高等數(shù)學(xué)練習(xí)題(附答案)

《高等數(shù)學(xué)》

專業(yè)年級學(xué)號姓名

一、判斷題.將J或X填入相應(yīng)的括號內(nèi).(每題2分，共20分)

()1.收斂的數(shù)列必有界.

()2.無窮大量與有界量之積是無窮大量.

()3.閉區(qū)間上的間斷函數(shù)必?zé)o界.

()4.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)函數(shù).

()5.若/(x)在X。點可導(dǎo)，則，(%)|也在4點可導(dǎo).

()6.若連續(xù)函數(shù)y=/(x)在點不可導(dǎo)，則曲線y=/(x)在(%,/(%))點沒有切

線.

()7.若在［a,例上可積，則〃幻在［a,切上連續(xù).

()8.若z=/(x,y)在(x。,〉。)處的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)z=/(x,y)在

(項)，先)處可微.

()9.微分方程的含有任意常數(shù)的解是該微分方程的通解.

()10.設(shè)偶函數(shù)/(幻在區(qū)間(一1,1)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且/〃(0)=/'(0)+1,則

/(0)為/(幻的一個極小值.

二、填空題.(每題2分，共20分)

1.設(shè)了。一1)=/,則y(x+i)=.

I

2人-1

2.若/(%)=——,則lim=.

.so*

2,+1

3,設(shè)單調(diào)可微函數(shù)/(%)的反函數(shù)為g(x),/⑴=3,尸(1)=2,/"(3)=6則

g<3)=?

X

4.設(shè)〃=盯+—,則du=.

y

5,曲線尤2=6y—y3在(_2,2)點切線的斜率為.

6.設(shè)/(%)為可導(dǎo)函數(shù)，/⑴=1,F(x)=/(-)+/(丁),則/⑴=.

7.若J："12dt=x2(l+X),則/(2)=.

8./(x)=x+2y［x在［0,4］上的最大值為.

9.廣義積分J：噓-2'公=.

10.設(shè)D為圓形區(qū)域/+/<+x5dxdy=.

三、計算題(每題5分，共40分)

2.求y=(x+l)(x+2)2(x+3)3……(x+lOp。在(0,+8)內(nèi)的導(dǎo)數(shù).

計算定積分JoVsin3x-sin5xdx.

5.求函數(shù)/(%》)=/一4一+2到一丁的極值.

6.設(shè)平面區(qū)域D是由y=J7,y=x圍成，計算JJ組匕/xdy.

Dy

7.計算由曲線孫=1,孫=2,y=x,y=島圍成的平面圖形在第一象限的面積.

2r

8.求微分方程y'=y——的通解.

四、證明題(每題10分，共20分)

.x

1.證明：arctanx=arcsin,(-00<x<+00).

1+工

2.設(shè)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù),且/(x)>0,

2x）=Lrx/⑺力+rLxi

Jo

%/（r）

證明：方程F（x）=0在區(qū)間（47,/?）內(nèi)有且僅有一個實根.

《高等數(shù)學(xué)》參考答案

一、判斷題.將J或X填入相應(yīng)的括號內(nèi)（每題2分，共20分）

1.V；2.X；3.X；4.X；5.X；6.X；7.X；8.X；9.V；10.V.

二、填空題.（每題2分,共20分）

I.x~+4x+4；2.3.1/2；4(y+1/y)dx+(x—x/y2)dy；

5.2/3；6.1；7.V36；8.8；9.1/2；10.0.

