2021屆“超級全能生”高三全國卷地區(qū)4月聯(lián)考試題（丙卷）數(shù)學（理）試題解析

2021屆“超級全能生”高三全國卷地區(qū)4月聯(lián)考試題（丙卷）數(shù)

學（理）試題

一、單選題

1.已知集合4=卜卜>2},3=卜,2-4》+3?0},則AD8=（）

A.{x|2〈x43}B.1x|2<x<3|

C.{x[2<x<3}D.{x|2<x<3}

答案：B

先解一元二次不等式化簡集合6,再進行交集運算即可.

解：集合8={目廠-4尤+34。}={x|l4xW3},A={x|x>2},故AcB=2cx<3}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z=±C,則5=()

3-4z

A.3+4iB.3-4zC.—3+4iD.—4一3z

答案：B

由復(fù)數(shù)除法運算可求得z,由共物復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.

24-/2525(3+4/)…._

解：?7=々/?=丁二心八/?、=3+4,.??2=3—4〉

3-4i3-4i(3-4/)(34-4Z)

D.

根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可排除A、D；根據(jù)/（e）的值，可排除B,即可求解.

X.—X

解由題意’函數(shù)/（x）=M的定義域為（一8,0）U（。,+8）,可得定義域關(guān)于原點對稱'

又由/（-X）=/（力，所以/（X）是偶函數(shù)，故排除選項A、D；

因為/（e）="■蘭可排除B.

'Ine

故選：C.

7

4.若(:。36=云,6e)

4

D.

A-I5

答案：D

nn

先利用三角恒等變換COS8=2COS2——1,結(jié)合角的范圍，求解cos—,再利用誘導(dǎo)公式求解

22

7/9f)32則8s2空更

解：因為cosB=—=2cos2---1,所以2cos2—=—

252225225

因為6?€（0,萬），所以2G（0,n故c-，

即cos—>0,

225

n004

所以sin—+—=cos—=一

2225

故選：1）.

5.已知遞增等差數(shù)列｛4｝，4=1,且%為4+1與%+1的等比中項，則公差"=（）

A.1B.1或-3C.3或一1D.3

答案：D

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，將。2，%用首項與公差表示，再根據(jù)等比中項公式及數(shù)列｛。,,｝為遞增

等差數(shù)列即可求解.

解：解：因為。2=1+"，%=1+24,且%為4+1與%+1的等比中項，

所以(1+4)2=(1+1)(2+2J),解得d=3或一1(舍)，

故選：D.

2

6.定義在R上的偶函數(shù)“X)滿足〃％+1)=-/(X),且當OWxWl時，/(x)=log3(x+2),

貝！)/(-2021)=()

A.1B.1g9C.1g3D.0

答案：A

先利用/(x+1)=-/(%)求得周期為7=2，再利用奇偶性和周期性轉(zhuǎn)化

/(-2021)=/(2021)=/(1),代入解析式即得結(jié)果.

解：由/(x)滿足=得,f(x+2)=/(x),

所以函數(shù)/(x)的周期T=2，

且當OWxVl時，〃x)=log式V+2),f(x)為偶函數(shù)，

所以/(—2021)=/(2021)=/(l)=log33=1.

故選：A.

7.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm)是()

12

a

2-D.3-

先在正方體中還原該三視圖對應(yīng)的幾何體，再計算三棱錐的體積即可.

解：根據(jù)三視圖可知，其還原后的幾何體為邊長為2的正方體ABC。-ABIGA內(nèi)的三棱錐

o-O'BC,如圖所示，0,0,分別是上下底面的中心.

I2

其體積^O-OBC-x(2x1x1)x2

323

故選：D.

22

8.已知雙曲線E:二一斗=1（。＞0力〉0）的左、右焦點分別為耳，乙，P為E左支上位于第二

a~b

象限的一點，若直線「工與E的右支相交于。，且滿足匝=2的，|。6|=仇則E的漸近線方

程為（）

B?y=±-^-x

A.y=±-x

32

C.y=±3xD.y=±—X

3

答案：C

由雙曲線定義可推導(dǎo)得到|P4|=3h—2a,|Q凰=2a+仇在△/>￡"和AQGB中，利用余弦定

由雙曲線的定義得：|P閭一|尸片|=2°,即|「耳|=|「用一2。，.」尸制=3》一2。,

同理可得：|Q6|=2a+江

在6K和AQ大鳥中,

（3/7）2+4c2—（3b—2aJb2+4c2~（2a+b）2

COSNPF2R

2-3b-2c-2-b-2c

整理可得：3a=b,：2=3,

a

，雙曲線E的漸近線方程為：y=±3x.

