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文檔簡介
第5章
復(fù)頻域分析法5.1復(fù)頻域分析法及其特點5.2連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.3離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.4MATLAB在復(fù)頻域分析中的應(yīng)用5.1復(fù)頻域分析法及其特點5.1.1什么是復(fù)頻域分析法5.1.2復(fù)頻域分析法的主要特點5.1.1什么是復(fù)頻域分析法
頻域分析法揭示了信號的頻譜特性和系統(tǒng)的頻域特性,但頻域分析法有兩個局限性:一是某些信號的傅立葉變換不存在,給信號與系統(tǒng)的分析帶來了很大的不便;另一個是只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。
復(fù)頻域分析法則是能夠有效克服頻域分析法局限性:不僅能夠避免出現(xiàn)信號分析的死區(qū),全面解決信號的復(fù)頻域分析問題;而且能夠求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)問題,即可以求解系統(tǒng)的完全響應(yīng),使信號與系統(tǒng)的分析更為完整、簡潔。5.1.2復(fù)頻域分析法的主要特點
在連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析中,復(fù)頻域分析法的主要特點是在頻域分析法的基礎(chǔ)上引入衰減因子
,使傅立葉正變換中的變成
;使原來頻域分析中的基本虛指數(shù)信號
擴展為復(fù)頻域分析中的基本復(fù)指數(shù)信號
,其中
即為復(fù)頻率;同時也使傅立葉變換成為了拉普拉斯變換。
z變換法通過變量置換,將線性離散系統(tǒng)頻域分析中的基本頻域信號擴展為基本復(fù)頻域信號,系統(tǒng)在序列作用下的輸出響應(yīng)則為基本復(fù)頻域信號的輸出響應(yīng)之和。
通過z變換,可以把把離散時間系統(tǒng)的差分方程變成z域的代數(shù)方程,把離散時間信號的卷積運算變成代數(shù)運算;不僅能夠求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),而且能夠求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與完全響應(yīng),使離散時間系統(tǒng)的分析更加全面、簡便。
5.2連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析
5.2.1拉普拉斯變換5.2.2
用拉普拉斯變換法求解微分方程5.2.3R
LC電路的復(fù)頻域分析5.2.4閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡5.2.5
利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能
5.2.1拉普拉斯變換
1.從傅立葉變換到拉普拉斯變換用表示信號的傅立葉變換,由傅里葉變換的定義,則有:令,則有:
(5.2-2)
式(5.2-2)即為信號f
(t)
的雙邊拉普拉斯變換,記為
=
同樣,根據(jù)傅里葉逆變換的定義,則有:
(5.2-5)式(5.2-5)稱為F(s)的拉普拉斯逆變換,記為 2.單邊拉普拉斯變換 信號
的單邊拉氏變換及其反變換分別為
(5.2-6)
(5.2-7)
式(5.2-6)稱為的單邊拉氏變換,記為式(5.2-7)稱為的單邊拉氏反變換,記為-1
其中F(s)為f(t)的象函數(shù),f(t)則為F(s)的原函數(shù)。
-1
3.常用信號的單邊拉普拉斯變換對1)沖激信號,
即:,2)階躍信號,
即:,3)斜坡信號
即:4)單邊指數(shù)信號
即:,5)正弦信號
即:
類似有:
4.單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)單邊拉氏變換的性質(zhì)反映了不同形式的信號與其單邊拉氏變換的對應(yīng)規(guī)律。利用這些性質(zhì)并結(jié)合常用信號的單邊拉氏變換對,能夠較快地求解單邊拉氏變換和逆變換的問題。熟記單邊拉氏變換的性質(zhì)和常用信號的單邊拉氏變換對,并有效掌握傅里葉變換和拉斯變換的內(nèi)在關(guān)系,對信號與系統(tǒng)的頻率特性分析以及LTI系統(tǒng)的時域全響應(yīng)的求解具有重要的價值。1)線性性質(zhì)若,則,2)時移性質(zhì)若因果信號:,則有
注意,必須是因果信號,且
時,上述性質(zhì)才成立,此時3)
復(fù)頻移性質(zhì)若,則
式中,為復(fù)常數(shù),關(guān)于收斂域的說明:因為
的收斂域為Re[s]>,所以
的收斂域也為,即
。
。6)時域微分性質(zhì)
若,則有
時域微分性質(zhì)中包含了信號的初始狀態(tài),因此在求解系統(tǒng)的微分方程時,不僅能求解零狀態(tài)響應(yīng),而且還能求解零輸入響應(yīng),所以單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)非常重要。若為因果信號,則有微分性質(zhì)可簡化為
即:原函數(shù)求導(dǎo)一次,其象函數(shù)乘上一個s。此時,時域4)尺度變換性質(zhì)
若,則,式中
為大于0的常數(shù)。5)時域卷積
若,且
,則7)時域積分性質(zhì)對于因果信號,若
表示對從到
的
而對于非因果信號
則有時域微分性質(zhì)和時域積分性質(zhì),主要應(yīng)用于復(fù)頻域分析中線性連續(xù)系統(tǒng)的微﹑積分運算以及系統(tǒng)微分方程的求解。式中:重積分。,則有8)復(fù)頻域微分
若
,則有9)復(fù)頻域積分若,則有10)
初值和終值定理初值定理:若中不包含沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù),并且,則。在時的極限存在,并且
,,只在[s]右半平面及虛軸上解析的終值為
。的初值為終值定理:若(原點除外),則表5.2-1單邊拉氏變換的性質(zhì)
5.單邊拉普拉斯逆變換
求單邊拉氏變換的逆變換是復(fù)頻域分析法的基本問題。
在實際問題中,單邊拉氏逆變換的求解方法主要有查表法,部分分式展開法及反演積分法(留數(shù)定理)等三種,其中部分分式展開法是最常用的方法,是學(xué)習(xí)的重點。
因為F(s)一般可化為s的有理分式,將F(s)展開為比較簡單的部分分式之和,然后利用常用信號的單邊拉氏變換對與單邊拉氏變換的性質(zhì),就可以十分方便地由F(s)求取f(t)。
下面主要介紹求解單邊拉氏逆變換的部分分式展開法。
一般,
F(s)可表示為
式中a
i,b
i均為實數(shù)且an=1。
若F(s)為假分式,則必須用多項式除法將F(s)分解為有理多項式(商)與有理真分式(余式)之和,即有理真分式的逆變換直接對應(yīng)于沖激函數(shù)階導(dǎo)數(shù)之和