三、計算題（每題5分，共40分）

〃+1111〃+1

L解：因為-----<----1-------+-*-----------T<——

(2?)2rr(n+1)2(2〃)2n2

〃+1八一〃+1

且lim=0，lim——=0

"f8(2/2)2“foe

由迫斂性定理知：lim（^+1

-------+…+

n—>oo(〃+1尸冊二°

2.解：先求對數(shù)Iny=ln(x+1)+21n(x+2)…+101n(x4-10)

1210

----+-----+…+------

x+1x+2x+10

12

.J=(x+l).9+I0)(77T+0+...+

2d4x

J]一(V^)2

=2arcsinyfx+c

4.解：原式=「Jsin，xcos2xdx

￡33

2

=pcosxsin^xdx-j/Tcosxsinxdx

■2

7C33

=sinxdsinx-jsinaxdsinx

Jo2

2-￡2-

=—[sin2^]o--[sin2x]；

52

=4/5

5.解:/；=3x2-8x-2y0f；=2x-2y=0

x=0x=2

故或V

y=0l>=2

x=0

當(dāng)c時，：(0,0)=-8，/；(0,0)=-2,A；(0,0)=2

y=。

vA=(-8)x(-2)-22>0且A=-8<0

(0,0)為極大值點且/(0,0)=0

x=2

當(dāng)]=2時<；(2,2)=4，%(2,2)=-2,&(2,2)=2

=4x(-2)-22<0無法判斷

6.解：D=kx,y)pWy4I,/AxWy}

.刃『=同；等￡j；苧叫阿

=￡(siny-ysiny)力

[-cosy]\+￡ydcosy

=1-cosl+[ycosy]*-^cosydy

=l-sinl

7.解：令〃=冷，v=—；則1<v<V3

x

i

J-x-J2-Jwv2vVv1

y“KVrVw2v

2A/WVv

-dv=InV3

D2v

8.解：令y2=u,知(“)'=2"-4x

由微分公式知：u=y2=』"'(J-4xJ_2"'dx+c)

=e2x(^~4xe~2xdx+c)

=e2x(2xe~2x+e~lx+c)

四.證明題（每題10分，共20分）

X

1.解：設(shè)f(x)=arctanx-arcsin/一

VI+x2

.../(x)=c—oo<x<4-oo

令x=0v/(0)=0-0=0,-.c=0即：原式成立。

2.解:???/(x)在[a,切上連續(xù)

且

ihf(t)J"

故方程尸(x)=0在(a,母上至少有一個實根.

又?(%)=/(尤)+3v/(x)>0

/(x)

F'(x)>2

即尸(x)在區(qū)間［”,句上單調(diào)遞增

尸。)在區(qū)間(a,加上有且僅有一個實根.

《高等數(shù)學(xué)》

專業(yè)學(xué)號姓名

一'判斷題(對的打錯的打X；每題2分，共10分)

l./(x)在點/處有定義是/(X)在點與處連續(xù)的必要條件.

2.若y=/(x)在點與不可導(dǎo)，則曲線y=/(x)在(/，/(/))處一定沒有切線.

3.若/(x)在［a,句上可積，g(x)在［a,句上不可積，則/(x)+g(x)在［a,切上必不可

積.

4,方程.Z=0和爐+/+z2=0在空間直角坐標系中分別表示三個坐標軸和一個點.

5.設(shè)y*是一階線性非齊次微分方程的一個特解，歹是其所對應(yīng)的齊次方程的通解，則

y=了+y*為一階線性微分方程的通解.

二、填空題(每題2分，共20分)

1.設(shè)f(3x)=J2x+1,f(a)=5,則a=.

2.設(shè)/(x)=螞1￥2,當(dāng)/(0)=_____時，/(x)在點x=0連續(xù).

arcsin3x

3.設(shè)/(x)=limx(l+-)2v，,則/"(x)_______.

，一>8f

4.已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f'(a)=A,則

ljm/(67+2A)-/(t7-3/z)_

h

5.若2/(X)COSX=4"(X)『，并且八0)=1,則/(x)

6.若/(x),g(x)在點人左連續(xù)，且/(Z?)=g(〃)，/'(%)>g'(x)(?<x<Z?),

貝IJ/(無)與g(x)大小比較為/(X)g(x).

7.若y=sinx?,則—當(dāng)一

rx1

8.設(shè)“X）=［,In7力，則/（-）=.

9.設(shè)z=e'"y,則t/z|（］,］）=.