故選：C.

點評：關(guān)鍵點點睛：本題考查雙曲線漸近線方程的求解，解題關(guān)鍵是能夠分別在兩個三角形中利用

余弦定理表示出同一角的余弦值，由此構(gòu)造方程求得db之間關(guān)系.

9.斐波那契數(shù)列(匹祖owccisequence)是數(shù)學家萊昂納多?斐波那契(Leonardod?Fibonacci)

以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列｛q｝用遞推關(guān)系：ax=a2=\,an+2=an+x+an.

來刻畫，執(zhí)行如圖所示的程序框圖來計算該數(shù)列的第2021項,

則（1）（2）處分別填入的是（）

A.T=S-7>22020?B.T=S-T,n>2021?

C.T=5,/7>2020?D.T=S,n>2021?

答案：A

根據(jù)給定的程序框圖，執(zhí)行第一次和第二次循環(huán)，以及最后一次循環(huán)，結(jié)合排除法，即可求解.

解：由題意，執(zhí)行第一次循環(huán)，S=1+1=2,%=S=2,此時（1）中7的值應(yīng)為生的值，即T=l，

若（1）處所填的算法步驟為T=S,顯然1=2,矛盾，故排除選項，故T=5-7；

第一次循環(huán)，經(jīng)過S=S+T算法步驟后S=%，〃=1+1=2；

第二次循環(huán)，經(jīng)過算法步驟S=S+T后S=%,〃=2+1=3.

依此類推，最后一次循環(huán)，經(jīng)過算法步驟S=S+T后S=%）2”〃=2019+1=2020,〃=2020

滿足判斷條件，應(yīng)跳出循環(huán)體，則〃22021不成立，故排除8選項,

故選：A.

532

10.^a=—,b=—,c=—,則（）

In5In3In2

A.a<c<bB.a<b<c

C.h<a<cD.b<c<a

答案：D

303030

先將a",c畫出分子同為30的數(shù)，即。=菽，匕=訶，c=，MtLSln3l0>ln2,5>ln56，

即得a,b,c的大小關(guān)系.

553030,3303023030

''一m5-61115—11156'一m—101n3—ln3i°'-ln2-151n2-ln215

3,O=（32）5>（23）5=215=（25）3>（52）3=56>1

ln3l0>ln2'5>ln56>0，

303030

ln310<ln215<InF即b<c<a.

故選：D.

點評：關(guān)鍵點點睛：

本題的解題關(guān)鍵在于將三個數(shù)統(tǒng)一為分子同為30的數(shù)，轉(zhuǎn)化成比較31°,2匕56的大小關(guān)系，再結(jié)合

指數(shù)累的性質(zhì)，利用幕函數(shù)單調(diào)性比較大小即突破難點.

11.設(shè)〃》)=62'-。，8(力=/〃(％+。)(。€&,若不等式./'(8(》))一8(/(力)>0恒成立，貝I]。

的取值范圍為()

A.[0,1]B.(!,+?>)C.[-U]D.(—1]

答案：B

令新的函數(shù)y=/(g(x))—g(/(x))(x>—a),將不等式/(g(x))—g(/(x))>0恒成立，轉(zhuǎn)化

為Nmin>°成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)最小值?

解：令y=/(g(x))—g(/(x))(x>—。)，根據(jù)題意得

22

y—a=(x+a/-a-2x=x+(^2a—2^x+a-a>0恒成立，即ymin>0成立，

因為函數(shù)y=x2+(2a-2)x+a2-a[x>-a)的對稱軸為x=l-a>—a,所以函數(shù)的最小值

ymin=(1—a]+(2a—2)(1—a)+/—a=a—\>0,解得a>1.

故選：B.

