第5章 復(fù)頻域分析

第5章

復(fù)頻域分析法5.1復(fù)頻域分析法及其特點(diǎn)5.2連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.3離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.4MATLAB在復(fù)頻域分析中的應(yīng)用5.1復(fù)頻域分析法及其特點(diǎn)5.1.1什么是復(fù)頻域分析法5.1.2復(fù)頻域分析法的主要特點(diǎn)5.1.1什么是復(fù)頻域分析法

頻域分析法揭示了信號的頻譜特性和系統(tǒng)的頻域特性，但頻域分析法有兩個局限性：一是某些信號的傅立葉變換不存在，給信號與系統(tǒng)的分析帶來了很大的不便；另一個是只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

復(fù)頻域分析法則是能夠有效克服頻域分析法局限性：不僅能夠避免出現(xiàn)信號分析的死區(qū)，全面解決信號的復(fù)頻域分析問題；而且能夠求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)問題，即可以求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)，使信號與系統(tǒng)的分析更為完整、簡潔。5.1.2復(fù)頻域分析法的主要特點(diǎn)

在連續(xù)信號與系統(tǒng)的分析中，復(fù)頻域分析法的主要特點(diǎn)是在頻域分析法的基礎(chǔ)上引入衰減因子

，使傅立葉正變換中的變成

；使原來頻域分析中的基本虛指數(shù)信號

擴(kuò)展為復(fù)頻域分析中的基本復(fù)指數(shù)信號

，其中

即為復(fù)頻率；同時也使傅立葉變換成為了拉普拉斯變換。

z變換法通過變量置換，將線性離散系統(tǒng)頻域分析中的基本頻域信號擴(kuò)展為基本復(fù)頻域信號，系統(tǒng)在序列作用下的輸出響應(yīng)則為基本復(fù)頻域信號的輸出響應(yīng)之和。

通過z變換，可以把把離散時間系統(tǒng)的差分方程變成z域的代數(shù)方程，把離散時間信號的卷積運(yùn)算變成代數(shù)運(yùn)算；不僅能夠求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，而且能夠求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與完全響應(yīng)，使離散時間系統(tǒng)的分析更加全面、簡便。

5.2連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

5.2.1拉普拉斯變換5.2.2

用拉普拉斯變換法求解微分方程5.2.3R

LC電路的復(fù)頻域分析5.2.4閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡5.2.5

利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能

5.2.1拉普拉斯變換

1.從傅立葉變換到拉普拉斯變換用表示信號的傅立葉變換，由傅里葉變換的定義，則有：令，則有：

（5.2-2）

式（5.2-2）即為信號f

(t)

的雙邊拉普拉斯變換，記為

=

同樣，根據(jù)傅里葉逆變換的定義，則有：

（5.2-5）式（5.2-5）稱為F(s)的拉普拉斯逆變換，記為 2.單邊拉普拉斯變換 信號

的單邊拉氏變換及其反變換分別為

（5.2-6）

（5.2-7）

式（5.2-6）稱為的單邊拉氏變換，記為式（5.2-7）稱為的單邊拉氏反變換，記為-1

其中F(s)為f(t)的象函數(shù)，f(t)則為F(s)的原函數(shù)。

-1

3.常用信號的單邊拉普拉斯變換對1）沖激信號,

即:，2）階躍信號，

即：，3）斜坡信號

即：4）單邊指數(shù)信號

即：，5）正弦信號

即：

類似有：

4.單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)單邊拉氏變換的性質(zhì)反映了不同形式的信號與其單邊拉氏變換的對應(yīng)規(guī)律。利用這些性質(zhì)并結(jié)合常用信號的單邊拉氏變換對，能夠較快地求解單邊拉氏變換和逆變換的問題。熟記單邊拉氏變換的性質(zhì)和常用信號的單邊拉氏變換對，并有效掌握傅里葉變換和拉斯變換的內(nèi)在關(guān)系，對信號與系統(tǒng)的頻率特性分析以及LTI系統(tǒng)的時域全響應(yīng)的求解具有重要的價值。1)線性性質(zhì)若，則，2)時移性質(zhì)若因果信號：，則有

注意，必須是因果信號，且

時，上述性質(zhì)才成立，此時3)

復(fù)頻移性質(zhì)若，則

式中，為復(fù)常數(shù)，關(guān)于收斂域的說明：因?yàn)?/p>

的收斂域?yàn)镽e[s]>，所以

的收斂域也為，即

。

。6)時域微分性質(zhì)

若，則有

時域微分性質(zhì)中包含了信號的初始狀態(tài)，因此在求解系統(tǒng)的微分方程時，不僅能求解零狀態(tài)響應(yīng)，而且還能求解零輸入響應(yīng)，所以單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)非常重要。若為因果信號，則有微分性質(zhì)可簡化為

即：原函數(shù)求導(dǎo)一次，其象函數(shù)乘上一個s。此時，時域4)尺度變換性質(zhì)

若,則，式中

為大于0的常數(shù)。5)時域卷積

若，且

，則7)時域積分性質(zhì)對于因果信號，若

表示對從到

的

而對于非因果信號

則有時域微分性質(zhì)和時域積分性質(zhì)，主要應(yīng)用于復(fù)頻域分析中線性連續(xù)系統(tǒng)的微﹑積分運(yùn)算以及系統(tǒng)微分方程的求解。式中：重積分。，則有8)復(fù)頻域微分

若

，則有9)復(fù)頻域積分若，則有10)

初值和終值定理初值定理：若中不包含沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，并且，則。在時的極限存在，并且

，，只在[s]右半平面及虛軸上解析的終值為

。的初值為終值定理：若（原點(diǎn)除外），則表5.2-1單邊拉氏變換的性質(zhì)

5.單邊拉普拉斯逆變換

求單邊拉氏變換的逆變換是復(fù)頻域分析法的基本問題。

在實(shí)際問題中，單邊拉氏逆變換的求解方法主要有查表法，部分分式展開法及反演積分法(留數(shù)定理)等三種，其中部分分式展開法是最常用的方法，是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