其中,商及其多
;
而多項式除法的余式即
則可展開為部分分式之和后再求逆變換。
要把展開為部分分式,必須首先求的根(n個)。
可能是單根,也可能是重根;可能是實根,也可能是復(fù)根。
展開為部分分式和的具體形式完全取決于的實際性質(zhì)。例5.2-5
已知
,求
解:由題
,其中
所以
,利用
為所求??傻美?.2-6
已知,求
解:由題
有二重極點
和單極點
,所以
,其中
而
所以
即
為所求。的展開式為5.2.2
用拉普拉斯變換法求解微分方程
由于LTI連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用線性常系數(shù)微分方程來描述,而單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)是考慮了系統(tǒng)的初始狀態(tài)的,因此系統(tǒng)微分方程的單邊拉氏變換不僅使系統(tǒng)微分方程變?yōu)閺?fù)頻域代數(shù)方程,使求解變得簡單易行;而且引入了系統(tǒng)的初始狀態(tài),既可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),又可以求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和完全響應(yīng)。
用拉氏變換法求
的具體過程如圖5.2-1所示。
設(shè)
階LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為
(5.2-49)
圖5.2-1
用拉氏變換法求式中,
為的次導(dǎo)數(shù);為的次導(dǎo)數(shù)。若,
為實常數(shù),則階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為
(5.2-50)
式(5.2-50)給出了系統(tǒng)微分方程與系統(tǒng)函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)這個關(guān)系,可由系統(tǒng)微分方程得到系統(tǒng)函數(shù)G(s),同樣也可由系統(tǒng)函數(shù)得到系統(tǒng)的微分方程。由于LTI連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的n個初始狀態(tài)
是在初始時刻
之前的系統(tǒng)狀態(tài),因而容易確定,這樣就避開了時域分析中復(fù)雜的初值問題。
2.系統(tǒng)微分方程的s域求解舉例例5.2-11若LTI連續(xù)系統(tǒng)為
,而且
,,。試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、
零狀態(tài)響應(yīng)
、完全響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)
和單位沖激響應(yīng)
。解:由題
、
,用時域微分性質(zhì)對系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換,有代入初值,整理得有
與所以;而所以因此且有
為所求。
5.2.3
R
LC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析
用線性常系數(shù)微分方程描述輸入、輸出關(guān)系的RLC系統(tǒng),可以利用單邊拉氏變換的性質(zhì),將RLC系統(tǒng)用復(fù)頻域模型來表示,大大簡化系統(tǒng)分析與計算。
1.KCL、KVL的s
域形式
對KCL和KVL的時域形式與分別取單邊拉氏變換,則有KCL和KVL的S域形式如下
(5.2-51)
式(5.2-51)表明:流入集總電路任一節(jié)點的電流的象函數(shù)的代數(shù)和為零;而沿集總電路中任一回路的各支路電壓的象函數(shù)的代數(shù)和也為零。
2.R
LC元件的S域模型1)零狀態(tài)下R
LC元件的S域模型
圖5.2-2零狀態(tài)下RLC
元件的s
域模型2)非零狀態(tài)下
LC元件的S域模型圖5.2-4
非零狀態(tài)下
LC元件的s域并聯(lián)模型圖5.2-3
非零狀態(tài)下LC元件的s域串聯(lián)模型圖5.2-5
例5.2-14電路例5.2-14
圖5.2-5電路中,R
=
2Ω,L
=
1H,C
=
1F,輸入,輸出①求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng);②確定初始狀態(tài)。,試圖5.2-6例5.2-14的兩種S域模型
解:①由題,輸入
,有
,且
,電路的S域模型如圖5.2-6a.所示。
圖5.2-6a.中
及
有即為所求??僧嬂芒诋?dāng)時,,要
,即則電路的S域模型如圖5.2-6b.所示。由圖5.2-6b.有代
入上式可得
當(dāng)
時,有
為所求。又5.2.4
閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡
所謂根軌跡法,是一種確定閉環(huán)特征根的圖解法;根軌跡法以開環(huán)零、極點為出發(fā)點,探求系統(tǒng)某些參數(shù)(如開環(huán)增益K)變化時,閉環(huán)極點在S平面上變化的根軌跡。閉環(huán)根軌跡隨系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化的圖形揭示了開環(huán)零、極點的位置與閉環(huán)系統(tǒng)性能之間的密切聯(lián)系,不僅可以給出閉環(huán)系統(tǒng)時間響應(yīng)的信息,而且可以給出閉環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)的信息。
1.根軌跡的概念與根軌跡方程
1)根軌跡
當(dāng)系統(tǒng)某個參數(shù)(如開環(huán)增益K)由零到無窮大變化時,閉環(huán)特征根在S平面上移動的軌跡,即系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡,簡稱根軌跡。
圖5.2-7所示二階系統(tǒng)中,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,式中K為開環(huán)增益,為兩個開環(huán)極點,沒有開環(huán)零點。
系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)
閉環(huán)特征方程
,
閉環(huán)特征根(閉環(huán)極點)
系統(tǒng)的根軌跡如圖5.2-8所示。
圖5.2-7某二階系統(tǒng)圖5.2-8圖5.2-7系統(tǒng)的根軌跡
穩(wěn)定性:當(dāng)開環(huán)增益K由零變化到無窮大時,根軌跡始終在S平面的左半部——此系統(tǒng)對所有K>0都是穩(wěn)定的。
