第五章(第五節(jié),第五章習題課)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁定理1設隨機變量的二階矩存在，則成立不等式。（此不等式稱為Cauchy-Schwarz不等式.）證實對隨意實數(shù),恒有,當時，取，代入上式，則有；,即得；（或直接由判別式，得，即得,于是。）當時，因為對隨意實數(shù),恒有，從而必有，于是天然有，綜上所述結論得證。由此結果，即得成立不等式。定理2設隨機變量的二階矩存在，則成立不等式；。證實因為，所以，成立。相關系數(shù)的性質:定理設隨機變量的二階矩存在，則有。證實對隨意實數(shù),恒有,當時，取，則有；,即得,；當時，對隨意實數(shù),恒有，必有，天然有，綜上所述，結論得證。定理設隨機變量的二階矩存在，且對相關系數(shù),則有（1）成立;（2）的充要條件是,其中是常數(shù).證實對隨意實數(shù),恒有,因為，取，代入則有；,即得,；故;在中，令,則有,從而有,令，,其中是常數(shù).若，則有，，，，此時與相關.所以有些書上把作為與不相關的定義是不妥的.例設為隨意事件,則成立證實若或或或,則不等式顯然成立;不妨設,,定義隨機變量;,則有,,,,,,由,得成立.事件與互相自立充足須要條件是隨機變量和不相關.矩、協(xié)方差矩陣矩的概念矩是一些數(shù)字特征的泛稱或總稱.在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中,矩占有重要的地位.前面研究的數(shù)學期待、方差、協(xié)方差等數(shù)字特征都是某種矩.在理論和實際中,這些數(shù)字特征還不夠用,還需要更多的其它矩.定義9設和是隨機變量,對正整數(shù)，若存在,稱它為的階原點矩;若存在,稱它為的階中央矩.顯然,的數(shù)學期待就是一階原點矩,方差就是二階中央矩.此外,還可以定義階原點混合矩,階中央混合矩,階原點絕對矩,階中央絕對矩,等等.我們知道，物理學中有轉動矩的概念和計算公式。在計算，中用多項式逼近，天然產生計算單項式，的情形；在隨機變量的特征函數(shù)的泰勒展開式中，也將浮上需要計算，的情形。例設,求,為正整數(shù)。解由，知；的概率密度為,,，此積分對隨意正整數(shù)收斂，當為奇數(shù)時，被積函數(shù)為奇函數(shù)，此時；當為偶數(shù)時，，于是，（為偶數(shù)）。異常地，，。定理設，則，，，，。例設互相自立，且都順從，求隨機變量的數(shù)學期待和方差。解由條件知，；故，。設隨機變量,求。解的概率密度為,,。二.協(xié)方差矩陣定義對于維隨機向量，若存在，矩陣稱為維隨機向量的協(xié)方差矩陣.顯然,協(xié)方差矩陣是一個對稱矩陣.利用協(xié)方差矩陣,我們可以把二維正態(tài)隨機變量的概率密度改寫成較容易的形式,從而很容易地把它推廣到維正態(tài)隨機向量的情形.二維正態(tài)隨機變量的概率密度為,若令,,的協(xié)方差矩陣為,它的行列式,的逆矩陣為;則有;,于是的概率密度可寫成由次推廣得到維正態(tài)隨機變量的定義。設是維隨機變量,倘若其概率密度為其中,,是對稱正定矩陣。則稱是維正態(tài)隨機變量，或稱順從維正態(tài)分布?？梢宰C實是的協(xié)方差矩陣.維正態(tài)分布在多元統(tǒng)計分析和隨機過程中要用到。第五章習題課例1設,則(1),;,;(2);(3)順從正態(tài)分布,(為常數(shù),且不全為0),;(4)與自立 與不相關.例2設隨機變量與互相自立同順從正態(tài)分布,求(1)的概率密度;(2)的概率密度;(3);(4),.解依題設條件,知, 與互相自立,從而有,;(1) 順從正態(tài)分布,,,得, 的概率密度,;(2),當時,;當時,, 的概率密度 ;(3);或;或(作坐標變換,);(4)注重到,,,.例3某項實驗,勝利的概率為,失敗的概率為,自立重復該項實驗直至第2次勝利為止.設為所舉行的實驗次數(shù),試求:(1)隨機變量的分布律;(2)計算取偶數(shù)的概率;(3)解(1)設“實驗次數(shù)”,依題意 實驗舉行了次,第次實驗勝利,在前次實驗中恰好勝利一次, 隨機變量的分布律為,;(2)設“恰舉行了偶數(shù)次實驗”,.這里用到了如下公式,.(3);這里用到了如下公式,例4、有5個自立的電子裝置,它們的壽命順從同一指數(shù)分布,其分布函數(shù)為:(1)將5個電子裝置串聯(lián)組成整機,求整機壽命的數(shù)學期待.將5個電子裝置并聯(lián)組成整機,求整機壽命的數(shù)學期待.解(1)按照題意,自立同分布，的分布函數(shù)為，的概率密度為，，（2）按照題意,自立同分布，的分布函數(shù)為，的概率密度為.例5將一顆勻稱的骰子重復投擲次,記為浮上點數(shù)小于3的次數(shù),為浮上點數(shù)大于2的次數(shù),求與的相關系數(shù).解按照題意知,從而,,,于是.例6.將4個有區(qū)別的球隨機放入編號為的4個盒內,設為盒內球的最多個數(shù),求隨機變量的分布律,并求.解依題意恰好每盒中各有一個球,;恰有一盒中各有兩個球,其它兩盒中各有一球+恰有兩盒中各有兩個球,,(將4個球平均分成兩組,考慮到對稱性,不同的分組數(shù)是;而不是);恰有一盒中有3個球,其它一盒中有一個球,;,即隨機