因?yàn)镕(s)一般可化為s的有理分式，將F(s)展開為比較簡單的部分分式之和，然后利用常用信號的單邊拉氏變換對與單邊拉氏變換的性質(zhì)，就可以十分方便地由F(s)求取f(t)。

下面主要介紹求解單邊拉氏逆變換的部分分式展開法。

一般,

F(s)可表示為

式中a

i,b

i均為實(shí)數(shù)且an=1。

若F(s)為假分式，則必須用多項(xiàng)式除法將F(s)分解為有理多項(xiàng)式(商)與有理真分式(余式)之和，即有理真分式的逆變換直接對應(yīng)于沖激函數(shù)階導(dǎo)數(shù)之和

其中，商及其多

；

而多項(xiàng)式除法的余式即

則可展開為部分分式之和后再求逆變換。

要把展開為部分分式，必須首先求的根(n個)。

可能是單根，也可能是重根；可能是實(shí)根，也可能是復(fù)根。

展開為部分分式和的具體形式完全取決于的實(shí)際性質(zhì)。例5.2-5

已知

，求

解：由題

，其中

所以

，利用

為所求?？傻美?.2-6

已知，求

解：由題

有二重極點(diǎn)

和單極點(diǎn)

，所以

，其中

而

所以

即

為所求。的展開式為5.2.2

用拉普拉斯變換法求解微分方程

由于LTI連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用線性常系數(shù)微分方程來描述，而單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)是考慮了系統(tǒng)的初始狀態(tài)的，因此系統(tǒng)微分方程的單邊拉氏變換不僅使系統(tǒng)微分方程變?yōu)閺?fù)頻域代數(shù)方程，使求解變得簡單易行；而且引入了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，既可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，又可以求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和完全響應(yīng)。

用拉氏變換法求

的具體過程如圖5.2-1所示。

設(shè)

階LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

（5.2-49）

圖5.2-1

用拉氏變換法求式中，

為的次導(dǎo)數(shù)；為的次導(dǎo)數(shù)。若，

為實(shí)常數(shù)，則階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

（5.2-50）

式（5.2-50）給出了系統(tǒng)微分方程與系統(tǒng)函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)這個關(guān)系，可由系統(tǒng)微分方程得到系統(tǒng)函數(shù)G(s)，同樣也可由系統(tǒng)函數(shù)得到系統(tǒng)的微分方程。由于LTI連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的n個初始狀態(tài)

是在初始時刻

之前的系統(tǒng)狀態(tài)，因而容易確定，這樣就避開了時域分析中復(fù)雜的初值問題。

2.系統(tǒng)微分方程的s域求解舉例例5.2-11若LTI連續(xù)系統(tǒng)為

，而且

，，。試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、

零狀態(tài)響應(yīng)

、完全響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)

和單位沖激響應(yīng)

。解：由題

、

，用時域微分性質(zhì)對系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，有代入初值，整理得有

與所以；而所以因此且有

為所求。

5.2.3

R

LC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

用線性常系數(shù)微分方程描述輸入、輸出關(guān)系的RLC系統(tǒng)，可以利用單邊拉氏變換的性質(zhì)，將RLC系統(tǒng)用復(fù)頻域模型來表示，大大簡化系統(tǒng)分析與計(jì)算。

1.KCL、KVL的s

域形式

對KCL和KVL的時域形式與分別取單邊拉氏變換，則有KCL和KVL的S域形式如下

(5.2-51)

式(5.2-51)表明：流入集總電路任一節(jié)點(diǎn)的電流的象函數(shù)的代數(shù)和為零；而沿集總電路中任一回路的各支路電壓的象函數(shù)的代數(shù)和也為零。

2.R

LC元件的S域模型1)零狀態(tài)下R

LC元件的S域模型

圖5.2-2零狀態(tài)下RLC

元件的s

域模型2)非零狀態(tài)下

LC元件的S域模型圖5.2-4

非零狀態(tài)下

LC元件的s域并聯(lián)模型圖5.2-3

非零狀態(tài)下LC元件的s域串聯(lián)模型圖5.2-5

例5.2-14電路例5.2-14

圖5.2-5電路中，R

=

2Ω，L

=

1H，C

=

1F，輸入，輸出①求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)；②確定初始狀態(tài)。，試圖5.2-6例5.2-14的兩種S域模型

解：①由題，輸入

，有

，且

，電路的S域模型如圖5.2-6a.所示。

圖5.2-6a.中

及

有即為所求?？僧嬂芒诋?dāng)時，，要

，即則電路的S域模型如圖5.2-6b.所示。由圖5.2-6b.有代

入上式可得

當(dāng)

時，有

為所求。又5.2.4

閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡

所謂根軌跡法，是一種確定閉環(huán)特征根的圖解法；根軌跡法以開環(huán)零、極點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，探求系統(tǒng)某些參數(shù)（如開環(huán)增益K）變化時，閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上變化的根軌跡。閉環(huán)根軌跡隨系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化的圖形揭示了開環(huán)零、極點(diǎn)的位置與閉環(huán)系統(tǒng)性能之間的密切聯(lián)系，不僅可以給出閉環(huán)系統(tǒng)時間響應(yīng)的信息，而且可以給出閉環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)的信息。

1.根軌跡的概念與根軌跡方程

1）根軌跡

當(dāng)系統(tǒng)某個參數(shù)（如開環(huán)增益K）由零到無窮大變化時，閉環(huán)特征根在S平面上移動的軌跡，即系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡，簡稱根軌跡。

圖5.2-7所示二階系統(tǒng)中，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，式中K為開環(huán)增益，為兩個開環(huán)極點(diǎn)，沒有開環(huán)零點(diǎn)。

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)特征方程

，

閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）

系統(tǒng)的根軌跡如圖5.2-8所示。

圖5.2-7某二階系統(tǒng)圖5.2-8圖5.2-7系統(tǒng)的根軌跡

穩(wěn)定性：當(dāng)開環(huán)增益K由零變化到無窮大時，根軌跡始終在S平面的左半部——此系統(tǒng)對所有K>0都是穩(wěn)定的。

動態(tài)性能：①當(dāng)0<K<0.5時，閉環(huán)特征根都是負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。