10.累次積分J：歿內(nèi)化為極坐標下的累次積分為

三、計算題（前6題每題5分，后兩題每題6分，共42分）

sinx

(l+t)'dtrsinx—cosx,

1.lim2.設(shè)y=In，求y';3.----------dx\

Jl+sin2x

x2yj^—x2dx\

dxdy

6.求由方程2y一犬=（%一?。?11（%-丁）所確定的函數(shù)丁=y（x）的微分dy.

8.求方程ylnK/￥+（x-lny）力=0在初始條件山口］=e下的特解.

四、（7分）

已知了（8）=/+辦2+/?%在％=1處有極值一2,試確定系數(shù)。、b,并求出所有的極

大值與極小值.

五、應(yīng)用題（每題7分，共14分）

1.一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比.已知當(dāng)速度為10（幻〃/〃）時，燃

料費為每小時6元，而其它與速度無關(guān)的費用為每小時96元.問輪船的速度為多少時，每航

行16〃所消耗的費用最??？

2.過點（1,0）向曲線'=仆2作切線，求：（1）切線與曲線所圍成圖形的面積；（2）

圖形繞y

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

六、證明題（7分）

設(shè)函數(shù)/（幻在0Wx<a上的二階導(dǎo)數(shù)存在，且/（0）=0,/"（x）>0.證明

g（x）=在0<x<a上單調(diào)增加.

X

高等數(shù)學(xué)參考答案

、判斷題1.J；2.X；3.V；4.X；5.V.

二、填空題

2

1.36；2.—；3.4(1+x)c~x；4.5A；5.1+sinx；6.＜；

7.cosx2,2xcosx2；8.In2；9.2dx+dy；

2

10.J0^j()f(rcos26)rdr.

三、計算題

i

1舊—(l+sinx)sinxcosx

1.原式=rlim-----------------

xfOX

sinx

_￡_e

1

1

sinx-cosx

3.原式二J-^dx

(sinx+cosx)

1

-J-J(sinX+COSJC)

(sinx+cosx)2

1

+C

sinx+cosx

4.設(shè)x=2sin/則公=2cosZ力

n

原式二J(：4sin"?2cos，,2cos1力

可?2f3/小

n

=4sin22tdt=21J(l-cos4r)Jz

=2("；sin4嗾

二71

2y

—X-----,

dz_2,-2+/

223

dyx+y（一+加

331

222222

d2zy(x+y)-xy--(x+y)-2x

dxdy(x2+y2)3

(2X2y_y3M*2+y2

U2+y2)3

6.兩邊同時微分得:

2dy-dx={dx-dy)ln(x-y)+(x-y)----(dx-dy)

x-y

即2dy—dx=]n(x—y)dx—ln(x—y)dy+(dx-dy)

故dy=2+

3+ln(x-y)

（本題求出導(dǎo)數(shù)后，用6=y'dx解出結(jié)果也可）

-si^ndyx,dy,=\rid,yr>,\si^ndyx,

H{

Dyy

Jo(siny-ysiny)辦

=-cosR：+ycosy|：-J；cos2

=1-cosl4-cosl-sin)'1^

=l-sinl

8.原方程可化為-+—!—%=-

dyylnyy

-T—dy廣f一一dyJ

blnvvlnv

通解為x=e[f^--dy+C]

Jy

=e-'n'ny\[e'n'ny--dy+C]

Jy

12

=_Lrf1In+C]=-L[1(Iny)+C]

Iny'yIny2

1C

=—Iny-\----

2Iny

九=e代入通解得C=1

故所求特解為：（lny）2—2xMy+l=0

四、解：f'(x)=3x2+2ax+b

因為/(x)在x=l處有極值一2,所以x=l必為駐點

故f'(l)=3+2a+b=0

又/(l)=l+a+Z?=—2

解得:?=0,b=—3

于是f(x)=x3-3xf\x)-3(x2-1)

f\x)=-6x

由廣(x)=0得x=±\,從而

=6>0,在x=l處有極小值/(1)=—2

/?(-l)=-6<0,在x=—1處有極大值f(-l)=2

五、L解：設(shè)船速為x("租/〃)，依題意每航行M〃z的耗費為

y=—(^+96)

x

又x=10時，入1。3=6故得左=0.006,所以有

_y=—(0.006%3+96),%e(0,+oo)

x

令8000)=0,得駐點x=20

由極值第一充分條件檢驗得x=20是極小值點.由于在(0,+8)上該函數(shù)處處可導(dǎo)，且

只有唯一的極值點，當(dāng)它為極小值點時必為最小值點，所以求得船速為20(女團/加時，每航

行次加的耗費最少，其值為Win=0006x2()2+二=7.2(元)

