微積分(第1、2節(jié))教學(xué)課件

微積分(第1、2節(jié))2024-01-24微分學(xué)基本概念與運(yùn)算積分學(xué)基本概念與運(yùn)算微分中值定理及其應(yīng)用積分中值定理及其應(yīng)用微分方程初步知識(shí)無窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介與性質(zhì)分析目錄01微分學(xué)基本概念與運(yùn)算VS設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點(diǎn)$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$。導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$在幾何上表示曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(x_0,f(x_0))$處的切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義常數(shù)C的導(dǎo)數(shù)為0，即$(C)'=0$。常數(shù)求導(dǎo)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為$sin'x=cosx$，$cos'x=-sinx$，$tan'x=sec^2x$。三角函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于形如$y=x^n$的冪函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為$y'=nx^{n-1}$。冪函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于形如$y=a^x$（a>0，a≠1）的指數(shù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為$y'=a^xlna$。指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于形如$y=log_ax$（a>0，a≠1）的對(duì)數(shù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為$y'=frac{1}{xlna}$。對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)0201030405常見函數(shù)求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)的定義如果函數(shù)$y=f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在點(diǎn)$x_0$處仍然可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的二階導(dǎo)數(shù)，記作$f''(x_0)$。類似地，可以定義更高階的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)可以通過連續(xù)應(yīng)用求導(dǎo)法則來計(jì)算。例如，對(duì)于冪函數(shù)$y=x^n$，其二階導(dǎo)數(shù)為$y''=n(n-1)x^{n-2}$。高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則稱$Deltay=f'(x_0)Deltax+o(Deltax)$為函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處的微分，記作$textcapm6huy|_{x=x_0}$或$textwdsqol6f(x_0)$。其中，$textki5jsynx=Deltax$稱為自變量的微分。微分的定義微分在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，在幾何中，微分可以用來求曲線的切線、法線以及曲率等；在物理中，微分可以用來描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及求解各種物理量；在經(jīng)濟(jì)中，微分可以用來分析邊際效應(yīng)以及優(yōu)化經(jīng)濟(jì)模型等。微分的應(yīng)用微分概念及應(yīng)用02積分學(xué)基本概念與運(yùn)算定積分是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的積分，表示函數(shù)圖像與x軸所圍成的面積。定積分的定義定積分具有線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式等基本性質(zhì)。定積分的性質(zhì)定積分定義及性質(zhì)不定積分是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過程。通過湊微分、換元法、分部積分等方法求解不定積分。不定積分求解方法不定積分的求解方法不定積分的定義定積分的計(jì)算步驟確定被積函數(shù)、確定積分區(qū)間、計(jì)算定積分。定積分的計(jì)算技巧利用奇偶性、周期性、對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算；利用換元法、分部積分法等方法進(jìn)行計(jì)算。定積分計(jì)算技巧03廣義積分的求解方法通過變量替換、分部積分等方法求解廣義積分。01廣義積分的定義廣義積分是指積分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)在有限區(qū)間上有瑕點(diǎn)的定積分。02廣義積分的分類無窮限廣義積分和瑕點(diǎn)廣義積分。廣義積分簡(jiǎn)介03微分中值定理及其應(yīng)用

羅爾定理與拉格朗日中值定理羅爾定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則至少存在一點(diǎn)$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。拉格朗日中值定理如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。幾何意義羅爾定理和拉格朗日中值定理都揭示了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為微分學(xué)的應(yīng)用提供了重要的理論基礎(chǔ)?？挛髦兄刀ɡ砣绻瘮?shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)neq0$，則至少存在一點(diǎn)$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。應(yīng)用柯西中值定理在證明不等式、求解極限等方面有著廣泛的應(yīng)用。例如，利用柯西中值定理可以證明某些復(fù)雜的不等式，或者求解一些看似難以處理的極限問題。柯西中值定理及其應(yīng)用如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處具有$n$階導(dǎo)數(shù)，則存在$x_0$的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)$x$，有$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)$為余項(xiàng)。如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處具有無窮階導(dǎo)數(shù)，且余項(xiàng)$R_n(x)$隨著$n$的增加而趨于零，則可以將函數(shù)在該點(diǎn)處展開成無窮級(jí)數(shù)，即$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$。泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)展開在近似計(jì)算、求解微分方程、分析函數(shù)的性質(zhì)等方面有著廣泛的應(yīng)用。例如，利用泰勒公式可以近似計(jì)算某些難以直接求解的函數(shù)值；利用泰勒級(jí)數(shù)展開可以將一些復(fù)雜的函數(shù)表示成簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)形式，從而方便進(jìn)行進(jìn)一步的分析和處理。泰勒公式泰勒級(jí)數(shù)展開應(yīng)用泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)展開04積分中值定理及其應(yīng)用幾何意義該定理表明，在閉區(qū)間$[a,b]$上，連續(xù)函數(shù)$f(x)$與不變號(hào)可積函數(shù)$g(x)$的乘積的積分值，等于$f(x)$在$[a,b]$上某一點(diǎn)$xi$的函數(shù)值與$g(x)$在$[a,b]$上的積分值的乘積。內(nèi)容若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，$g(x)$在$[a,b]$上不變號(hào)且可積，則存在$xiin[a,b]$，使得$int_{a}^f(x)g(x)dx=f(xi)int_{a}^g(x)dx$。應(yīng)用該定理可用于證明某些積分等式或不等式，以及求解某些含參變量的積分問題。積分第一中值定理內(nèi)容01若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，$g(x)$在$[a,b]$上單調(diào)，則存在$xiin[a,b]$，使得$int_{a}^f(x)g(x)dx=g(a)int_{a}^{xi}f(x)dx+g(b)int_{xi}^f(x)dx$。幾何意義02該定理表明，在閉區(qū)間$[a,b]$上，連續(xù)函數(shù)$f(x)$與單調(diào)函數(shù)$g(x)$的乘積的積分值，可以表示為$g(x)$在端點(diǎn)處的函數(shù)值與$f(x)$在$[a,b]$上某兩個(gè)子區(qū)間的積分值的線性組合。應(yīng)用03該定理可用于證明某些積分等式或不等式，以及求解某些含參變量的積分問題。積分第二中值定理內(nèi)容若函數(shù)$F(x)$是$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的一個(gè)原函數(shù)，則$int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$。幾何意義該公式表明，定積分$int_{a}^f(x)dx$的值等于原函數(shù)$F(x)$在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值之差。應(yīng)用該公式是計(jì)算定積分的基本方法，可用于求解各種實(shí)際問題和理論問題中的定積分。同時(shí)，它也是微積分基本定理的重要組成部分，為微積分學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。牛頓-萊布尼茲公式05微分方程初步知識(shí)一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一階線性微分方程的通解公式利用通解公式求解一階線性微分方程的步驟一階線性微分方程解法可降階高階微分方程的兩種類型y''=f(x,y')型微分方程的解法y''=f(y,y')型微分方程的解法可降階高階微分方程解法

二階常系數(shù)線性微分方程解法二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解公式二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式及通解公式06無窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介與性質(zhì)分析比較判別法、比值判別法、根值判別法正項(xiàng)級(jí)