②當(dāng)K=0.5時，系統(tǒng)有兩個相同負(fù)實(shí)根（二重極點(diǎn)），呈臨界阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)仍為非周期過程。

③當(dāng)K>0.5時，閉環(huán)特征根為負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程，而且超調(diào)量隨K值的增大而增大，但調(diào)節(jié)時間的變化不明顯。

穩(wěn)態(tài)誤差：開環(huán)傳遞函數(shù)有個位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)開環(huán)有一個積分環(huán)節(jié)，為I型系統(tǒng)，能使階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess=0；使斜坡作用下的靜態(tài)速度誤差系數(shù)（即根

軌跡上的對應(yīng)K值），此時穩(wěn)態(tài)誤差為。

2）根軌跡方程

圖5.2-9所示的控制系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其閉環(huán)特征方程為

有(5.2-56)

假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點(diǎn)、n個極點(diǎn)，則

(5.2-57)

式(5.2-57)中，zi為開環(huán)零點(diǎn)，pi為開環(huán)極點(diǎn)，K

*則為根軌跡增益，與開環(huán)增益K的關(guān)系為

或。圖5.2-9一般控制系統(tǒng)

根軌跡的幅值方程為

(5.2-58)

根軌跡的相角方程為

(5.2-59)

相角方程是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。幅值方程則主要是用來確定真正根軌跡上的si點(diǎn)所對應(yīng)的根軌跡增益K*或開環(huán)增益K值。

2.繪制根軌跡的基本法則及根軌跡的繪制1)繪制根軌跡的基本法則

法則一：n

條根軌跡

法則二：根軌跡對稱于實(shí)軸

法則三：根軌跡的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)：始于開環(huán)極點(diǎn)，止于

開環(huán)零點(diǎn)（

條根軌跡止于無窮遠(yuǎn)）

法則四：實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段（右側(cè)奇數(shù)個零點(diǎn)、極點(diǎn)）

法則五：根軌跡的漸近線法則六：根軌跡的分離點(diǎn)與分離角

法則七：根軌跡的起始角與終止角（出射角與入射角）

法則八：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)由法則九：閉環(huán)極點(diǎn)之和（根之和）

應(yīng)用根之和法則時，一定要滿足

的條件?？山獬鱿到y(tǒng)臨界穩(wěn)定的

K

值與ω

值。2)根軌跡的繪制

例5.2-21

若單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制其閉環(huán)根軌跡。

解：由題

p1=0，p2=-2，z1=-3，即n=2，m=1，n–m=1，可知系統(tǒng)只有2條根軌跡，實(shí)軸上根軌跡為[-2，0]與（-∞，-2]區(qū)段，標(biāo)出根軌跡方向如圖5.2-15所示；分離點(diǎn)的坐標(biāo)由坐標(biāo)方程確定，有

解得圖5.2-15例5.2-21的根軌跡可證：凡有兩個開環(huán)極點(diǎn)和一個開環(huán)零點(diǎn)的系統(tǒng)，其閉環(huán)根軌跡必有圓或圓?。粓A心為（z,0），半徑為

。

，試概略繪制其閉環(huán)根軌跡。圖5.2-16例5.2-22的根軌跡可知此系統(tǒng)有3條根軌跡，實(shí)軸上的根軌跡為[-1

，0

]

與（-∞

，-2

]

區(qū)段，標(biāo)出根軌跡方向后如圖5.2-16

所示；在例5.2-15中，已確定了此根軌跡的漸近線；在例5.2-17中，則確定了此根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；

下面還需確定分離點(diǎn)及分離角。視開環(huán)零點(diǎn)在，無開環(huán)零點(diǎn)，即n=3，m=0，n–m=3，例5.2-22

若單反饋系統(tǒng)的開環(huán)

解：由題

遠(yuǎn)處，對分離點(diǎn)d

，有即

，解得

，

，

不在根軌跡上，故取

分離角則為

至此，可完成此系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡如圖5.2-16所示。由于

3.廣義根軌跡

1）參數(shù)根軌跡

按照開環(huán)增益K或根軌跡增益K*的變化繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡，而按照其它參數(shù)（時間常數(shù)、反饋系數(shù)等）的變化繪制的根軌跡則稱為參數(shù)根軌跡。

繪制參數(shù)根軌跡時，需按系統(tǒng)特征方程構(gòu)造新系統(tǒng)，使所選參量a替代原根軌跡增益K*的位置，將原特征方程寫成

（5.2-70）

例5.2-24

若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

試?yán)L制以T為參變量的閉環(huán)根軌跡。解：由題，原系統(tǒng)特征方程為

考慮n>m的限制，應(yīng)將特征方程中不含T的項(xiàng)作為新系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子，而把含T的項(xiàng)作為新系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分母，即有?？僧嫵鲎兓瘯r的參量根軌跡，如圖5.2-18所示。

2）多回路系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡繪制多回路系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡時，可以先求出多回路系統(tǒng)的總開環(huán)傳遞函數(shù)，再根據(jù)特征方程得到式(5.2-70)的形式，最后繪制出多回路系統(tǒng)的根軌跡；也可以由內(nèi)而外逐層完成。圖5.2-18

例5.2-24系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡可求出新系統(tǒng)的兩個開環(huán)零點(diǎn)與三個開環(huán)極點(diǎn)分別為

改變圖5.2-18中箭頭的方向，即得到

5.2-18中的空心箭頭所示。

變化時的參量根軌跡，如圖

3）正反饋回路的根軌跡對于正反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程為（5.2-71）根軌跡方程為（5.2-72）

對應(yīng)幅值方程為（5.2-73）相角方程為（5.2-74）正反饋回路的根軌跡常被稱為0°根軌跡，而負(fù)反饋回路的根軌跡則稱為180°根軌跡。經(jīng)過修改后的有關(guān)法則變?yōu)榉▌t四：實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段實(shí)軸上某區(qū)段存在根軌跡的條件是其右側(cè)開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目之和為偶數(shù)。法則五：根軌跡的漸近線n–m