2.解：(1)設(shè)切線與拋物線交點為(/,%),則切線的斜率為4

/T

又因為>2=》一2上的切線斜率滿足2y-V=1,在(/，打)上即有2%了=1

所以2yo?一^-=1，即2)l=/一1

又因為(%,打)滿足光？=玉)一2,解方程組

,2y：=%—1得尤o=3

￡=/一21凡=1

所以切線方程為y=g(x—l)

則所圍成圖形的面積為:

S=[[2+y2_(2y+l)]dy=：

JO6

(2)圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：

V-乃_1)2公_乃/(x-2)dx-看

-、工J*)],#V)-/WW)-[/U)-/(0)]

八、證：L-----J=--------s------=-------------5-----------

XXX

在[0,幻上，對/(幻應(yīng)用拉格朗日中值定理，則存在一點Je(0,x),使得

—(0)=礦@

代入上式得[四]'=

XX

由假設(shè)1r(幻>。知/1‘(》)為增函數(shù),又x>g,則f'(x)>_r()),

于是f'(x)-/'?)>0,從而[四]'〉0,故1區(qū)在(0,a)內(nèi)單調(diào)增加.

XX

《高等數(shù)學(xué)》試卷

專業(yè)學(xué)號姓名

一、填空題(每小題1分，共10分)

1.函數(shù)y=arcsinVl-x2+J的定義域為。

2.函數(shù)y=x+"上點(0,1)處的切線方程是。

3.設(shè)/(x)在/可導(dǎo)且/'(Xo)=A,則1沁"飛+2〃)-/(龍。3〃)__

20h

4.設(shè)曲線過(0,1),且其上任意點*,y)的切線斜率為2%,則該曲線的方程是.

5.[—^—rdx=o

Jl-x4

?1

6.limxsin-=o

18x

7.設(shè)/（x,y）=sinD，則￡（x,y）=。

8.累次積分J：辦/（f+y2協(xié)化為極坐標下的累次積分為。

9.微分方程R+3（R）2=o的階數(shù)為__________?

dxxdx

0000

a

10.設(shè)級數(shù)Z4發(fā)散，則級數(shù)En__o

n=ln=1000

二、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫

在題干的（）內(nèi)，（1?10每小題1分，11?17每小題2分，共24分）

1.設(shè)函數(shù)y（x）=Lg（x）=i-x,則“g（x））=（）

X

①1」②1+工③一!-④x

XXl-x

2.xr0時，xsin—+1是（）

X

①無窮大量②無窮小量③有界變量④無界變量

3.下列說法正確的是（）

①若/（X）在X=Xo連續(xù)，則/（X）在x=X?？蓪?dǎo)

②若f（x）在X=/不可導(dǎo)，則/（X）在X=/不連續(xù)

③若/（X）在尤=/不可微，則/（X）在x=x0極限不存在

④若f（x）在X=X。不連續(xù)，則/（X）在X=X。不可導(dǎo)

4.若在（“力）內(nèi)恒有/'（幻<0,/〃（k>0,則在91）內(nèi)曲線弧丁=/（犬）為（）.