12.已知正方體ABCO-A4GA的外接球的體積為1086乃，若E,EG,”分別為棱

49,ABIC,44的中點，則三棱錐EFG內(nèi)切球的半徑為()

A.373+372B.373-3>/2C.3指-亞D.2G-指

答案：B

根據(jù)球的體積公式和正方體外接球半徑為體對角線的一半可構(gòu)造方程求得正方體棱長a=6,計算

可求得三棱錐H—EFG的表面積，根據(jù)等體積法可知VH_EFG=VG_EFH=gs’EwFG=；Sr,

由此可求得內(nèi)切球半徑r.

BGC

設(shè)正方體外接球的半徑為R,由正方體的外接球的體積為3%內(nèi)=108g萬得：R=36

設(shè)正方體的棱長為a,貝13a2=（2R）2=4x@Ji『，解得：a=6；

由題意得：EH=FG=3C，EF=HG=3指,HF=6,EG=6五，

EF2+FG2=EG2>EH2+HG2^EG2>:.FG±EF,HG±EH.

又HF1FG,HF^}EF=F,”「，石/匚平面石;4^二陽,平面?"7,

，三棱錐H-EFG的表面積

S=S+SFHC+SFFC+SUCF=-x6x3\/2H—x3>/6x3^2H—x3\/6xH—x6x3>/2

4匕卜a4匕4匕/（/△/iG/2"2，2"2

=180+186；

設(shè)三棱錐H-EFG內(nèi)切球的半徑為廣,

根據(jù)等體積法得：VH_EFC=VG_EFH=2S.EFHFG'Sr,

S△FUFHH__,F__G_3x/3-3V2

s

故選：B.

3V

點評：結(jié)論點睛：多面體的內(nèi)切球的半徑〃二=，其中V為多面體體積，S為多面體的表面積.

二、填空題

13.已知向量￡=。,一2）石=（3,2+，）?/0）,且滿足132+0=5,貝打=

答案：—1

先計算3Z+B，結(jié)合卜￡+q=5得到關(guān)于力的方程式，解方程即得結(jié)果.

解：因為“=（/,-2）石=（3,2+。?/0）,所以3a+B=（3r+3,r-4）,

故由|3“+0=5知，（3f+31+?—4）2=25,

解得，=o或，=—1.又因為，*0,所以r=—i.

故答案為：—1.

14.記S”為等比數(shù)列｛q｝的前〃項和，公比為q（q力l,q€N*）,滿足/S"=2a/一/6N*,

則數(shù)列｛4｝的通項公式為%=.

答案：2"

先利用n=1時求得％=?再化簡已知式為S.=2a,-4，〃eN*,通過〃=2時，利用等比數(shù)列通

項公式計算4=4=2,即得結(jié)果.

解：當”=1時，qS|=2a；-4，所以生=。/，即4/=%2,而4片。，所以《=%

由=2。:一

2

得anSn=2a?-anq=an（2an-q）,n&N*,而q尸0,

所以S“=2a“N*

故當〃=2時，$2=q+4=2%-。，即々-4-q=。，而q=q,%=44=/，

所以d-2q=0.因為qKLqwN*,所以q=q=2,

故4=2”.

故答案為：2"-

點評：關(guān)鍵點點睛：

本題的解題關(guān)鍵在于通過已知式得到4=%S?=2an-q,neN*,再結(jié)合等比數(shù)列公式即突破難

點.

15.已知（根-2x）5展開式中各項系數(shù)和為32,（42丫

+—的展開式中二項式系數(shù)和為512,則

x)

展開式中常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

答案：84

先令x=l得到系數(shù)和（m-2）5=32解得參數(shù)如根據(jù)二項式系數(shù)和2"=512,解得參數(shù)〃，再利

展開式的通項公式解得常數(shù)項即可.

解：令％=1得到系數(shù)和（m—2）5=32,解得加一2=2,即加=4；

由二項式系數(shù)和為2"=512,解得"=9.

故件+上）,

其展開式的通項公式為=C；產(chǎn)（十）=。/喙"=0,1,2,...,9

3/

故令9—5「=0,即r=6時，得常數(shù)項為C：=84.

故答案為：84.