動態(tài)性能:①當(dāng)0<K<0.5時,閉環(huán)特征根都是負(fù)實根,系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài),階躍響應(yīng)為非周期過程。
②當(dāng)K=0.5時,系統(tǒng)有兩個相同負(fù)實根(二重極點),呈臨界阻尼狀態(tài),階躍響應(yīng)仍為非周期過程。
③當(dāng)K>0.5時,閉環(huán)特征根為負(fù)實部共軛復(fù)根,系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài),階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程,而且超調(diào)量隨K值的增大而增大,但調(diào)節(jié)時間的變化不明顯。
穩(wěn)態(tài)誤差:開環(huán)傳遞函數(shù)有個位于坐標(biāo)原點的極點,即系統(tǒng)開環(huán)有一個積分環(huán)節(jié),為I型系統(tǒng),能使階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess=0;使斜坡作用下的靜態(tài)速度誤差系數(shù)(即根
軌跡上的對應(yīng)K值),此時穩(wěn)態(tài)誤差為。
2)根軌跡方程
圖5.2-9所示的控制系統(tǒng),其閉環(huán)傳遞函數(shù)為
其閉環(huán)特征方程為
有(5.2-56)
假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點、n個極點,則
(5.2-57)
式(5.2-57)中,zi為開環(huán)零點,pi為開環(huán)極點,K
*則為根軌跡增益,與開環(huán)增益K的關(guān)系為
或。圖5.2-9一般控制系統(tǒng)
根軌跡的幅值方程為
(5.2-58)
根軌跡的相角方程為
(5.2-59)
相角方程是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。幅值方程則主要是用來確定真正根軌跡上的si點所對應(yīng)的根軌跡增益K*或開環(huán)增益K值。
2.繪制根軌跡的基本法則及根軌跡的繪制1)繪制根軌跡的基本法則
法則一:n
條根軌跡
法則二:根軌跡對稱于實軸
法則三:根軌跡的起始點與終止點:始于開環(huán)極點,止于
開環(huán)零點(
條根軌跡止于無窮遠)
法則四:實軸上的根軌跡區(qū)段(右側(cè)奇數(shù)個零點、極點)
法則五:根軌跡的漸近線法則六:根軌跡的分離點與分離角
法則七:根軌跡的起始角與終止角(出射角與入射角)
法則八:根軌跡與虛軸的交點由法則九:閉環(huán)極點之和(根之和)
應(yīng)用根之和法則時,一定要滿足
的條件??山獬鱿到y(tǒng)臨界穩(wěn)定的
K
值與ω
值。2)根軌跡的繪制
例5.2-21
若單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試?yán)L制其閉環(huán)根軌跡。
解:由題
p1=0,p2=-2,z1=-3,即n=2,m=1,n–m=1,可知系統(tǒng)只有2條根軌跡,實軸上根軌跡為[-2,0]與(-∞,-2]區(qū)段,標(biāo)出根軌跡方向如圖5.2-15所示;分離點的坐標(biāo)由坐標(biāo)方程確定,有
解得圖5.2-15例5.2-21的根軌跡可證:凡有兩個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點的系統(tǒng),其閉環(huán)根軌跡必有圓或圓??;圓心為(z,0),半徑為
。
,試概略繪制其閉環(huán)根軌跡。圖5.2-16例5.2-22的根軌跡可知此系統(tǒng)有3條根軌跡,實軸上的根軌跡為[-1
,0
]
與(-∞
,-2
]
區(qū)段,標(biāo)出根軌跡方向后如圖5.2-16
所示;在例5.2-15中,已確定了此根軌跡的漸近線;在例5.2-17中,則確定了此根軌跡與虛軸的交點;
下面還需確定分離點及分離角。視開環(huán)零點在,無開環(huán)零點,即n=3,m=0,n–m=3,例5.2-22
若單反饋系統(tǒng)的開環(huán)
解:由題
遠處,對分離點d
,有即
,解得
,
,
不在根軌跡上,故取
分離角則為
至此,可完成此系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡如圖5.2-16所示。由于
3.廣義根軌跡
1)參數(shù)根軌跡
按照開環(huán)增益K或根軌跡增益K*的變化繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡,而按照其它參數(shù)(時間常數(shù)、反饋系數(shù)等)的變化繪制的根軌跡則稱為參數(shù)根軌跡。
繪制參數(shù)根軌跡時,需按系統(tǒng)特征方程構(gòu)造新系統(tǒng),使所選參量a替代原根軌跡增益K*的位置,將原特征方程寫成
(5.2-70)
例5.2-24
若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)
試?yán)L制以T為參變量的閉環(huán)根軌跡。解:由題,原系統(tǒng)特征方程為
考慮n>m的限制,應(yīng)將特征方程中不含T的項作為新系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子,而把含T的項作為新系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分母,即有??僧嫵鲎兓瘯r的參量根軌跡,如圖5.2-18所示。
2)多回路系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡繪制多回路系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡時,可以先求出多回路系統(tǒng)的總開環(huán)傳遞函數(shù),再根據(jù)特征方程得到式(5.2-70)的形式,最后繪制出多回路系統(tǒng)的根軌跡;也可以由內(nèi)而外逐層完成。圖5.2-18
例5.2-24系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡可求出新系統(tǒng)的兩個開環(huán)零點與三個開環(huán)極點分別為
改變圖5.2-18中箭頭的方向,即得到
5.2-18中的空心箭頭所示。
變化時的參量根軌跡,如圖
3)正反饋回路的根軌跡對于正反饋系統(tǒng),其閉環(huán)特征方程為(5.2-71)根軌跡方程為(5.2-72)
對應(yīng)幅值方程為(5.2-73)相角方程為(5.2-74)正反饋回路的根軌跡常被稱為0°根軌跡,而負(fù)反饋回路的根軌跡則稱為180°根軌跡。經(jīng)過修改后的有關(guān)法則變?yōu)榉▌t四:實軸上的根軌跡區(qū)段實軸上某區(qū)段存在根軌跡的條件是其右側(cè)開環(huán)零點與開環(huán)極點的數(shù)目之和為偶數(shù)。法則五:根軌跡的漸近線n–m
