彈性力學(xué)-TXLX8-空間問題

第八章空間問題1空間問題第八章空間問題§8-4空間球?qū)ΨQ問題§8-3空間軸對(duì)稱問題§8-2直角坐標(biāo)下的基本方程§8-1概述12本章首先給出空間問題直角坐標(biāo)下的平衡方程、幾何方程和物理方程。針對(duì)空間問題的解析解一般只能在特殊邊界條件下才可以得到，我們著重討論空間軸對(duì)稱問題和空間球?qū)ΨQ問題?！?-1概述球?qū)ΨQ問題軸對(duì)稱問題空間問題xzyxzyP23§8-2直角坐標(biāo)下的基本方程空間問題一平衡微分方程在物體內(nèi)任意一點(diǎn)P，取圖示微小平行六面體。微小平行六面體各面上的應(yīng)力分量如圖所示。若以連接六面體前后兩面中心的直線為ab，則由得化簡并略去高階微量，得34空間問題同理可得這只是又一次證明了剪應(yīng)力的互等關(guān)系。由

立出方程，經(jīng)約簡后得這就是空間直角坐標(biāo)下的平衡微分方程。二幾何方程在空間問題中，形變分量與位移分量應(yīng)當(dāng)滿足下列6個(gè)幾何方程其中的第一式、第二式和第六式已在平面問題中導(dǎo)出，其余三式可用相同的方法導(dǎo)出。45空間問題三物理方程對(duì)于各向同性體，形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系如下：這就是空間問題的物理方程。將應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示，物理方程又可表示為：其中：56空間問題四相容方程6將幾何方程第二式左邊對(duì)z的二階導(dǎo)數(shù)與第三式左邊對(duì)y的二階導(dǎo)數(shù)相加，得將幾何方程第四式代入，得（a）同理（b）7空間問題7將幾何方程中的后三式分別對(duì)x、y、z求導(dǎo)，得并由此而得8空間問題8同理（d）方程(a)、(b)、(c)、(d)稱為變形協(xié)調(diào)條件，也稱相容方程。將物理方程代入上述相容方程，并利用平衡微分方程簡化后，得用應(yīng)力分量表示的相容方程：即（c）9空間問題9稱其為密切爾相容方程。10空間問題在空間問題中，若彈性體的幾何形狀、約束情況以及所受的外來因素，都對(duì)稱于某一軸（通過這個(gè)軸的任一平面都是對(duì)稱面），則所有的應(yīng)力、形變和位移也對(duì)稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對(duì)稱問題。根據(jù)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，應(yīng)采用圓柱坐標(biāo)表示。若取對(duì)稱軸為z軸，則軸對(duì)稱問題的應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都將只是r和z的函數(shù)，而與坐標(biāo)無關(guān)。軸對(duì)稱問題的彈性體的形狀一般為圓柱體或半空間體?！?-3空間軸對(duì)稱問題1011空間問題一平衡微分方程取圖示微元體。由于軸對(duì)稱，在微元體的兩個(gè)圓柱面上，只有正應(yīng)力和的軸向剪應(yīng)力；在兩個(gè)水平面上只有正應(yīng)力和徑向剪應(yīng)力；在兩個(gè)垂直面上只有環(huán)向正應(yīng)力，圖示。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，微元體的正面相對(duì)負(fù)面其應(yīng)力分量都有微小增量。注意：此時(shí)環(huán)向正應(yīng)力的增量為零。由徑向和軸向平衡，并利用，經(jīng)約簡并略去高階微量，得：1112空間問題這就是軸對(duì)稱問題的柱坐標(biāo)平衡微分方程。二幾何方程通過與平面問題及極坐標(biāo)中同樣的分析，可見，由徑向位移引起的形變分量為：由軸向位移引起的形變分量為：由疊加原理，即得空間軸對(duì)稱問題的幾何方程：1213空間問題三物理方程由于圓柱坐標(biāo)，是和直角坐標(biāo)一樣的正交坐標(biāo)，所以可直接根據(jù)虎克定律得物理方程：應(yīng)力分量用形變分量表示的物理方程：其中：1314空間問題四軸對(duì)稱問題的求解將幾何方程代入應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的物理方程，得彈性方程：其中：再將彈性方程代入平衡微分方程，并記：得到這就是按位移求解空間軸對(duì)稱問題所需要的基本微分方程。顯然，上述基本微分方程中的位移分量是坐標(biāo)r、z的函數(shù)，不可能直接求解，為此介紹下列方法：1415空間問題五位移勢(shì)函數(shù)為簡單起見，不計(jì)體力。位移分量的基本微分方程簡化為：現(xiàn)在假設(shè)位移是有勢(shì)的，把位移分量用位移勢(shì)函數(shù)表示為：從而有代入不計(jì)體力的基本微分方程，得即1516空間問題取，則。