點評：思路點睛：

有關(guān)二項式展開式的系數(shù)和問題通常利用賦值法來求解；而二項式系數(shù)系數(shù)和只與〃有關(guān)，為2".

22

16.已知拋物線。：丁=22《，>0）的焦點尸與橢圓￡:5+方=1的一個焦點重合，過坐標原

點。作兩條互相垂直的射線OM，ON,與C分別交于M,N,則直線MN過定點

答案：（4,0）

先利用交點求拋物線方程，設(shè)直線方程，并與拋物線聯(lián)立求得點弘其再利用兩點坐標求斜率,

利用點斜式寫直線MN方程，整理即得定點.

22

解：因為拋物線C：9=2Px（〃>0）的焦點F與橢圓E：y+-^=1的一個焦點重合，

所以F（l,0）,p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.

設(shè)OM的方程為y^kx,與拋物線C的方程聯(lián)立得M

同理，ON的方程為y=--x,與拋物線C的方程聯(lián)立得點N（4%2,-4Z）,

K

4

%+4女_k+F_k

故直線MN的斜率AMN（k工±1）,

W_4公—412

k24k

故直線的方程為y+4Z.（x-4左2）,

\-k2

k

整理得—4），

1K

故直線MN過定點（4,0）；

當人士1時，直線"N的方程為x=4,也過點（4,0）,

綜上可知，直線MN過定點（4,0）.

故答案為：（4,0）.

點評：思路點睛：

圓錐曲線中求直線過定點的問題，通常需要聯(lián)立方程，得到二次方程后利用韋達定理，或者直接求

得交點坐標，結(jié)合題中條件（比如斜率關(guān)系，向量關(guān)系，距離關(guān)系，面積等）直接計算直線方程，

即可求出定點，運算量較大.

三、解答題

17.在△ABC中，角A,所對邊分別是滿足4acsin8cosBu/sinZC+dinZA.

（1）求8；

（2）若。2+4?+優(yōu)=16,求△ABC面積的最大值.

答案：（1）B=-；（2）勺5.

33

（1）由二倍角公式和正弦定理化簡已知式，并結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍，得到cosB='，即可

2

求得角8：

（2）由已知條件，利用基本不等式可得4的取值范圍，再結(jié)合三角形的面積公式即可求AABC面

積的最大值.

解：解：（1）由二倍角公式得4QCsinBcos8=2〃2sinCeosC+2c2sinAcosA,

由正弦定理得2sinAsinCsinBcos8=sin2AsinCcosC+sin2CsinAcosA

e.eA,Ce（0,〃），

sinAw0,sinCw0,

/.2sinBcos3=sinAcosC+cosAsinC,

即2sinficosB=sin（A+C）=sinB,

?..Be（0,乃），1.sinBw0,...cosB=—,

rr

由3w(0,萬)，知8=—；

3

(2)c1+a2+ac=\6,

二16-ac="+c222ac,當且僅當a=c=逆時，等號成立，

3

,16

ucW—，

3

痂01?nJ1664G

故~QCsinBW萬大—x—^―=———>

即當a=c=t&時，S.BC的最大值為迪.

33

點評：方法點睛：

求解三角形中有關(guān)邊長、角、面積的最值(范圍)問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面

積公式，建立a+/?,ab,/+〃之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.

18.如圖所示，在長方體ABCO-4旦中，AB=AD=1,點E是棱A4的中點，且異面直

線BD與C4所成角的余弦值為旦.

10

(1)證明：AC//平面BQE；

(2)求銳二面角與-E。-B的余弦值.

2

答案：(1)證明見解析；(2)—.

(1)連接耳。的中點R與E，證明E尸〃AC,再利用線面平行的判定定理即可:

（2）以4為坐標原點，建立合適的空間直角坐標系，設(shè)側(cè)棱4Al=。,利用異面直線8。與CR所

成角，列可而的關(guān)系，解出參數(shù)a,再分別求出平面和平面gOE的一個法向量，再利

用空間向量的夾角公式即可求解.

解：解：（1）證明：設(shè)AC與8D的交點為。，取與。的中點尸，連接

在長方體ABCD-ABIGR中，AB=AD=1,

。為BO的中點，口為4。的中點，

AOFHBB,,且OF=3B/.