根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處的漸近線與正實(shí)軸的夾角為（5.2-75）法則六：根軌跡的起始角與終止角起始角為（5.2-76）終止角為（5.2-77）而漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的計(jì)算公式則仍然不變。5.2.5

利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能

1.系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系 若n

階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表達(dá)式為

，其中

為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)，

為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)輸入

時，有

即

（5.2-78） 式中，

為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；

為決定系統(tǒng)性能的瞬態(tài)響應(yīng)， 而且

（5.2-79） 1）由式(5.2-78)與式(5.2-79)易知，只有所有的

，系統(tǒng)閉環(huán)才穩(wěn)定。 2）若

越大，即閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，則瞬態(tài)響應(yīng)的衰減越快，系統(tǒng)的快速性越好。 3）若

在最佳阻尼線

上，則系統(tǒng)的阻尼最佳，平穩(wěn)性會越好。 4）若

越小，即閉環(huán)極點(diǎn)

與閉環(huán)零點(diǎn)

挨得越近，或者

越大，即不同的閉環(huán)極點(diǎn)之間相隔越遠(yuǎn)，則

越小，越容易衰減。 由于閉環(huán)零點(diǎn)的個數(shù)一般總比閉環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)要少，因此在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時，要盡量使有限的閉環(huán)零點(diǎn)靠近那些離虛軸或原點(diǎn)比較近的閉環(huán)極點(diǎn)，以削弱甚至抵消這些閉環(huán)極點(diǎn)的壞作用，確保系統(tǒng)具有較好的平穩(wěn)性與快速性；同時

盡量拉開相鄰閉環(huán)極點(diǎn)之間的距離，使

更小，從而進(jìn)一步提高系統(tǒng)的性能。

2.主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子的概念

主導(dǎo)極點(diǎn)：對系統(tǒng)的動態(tài)性能起著決定作用的極點(diǎn)即為主導(dǎo)極點(diǎn)。

離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)（復(fù)數(shù)極點(diǎn)或?qū)崝?shù)極點(diǎn)）能夠?qū)ο到y(tǒng)的動態(tài)性能產(chǎn)生主導(dǎo)作用，故成為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)；而離虛軸較遠(yuǎn)的其它閉環(huán)極點(diǎn)，對系統(tǒng)的動態(tài)性能影響不大，往往允許忽略，這些次要極點(diǎn)離虛軸的距離一般比主導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸的距離大5倍以上。有時甚至對于只比主導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸的距離大2～3倍的次要極點(diǎn)亦可忽略不計(jì)。

偶極子：一對挨得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)即為偶極子。

可以認(rèn)為，偶極子中閉環(huán)極點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響，完全被偶極子中的閉環(huán)零點(diǎn)抵消了。例如，某單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

有n=4，m=1

，且，，，；在分析其動態(tài)性能時，可認(rèn)為s3與z1構(gòu)成了偶極子，s4為允許忽略的次要極點(diǎn)，共軛極點(diǎn)則成為主導(dǎo)極點(diǎn)。因此，可將此四階閉環(huán)系統(tǒng)近似成閉環(huán)傳遞函數(shù)為的二階系統(tǒng)，使系統(tǒng)的分析計(jì)算簡化。

3.利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能

系統(tǒng)的根軌跡分析主要包括：系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析；利用主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子的概念把高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)；定性分析參數(shù)變化對近似的一、二階系統(tǒng)的性能的影響，并定量估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)；或者按照系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，確定主導(dǎo)極點(diǎn)及其對應(yīng)的K*值；必要時可以通過配置附加閉環(huán)零點(diǎn)產(chǎn)生新的偶極子，以確保系統(tǒng)性能指標(biāo)要求的實(shí)現(xiàn)。

1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

利用系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件，可以由系統(tǒng)根軌跡在[s]平面上的位置，直接進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

2）參數(shù)變化對系統(tǒng)性能影響的定性分析

系統(tǒng)的根軌跡繪制完成后，就可以通過根軌跡定性分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。一般存在單調(diào)衰減、單調(diào)發(fā)散、衰減振蕩、發(fā)散振蕩、等幅振蕩等情況；

①單調(diào)衰減

②單調(diào)發(fā)散

③衰減振蕩

④發(fā)散振蕩

⑤等幅振蕩

3）系統(tǒng)性能指標(biāo)的定量估算

利用主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子的概念把高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)后，不僅可以按近似的一、二階系統(tǒng)進(jìn)行定性分析，而且可以直接按一、二階系統(tǒng)的有關(guān)公式進(jìn)行調(diào)節(jié)時間、峰值時間與超調(diào)量的定量估算；如果把高階系統(tǒng)按三階系統(tǒng)近似并估算性能指標(biāo)，則可以減少近似誤差。

4）附加閉環(huán)零點(diǎn)的配置

配置附加閉環(huán)零點(diǎn)的目的應(yīng)是針對閉環(huán)系統(tǒng)的壞極點(diǎn)——靠近虛軸或原點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)，使附加零點(diǎn)與之構(gòu)成偶極子，以削弱甚至完全抵消這種壞極點(diǎn)對系統(tǒng)動態(tài)性能的惡劣影響。

?要配置附加閉環(huán)零點(diǎn)而不是開環(huán)零點(diǎn)。

主導(dǎo)極點(diǎn)

離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，動態(tài)衰減越快，系統(tǒng)的快速性越好；閉環(huán)極點(diǎn)

為正實(shí)根，系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)將是單調(diào)發(fā)散的；根軌跡在[s]

左半平面內(nèi)，

必共軛，瞬態(tài)響應(yīng)呈衰減振蕩；

在[s]右半平面有軌跡，

含正實(shí)部，響應(yīng)將呈發(fā)散振蕩；共軛，軌跡在虛軸時，

為共軛虛根，瞬態(tài)響應(yīng)將呈臨界等幅振蕩。

例5.2-28

試由例5.2-24的參量根軌跡，分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。

解：下面主要分析T

參數(shù)變化對該系統(tǒng)性能的影響。在構(gòu)造新系統(tǒng)前、后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可分別用圖5.2-27a.與圖5.2-27b.表示。圖5.2-27