根軌跡趨向無窮遠處的漸近線與正實軸的夾角為(5.2-75)法則六:根軌跡的起始角與終止角起始角為(5.2-76)終止角為(5.2-77)而漸近線與實軸交點的計算公式則仍然不變。5.2.5
利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能
1.系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系 若n
階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點表達式為
,其中
為系統(tǒng)的閉環(huán)零點,
為系統(tǒng)的閉環(huán)極點。當(dāng)輸入
時,有
即
(5.2-78) 式中,
為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng);
為決定系統(tǒng)性能的瞬態(tài)響應(yīng), 而且
(5.2-79) 1)由式(5.2-78)與式(5.2-79)易知,只有所有的
,系統(tǒng)閉環(huán)才穩(wěn)定。 2)若
越大,即閉環(huán)極點離虛軸越遠,則瞬態(tài)響應(yīng)的衰減越快,系統(tǒng)的快速性越好。 3)若
在最佳阻尼線
上,則系統(tǒng)的阻尼最佳,平穩(wěn)性會越好。 4)若
越小,即閉環(huán)極點
與閉環(huán)零點
挨得越近,或者
越大,即不同的閉環(huán)極點之間相隔越遠,則
越小,越容易衰減。 由于閉環(huán)零點的個數(shù)一般總比閉環(huán)極點的個數(shù)要少,因此在設(shè)計系統(tǒng)時,要盡量使有限的閉環(huán)零點靠近那些離虛軸或原點比較近的閉環(huán)極點,以削弱甚至抵消這些閉環(huán)極點的壞作用,確保系統(tǒng)具有較好的平穩(wěn)性與快速性;同時
盡量拉開相鄰閉環(huán)極點之間的距離,使
更小,從而進一步提高系統(tǒng)的性能。
2.主導(dǎo)極點與偶極子的概念
主導(dǎo)極點:對系統(tǒng)的動態(tài)性能起著決定作用的極點即為主導(dǎo)極點。
離虛軸最近的閉環(huán)極點(復(fù)數(shù)極點或?qū)崝?shù)極點)能夠?qū)ο到y(tǒng)的動態(tài)性能產(chǎn)生主導(dǎo)作用,故成為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點;而離虛軸較遠的其它閉環(huán)極點,對系統(tǒng)的動態(tài)性能影響不大,往往允許忽略,這些次要極點離虛軸的距離一般比主導(dǎo)極點離虛軸的距離大5倍以上。有時甚至對于只比主導(dǎo)極點離虛軸的距離大2~3倍的次要極點亦可忽略不計。
偶極子:一對挨得很近的閉環(huán)零、極點即為偶極子。
可以認(rèn)為,偶極子中閉環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響,完全被偶極子中的閉環(huán)零點抵消了。例如,某單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為
有n=4,m=1
,且,,,;在分析其動態(tài)性能時,可認(rèn)為s3與z1構(gòu)成了偶極子,s4為允許忽略的次要極點,共軛極點則成為主導(dǎo)極點。因此,可將此四階閉環(huán)系統(tǒng)近似成閉環(huán)傳遞函數(shù)為的二階系統(tǒng),使系統(tǒng)的分析計算簡化。
3.利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能
系統(tǒng)的根軌跡分析主要包括:系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析;利用主導(dǎo)極點與偶極子的概念把高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng);定性分析參數(shù)變化對近似的一、二階系統(tǒng)的性能的影響,并定量估算系統(tǒng)的性能指標(biāo);或者按照系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求,確定主導(dǎo)極點及其對應(yīng)的K*值;必要時可以通過配置附加閉環(huán)零點產(chǎn)生新的偶極子,以確保系統(tǒng)性能指標(biāo)要求的實現(xiàn)。
1)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析
利用系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件,可以由系統(tǒng)根軌跡在[s]平面上的位置,直接進行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。
2)參數(shù)變化對系統(tǒng)性能影響的定性分析
系統(tǒng)的根軌跡繪制完成后,就可以通過根軌跡定性分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。一般存在單調(diào)衰減、單調(diào)發(fā)散、衰減振蕩、發(fā)散振蕩、等幅振蕩等情況;
①單調(diào)衰減
②單調(diào)發(fā)散
③衰減振蕩
④發(fā)散振蕩
⑤等幅振蕩
3)系統(tǒng)性能指標(biāo)的定量估算
利用主導(dǎo)極點與偶極子的概念把高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)后,不僅可以按近似的一、二階系統(tǒng)進行定性分析,而且可以直接按一、二階系統(tǒng)的有關(guān)公式進行調(diào)節(jié)時間、峰值時間與超調(diào)量的定量估算;如果把高階系統(tǒng)按三階系統(tǒng)近似并估算性能指標(biāo),則可以減少近似誤差。
4)附加閉環(huán)零點的配置
配置附加閉環(huán)零點的目的應(yīng)是針對閉環(huán)系統(tǒng)的壞極點——靠近虛軸或原點的閉環(huán)極點,使附加零點與之構(gòu)成偶極子,以削弱甚至完全抵消這種壞極點對系統(tǒng)動態(tài)性能的惡劣影響。
?要配置附加閉環(huán)零點而不是開環(huán)零點。
主導(dǎo)極點
離原點越遠,動態(tài)衰減越快,系統(tǒng)的快速性越好;閉環(huán)極點
為正實根,系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)將是單調(diào)發(fā)散的;根軌跡在[s]
左半平面內(nèi),
必共軛,瞬態(tài)響應(yīng)呈衰減振蕩;
在[s]右半平面有軌跡,
含正實部,響應(yīng)將呈發(fā)散振蕩;共軛,軌跡在虛軸時,
為共軛虛根,瞬態(tài)響應(yīng)將呈臨界等幅振蕩。
例5.2-28
試由例5.2-24的參量根軌跡,分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。
解:下面主要分析T
