平面向量基礎知識梳理及平面向量基礎題,提升題,文科適用,理科適用

平面向量基礎知識梳理一、向量的概念：⒈有向線段：叫做有向線段.⒉向量：叫做向量.向量通常用有向線段或表示.⒊向量的模：向量的又叫做向量的模，記作.⒋兩個重要概念：①零向量：叫做零向量.記作.注意：零向量沒有規(guī)定它的方向，因此零向量的方向是任意的.②單位向量：叫做單位向量.注意：單位向量的方向與它所在向量的方向相同.⒌相等向量：叫做相等向量.向量與相等記作.⒍平行向量：叫做平行向量.向量與平行可記作.規(guī)定：與任一向量平行.即∥，∥，∥.⒎共線向量：叫做共線向量.注意：若與是共線向量，則與的方向，它們所在的直線它們的夾角是.⒏相反向量：叫做相反向量.的相反向量是，?的相反向量是，的相反向量是.⒐兩個非零向量和的夾角：.二、向量的運算：⒈向量的加法：⑴向量與的和的定義：⑵向量加法法則：①三角形法則（請畫圖于右）+（首尾相連）②平行四邊形法則（請畫圖于右）+（起點相同）⑶向量加法運算律：①交換律：②結(jié)合律：⑷特例：=，=，=.⑸向量加法的坐標運算：設=（x1，y1），=（x2，y2），則=.⒉向量的減法：⑴向量與的差的定義：向量加上的相反向量叫做與的差，記作+(?)=?.OAB?是怎樣的一個向量?答：.OABABD⑵向量減法法則：設=，=，ABD則?=-=.（請畫圖于右）.重要結(jié)論：設，是兩個不共線向量，則以AB、AD為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長分別是這兩個向量和與差的模.⑶特例：=，=，=.⑷向量減法的坐標運算：設=（x1，y1），=（x2，y2），則=.⒊實數(shù)與向量的積：⑴定義：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λ|=；②當λ＞0時，λ的方向與的方向，當λ＜0時，λ的方向與的方向；當λ=0時，λ=.⑵運算律：①λ（μ）=；②（λ+μ）=；③λ（）=.⑶實數(shù)與向量的積的坐標運算：⑷特例：若λ∈R，則λ=.⒋向量的數(shù)量積（或內(nèi)積）：⑴定義：已知非零向量和，它們的夾角為θ，則=.⑶運算律：①=；②（λ）·==；③（+）·=.注意：向量的數(shù)量積沒有結(jié)合律！特別地，=，或||=.⑸向量的數(shù)量積的坐標運算：設=（x1，y1），=（x2，y2），則=.⑹特例：=，=.三、重要定理、公式及方法：⒈平面向量基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使=λ1+λ2.⒉向量模的計算公式：設=（x，y），則||=.⒋如何證明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三點共線？⒌兩個向量平行、垂直的充要條件：大前提充要條件向量表示坐標表示平行=(x1，y1),=(x2，y2),且≠∥∥垂直=(x1，y1),=(x2，y2),且≠、≠⊥⊥注意：若不考慮上面的大前提，則⑴向量=(x1，y1),和=(x2，y2)平行的充要條件是x1y2-x2y1=0.⑵向量=(x1，y1),和=(x2，y2)垂直的必要不充分條件是x1x2+y1y2=0.⒎已知向量=(x1，y1),和=(x2，y2)，它們的夾角為θ，則cosθ=.⒐線段的中點坐標公式：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則線段P1P2的中點坐標是.⒑三角形的重心坐標公式：設△ABC三頂點的坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標是.平面向量1．向量的有關概念(1)平行向量：方向相同或____的非零向量；平行向量又叫____向量．規(guī)定：0與任一向量____.(2)相等向量：長度____且方向____的向量．(3)相反向量：長度____且方向____的向量．2．向量的線性運算3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當存在唯一一個實數(shù)λ，使__b＝λa__.結(jié)論：1．零向量與任何向量共線．2．與向量a(a≠0)共線的單位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.5．若P為AB的中點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.1．下列結(jié)論正確的打“√”，錯誤的打“×”.(1)向量就是有向線段；()(2)零向量沒有方向；()(3)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；()(4)若a∥b，b∥c，則a∥c；()(5)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上．()2．(2018·江南十校聯(lián)考)化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．0C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))3.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))4．(2017·太原模擬)向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置．如圖所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e25．(2015·新課標2)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝____.(2)(2017·成都模擬)設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)＝2b(1)(2017·南昌模擬)下列關于向量的敘述不正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的相反向量是eq\o(BA,\s\up6(→))B．模長為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點在同一條直線上，且AB＝CD，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))D．若向量a與b滿足關系a＋b＝0，則a與b共線例2(1)(2015·全國卷Ⅰ)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)(2018·山東曲阜期中)如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))、P是BN上的一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．3(3)(理)(2017·河南洛陽統(tǒng)考)如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(8,5) B．eq\f(5,8)C．1 D．－11)(2018·江西臨川一中月考)如圖，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)a B．eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC．eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)b D．eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a(2)(2017·山東師大附中二模)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)(3)平行四邊形ABCD中，M為BC的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，則λ－μ＝____.(1)設e1與e2是兩上不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8) D．不存在(2)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)例4在△ABC中，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)二、向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝_，a－b＝__，λa＝___，|a|＝___.(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝__，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__.4．向量共線的坐標表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?____.1．下列命題中正確命題的個數(shù)為()①在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))可以作為基底；②若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2；③若A(3,5)、B(－1,9)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,4)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).A．1 B．2C．3 D．42．(2015·新課標卷)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)3．設向量a＝(2tanα，tanβ)，向量b＝(4，－3)，且a＋b＝0，則tan(α＋β)等于()A．eq\f(1,7) B．－eq\f(1,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(1,7)4．(文)(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝____.(理)(2018·吉林省統(tǒng)考)向量a＝(－1,1)，b＝(x，－2)，若(a＋2b)∥b，則x＝()A．1 B．－eq\f(3,2)C．2 D．eq\f(2,7)5．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9,－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_例1(1)(2014·福建)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為____.(1)如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2例2(1)(2017·廣西耒賓實驗中學診斷)設向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，則λ＋x的值為()A．－eq\f(11,2) B．eq\f(11,2)C．－eq\f(29,2) D．eq\f(29,2)(2)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝____.(3)(理)(2017·東北三省四市二模)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m>0，n>0)，若m＋n＝1，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值為()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\f(\r(10),2)C．eq\r(5) D．eq\r(10)(1)已知a＝(1，－1)，b＝(1,0)，c＝(1，－2)，若a與mb－c平行，則m＝()A．－1 B．1C．2 D．3(2)已知a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈(0，eq\f(π,2))，若a∥b，則x＝___.1．向量的夾角范圍是____.2．向量數(shù)量積幾何意義：a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示(1)設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝__.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝____.③設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝④夾角：cosθ＝_=__.⑤已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b＝0?___；1．下列結(jié)論正確的打“√”，錯誤的打“×”.(1)兩個向量的數(shù)量積是一個向量．((2)向量在另一個向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角．(×)(4)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.()2．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝()A．6 B．5C．1 D．－63．(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝____..4．(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝____.5．(2016·課標全國Ⅲ)已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，則∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°例2(1)(2018·四川綿陽一診)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，則|a＋b|＝()A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)(2)若平面向量a、b的夾角為60°，且a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝3，則|2a－b|的值為()A．13 B．eq\r(37)C．eq\r(13) D．1(3)(2018·云南昆明一中模擬)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|＝____.(1)(2018·山西康杰中學五校期中)已知向量a、b滿足|b|＝2|a|＝2，a與b的夾角為120°，則