（2020春?北海期末）已知向量，的夾角為，，，則A．1 B． C．3 D．2【分析】利用向量的數(shù)量積公式求將求出的值代入代數(shù)式即得．【解答】解：向量，的夾角為，，．則，故選：．【例22】（2020春?廣東期末）已知平面向量，，，則與的夾角為A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件可求出，，然后即可求出的值，從而得出與的夾角．【解答】解：，，，且，．故選：．【例23】（2020?太原二模）已知是兩個(gè)非零向量，其夾角為，若，且，則A． B． C． D．【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，求得的值．【解答】解：是兩個(gè)非零向量，其夾角為，若，則，．，，．則，故選：．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020春?黔南州期末）已知向量，滿(mǎn)足，，，，則A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解．【解答】解：因?yàn)?，，所以．故選：．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020春?赤峰期末）已知，是單位向量，若，則與的夾角為A． B． C． D．【分析】由題意利用兩個(gè)向量數(shù)量積公式，求出與的夾角的余弦值，可得它的與的夾角．【解答】解：已知，是單位向量，若，設(shè)與的夾角為，，即，求得，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練23】（2020春?新余期末）已知向量、滿(mǎn)足，，向量，的夾角為，則的值為A．4 B．3 C．2 D．【分析】根據(jù)條件可求出，從而根據(jù)即可求出答案．【解答】解：，且，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練24】（2020春?廣州期末）已知，，若，則．【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量數(shù)量積公式求出的值，可得的值．【解答】解：已知，，若，則，，則，故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練25】（2020春?金安區(qū)校級(jí)期末）已知向量，，且，則A． B． C．6 D．8【分析】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，再由，利用向量垂直的性質(zhì)能求出的值．【解答】解：向量，，，，，解得．故選：．【跟蹤訓(xùn)練26】（2020?臨汾模擬）已知向量，，向量在向量方向上的投影為．若，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得實(shí)數(shù)的值．【解答】解：向量，，向量在向量方向上的投影為，，若，則，，故選：．【跟蹤訓(xùn)練27】（2020春?咸陽(yáng)期末）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為A． B．1 C． D．2【分析】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，求出，再由，能求出實(shí)數(shù)的值．【解答】解：向量，，，，，解得實(shí)數(shù)．故選：．【跟蹤訓(xùn)練28】（2020春?密云區(qū)期末）已知向量與的夾角為，，，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)為A．1 B．2 C． D．【分析】根據(jù)兩向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，列方程求出的值．【解答】解：向量與的夾角為，，，由知，，，，解得．故選：．【跟蹤訓(xùn)練29】（2020春?墊江縣校級(jí)期末）已知，，且，則．【分析】推導(dǎo)出，，由此能求出結(jié)果．【解答】解：，，且，，，．故答案為：．【跟蹤訓(xùn)練210】（2020?徐州模擬）已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為．【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求得的值．【解答】解：已知，，．若，，，，則實(shí)數(shù)，故答案為：5．【跟蹤訓(xùn)練211】（2020?江蘇模擬）在中，，若角的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是．【分析】由得出，設(shè)三角所對(duì)的邊分別為、、，求出，再利用角的最大值得出方程求出的值．【解答】解：中，，所以，即，所以，設(shè)三角所對(duì)的邊分別為、、，則，所以，若角的最大值為，則，令，解得．故答案為：3．【名師指導(dǎo)】1.求平面向量模的2種方法公式法利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算幾何法利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夾角的2種方法定義法當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式，求a與b的夾角θ時(shí)，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得坐標(biāo)法若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]3．利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線(xiàn)、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．4．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．題型3平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題【例31】（2020春?遼陽(yáng)期末）已知向量，，向量，，函數(shù)．（1）求的最大值；（2）若，是關(guān)于的方程的兩根，且，求及的值．【分析】（1）通過(guò)向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解即可．（2）利用方程的根，推出三角函數(shù)關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化求解表達(dá)式的值即可．【解答】解：（1）向量，，向量，，函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為2．（2），是關(guān)于的方程的兩根，即與，，是關(guān)于的方程的兩根，所以，，因?yàn)?，所以，解得．所以．【?2】（2020春?北海期末）已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，時(shí)，求函數(shù)的最值．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解即可．（2）通過(guò)的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解即可．【解答】解：（1）．由，，可得，，單調(diào)遞增區(qū)間為：，．（2）若．當(dāng)，時(shí)，，即，則，所以函數(shù)的最大值、最小值分別為：，．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?湛江期末）已知向量，，，．（1）若，求的值；（2）若，則函數(shù)的值域．【分析】（1）根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及二倍角公式進(jìn)行求解即可；（2）先結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1），，，即，，，．（2），，，．函數(shù)的值域?yàn)椋靖櫽?xùn)練32】（2020春?沈陽(yáng)期末）已知，．（1）若，求向量在向量方向的投影的數(shù)量．（2）若，且，求向量的坐標(biāo)．【分析】（1）先將等式的左邊展開(kāi)化簡(jiǎn)運(yùn)算可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求解即可；（2）把代入的坐標(biāo)中可得向量，設(shè)，根據(jù)平面向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積的運(yùn)算法則可列出關(guān)于和的方程組，解之即可．【解答】解：（1），，向量在向量方向的投影的數(shù)量為．（2），，，，設(shè)，則①，，②，由①②解得，或．故向量的坐標(biāo)為或．【名師指導(dǎo)