構(gòu)造新系統(tǒng)前、后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由圖5.2-27可知，原系統(tǒng)并沒有開環(huán)零點(diǎn)與閉環(huán)零點(diǎn)，因此，構(gòu)造新系統(tǒng)后產(chǎn)生的兩個開環(huán)零點(diǎn)

對照圖5.2-18中新系統(tǒng)的參變量根軌跡，可知當(dāng)參變量T

>0且為有限值時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)根軌跡與最佳阻尼線相交時，系統(tǒng)可等效為二階，具有較好的動態(tài)性能；而當(dāng)

T

增大到一定值后，由于原系統(tǒng)沒有閉環(huán)零點(diǎn)，因此無法產(chǎn)生偶極子，所以靠近

（即原點(diǎn)）的閉環(huán)極點(diǎn)將成為主導(dǎo)極點(diǎn)，系統(tǒng)動態(tài)性能將很差?？隙ú皇窃到y(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)。圖5.2-27a.中，T是慣性時間常數(shù)，如果太大，系統(tǒng)動態(tài)性能肯定很差。5)根軌跡分析的試探法

首先由相方程試探并確認(rèn)所期望的閉環(huán)極點(diǎn)是否在真正的根軌

跡上。只有完全滿足相方程的點(diǎn)才在真正的根軌跡上。

接著就可以應(yīng)用模方程進(jìn)一步確定這些滿足相方程的點(diǎn)所對應(yīng)

的根軌跡增益K*或開環(huán)增益K的值。圖5.2-28

例5.2-29的根軌跡例5.2-29若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

如圖5.2-28

，其所示，試確定滿足阻尼比

時的

K*

值。根軌跡解：利用在圖5.2-28中畫出

跡相交，

阻尼線與根軌得到交點(diǎn)；連接

與三個的向量連線，并測量各角；若滿足開環(huán)極點(diǎn)向量的相則可進(jìn)一步測量與三個開環(huán)極點(diǎn)

的距離，代入模方程，則有即

由測量值

，，

可得

為主導(dǎo)極點(diǎn)，負(fù)實(shí)極點(diǎn)系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)；而且近似二階系統(tǒng)的阻尼比

，則要沿著期望的而且，根據(jù)K*=

64.7時

的測量值

、

及

，可確定近似二階系統(tǒng)的

值，由

即可求出對應(yīng)的超調(diào)量

與調(diào)節(jié)時間

。。即：K*=64.7時，共軛極點(diǎn)為次要極點(diǎn)，原三階。如果各向量的相角不滿足阻尼線，試探、調(diào)整的位置，直至滿足或基本滿足相方程為止。差為另外，本系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，當(dāng)K*=64.7時，系統(tǒng)在跟蹤斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤5.3離散系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.3.1Z變換5.3.2用Z變換解差分方程5.3.3信號的采樣與恢復(fù)5.3.4

離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)5.3.5離散系統(tǒng)的表示和模擬5.3.6離散系統(tǒng)的性能分析5.3.1Z變換

1.從拉普拉斯變換到Z變換

對連續(xù)信號f

(t)進(jìn)行理想抽樣得到抽樣信號:

對抽樣信號fs(t)取雙邊拉普拉斯變換，有考慮T=1時，常用f(k)

表示f(kT)，則上式可為

（5.3-3）

式（5.3-3）稱為f(k)

的雙邊Z變換。復(fù)變量z和s的關(guān)系則為

，由復(fù)變函數(shù)有F(z)的雙邊Z逆變換

(5.3-5)

2.雙邊Z變換的定義和收斂域（選學(xué)）1)雙邊Z變換的定義對于離散序列

f(k)

(k=0,±1,±2,…)，z的冪級數(shù)函數(shù)

(5.3-6)即為

f(k)

的雙邊Z變換，記為F(z)=Z[

f(k)]，F(xiàn)(z)稱為的象函數(shù)，

f(k)

稱為F(z)的原函數(shù)。

2)雙邊Z變換的收斂域

F(z)存在或級數(shù)收斂的充分條件是

(5.3-7)在[Z]平面上，能使式(5.3-6)級數(shù)收斂的z的取值區(qū)域即為F(z)的收斂域。3)

雙邊Z變換收斂域的特點(diǎn)

①有限長雙邊序列的雙邊Z變換的收斂域一般為0<|z|<∞；

有限長因果序列雙邊Z變換的收斂域?yàn)閨z|>0；

有限長反因果序列雙邊Z變換的收斂域?yàn)閨z|<∞；

單位序列δ(k)的雙邊Z變換的收斂域?yàn)檎麄€[Z]復(fù)平面。

②無限長因果序列雙邊Z變換的收斂域?yàn)閨z|>|z0|(z0為復(fù)數(shù)、虛數(shù)或?qū)崝?shù))，即收斂域?yàn)榘霃綖閦0的圓外區(qū)域。

③無限長反因果序列雙邊Z變換的收斂域?yàn)閨z|<|z0|，即以|z0|為半徑的圓內(nèi)區(qū)域。

④無限長雙邊序列雙邊Z變換的收斂域?yàn)閨z1|<|z|<|z2|，即收斂域位于以|z1|和|z2|為半徑的兩個圓之間的環(huán)狀區(qū)域。

⑤不同序列的雙邊Z變換可能相同，即序列與其雙邊Z變換并非一一對應(yīng)，只有將序列的雙邊Z變換與收斂域連同一起，才與序列一一對應(yīng)的。

圖5.3-1收斂域3.常用序列的雙邊Z變換

5.3-14.雙邊Z變換的性質(zhì)表5.3-2z變換的性質(zhì)

5.z域逆變換雙邊Z逆變換的計(jì)算有冪級數(shù)展開法、部分分式法、反演積分法(留數(shù)法)等方法。需要指出：因?yàn)殡p邊Z變換是連同收斂域一起與原函數(shù)一一對應(yīng)的，所以求雙邊Z逆變換時，要特別注意收斂域的問題。

①冪級數(shù)展開法（長除法）：考慮Z變換的定義中，F(xiàn)(z)為冪級數(shù)，f(k)的值則是冪級數(shù)的系數(shù)；因此可把F(z)展開為冪級數(shù)，然后由冪級數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)求得逆變換f(k)。