參數(shù)變化對該系統(tǒng)性能的影響。在構(gòu)造新系統(tǒng)前、后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可分別用圖5.2-27a.與圖5.2-27b.表示。圖5.2-27
構(gòu)造新系統(tǒng)前、后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由圖5.2-27可知,原系統(tǒng)并沒有開環(huán)零點與閉環(huán)零點,因此,構(gòu)造新系統(tǒng)后產(chǎn)生的兩個開環(huán)零點
對照圖5.2-18中新系統(tǒng)的參變量根軌跡,可知當(dāng)參變量T
>0且為有限值時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的;當(dāng)根軌跡與最佳阻尼線相交時,系統(tǒng)可等效為二階,具有較好的動態(tài)性能;而當(dāng)
T
增大到一定值后,由于原系統(tǒng)沒有閉環(huán)零點,因此無法產(chǎn)生偶極子,所以靠近
(即原點)的閉環(huán)極點將成為主導(dǎo)極點,系統(tǒng)動態(tài)性能將很差??隙ú皇窃到y(tǒng)的閉環(huán)零點。圖5.2-27a.中,T是慣性時間常數(shù),如果太大,系統(tǒng)動態(tài)性能肯定很差。5)根軌跡分析的試探法
首先由相方程試探并確認(rèn)所期望的閉環(huán)極點是否在真正的根軌
跡上。只有完全滿足相方程的點才在真正的根軌跡上。
接著就可以應(yīng)用模方程進一步確定這些滿足相方程的點所對應(yīng)
的根軌跡增益K*或開環(huán)增益K的值。圖5.2-28
例5.2-29的根軌跡例5.2-29若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)
如圖5.2-28
,其所示,試確定滿足阻尼比
時的
K*
值。根軌跡解:利用在圖5.2-28中畫出
跡相交,
阻尼線與根軌得到交點;連接
與三個的向量連線,并測量各角;若滿足開環(huán)極點向量的相則可進一步測量與三個開環(huán)極點
的距離,代入模方程,則有即
由測量值
,,
可得
為主導(dǎo)極點,負(fù)實極點系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng);而且近似二階系統(tǒng)的阻尼比
,則要沿著期望的而且,根據(jù)K*=
64.7時
的測量值
、
及
,可確定近似二階系統(tǒng)的
值,由
即可求出對應(yīng)的超調(diào)量
與調(diào)節(jié)時間
。。即:K*=64.7時,共軛極點為次要極點,原三階。如果各向量的相角不滿足阻尼線,試探、調(diào)整的位置,直至滿足或基本滿足相方程為止。差為另外,本系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng),當(dāng)K*=64.7時,系統(tǒng)在跟蹤斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤5.3離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.3.1Z變換5.3.2用Z變換解差分方程5.3.3信號的采樣與恢復(fù)5.3.4
離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)5.3.5離散系統(tǒng)的表示和模擬5.3.6離散系統(tǒng)的性能分析5.3.1Z變換
1.從拉普拉斯變換到Z變換
對連續(xù)信號f
(t)進行理想抽樣得到抽樣信號:
對抽樣信號fs(t)取雙邊拉普拉斯變換,有考慮T=1時,常用f(k)
表示f(kT),則上式可為
(5.3-3)
式(5.3-3)稱為f(k)
的雙邊Z變換。復(fù)變量z和s的關(guān)系則為
,由復(fù)變函數(shù)有F(z)的雙邊Z逆變換
(5.3-5)
2.雙邊Z變換的定義和收斂域(選學(xué))1)雙邊Z變換的定義對于離散序列
f(k)
(k=0,±1,±2,…),z的冪級數(shù)函數(shù)
(5.3-6)即為
f(k)
的雙邊Z變換,記為F(z)=Z[
f(k)],F(xiàn)(z)稱為的象函數(shù),
f(k)
稱為F(z)的原函數(shù)。
2)雙邊Z變換的收斂域
F(z)存在或級數(shù)收斂的充分條件是
(5.3-7)在[Z]平面上,能使式(5.3-6)級數(shù)收斂的z的取值區(qū)域即為F(z)的收斂域。3)
雙邊Z變換收斂域的特點
①有限長雙邊序列的雙邊Z變換的收斂域一般為0<|z|<∞;
有限長因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|>0;
有限長反因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|<∞;
單位序列δ(k)的雙邊Z變換的收斂域為整個[Z]復(fù)平面。
②無限長因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|>|z0|(z0為復(fù)數(shù)、虛數(shù)或?qū)崝?shù)),即收斂域為半徑為z0的圓外區(qū)域。
③無限長反因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|<|z0|,即以|z0|為半徑的圓內(nèi)區(qū)域。
④無限長雙邊序列雙邊Z變換的收斂域為|z1|<|z|<|z2|,即收斂域位于以|z1|和|z2|為半徑的兩個圓之間的環(huán)狀區(qū)域。
⑤不同序列的雙邊Z變換可能相同,即序列與其雙邊Z變換并非一一對應(yīng),只有將序列的雙邊Z變換與收斂域連同一起,才與序列一一對應(yīng)的。
圖5.3-1收斂域3.常用序列的雙邊Z變換
5.3-14.雙邊Z變換的性質(zhì)表5.3-2z變換的性質(zhì)
5.z域逆變換雙邊Z逆變換的計算有冪級數(shù)展開法、部分分式法、反演積分法(留數(shù)法)等方法。需要指出:因為雙邊Z變換是連同收斂域一起與原函數(shù)一一對應(yīng)的,所以求雙邊Z逆變換時,要特別注意收斂域的問題。
①冪級數(shù)展開法(長除法):考慮Z變換的定義中,F(xiàn)(z)為冪級數(shù),f(k)的值則是冪級數(shù)的系數(shù);因此可把F(z)展開為冪級數(shù),然后由冪級數(shù)的各項系數(shù)求得逆變換f(k)。
②部分分式法:一般F(z)為有理分式時,可以把F(z)展開為部分分式,同時結(jié)合常用的Z變換對來求逆變換;或者通過常用Z變換表,用查表法求Z逆變換。
例5.3-1若
,試求原函數(shù)
f(k)。
解:由題,F(xiàn)(z)的收斂域為|z|<1,可知原函數(shù)f(k)為反因果序列,用長除法展開為z的冪級數(shù)。由右邊的長除結(jié)果有
即k≥0時,f(k)=0,且k<0時所以
為所求6.單邊Z變換由于實際的離散信號
f
(k)都是有始信號,若令起始時刻
k0=0
,而且
k
<
0時
f