即為調(diào)和函數(shù)，由位移勢(shì)函數(shù)求應(yīng)力分量的表達(dá)式為：這樣，對(duì)于一個(gè)軸對(duì)稱問題，如果找到適當(dāng)?shù)恼{(diào)和函數(shù)，使得由此給出的位移分量和應(yīng)力分量能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。為求解軸對(duì)稱問題，拉甫引用一個(gè)位移函數(shù)注：并不是所有問題中的位移函數(shù)都是有勢(shì)的。若位移勢(shì)函數(shù)有勢(shì)，則體積應(yīng)變。六拉甫位移函數(shù)令其中1617空間問題將上式代入不計(jì)體力位移分量基本微分方程，可見：即是重調(diào)和函數(shù)，稱為拉甫位移函數(shù)。由拉甫位移函數(shù)求應(yīng)力分量的表達(dá)式為：可見，對(duì)于一個(gè)軸對(duì)稱問題，只須找到恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和的拉甫位移函數(shù)，使得該位移函數(shù)給出的位移分量和應(yīng)力分量能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。1718空間問題七舉例：半空間體在邊界上受法向集中力設(shè)有半空間體，體力不計(jì)，在其邊界上受有法向集中力，如圖所示。試求其應(yīng)力與位移。解：取坐標(biāo)系如圖。通過量綱分析，拉甫位移函數(shù)應(yīng)是F乘以R、z、ρ等長度坐標(biāo)的正一次冪，試算后，設(shè)位移函數(shù)為根據(jù)位移分量和應(yīng)力分量與位移函數(shù)的關(guān)系：xzyPRz1819空間問題可以求得位移分量和應(yīng)力分量1920空間問題邊界條件是(a)(b)根據(jù)圣維南原理，有(c)邊界條件(a)是滿足的。由邊界條件(b)得(d)由條件(c)得(e)由(d)及(e)二式的聯(lián)立求解，得2021空間問題將得出的A1及A2回代，得2122空間問題在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況以及所受的外來因素，都對(duì)稱于某一點(diǎn)（通過這一點(diǎn)的任意平面都是對(duì)稱面），則所有的應(yīng)力、形變和位移也對(duì)稱于這一點(diǎn)。這種問題稱為空間球?qū)ΨQ問題。根據(jù)球?qū)ΨQ的特點(diǎn)，應(yīng)采用球坐標(biāo)表示。若以彈性體的對(duì)稱點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則球?qū)ΨQ問題的應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都將只是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)，而與其余兩個(gè)坐標(biāo)無關(guān)。顯然，球?qū)ΨQ問題只可能發(fā)生于空心或?qū)嵭牡膱A球體中?！?-4空間球?qū)ΨQ問題2223空間問題一平衡微分方程取微元體。用相距的兩個(gè)圓球面和兩兩互成角的兩對(duì)徑向平面，從彈性體割取一個(gè)微小六面體。由于球?qū)ΨQ，各面上只有正應(yīng)力，其應(yīng)力情況如圖所示。由于對(duì)稱性，微元體只有徑向體積力。由徑向平衡，并考慮到，再略去高階微量，即得球?qū)ΨQ問題的平衡微分方程：2324空間問題二幾何方程由于對(duì)稱，只可能發(fā)生徑向位移；又由于對(duì)稱，只可能發(fā)生徑向正應(yīng)變及切向正應(yīng)變，不可能發(fā)生坐標(biāo)方向的剪應(yīng)變。球?qū)ΨQ問題的幾何方程為：三物理方程球?qū)ΨQ問題的物理方程可直接根據(jù)虎克定律得來：將應(yīng)力用應(yīng)變表示為：2425空間問題25四位移法求解的基本微分方程將幾何方程代入物理方程，得彈性方程再代入平衡微分方程，得這就是按位移求解球?qū)ΨQ問題時(shí)所需要用的基本微分方程。26空間問題五舉例：空心圓球受均布?jí)毫?/p>

設(shè)有空心圓球，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，內(nèi)壓為qa，外壓為qb，體力不計(jì)，試求其應(yīng)力及位移。其解為得應(yīng)力分量解：由于體力不計(jì)，球?qū)ΨQ問題的微分方程簡化為xzy2627空間問題將邊界條件代入上式解得于是得問題的徑向位移應(yīng)力表達(dá)式2728空間問題習(xí)題8.1

設(shè)有任意形狀的等截面桿，密度為上端懸掛。下端自由，如圖所示。試證明應(yīng)力分量能滿足所有一切條件。zy解：已知應(yīng)力分量為體力分量為2829空間問題一·檢驗(yàn)平衡微分方程顯然滿足。二.檢驗(yàn)相容性因?yàn)轶w力為常量，相容方程為：2930空間問題將應(yīng)力分量代入，顯然均能滿足。三.檢驗(yàn)邊界條件下端面：代入邊界條件3031空間問題均滿足。左、右側(cè)面：前、后側(cè)面：代入(a)式顯然滿足。綜上所述，所給應(yīng)力分量滿足平衡方程、相容方程及外力邊界條件。3132空間問題習(xí)題8.2

試用Love應(yīng)力函數(shù)求解圓柱桿