①上升的凸?、谙陆档耐够、凵仙陌蓟、芟陆档陌蓟?/p>

5.設(shè)F（x）=G'（x）,則（）

①/（x）+G（x）為常數(shù)②/（x）-G（x）為常數(shù)

③F(x)—G(x)=0@-y-JF(x)dx--y-JG(x)dxx

6.JJx|tZr=()

①。②1③2④3

7.方程2x=3y=l在空間表示的圖形是()

①平行于面的平面②平行于Oz軸的平面

③過Oz軸的平面④直線

8.設(shè)=1+貝ij/(江,))=()

①/(x,y)②產(chǎn)/(x,y)③戶/(x,y)

9.設(shè)a.20,且lim"J1=p,則級數(shù)Ya,,()

…anZt

①在p〉l時收斂，p<l時發(fā)散②在時收斂，〃<1時發(fā)散

③在時收斂，p〉l時發(fā)散④在〃<1時收斂，〃〉1時發(fā)散

10.方程y'+3孫=6x?y是()

①一階線性非齊次微分方程②齊次微分方程

③可分離變量的微分方程④二階微分方程

11.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是

①y=e"②y=J?+1③y=x%osx④y=ln|x|

12.設(shè)/(x)在(a,b)可導(dǎo)，a<x{<x2<b,則至少有一點使(

①f(b)-f(a)=.f'q)(b-a)②f(b)-f(a)=/(期%一%)

③/⑷一/(為)=f'(+(b-a)@/(x2)-/(%,)=f'(4)(x2-x,)

13.設(shè)/(x)在x=x。的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是/(x)在x=/可導(dǎo)的()

①充分必要的條件②必要非充分的條件

③必要且充分的條件④既非必要又非充分的條件

14.設(shè)2f(x)cosx=a"(x)]2,則/(0)=1,則/1(》)=()

dx

①cosx②2-cosx③1+sinx④1-sinx

15.過點(1,2)且切線斜率為4丁的曲線方程為y=()

①x"②x』c③x』l?4x3

16.設(shè)幕級數(shù)在/(5HO)收斂，則在可＜瓜|()

M=071=0

①絕對收斂②條件收斂③發(fā)散④收斂性與。“有關(guān)

17.設(shè)D域由y==V所圍成，貝ij“斗，()

DX

①"「皿加②『辦廠皿如

JoJ*XJoJ^X

③工成《等加④J?十歲江

三、計算題(1?3每小題5分，4?9每小題6分，共51分)

x-1

1設(shè)y=求.

x(x+3)

limSin(9x2-16)

2.求

%3x—4

dx

3.計算\

(1+，)2

4.設(shè)x=]](cos〃)arctan〃成，y=j；(sin〃)arctan，求—.

5.求過點A(2,1,-1),B(l,1,2)的直線方程.

6.設(shè)“=eX+6+sMz,求du.

exrqsin6

7.計算[[rsinOdrdO.

JoJo

8.求微分方程dy=(2tI)2辦:的通解.

x+1

3

9.將fM=-----------展成的累級數(shù).

(1—%)(2+x)

四、應(yīng)用和證明題(共15分)

1.(8分)設(shè)一質(zhì)量為m的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度

(比例常數(shù)為左>0)求速度與時間的關(guān)系。

2.(7分)借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)x>l時，2G>3-二。

X

高等數(shù)學(xué)參考答案

一、填空題(每小題I分，共10分)

1.(—1,1)2.2x—y+l=03.5A4.y=x?+l

5.—arctanx26.17.ycos(xy)

8.9.三階10.發(fā)散

二、單項選擇題(在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，將其碼寫在題干的

()內(nèi)，1?10每小題1.分，11~17每小題2分，共24分)

L③2.③3.④4.④5.②6.②7,②8.⑤9.@10.③

11.④12.④13.⑤14.③15.③16.①17.②

三、計算題(1?3每小題5分，4?9每小題6分，共51分)

1.解：Iny=g[ln(x-l)-ln%-ln(x+3)]

—y=；()

Ix-1xx+3

p-i(i__1__L、

|x(x+3)x-1xx+3,

1.18xcos(9x2-16)

2.解：原式=lim---------------

常3

18(1)COS(9(1)2-16)

------------------=8

3

xx

3.解：原式=J*(l+e—e)dx

(l+e,)2

=J

(1+/)」(l+/)2

Ax

=J,(1+^—e)dx1

l+e'11+e'