(k)為零,則
f
(k)
為因果信號。因果信號的雙邊Z變換即單邊
Z變換。單邊
Z變換的應(yīng)用更加廣泛。下面討論單邊Z變換及其性質(zhì)。1)單邊Z變換的定義和收斂域?qū)τ陔x散信號
。
,冪級數(shù)
的單邊Z變換,記為
而積分
則為
的單邊Z逆變換,記為
。
稱為f
(k)的象函數(shù),
則為
的原函數(shù)。
與
之間的對應(yīng)關(guān)系可表示為
(5.3-14)即為。(5.3-15)使
的單邊
Z變換
存在的充分條件是
Z
復(fù)平面上使式(5.3-16)的級數(shù)收斂的z的區(qū)域稱為
的收斂域。(5.3-16)單邊
Z
變換的收斂域與因果信號雙邊
Z
變換的收斂域相同。2)常用序列的單邊Z變換①②③④⑤3)單邊z
變換的性質(zhì)
①位移(時移)性質(zhì):若f
(k)
F
(z),|
z
|
>
(5.3-17)
(5.3-18)
(5.3-19)(主要討論單邊z
變換的特殊性質(zhì))
,m為正整數(shù),則有②
卷積性質(zhì):若
,,且
、
為因果序列,則
(5.3-20)③
部分和性質(zhì):若
,則有
(5.3-25)
4)單邊z逆變換的計算與雙邊z逆變換的計算方法類似,單邊Z變換的計算方法也有冪級數(shù)展開法、部分分式展開法、反演積分法、查表法等。由于單邊z
變換的收斂域為
,求
F
(z)
的單邊z逆變換
f
(k)
。
,其z
逆變換為因果序列,所以時的雙邊Z逆變換的計算單邊z變換的計算方法與收斂域為方法相同。下面舉例說明部分分式展開法。
例5.3-6
已知解:
首先對
按部分分式展開,有對
的一階極點
z
=
2
與三重極點
z
=
3
,由式(5.3-32)、
可得
由表5.3-1中的第6個和第10個變換式,有(5.3-33)有5.3.2
用z
變換解差分方程
1.一般信號
激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) 1)離散信號的
z
域分解
由單邊
z
反變換的定義,因果信號
可以表示為
(5.3-40) 式(5.3-40)的物理意義是把分解為圍線C上不同
z
的基本信號
之和(積分)。 對于圍線C上的任意
z
,復(fù)數(shù)
是基本信號的復(fù)幅度。由于基本信號
是簡單的,所以求解其產(chǎn)生的響應(yīng)也比較簡單。在此基礎(chǔ)上,利用LTI系統(tǒng)的可加性,即可比較方便地求取系統(tǒng)在輸入作用下的響應(yīng)。
,單位序列響應(yīng)為
,
2)基本信號
激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)若系統(tǒng)輸入為
,零狀態(tài)響應(yīng)為
若
,則
若
為因果信號(對應(yīng)系統(tǒng)為因果系統(tǒng)),則有
是系統(tǒng)單位序列響應(yīng)
的單邊Z變換。一般
為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),式(5.3-42)表明:離散系統(tǒng)對基本信號
的響應(yīng),等于
的乘積。由時域分析可知(5.3-41)(5.3-42)式(5.3-42)中稱則稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。與系統(tǒng)函數(shù)(5.3-43)式(5.3-43)表明3)一般信號
激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)Z域求解離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟為①求系統(tǒng)輸入②利用
,求系統(tǒng)函數(shù)
③利用
,求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊
Z
變換④利用
,求零狀態(tài)響應(yīng)
在輸入給定的情況下,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)取決于系統(tǒng)。因此,系統(tǒng)函數(shù)可以表征系統(tǒng)的性質(zhì)。與系統(tǒng)特性的關(guān)系將稍后討論。的單邊Z變換F(z);;;。函數(shù)
2.差分方程的求解
如果離散系統(tǒng)滿足疊加原理,則稱為線性離散系統(tǒng),輸入與輸出關(guān)系不隨時間而改變的線性離散系統(tǒng),稱為線性定常離散系統(tǒng)。對于一般的線性定常離散系統(tǒng),k時刻的輸出y(k),不但與k時刻的輸入f(k)有關(guān),而且與k時刻以前的輸入f(k-1),
f(k-2),…有關(guān)。
工程上常用迭代法和Z變換法來求解常系數(shù)線性差分方程。
⑴迭代法:若已知差分方程式(5.3-58),并且給定輸出序列的初值,則可利用遞推關(guān)系,在計算機上一步一步地迭代出輸出序列。
例5.3-8若差分方程為
,初始條件為
、
,試用迭代法求輸出序列。 解:原差分方程可變?yōu)?/p>
,由初始條件及遞推關(guān)系,有
……⑵z
變換法:對差分方程兩邊取
z
變換,并利用
z
變換的位移性質(zhì),得到以
z
為變量的代數(shù)方程,然后對代數(shù)方程的解
取
z
反變換,即可求得輸出序列。
例5.3-9
若差分方程為
,且初始條件為
、
,試用z
變換法求輸出序列
。解:由位移性質(zhì)
,對差分方程兩邊進行
z
變換,有代數(shù)方程
需用初始條件
與
來確定
與
;由題,對差分方程代入已知初始條件,有
;可得即
由常用z變換,有
。
對于
階線性時不變離散系統(tǒng),若輸入
為因果信號,則
等于零,但一般不等于零。
,因此
、、
的初始值有以
(7.3-108)
和
可根據(jù)系統(tǒng)差分方程用遞推法相互轉(zhuǎn)換,
,
,再令
,即可求得和
和
也可由遞推法根據(jù)
滿足的差分方程相互轉(zhuǎn)換,與的轉(zhuǎn)換類似。
由于下關(guān)系:
(7.3-109)
初始值具體過程可以參考上面的例7.3-29:若已知初始值為,則先令。具體過程與上述上面用
z
變換求解差分方程中,確定系統(tǒng)響應(yīng)的初值時,應(yīng)該注意以下問題:
5.3.3信號的采樣與恢復(fù)
1.信號的采樣
離散控制系統(tǒng)通常分為“采樣控制系統(tǒng)”與“數(shù)字控制系統(tǒng)”兩種類型。離散控制系統(tǒng)的典型功能圖如圖5.3-2所示。
采樣控制系統(tǒng)的特征是在系統(tǒng)內(nèi)設(shè)置采樣開關(guān),通過采樣得到脈沖序列信號,脈沖的頻率或?qū)挾日扔诓蓸有盘柕乃矔r值;采樣控制系統(tǒng)可以通過保持器還原得到模擬信號。圖5.3-2
離散控制系統(tǒng)的典型功能圖
數(shù)字控制系統(tǒng)則由A/D轉(zhuǎn)換、量化編碼將連續(xù)信號變成離散數(shù)字信號,經(jīng)過數(shù)字控制系統(tǒng)的控制核心(計算機或微處理器)處理后,由D/A轉(zhuǎn)換將離散信號還原成連續(xù)信號;數(shù)字控制系統(tǒng)也稱為計算機控制系統(tǒng)。