?.?在長方體ABC。-44GA中，點E是棱AR的中點,

/.AE/IBB,,AE=LBB\,

2

.?.OP//AE,且OF=A￡,

???四邊形AEFO為平行四邊形，

EF//AO,即EF//AC.

?rEFu平面BQE,4。二平面BQE,

AC〃平面面。E；

（2）依題意，以力為坐標原點，AB.ADM所在的直線分別為X軸、丁軸、z軸建立空間直角坐

標系，如圖所示，設(shè)AA=。,

可得點A(0,0,0),B(l,0,0),0(0,1,0),C(l,l,0),A(0,0,a),D](0,1,a),

BD=(—1,1,0)?CD、=(—1,0,a),

:.\cos(CD1,BD)\="?=/I,~g，解得a=3(舍負),

1

'〃|c2H叫717^.72io

故點4(1,0,3),40,0,1),.??麗=(1,0,l),9=(0,1,-1),

設(shè)平面B】DE的法向量為〃=(x,y,z)，

n-EB、=02x+3z=0

不妨取z=2,可得3=(-3,3,2)；

n-ED-02y-3z=0

設(shè)平面BDE的法向量為〃z=(%,降4),而￡?=(0,1,-80=(-1,1,0)

m-ED=Q2y-3Z]=0.一

即《,不妨取Z[=2,可得m=(3,3,2),

m-BD=0[一%+y=°

2

二.銳二面角B-ED-B的余弦值為五.

點評：方法點睛：

求空間角的常用方法：

(1)定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合

題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果;

(2)向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角(直線方向向量與直線方向向量、

直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量)余弦值，即可求出結(jié)果.

19.2021年2月11日20:00整，中央電視臺辛丑牛年春節(jié)聯(lián)歡晚會隆重舉行.晚會中，華美的舞

臺令觀眾沉醉，震撼的科技讓酷炫盡顯，飽含深情的歌曲、充滿感染力的舞蹈、笑中有思的相聲

小品等一個個節(jié)目將過去一年來我國取得的舉世成就生動，形象、深刻地呈現(xiàn)出來，描繪出逐夢

中國的萬千氣象，攜著吉祥的祝福與全國人民一同邁入新的春天.為了了解電視觀眾對晚會的整體

評價，某調(diào)查機構(gòu)通過不同途徑調(diào)查了大量完整收看了春晚節(jié)目的電視觀眾的評分(滿分1()0分)，

并對其進行統(tǒng)計分析，制作了如圖的頻率分布直方圖：

，頻率

0.0400

0.0350

0.0300

0.0250

0.0225

0.0200

0.0150----------------------------

0^30405060708090100

(1)試估算春晚評分的平均值；

(2)假設(shè)評分在60分以上的，則認為觀眾對春晚是滿意的；不足60分，則認為觀眾對春晚是不

滿意的.研究者從樣本中抽取了年齡在45歲以上和45歲以下的觀眾各1()0名，發(fā)現(xiàn)年齡在45歲以

上的10()名的觀眾中滿意的有6()人，年齡在45歲以下的觀眾中滿意的有35人，請結(jié)合獨立性檢

驗的思想，完成下列列聯(lián)表，并分析是否有99.9%的把握認為觀眾的滿意度與年齡分布有關(guān)？

45歲以下45歲以上合計

滿意

不滿意

合計

(3)由問題(2),現(xiàn)從45歲以上的觀眾中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查，

并從這10人中隨機選出3人頒發(fā)參與獎勵，設(shè)獲得參與獎勵的不滿意的觀眾人數(shù)為X,求x的分

布列及數(shù)學期望.

附:

耳片〉30.150.100.050.0250.01()0.0050.001

氏02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc),,

K27-----~~77——---------7,〃=Q+0+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(/+d)

答案：（1）69.25；（2）表格見解析，有99.9%的把握認為觀眾的滿意度與年齡分布有關(guān)；（3）分

布列見解析，期望g.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖即可求解；

（2）根據(jù)題意列出2x2列聯(lián)表，求出A：?并與臨界值表進行比較，即可判斷;

（3）根據(jù)題意得出X的所有可能取值，求出相應(yīng)的概率，得到到分布列，利用公式求出數(shù)學期望.