=A:-ln(l+，)+——+c

\+ex

4.解：因為公=((:ost)arctgtdt,dy=-(sinr)

dy_-(sint)arctgtdt

=~tgf

dx(cost)arctgtdt

5.解：所求直線的方向數(shù)為｛1,0,—3)

x-1y-\z—2

所求直線方程為

6.解：血=/+6+疝2。+捱+5畝2)

=e*+6+，in:(dx4——1dy+coszdz)

2萬

enpasin。1crni

7.解：原積分=fsina/外rdr^-a2\sin3Odd

JoJo2J0

=a2^^edd=-cr

Jo3

8.解：兩邊同除以(>+1)2得-dy—=-dX-

(l+y>(1+x)2

兩邊積分得j—空方=[—

J(l+y)2J(l+x)2

亦即所求通解為—------1—=c

x+1y+l

9.解：分解，得/(%)=—+—

\-x2+x

111

=-----+--------

1-x2]+2

2

=如+扛(T)*小<1且附)

n=0Zn=0乙I4I

=.U+(T$，<W<1>

n=0乙

四、應(yīng)用和證明題(共15分)

1.解：設(shè)速度為u,則u滿足加=?--=mg—ku

dt

解方程得〃=L(，〃g-ce-”

k

由U|”。=0定出C,得“=避(1—e")

k

2.證：4/(x)=277+--3則/(x)在區(qū)間［1,+8］連續(xù)

X

而且當(dāng)兀>1時，/v)=4=-4>o(%>i)

yJXr

因此/(幻在［1,+-］單調(diào)增加

從而當(dāng)x>1II寸，/(%)>/⑴=0

即當(dāng)X>1時，2G>3-L

X

《高等數(shù)學(xué)》

專業(yè)學(xué)號姓名

?、判斷正誤(每題2分，共20分)

1.兩個無窮大量之和必定是無窮大量.

2.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必定為連續(xù)函數(shù).

3.y=/(%)在點/連續(xù),則y=/(尤)在點與必定可導(dǎo).

4.若/點為y=/(x)的極值點，則必有f'(xo)=O.

5.初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)必定存在原函數(shù).

6.方程，+y2=1表示一個圓

7.若z=f(x,y)在點M0(x0,%)可微，則z=7(元,y)在點Af0(x0,%)連續(xù).

8.(y')2=-2x-/是二階微分方程.

d1

9.一sin/Jr=sinx—sinl.

dx^

10.若曠=/(x)為連續(xù)函數(shù)，則必定可導(dǎo).

二、填空題(每題4分，共20分)

1.=.

11+sinx

c-sin2x

2.lim=?

X-KOX

3.設(shè)((x)=l,且/(o)=l,則］7(1以=

4.z=xy2,則dz=.

df”?2

5.—sinx=_____________.

dx'i

三、計算題與證明題（共計60分）

1.（1）lim——，（5分）；

（n+1）

（2）lim|-——（5分）。

ex-1J

2.求函數(shù)y=（sinx）""'+（cosx）"""的導(dǎo)數(shù)。（10分）

3,若在（一00,+8）上尸（》）＞0,/（0）＜0.證明：/（6=幽在區(qū)間（一8,0）和（0,+8）上

X

單調(diào)增加.（10分）

4.對物體長度進行了〃次測量，得到〃個數(shù)尤”々，…，X”?，F(xiàn)在要確定一個量X，使之與

測得的數(shù)值之差的平方和最小.X應(yīng)該是多少？（10分）

5.計算Jxsin—ar.（5分）

6.由曲線y=lnx與兩直線丁=6+1-%，丁=0所圍成的平面圖形的面積是多少.（5分）

7.求微分方程x￡=x—y滿足條件乂4”=。的特解。（5分）

8.計算二重積分J]/如加。是由圓/+＞2=i及無2%丫2=4圍成的區(qū)域（5分）

D

高等數(shù)學(xué)參考答案

一、判斷正誤(每題2分，共20分)

1-5.X'X’X‘X‘J.6To.X,J，X,X,J

二、填空題(每題4分，共20分)