采樣器的實際采樣過程如圖5.3-3所示。
在工程實踐中,為了減少失真,一般總是取采樣角頻率大于信號頻譜最高角頻率的兩倍(ωs>2ωmax),而不是取采樣角頻率恰好等于2ωmax。圖5.3-3
實際采樣過程
在工程控制實踐中,系統(tǒng)的采樣周期可依據(jù)頻域性能指標(biāo)或時域性能指標(biāo)來選?。?/p>
2.信號的恢復(fù)
離散系統(tǒng)的信號輸出有兩種方式。一種是直接輸出脈沖或數(shù)字,如步進電機的脈沖控制、數(shù)字控制系統(tǒng)的屏幕顯示與打印輸出等;另一種輸出需要把脈沖或數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號,用于實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換的裝置,稱為保持器。
由于相鄰采樣時刻之間的值未確定,所以解決各相鄰采樣時刻之間的插值問題就是保持器的任務(wù)。
1)零階保持器
零階保持器把前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)一直保持到下一采樣時刻(n+1)T到來之前,是一種按常值外推的保持器,它使采樣信號e*(t)變成圖5.3-4所示的階梯信號e0(t)。
其外推公式為
(5.3-66)
零階保持器的傳遞函數(shù)
(5.3-67)
零階保持器的頻率特性
(5.3-68)
考慮
,式(5.3-68)可表示為
(5.3-69)圖5.3-4零階保持器的輸出特性
幅頻特性為
(5.3-70)
相頻特性為
(5.3-71)
其中
零階保持器的頻率特性如圖5.3-5所示。
從幅頻特性看,零階保持器具有高頻衰減特性,是個低通濾波器;從相頻特性看,零階保持器會產(chǎn)生相角滯后,使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。圖5.3-5零階保持器的頻率特性2)一階保持器
一階保持器是根據(jù)前兩個采樣時刻采樣值的變化趨勢,線性外推采樣間隔的輸出值。
一階保持器的外推公式為,若令、,則有聯(lián)立方程
可得
及
,代入外推公式,得一階保持器的數(shù)學(xué)式為
(5.3-72)
一階保持器的輸出特性如圖5.3-6所示。
其中
是一階保持器的輸出。圖5.3-6一階保持器的輸出特性
一階保持器的傳遞函數(shù)
(5.3-73)
其頻率特性
(5.3-74)
與零階保持器相比,一階保持器在高頻段的幅頻特性約為零階保持器的2倍,允許通過的信號高頻分量更多,紋波輸出較大。
角滯后要比零階保持器的相角滯后大,對系統(tǒng)的穩(wěn)定性更不利;而且一階保持器的實現(xiàn)要比零階保持器困難;所以實際控制系統(tǒng)普遍采用零階保持器,而較少采用一階保持器。數(shù)字控制系統(tǒng)中的零階保持器常用輸出寄存器實現(xiàn)。由于零階保持器仍有高頻紋波輸出,實際應(yīng)用時,還要在D-A轉(zhuǎn)換之后附加模擬濾波器,以有效地去除高頻紋波。雖然一階保持器能更準(zhǔn)確地將信號復(fù)原,但是一階保持器的相5.3.4
離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)
1.脈沖傳遞函數(shù)的定義
在零初始條件下,線性離散系統(tǒng)輸出采樣信號與輸入采樣信號的變換之比,定義為線性離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)——脈沖傳遞函數(shù)。
零初始條件下,若已知F
(z)和G
(z),則線性定常離散系統(tǒng)輸出的采樣信號為
確定系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時,可以在系統(tǒng)的輸出端虛設(shè)一個理想采樣開關(guān),如圖5.3-7所示。圖5.3-7在輸出端虛設(shè)一個理想采樣開關(guān)
當(dāng)在系統(tǒng)輸入端加一個單位脈沖函數(shù)時,有、,所以
即單位脈沖響應(yīng)為
也就是說,離散系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的z變換就是:
線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)由此而得名。
2.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)
1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)
圖5.3-8
a.所示開環(huán)離散系統(tǒng)中,在G1(s)和G2(s)兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間設(shè)置有理想采樣開關(guān)。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義,由圖5.3-8
a.可得
即:環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時,各環(huán)節(jié)“先Z變換,后乘”。2)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)
開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為
(5.3-78)
即:環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)時,各環(huán)節(jié)“先乘,后Z變換”。圖5.3-8設(shè)置有理想采樣開關(guān)的兩種開環(huán)離散系統(tǒng)所以因此(5.3-77)
例5.3-11若
,
試求圖5.3-8中兩類系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。
解:當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)隔開時,有
因此
而當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)隔開時,則有
所以
顯然3)開環(huán)系統(tǒng)有零階保持器
設(shè)有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)如圖5.3-9
a.所示。
由圖5.3-9b.可得
(5.3-79)
3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)
例5.3-13
對圖5.3-10所示的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng),虛設(shè)的三個理想采樣開關(guān)與實際的理想采樣開關(guān)都按周期T同步工作,試求系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)以及閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。圖5.3-9有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)
