2020-2021學年新題速遞高二數(shù)學03 解三角形（填空題）12月理（解析版）

專題03解三角形(填空題)

一、填空題

1.在△AfiC中，A=—,a~y[2>c>則一=.

3c

【試題來源】寧夏海原第一中學2020-2021學年高二上學期第一次月考

【答案】1

【分析】直接根據(jù)余弦定理/=62+c2-2^cosA可解得結(jié)果.

【解析】由余弦定理得2兒cosA，即3c2=/+c2_28cx(—g),

b

所以2c2—/?2—秘=0,所以(2c+0)(c-A)=0,因為b,c為正數(shù)，所以8=c,即一=1.

C

故答案為1.

2.在△A6C中，三個內(nèi)角A、B-C的對邊分別是“、b、c,若a=2,b=3>c=4,

則cosA=.

【試題來源】北京師范大學附屬中學2019-2020學年高一下學期期末

7

【答案】三

ij22-29+16-477

【解析】在ATWC中，cosA=°+cCa=y°故答案為人.

2bc2x3x488

3.在△ABC中，若A=30°,AB=2摳,AC=2,則AABC的面積S是.

【試題來源】廣西興安縣第三中學2020-2021學年高二10月月考

【答案】6

【解析】???s=；bcsinA,.?.s=gx2x2Gxsin30°=6，故答案為

【名師點睛】本題考查三角形的面積公式，要根據(jù)不同條件靈活選擇s=La"sinC,

2

s=—acsinB,s='bcsinA三個公式.

22

4.如圖，為了估測某塔的高度，在塔底。和A,8(與塔底。同一水平面)處進行測量，在點

A8處測得塔頂。的仰角分別為45。，30°,且AB兩點相距140m,由點?？?3的張

角為150°,則塔的高度CD=m.

【試題來源】四川省南充高級中學2020-2021學年高二上學期第一次月考（文）

【答案】205

【分析】設(shè)塔的高度為〃，從而可得3。與AD，再利用余弦定理即可求解.

【解析】設(shè)塔的高度CO=〃（加），則BO=VJ/?.AD=h,

在AABD中，AB=140，N3ZM=150"，

由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosNBDA，

BP1402=/I2+3/22-2A/3/?2X^--熱,解得〃=2。".故答案為2。"

73

5.已知。，b,。分別為6c內(nèi)角A，B,C的對邊，a=3,b=—,sinA=二,

27

則B=.

【試題來源】湖南省懷化市2020-2021學年高二上學期10月聯(lián)考

【答案】】或苧

66

13

（分析］由正弦定理即可求得sinB=一，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)以及sinA=一即可求B.

27

733

【解析】由正弦定理：——=——有3sin5=」x二=2,

sinAsinB272

所以sinB=',0<8（不，而sinA=3<‘，當0<A<七時，8=2或電；

272666

當W<A（乃時，由0<4+B<〃，顯然5無解；所以3=9或當.

666

6.在AABC中，內(nèi)角C為鈍角，sinC=|,AC=5,A8=36，則BC=.

【試題來源】四川省仁壽第一中學校南校區(qū)2020-2021學年高二10月月考

【答案】2

【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系求cosC，再根據(jù)余弦定理求3c.

34

【解析】因為sinC=g,C為鈍角，所以cosC=-《，

因此由余弦定理得卜遙）2=52+302_2*5乂80*（-1）,.?.50=2（負值舍去），

故答案為2.

【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知

條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.

7.已知A船在燈塔C北偏東85°且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西65°且B到

C的距離為6km，則A，3兩船的距離為.

【試題來源】黑龍江省雙鴨山市第一中學2020-2021學年高三上學期第一次月考（文）

【答案】V13km

【解析】根據(jù)題意如圖：山題意得/4。3=65。+85。=150。，又AC=2,BC=6

由余弦定理得AB?=AC2+BC2-24C.3CCOS1500=4+3+2X2XGX^=13,

2

所以A8=Ji3，故答案為&ikm.

8.在AABC中，角A,&C的對邊分別為上c,若a=1,N5=45°,^ABC的面積5=2,

那么AABC的外接圓的直徑為.

【試題來源】寧夏海原第一中學2020-2021學年高二上學期第一次月考

【答案】5&

【分析】根據(jù)三角形的面積公式求出c=40，根據(jù)余弦定理求出。=5,根據(jù)正弦定理求

出直徑.

【解析】根據(jù)三角形的面積公式可得S=LacsinB=』x也c，所以變c=2，即

2224

c=4^2>所以〃+c?-2accos8=l+32-2xlx4\/^x=25>所以〃=5，

2

2R=---=—7^=5^2l

所以1的外接圓的直徑為sinBV2.故答案為5a.

T

9.在三角形ABC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,^（a+b+cXb+c-a）=bc,

則角.

【試題來源】上海市格致中學2021屆高三上學期9月月考

2萬

【答案】y

【分析】把已知條件變形后利用余弦定理即可求出cosA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角

的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù).

【解析】由（。+人+。）（力+。-。）=/?。得（/?+。）2-a2=bc,

即b2+c2-a2=-be，；.cosA=+c———=_1,

2bc2

?「A是三角形的內(nèi)角，，4=生，故答案為子.