解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可得估計春晚評分的平均值為：

35x0.05+45x0.075+55x0.1+65x0.3+75x0.225+85x0.15+95x0.1=69.25.

（2）根據(jù)題意，可得得2x2列聯(lián)表為

45歲以下45歲以上合計

滿意356095

不滿意6540105

合計100100200

Wjv2=200x(35x40-60x65)^i253i>i0828)

95x105x100x100

所以有99.9%的把握認為觀眾的滿意度與年齡分布有關(guān).

（3）根據(jù)分層抽樣，可知抽取的10人中，滿意的觀眾有效、10=6（人）,

100

40

不滿意的觀眾有——xl0=4（人）,

100

設(shè)獲得參與獎勵的不滿意的觀眾人數(shù)為X,則X的所有可能取值為0,1,2,3,

CC=20=1,尸午60_1

且(x=D=g

P(X=O)=-

Cf0~V2Q~6Jo1202

P-2)=,噌噌Pg)=管唱鼻,

所以隨機變量X的分布列為:

X0123

31

p

621030

所以E(X)=0xL+lx」+2xa+3x-L=g

V'6210305

點評：求隨機變量X的期望與方差的方法及步驟：

1、理解隨機變量X的意義，寫出X可能的全部值；

2、求X取每個值對應(yīng)的概率，寫出隨機變量的分布列；

3、由期望和方差的計算公式，求得數(shù)學期望E(X),￡>(X)；

4、若隨機變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點分布、二項分布、超幾何分布)，可利用特殊

分布列的期望和方差的公式求解.

20.已知函數(shù)/(%)=以2—2]nx(awR).

(1)若“X)在。，/⑴)處的切線與直線6x-y+8=0平行，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知函數(shù)g(x)=-2(a-l)x+2,且不等式/(x)-g(x)20在xe(0,+°。)恒成立，求。的

最小整數(shù)值.

答案：(1)單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)2.

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知條件求出。的值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解;

(2)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)換為求最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值即可求解.

2

解：解：(1)由題可知/'(x)=2ar—、(x>0).

因為函數(shù)/(x)在(1J。))處的切線與直線6%->+8=0平行，

所以/(X)在(1"(1))處的切線斜率左=r(l)=加-2=6,

解得a=4,止匕時/(x)=4x2—2Inx,xe(0,+oo),

,.ZX28r—2由/'(x)>0,得x>g,由/'(x)<0,得0cxeg,

f(x)=82x——=------

XX

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為(0,g

(2)因為不等式〃x)—g(x)20在XG(0,+。。)恒成立,

所以/(x)—g(x)=tzx2+2(a—l)x-21nx—22。在(0,+oo)恒成立,

即a(*2+2x)N21nx+2x+2在(0,+oo)恒成立.

因為x〉0,即爐+2%>0，

所以a2-5—z-------在(0,+℃)上恒成"，

x2+2x

設(shè)/?(x)=2(lnj+x+1),%e(o,+oo),BPa>/?(x).

V7X2+2X的

2(x+l)(x+21nx)

由，'(x)=-

令〃(x)=x+21nx,易知p(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

I-|=-+21n-=l-21n2=--ln4<0,

p⑴=l>0,p

⑶2222

所以p(x)在(//)上存在唯一零點小,即p(%)=%+21nxo=0,不

G

所以當0<x</時，，=%+2111%<0,則>0,/z(x)單調(diào)遞增;

當工>/時，p(x)=x+21nx>0,則/z"(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減,

21nx0+2%+2_+2%+2_x+2_1

所以“(Hmax=〃(％)=0

222

x0+2x0x0+2x0x0+2x0%

所以aN」-.

又一e(l,2),所以a的最小整數(shù)值為2.

X。

點評：思路點睛：

由不等式恒成立(或能成立)求參數(shù)時，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果,

構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進而可求出結(jié)果；有時也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù),

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.

22

21.已知橢圓E:三+我=1(。>8>0)過點朋(6,3),耳，鳥為E的左、右焦點，且滿足

3

忻寫|<4,COSAF}MF2=-.

(1)求E的方程；

(2)過6作互相垂直的直線4與4分別與E交于A,3和C,。，求|A@+|Cq的取值范圍.