解:由題,先求拉氏變換,由及
圖5.3-10誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)得由,有取z
變換,可得
整理可得此系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)
以及閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)
為所求。
需要指出:由于采樣開關(guān)的影響,采樣系統(tǒng)不能簡單地按照連續(xù)系統(tǒng)的等效變換方法化簡結(jié)構(gòu)圖,而應(yīng)細心處理。
如果誤差信號
處沒有采樣開關(guān),則不能求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),而只能求出輸出采樣信號的
z
變換函數(shù)。系統(tǒng)特征方程為
即
或
表5.3-3
列出了幾種常見線性離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖以及輸出信號的
表達式。
5.3.5離散系統(tǒng)的表示和模擬
1.離散系統(tǒng)的方框圖表示
圖5.3-14所示的結(jié)構(gòu)圖表示一個離散系統(tǒng)。圖中
f(k)
和
y(k)
分別為系統(tǒng)的輸入和輸出。
與連續(xù)系統(tǒng)類似:幾個簡單離散系統(tǒng)的串聯(lián)、并聯(lián)或串并混聯(lián),可以組成一個復(fù)雜的離散系統(tǒng);離散系統(tǒng)的模擬也只有三個基本單元,包括加法器、數(shù)乘器與單位延遲器。
1)離散系統(tǒng)的串、并聯(lián)圖5.3-14
離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖
圖5.3-15
離散系統(tǒng)的串聯(lián)
2)表示離散系統(tǒng)的三個基本單元圖5.3-17中分別給出了表示離散系統(tǒng)的三個基本單元,包括數(shù)乘器、加法器和單位延遲器的時域與Z域形式,并且假定單位延遲器的初始狀態(tài)
y(-1)
=
0
。圖5.3-16離散系統(tǒng)的并聯(lián)圖5.3-17
表示離散系統(tǒng)的三個基本單元
2.離散系統(tǒng)的信號流圖表示離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖表示規(guī)則相同。圖5.3-19離散系統(tǒng)框圖與信號流圖的對應(yīng)關(guān)系
3.離散系統(tǒng)的模擬
與連續(xù)系統(tǒng)的模擬類似,若已知離散系統(tǒng)的差分方程或脈沖傳遞函數(shù)
,可根據(jù)
與梅森公式的關(guān)系,得到系統(tǒng)的信號流圖模擬;再根據(jù)信號流圖與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系,可以進一步得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖模擬;與連續(xù)系統(tǒng)的模擬形式類似,離散系統(tǒng)的信號流圖模擬通常也有直接形式、串聯(lián)形式和并聯(lián)形式。
例5.3-16
已知二階離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函為
,試用直接形式的信號流圖模擬該系統(tǒng)。解:先將系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G
(z)的分子分母同除以
,得到
G
(z)的表達式
(5.3-89)
將式(5.3-89)與梅森公式對照,可知:G
(z)的分母為系統(tǒng)的特征式,分母括號中的兩項分別為兩個互相接觸的環(huán)路傳輸函數(shù);G
(z)的分子則為從F
(z)到Y(jié)
(z)的三條前向通路的傳輸函數(shù)之和。因此,系統(tǒng)信號流圖可由兩個相互接觸的環(huán)和三條前向通路組成。根據(jù)梅森公式和信號流圖的對應(yīng)關(guān)系,可畫出系統(tǒng)模擬圖如圖5.3-20所示。圖5.3-20例5.3-16的兩種直接形式模擬圖
其中,圖a.與圖b.分別是直接形式Ⅰ的信號流圖模擬及對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖模擬;圖c.與圖d.則是直接形式Ⅱ的信號流圖模擬及對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖模擬。5.3.6離散系統(tǒng)的性能分析
離散系統(tǒng)的性能分析和連續(xù)系統(tǒng)一樣,也包括穩(wěn)定性、動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)性能三個方面。
1.離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性
1)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件一個離散系統(tǒng),如果在任意有界輸入下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的,則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出意義下的穩(wěn)定系統(tǒng),簡稱穩(wěn)定系統(tǒng)。
2)z
域與s域的映射關(guān)系
在z
變換的定義中,復(fù)變量
s與z的關(guān)系為考慮復(fù)變量s
與z可分別表示為
,故有,
即。由此可得到[s]平面與[z]平面的如下映射關(guān)系:
σ<
0
→
r
<
1
,即
[s]左半平面
→[z]
平面的單位圓內(nèi)(|
z
|
<
1);
σ>
0
→
r
>
1
,即
[s]
右半平面
→[z]
平面的單位圓外部(|
z
|
>1);
σ=
0
→
r
=
1
,即
[s]
平面的虛軸
→[z]
平面的單位圓(|
z
|
=1)。
[s]
平面的實軸(
jω
=
0、s
=
σ)→
[z]
平面的正實軸(θ=
0
,z
=
r
)
;
[s]平面的原點(σ
=
0,jω
=
0)→
[z]
平面上的z
=1點(θ
=
0,r
=
1)
;
圖5.3-23[s]平面與[z]平面的映射關(guān)系
3)離散系統(tǒng)穩(wěn)定條件的時域和z域表示
①時域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為
(5.3-91)
其特征方程為
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