數(shù)學(xué)人教A版必修2課時(shí)作業(yè)2-3-1直線與平面垂直的判定

課時(shí)作業(yè)15直線與平面垂直的判定——基礎(chǔ)鞏固類——1．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊，那么能保證該直線與平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保證這條直線垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線，②④中的兩條直線有可能是平行的．2．已知平面α∥β，a是直線，則“a⊥α”是“a⊥β”的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：根據(jù)題意，“a⊥α”，又由平面α∥β，則有“a⊥β”，則“a⊥α”是“a⊥β”的充分條件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，則有“a⊥α”，則“a⊥β”是“a⊥α”的必要條件，則“a⊥α”是“a⊥β”的充要條件．故選C.3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面AA1D1D為正方形，E為棱CD上任意一點(diǎn)，則AD1與B1E的關(guān)系為(A)A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1與B1E共面D．以上都不對(duì)解析：連接A1D，則由正方形的性質(zhì)，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E?平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故選A.4．已知直線m，n是異面直線，則過(guò)直線n且與直線m垂直的平面(B)A．有且只有一個(gè) B．至多一個(gè)C．有一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在解析：若異面直線m、n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在．5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，ED，AD，則AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角．設(shè)各棱長(zhǎng)為a，則AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a.∴tan∠ADE＝eq\r(3).∴∠ADE＝60°.6．如果PA，PB，PC兩兩垂直，那么點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影一定是△ABC的(D)A．重心B．內(nèi)心C．外心D．垂心解析：如圖，由PA，PB，PC兩兩互相垂直，可得AP⊥平面PBC，BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB，所以BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，所以點(diǎn)O是△ABC三條高的交點(diǎn)，即點(diǎn)O是△ABC的垂心，故選D.7．?ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)P在?ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，則PO與平面ABCD的位置關(guān)系是垂直．解析：∵PA＝PC，O是AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.8．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)有4.解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.9．如圖，∠ACB＝90°，平面ABC外有一點(diǎn)P，PC＝4cm，點(diǎn)P到角的兩邊AC，BC的距離都等于2eq\r(3)cm，則PC與平面ABC所成角的大小為45°.解析：如圖，過(guò)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，連接CO，則CO為∠ABC的平分線，且∠PCO為PC與平面ABC所成的角，設(shè)其為θ，連接OF，易知△CFO為直角三角形．又PC＝4，PF＝2eq\r(3)，∴CF＝2，∴CO＝2eq\r(2)，在Rt△PCO中，cosθ＝eq\f(CO,PC)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D.證明：連接AC，則AC⊥BD，又BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可證BC1⊥A1C.又BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.11．如圖，在棱長(zhǎng)均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值．解：(1)證明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BCC1B1.(2)如圖，連接C1D.由(1)可知AD⊥平面BCC1B1，則∠AC1D即為直線AC1與平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝eq\f(\r(3),2)，AC1＝eq\r(2)，sin∠AC1D＝eq\f(AD,AC1)＝eq\f(\r(6),4)，即直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為eq\f(\r(6),4).——能力提升類——12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(A)A.eq\f(\r(6),4) B.eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：如圖所示，取A1C1的中點(diǎn)D，連接AD，B1D，則易證得B1D⊥平面ACC1A1，∴∠DAB1即為直線AB1與平面ACC1A1所成的角．不妨設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則在Rt△AB1D中，sin∠DAB1＝eq\f(B1D,AB1)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，故選A.13.如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(D)A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解析：選項(xiàng)A正確，因?yàn)镾D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥SD.又ABCD為正方形，所以AC⊥BD.因?yàn)锽D∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB.選項(xiàng)B正確，因?yàn)锳B∥CD，CD?平面SCD，AB?平面SCD，所以AB∥平面SCD.選項(xiàng)C正確，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接SO，則SA與平面SBD所成的角就是∠ASO，SC與平面SBD所成的角就是∠CSO，易知這兩個(gè)角相等．選項(xiàng)D錯(cuò)誤，AB與SC所成的角等于∠SCD，而DC與SA所成的角是∠SAB，這兩個(gè)角不相等．14.如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，則a的取值范圍是[2，＋∞)．解析：因?yàn)镻A⊥平面AC，QD?平面AC，所以PA⊥QD.又因?yàn)镻Q⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①當(dāng)0<a<2時(shí)，由四邊形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD為直徑的圓與BC無(wú)交點(diǎn)，即對(duì)BC上任一點(diǎn)Q，都有∠AQD<90°，此時(shí)BC邊上不存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD；②當(dāng)a＝2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相切于BC的中點(diǎn)Q，此時(shí)∠AQD＝90°，所以BC邊上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥QD；③當(dāng)a>2時(shí)，以AD為直徑的圓與BC相交于點(diǎn)Q1，Q2，此時(shí)∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC邊上存在兩點(diǎn)Q(即Q1與Q2)，使PQ⊥QD.15.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD＝CD＝1，DB＝2eq\r(2).(1)證明PA∥平面BDE；(2)證明AC⊥平面PBD；(3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值．解：(1)證明：如圖，連接AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE，因?yàn)锳D＝CD，DB平分∠ADC，所以O(shè)A＝OC.又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以PA∥OE.又PA?平面BDE，OE?平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)證明：因?yàn)锳D＝CD，DB平分∠ADC，所以AC⊥BD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以AC⊥PD，又因?yàn)锽D∩PD＝D，所以AC⊥平面PBD.(3)由(2)知CO⊥平面PBD，所以直線BC在平面PBD內(nèi)的射影為BO，所以∠OBC是直線BC與平面PBD所成的角．因?yàn)锳D＝CD，AD⊥