②部分分式法：一般F(z)為有理分式時，可以把F(z)展開為部分分式，同時結(jié)合常用的Z變換對來求逆變換；或者通過常用Z變換表，用查表法求Z逆變換。

例5.3-1若

，試求原函數(shù)

f(k)。

解：由題，F(xiàn)(z)的收斂域?yàn)閨z|<1，可知原函數(shù)f(k)為反因果序列，用長除法展開為z的冪級數(shù)。由右邊的長除結(jié)果有

即k≥0時，f(k)=0，且k<0時所以

為所求6.單邊Z變換由于實(shí)際的離散信號

f

(k)都是有始信號，若令起始時刻

k0=0

，而且

k

<

0時

f

(k)為零，則

f

(k)

為因果信號。因果信號的雙邊Z變換即單邊

Z變換。單邊

Z變換的應(yīng)用更加廣泛。下面討論單邊Z變換及其性質(zhì)。1）單邊Z變換的定義和收斂域?qū)τ陔x散信號

。

，冪級數(shù)

的單邊Z變換，記為

而積分

則為

的單邊Z逆變換，記為

。

稱為f

(k)的象函數(shù)，

則為

的原函數(shù)。

與

之間的對應(yīng)關(guān)系可表示為

(5.3-14)即為。(5.3-15)使

的單邊

Z變換

存在的充分條件是

Z

復(fù)平面上使式(5.3-16)的級數(shù)收斂的z的區(qū)域稱為

的收斂域。(5.3-16)單邊

Z

變換的收斂域與因果信號雙邊

Z

變換的收斂域相同。2）常用序列的單邊Z變換①②③④⑤3）單邊z

變換的性質(zhì)

①位移(時移)性質(zhì)：若f

(k)

F

(z)，|

z

|

>

(5.3-17)

(5.3-18)

(5.3-19)（主要討論單邊z

變換的特殊性質(zhì)）

，m為正整數(shù)，則有②

卷積性質(zhì)：若

，，且

、

為因果序列，則

(5.3-20)③

部分和性質(zhì)：若

，則有

(5.3-25)

4）單邊z逆變換的計(jì)算與雙邊z逆變換的計(jì)算方法類似，單邊Z變換的計(jì)算方法也有冪級數(shù)展開法、部分分式展開法、反演積分法、查表法等。由于單邊z

變換的收斂域?yàn)?/p>

，求

F

(z)

的單邊z逆變換

f

(k)

。

，其z

逆變換為因果序列，所以時的雙邊Z逆變換的計(jì)算單邊z變換的計(jì)算方法與收斂域?yàn)榉椒ㄏ嗤?。下面舉例說明部分分式展開法。

例5.3-6

已知解：

首先對

按部分分式展開，有對

的一階極點(diǎn)

z

=

2

與三重極點(diǎn)

z

=

3

，由式(5.3-32)、

可得

由表5.3-1中的第6個和第10個變換式，有(5.3-33)有5.3.2

用z

變換解差分方程

1.一般信號

激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) 1）離散信號的

z

域分解

由單邊

z

反變換的定義，因果信號

可以表示為

(5.3-40) 式(5.3-40)的物理意義是把分解為圍線C上不同

z

的基本信號

之和(積分)。 對于圍線C上的任意

z

，復(fù)數(shù)

是基本信號的復(fù)幅度。由于基本信號

是簡單的，所以求解其產(chǎn)生的響應(yīng)也比較簡單。在此基礎(chǔ)上，利用LTI系統(tǒng)的可加性，即可比較方便地求取系統(tǒng)在輸入作用下的響應(yīng)。

，單位序列響應(yīng)為

，

2)基本信號

激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)若系統(tǒng)輸入為

,零狀態(tài)響應(yīng)為

若

，則

若

為因果信號（對應(yīng)系統(tǒng)為因果系統(tǒng)），則有

是系統(tǒng)單位序列響應(yīng)

的單邊Z變換。一般

為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，式(5.3-42)表明：離散系統(tǒng)對基本信號

的響應(yīng)，等于

的乘積。由時域分析可知(5.3-41)(5.3-42)式(5.3-42)中稱則稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。與系統(tǒng)函數(shù)(5.3-43)式(5.3-43)表明3）一般信號

激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)Z域求解離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟為①求系統(tǒng)輸入②利用

，求系統(tǒng)函數(shù)

③利用

，求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊

Z

變換④利用

，求零狀態(tài)響應(yīng)

在輸入給定的情況下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)取決于系統(tǒng)。因此，系統(tǒng)函數(shù)可以表征系統(tǒng)的性質(zhì)。與系統(tǒng)特性的關(guān)系將稍后討論。的單邊Z變換F(z)；；；。函數(shù)

2.差分方程的求解

如果離散系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱為線性離散系統(tǒng)，輸入與輸出關(guān)系不隨時間而改變的線性離散系統(tǒng)，稱為線性定常離散系統(tǒng)。對于一般的線性定常離散系統(tǒng)，k時刻的輸出y(k)，不但與k時刻的輸入f(k)有關(guān)，而且與k時刻以前的輸入f(k-1),

f(k-2)，…有關(guān)。

工程上常用迭代法和Z變換法來求解常系數(shù)線性差分方程。

⑴迭代法：若已知差分方程式(5.3-58)，并且給定輸出序列的初值，則可利用遞推關(guān)系，在計(jì)算機(jī)上一步一步地迭代出輸出序列。

例5.3-8若差分方程為

，初始條件為

、

，試用迭代法求輸出序列。 解：原差分方程可變?yōu)?/p>

，由初始條件及遞推關(guān)系，有

……⑵z

變換法：對差分方程兩邊取

z

變換，并利用

z

變換的位移性質(zhì)，得到以

z

為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解

取

z

反變換，即可求得輸出序列。

例5.3-9

若差分方程為

，且初始條件為

、

，試用z

變換法求輸出序列

。解：由位移性質(zhì)