答案：⑴三+匯=1；⑵|Afi|+|C￡>|e史普，竺".

64111L53)

(1)設(shè)出點耳，工的坐標，求出|摩快明|,利用余弦定理及橢圓中基本量的關(guān)系，結(jié)合已知條

件，即可求解；

(2)分直線4的斜率存在和不存在兩種情況進行討論，當直線4的斜率4不存在時，易得兩直線方

程即可求解；同理可得直線4的斜率為o時，|AB|+|CO|的值；當直線4的斜率存在且不為o時，

設(shè)出直線4和4的方程，分別與橢圓￡的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

29

廠上V

解:(1)由題意，橢圓七:7+F=1的焦點為耳(一c,0),工(c,0),

因為也)在橢圓E上，可得忻M=J(g+c『+2，后M=6_c『+2，

在△片M6中，由余弦定理可得:

忻州2+舊一忻用2(V^+c)+2+(\/^-c)+2-4c'

3

cosAF^MF^

2\F,M||F2M\5

整理得2c4一29c2+50=0，解得/=2或二?.

2

由于/閭<4,故。2=2

22qo

又因為橢圓E:*+%=1過點M(6,0)，所以/+層"=1，

又由"=。2+。2,解得加=4,力=6,

所以橢圓E的標準方程為—+^-=1.

64

（2）當直線4的斜率不存在時，直線4的方程為尤=一及，直線4的方程為y=o,

此時恒卻=半，|c4=2遙，|AB|十|C。尸母5；

同理可得當直線4的斜率存在且為0時，可得恒陽+|8|=3普

當直線4的斜率存在時，設(shè)直線4的方程為＞=%（》+五），kw0,

點A&，X），B（4必）

聯(lián)立直線4與橢圓E的方程＜

I64

消去y整理得(3k2+2)x2+6y/2k2x+6k2-\2=0,

g、i60M6k2-n

所以玉+X2=一季IW，玉/

3r+2

4何]+用

所以MM=Jl+%2?J(X]+尤2『-4X1X2

3女2+2

直線，2的方程為丁=一：卜+0），

K

同理得|cq=41（；；fl，

所以|陰+卬|二響""4河+f）2叫1+4

11113k2+23+2公（3左2+2）（3+2攵2）

[72_20為2_2°倔2

令―""則|陰+卬卜90西器可=舊=不彳

y11

由于6H----7=-

tt

所以Wl+|8|=

綜上可得|AB|十|C0w里.，粵!

點評：直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：

對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二

次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，

導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力.

22.已知點C（T0）,P（-l,2）,曲線C1的參數(shù)方程為""（/為參數(shù)），曲線G的參數(shù)

y=2+/

x=-l+rcos^

方程為.八（。為參數(shù)），以坐標原點。為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，若

y=rsinc/

G與C2相交于A,B兩點且I=2g.

（1）求G的普通方程和C2的極坐標方程；

11

（2）求畫+畫的值?

答案：(1)X—6y+1+20=0,p2+2pcos^-5=0；(2)6.

X=PCOS0

（1）消去參數(shù)，即得曲線G的普通方程，消去參數(shù)。得到的普通方程，再利用〈將

y-psinO

變量％y更換至p,e即得c2的極坐標方程;;

元二-1+——t

2（為參數(shù)），代入曲線的普通方程，利用參數(shù)，的

（2）寫G的參數(shù)方程可寫為，rC2

y=2+一，

2

幾何意義計算即可.

\PA\\PB\|/,||r2|

■i-

X=

解：解：（I）曲線G的參數(shù)方程為＜~為參數(shù))，消去參數(shù)f得x=—l+Ji(y—2),

y=2+t

故曲線G的普通方程為X-+1+2百=0；

__j?rcos

將曲線G的參數(shù)方程——.八’(。為參數(shù))化為普通方程得。+1)2+(>-0)2=/，即

y=rsm8

(x+1)2+y2=r2,其圓心為C(T,0),半徑為

設(shè)圓心C（T,O）到直線x-6y+1+2百=（）的距離為d,

2

因為直線與圓相交于AB兩點，對應(yīng)弦長|A8|=2〃2—f