112

1.tunx4-c；2.0；3.x+c；4.y2dx+2xydy；5.0.

cosx2

三、計算題與證明題。(共計60分)

n+l-3?:

(n-lX33?用

1.(1)lim------=lim1--------

〃+[J〃+[H+1

..lim-3-〃--

_e"->gw+i

(11]「1—X)].(C>A-1-x]

(2)Hm-------------=lim—；------=lim-

x/J

xfo(xe-\)XTO(x(e*-1)J

(ex-\\(ex\

=lim-------=lim一

一。(2xJ2)-2

2.令必=(sin為=(cosx)s,nv則必—_CcosxInsinx

x+]2

必'=/osxln$in，=ecosxlnsin.v(cosxlnsinxy=sin(cotx-lnsinx)

s,nA+I2

同理y2=cosx(incosx-tanx

yf=sinxcosx+l(cot2x-lnsinx)+cosxsinA：+(incosx-tan2x)

3.???b=

.?丁(x)=(四j/)J(x)

XX

令g(x)=4'(x)—/(x)則g'(x)=4〃(x)>0

/.當(dāng)x>OB寸，g(%世/單調(diào)遞增；x<OH寸，g(x)為單調(diào)遞減。

則當(dāng)x>0時g(x)>g(O)>0F(x)>0當(dāng)1>附,尸(x)為單調(diào)遞增

當(dāng)x<0時g（x）>g（0）>0F（x）>0當(dāng)x<OB寸，E（x）為單調(diào)遞增

故命題成立。

4?令/(》)=(%_2)2+(%—々)2+.一+(%一%)2

廣(無)=2[依-(?+X2+???%?)]

則令/，(6=0=/=藥+…+X"為駐點

n

/"（Xo）=2">0項）點為/（x）的極小值點

「應(yīng)為網(wǎng)+…+招

n

2；

5.J%sinxtZx=jx-~cs2"dx=gJ(x-xcos2x)dx

=-1x21xsi?nc2x——1cos2-x+c

448

6-s=g+i_y-evky=(e+i)y”gyT-咻=|

7.方程變形為y+-y=l

X

而

初始條件：y|z=0=>c=-1

*11

/.y*=------\-—x

x2

8、力={(r洌14廠<2,0<6<2%}

：.\\x2dxdy=\\r~cos2OrdrdO=[cos2Od0?fr3dr=一TC

JoJi4

DD*

《高等數(shù)學(xué)》

專業(yè)學(xué)號姓名

一、判斷(每小題2分，共20分)

l.f(x)在點X。處有定義是f(x)在點X。處連續(xù)的必要條件.()

2.無窮小量與有界變量之積為無窮小量.()

3.y=f(x)在x0處可導(dǎo)，則y=|f(x)|在x0處也可導(dǎo).()

4.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必連續(xù).()

5.可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點一定是f(x)的駐點.()

6.對任意常數(shù)k,有J"(x)公=kj7(x)公.()

7.若f(x)在［a,b］上可積，則f(x)在［a,b］上有界.()

8.若f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，則當(dāng)f(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù)

Jjf(x,y)dxdy=O.()

D

9.(y')2=-2x-e'.的通解中含有兩個獨立任意常數(shù).()

10.若z=f(x,y)在P,,的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，則z=f(x,y)在P。連續(xù).()

二、填空(每空2分，共20分)

rrI1/2+X、x3

1.lim［xsin—+—sinx+(---)，J=.

x->8xxx

2.函數(shù)f(x)=x在10,3］上滿足羅爾定理的條件，定理中的數(shù)值自=.

3.設(shè)f(x)=\當(dāng)a=________時，f(x)在x=0處連續(xù).

a+xx>0

4.設(shè)z=e'~,則dz1(0,0)=.

5.函數(shù)f(x)=e"-xT在內(nèi)單調(diào)增加;在內(nèi)單調(diào)減少.

6.函數(shù)y=o?+法2+M+a滿足條件時，這函數(shù)沒有極值.

7.—[sinx