，對差分方程兩邊進(jìn)行

z

變換，有代數(shù)方程

需用初始條件

與

來確定

與

；由題，對差分方程代入已知初始條件，有

；可得即

由常用z變換，有

。

對于

階線性時不變離散系統(tǒng)，若輸入

為因果信號，則

等于零，但一般不等于零。

，因此

、、

的初始值有以

(7.3-108)

和

可根據(jù)系統(tǒng)差分方程用遞推法相互轉(zhuǎn)換，

，

，再令

，即可求得和

和

也可由遞推法根據(jù)

滿足的差分方程相互轉(zhuǎn)換，與的轉(zhuǎn)換類似。

由于下關(guān)系：

(7.3-109)

初始值具體過程可以參考上面的例7.3-29：若已知初始值為，則先令。具體過程與上述上面用

z

變換求解差分方程中，確定系統(tǒng)響應(yīng)的初值時，應(yīng)該注意以下問題：

5.3.3信號的采樣與恢復(fù)

1.信號的采樣

離散控制系統(tǒng)通常分為“采樣控制系統(tǒng)”與“數(shù)字控制系統(tǒng)”兩種類型。離散控制系統(tǒng)的典型功能圖如圖5.3-2所示。

采樣控制系統(tǒng)的特征是在系統(tǒng)內(nèi)設(shè)置采樣開關(guān)，通過采樣得到脈沖序列信號，脈沖的頻率或?qū)挾日扔诓蓸有盘柕乃矔r值；采樣控制系統(tǒng)可以通過保持器還原得到模擬信號。圖5.3-2

離散控制系統(tǒng)的典型功能圖

數(shù)字控制系統(tǒng)則由A/D轉(zhuǎn)換、量化編碼將連續(xù)信號變成離散數(shù)字信號，經(jīng)過數(shù)字控制系統(tǒng)的控制核心（計(jì)算機(jī)或微處理器）處理后，由D/A轉(zhuǎn)換將離散信號還原成連續(xù)信號；數(shù)字控制系統(tǒng)也稱為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。

采樣器的實(shí)際采樣過程如圖5.3-3所示。

在工程實(shí)踐中，為了減少失真，一般總是取采樣角頻率大于信號頻譜最高角頻率的兩倍(ωs>2ωmax)，而不是取采樣角頻率恰好等于2ωmax。圖5.3-3

實(shí)際采樣過程

在工程控制實(shí)踐中，系統(tǒng)的采樣周期可依據(jù)頻域性能指標(biāo)或時域性能指標(biāo)來選?。?/p>

2.信號的恢復(fù)

離散系統(tǒng)的信號輸出有兩種方式。一種是直接輸出脈沖或數(shù)字，如步進(jìn)電機(jī)的脈沖控制、數(shù)字控制系統(tǒng)的屏幕顯示與打印輸出等；另一種輸出需要把脈沖或數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號，用于實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換的裝置，稱為保持器。

由于相鄰采樣時刻之間的值未確定，所以解決各相鄰采樣時刻之間的插值問題就是保持器的任務(wù)。

1)零階保持器

零階保持器把前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)一直保持到下一采樣時刻(n+1)T到來之前，是一種按常值外推的保持器，它使采樣信號e*(t)變成圖5.3-4所示的階梯信號e0(t)。

其外推公式為

(5.3-66)

零階保持器的傳遞函數(shù)

(5.3-67)

零階保持器的頻率特性

(5.3-68)

考慮

，式(5.3-68)可表示為

(5.3-69)圖5.3-4零階保持器的輸出特性

幅頻特性為

(5.3-70)

相頻特性為

(5.3-71)

其中

零階保持器的頻率特性如圖5.3-5所示。

從幅頻特性看，零階保持器具有高頻衰減特性，是個低通濾波器；從相頻特性看，零階保持器會產(chǎn)生相角滯后，使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。圖5.3-5零階保持器的頻率特性2)一階保持器

一階保持器是根據(jù)前兩個采樣時刻采樣值的變化趨勢，線性外推采樣間隔的輸出值。

一階保持器的外推公式為，若令、，則有聯(lián)立方程

可得

及

，代入外推公式，得一階保持器的數(shù)學(xué)式為

(5.3-72)

一階保持器的輸出特性如圖5.3-6所示。

其中

是一階保持器的輸出。圖5.3-6一階保持器的輸出特性

一階保持器的傳遞函數(shù)

(5.3-73)

其頻率特性

(5.3-74)

與零階保持器相比，一階保持器在高頻段的幅頻特性約為零階保持器的2倍，允許通過的信號高頻分量更多，紋波輸出較大。

角滯后要比零階保持器的相角滯后大，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性更不利；而且一階保持器的實(shí)現(xiàn)要比零階保持器困難；所以實(shí)際控制系統(tǒng)普遍采用零階保持器，而較少采用一階保持器。數(shù)字控制系統(tǒng)中的零階保持器常用輸出寄存器實(shí)現(xiàn)。由于零階保持器仍有高頻紋波輸出，實(shí)際應(yīng)用時，還要在D-A轉(zhuǎn)換之后附加模擬濾波器，以有效地去除高頻紋波。雖然一階保持器能更準(zhǔn)確地將信號復(fù)原，但是一階保持器的相5.3.4

離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

1.脈沖傳遞函數(shù)的定義

在零初始條件下，線性離散系統(tǒng)輸出采樣信號與輸入采樣信號的變換之比，定義為線性離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)——脈沖傳遞函數(shù)。

零初始條件下，若已知F

(z)和G

(z)，則線性定常離散系統(tǒng)輸出的采樣信號為

確定系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時，可以在系統(tǒng)的輸出端虛設(shè)一個理想采樣開關(guān)，如圖5.3-7所示。圖5.3-7在輸出端虛設(shè)一個理想采樣開關(guān)

當(dāng)在系統(tǒng)輸入端加一個單位脈沖函數(shù)時，有、，所以

即單位脈沖響應(yīng)為

也就是說，離散系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的z變換就是：

線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)由此而得名。

2.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)

圖5.3-8

a.所示開環(huán)離散系統(tǒng)中，在G1(s)和G2(s)兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間設(shè)置有理想采樣開關(guān)。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，由圖5.3-8

a.可得

即：環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時，各環(huán)節(jié)“先Z變換，后乘”。2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)

開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為

（5.3-78）

即：環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)時，各環(huán)節(jié)“先乘，后Z變換”。圖5.3-8設(shè)置有理想采樣開關(guān)的兩種開環(huán)離散系統(tǒng)所以因此（5.3-77）

例5.3-11若

，

試求圖5.3-8中兩類系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

解：當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)隔開時，有

因此

而當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)隔開時，則有

所以

顯然3）開環(huán)系統(tǒng)有零階保持器

設(shè)有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)如圖5.3-9

a.所示。

由圖5.3-9b.可得

（5.3-79）

3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

例5.3-13

對圖5.3-10所示的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)，虛設(shè)的三個理想采樣開關(guān)與實(shí)際的理想采樣開關(guān)都按周期T同步工作，試求系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)以及閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。圖5.3-9有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)

解：由題，先求拉氏變換，由及

圖5.3-10誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)得由，有取z

變換，可得

整理可得此系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)

以及閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

為所求。

需要指出：由于采樣開關(guān)的影響，采樣系統(tǒng)不能簡單地按照連續(xù)系統(tǒng)的等效變換方法化簡結(jié)構(gòu)圖，而應(yīng)細(xì)心處理。

如果誤差信號

處沒有采樣開關(guān)，則不能求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的

z

變換函數(shù)。系統(tǒng)特征方程為

即

或

表5.3-3

列出了幾種常見線性離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖以及輸出信號的

表達(dá)式。

5.3.5離散系統(tǒng)的表示和模擬

1.離散系統(tǒng)的方框圖表示

圖5.3-14所示的結(jié)構(gòu)圖表示一個離散系統(tǒng)。圖中

f(k)

和

y(k)

分別為系統(tǒng)的輸入和輸出。

與連續(xù)系統(tǒng)類似：幾個簡單離散系統(tǒng)的串聯(lián)、并聯(lián)或串并混聯(lián)，可以組成一個復(fù)雜的離散系統(tǒng)；離散系統(tǒng)的模擬也只有三個基本單元，包括加法器、數(shù)乘器與單位延遲器。

1）離散系統(tǒng)的串、并聯(lián)圖5.3-14

離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

圖5.3-15

離散系統(tǒng)的串聯(lián)

2）表示離散系統(tǒng)的三個基本單元圖5.3-17中分別給出了表示離散系統(tǒng)的三個基本單元，包括數(shù)乘器、加法器和單位延遲器的時域與Z域形式，并且假定單位延遲器的初始狀態(tài)

y(-1)

=

0

。圖5.3-16離散系統(tǒng)的并聯(lián)圖5.3-17

表示離散系統(tǒng)的三個基本單元

2.離散系統(tǒng)的信號流圖表示離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖表示規(guī)則相同。圖5.3-19離散系統(tǒng)框圖與信號流圖的對應(yīng)關(guān)系

3.離散系統(tǒng)的模擬

與連續(xù)系統(tǒng)的模擬類似，若已知離散系統(tǒng)的差分方程或脈沖傳遞函數(shù)

，可根據(jù)

與梅森公式的關(guān)系，得到系統(tǒng)的信號流圖模擬；再根據(jù)信號流圖與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系，可以進(jìn)一步得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖模擬；與連續(xù)系統(tǒng)的模擬形式類似，離散系統(tǒng)的信號流圖模擬通常也有直接形式、串聯(lián)形式和并聯(lián)形式。

例5.3-16

已知二階離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函為

，試用直接形式的信號流圖模擬該系統(tǒng)。解：先將系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G

(z)的分子分母同除以

，得到

G

(z)的表達(dá)式

(5.3-89)

將式(5.3-89)與梅森公式對照，可知：G

(z)的分母為系統(tǒng)的特征式，分母括號中的兩項(xiàng)分別為兩個互相接觸的環(huán)路傳輸函數(shù)；G

(z)的分子則為從F

(z)到Y(jié)

(z)的三條前向通路的傳輸函數(shù)之和。因此，系統(tǒng)信號流圖可由兩個相互接觸的環(huán)和三條前向通路組成。根據(jù)梅森公式和信號流圖的對應(yīng)關(guān)系，可畫出系統(tǒng)模擬圖如圖5.3-20所示。圖5.3-20例5.3-16的兩種直接形式模擬圖

其中，圖a.與圖b.分別是直接形式Ⅰ的信號流圖模擬及對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖模擬；圖c.與圖d.則是直接形式Ⅱ的信號流圖模擬及對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖模擬。5.3.6離散系統(tǒng)的性能分析

離散系統(tǒng)的性能分析和連續(xù)系統(tǒng)一樣，也包括穩(wěn)定性、動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)性能三個方面。

1.離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件一個離散系統(tǒng)，如果在任意有界輸入下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出意義下的穩(wěn)定系統(tǒng)，簡稱穩(wěn)定系統(tǒng)。

2）z

域與s域的映射關(guān)系

在z

變換的定義中，復(fù)變量

s與z的關(guān)系為考慮復(fù)變量s

與z可分別表示為

，故有，

即。由此可得到[s]平面與[z]平面的如下映射關(guān)系：

σ<

0

→

r

<

1

，即

[s]左半平面

→[z]

平面的單位圓內(nèi)(|

z

|

<

1)；

σ>

0

→

r

>

1

，即

[s]

右半平面

→[z]

平面的單位圓外部(|

z

|

>1)；

σ=

0

→

r

=

1

，即

[s]

平面的虛軸

→[z]

平面的單位圓(|

z

|

=1)。

[s]

平面的實(shí)軸(

jω

=

0、s

=

σ)→

[z]

平面的正實(shí)軸(θ=

0

，z

=

r

)

；

[s]平面的原點(diǎn)(σ

=

0，jω

=

0)→

[z]

平面上的z

=1點(diǎn)(θ

=

0，r

=

1)

；

圖5.3-23[s]平面與[z]平面的映射關(guān)系

3）離散系統(tǒng)穩(wěn)定條件的時域和z域表示

①時域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為

（5.3-91）

其特征方程為