33

10.在△ABC中，角A、3、。所對的邊長分別為“，h,c,且一°2=（。一。）①則

ZACB=.

【試題來源】寧夏海原第一中學2021屆高三上學期第一次月考（文）

【答案】600

【分析】由余弦定理求得cosNACB后可得NAC8.

【解析】因為標-^二?一為6所以/+匕2一。2=",cosZACB=a-+b--c-=_[>

''lab2

又0°<NACB<180°，所以NACB=60°.故答案為60°.

11.AABC的三個內(nèi)角48,C所對的邊分別為mb,c,AA/=!A有，b=2,CM=2互，

33

l2sinA-sinB

且----------

sin23r則s.c=----

【試題來源】福建省福清西山學校高中部2020屆高三上學期期中考試(理)

【答案】百

【分析】山2smAsinB=￡,根據(jù)正弦定理，以及兩角和的正弦公式，得到cosC='，

sin28b2

7T___

求出C=§，再由平面向量基本定理，根據(jù)題中條件，得到3兩=2瓦+而，根據(jù)向量

數(shù)量積的運算法則，列式求出a=2,進而可得三角形的面積.

—,2sinA-sinBc,2sinA-sinBsinC

【解析】在△A6C中，———r-二:，所以——r—7—=—^，

sin28bsin25sinB

所以2sinCeosB=2sinA-sinB,所以2sinCcosB=2(sinBcosC+cosBsinC)-sinB,

所以cosC=],又Ce(O,〃)，所以C=§；

.I.....I..I../.I.

又AM=-AB,所以CM=C4+AA/=CA+-AB=C4+—(CB—C4)=-C4+-CB,

33333

所以3兩=2m+而，所以9西*=45？+而2+4亂函；所以28=16+4+4。，

解得。=2或a=-6(舍去)，所以AABC的面積為5小4=；、2、25皿(=6.

故答案為6.

【名師點睛】本題主要考查求三角形的面積，考查由正弦定理進行邊角互化，涉及兩角和正

弦公式，以及向量數(shù)量積的運算法則，屬于常考題型.

12.在AABC中，已知a=J5，h=2,8=45°,則角A的度數(shù)為.

【試題來源】海南華僑中學2020屆高三上學期第五次數(shù)學月考試題

【答案】30°

【解析】由正弦定理“=",得sinA=3sinB=^^sin45°=」，

sinAsinBb22

因為h>a,故A=30°.故答案為30。.

13.己知A，B,。為球。的球面上的三個點，。。為AASC1的外接圓.若。。的面積

為4萬，AB=BC=AC=OO,,則球。的表面積為.

【試題來源】西藏自治區(qū)拉薩市拉薩中學2021屆高三第二次月考（文）

【答案】64萬

【分析】根據(jù)。Q的面積求出。。的半徑，根據(jù)正弦定理求出AB=。。，根據(jù)勾股定理

求出球。的半徑，根據(jù)球的表面積公式可得結(jié)果.

【解析】因為。。1的面積為4萬，所以。Q的半徑為2,直徑為4,

所以A3==AC=OQ=4xsin?=，所以球。的半徑為亞方而=4，

所以球。的表面積為4%x4?=647.故答案為64萬

14.在△ABC中，角A，B,C的對邊分別為b,c.若/+c2_〃=&c，則角

3的大小為.

【試題來源】北京市中國人民大學附屬中學2019-2020學年高一下學期數(shù)學期末練習試題

【答案】7

6

【分析】利用余弦定理結(jié)合已知條件求B的余弦值即得結(jié)果.

【解析】因為/+。2一/=6。。，所以cosB=《^士2=避竺=@,

2ac2ac2

又AABC1中，6?0,萬），故B=g,故答案為￡

66

15.在平地上有A、5兩點，A在山的正東，3在山的東南，且5在A的南偏西30。距離A

點300米的地方，在A測得山頂?shù)难鼋鞘?0。，則山高為米.

【試題來源】北京市中國人民大學附屬中學2019-2020學年高一下學期數(shù)學期末練習試題

【答案】150+5073

【分析】先設(shè)山高CD=/z,依題意可得NA5D,由正弦定理可求得AD,在直角AAOC

中，//=AZ>tan300計算得出結(jié)果即可.

【解析】設(shè)山高C￡>=〃，43=300,ZABD=180°-（ZADB+ZDAB）=75°,

由正弦定理得AD=dBsm/AB"=150（百+1）.

sinZADB'>

在直角AAOC中，％=A￡>.tan3（）o=150（6+l）x岸=150+506（米）.

故山高為（150+506）米.故答案為150+506.

OL3Q^X

X45°60°Vj

R

ci~+b~+1+261b

16.在A46c中，內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為〃，b,c,2sinC=

a+b

則AABC外接圓面積的最小值為.

【試題來源】河北省2021屆高三上學期10月聯(lián)考

1T

【答案】-

8

【解析】因為/+、+]+2&6=（3+2）耳1="+,+_}_。2,2sinC<2,

a+ba+ba+b

TTC

所以當且僅當a+8=l,sinC=l時，此時，C=—,AABC外接圓的半徑等于一，

22

->?ca"+b'+]+2ab,-p,a~+b~（a+b^].2,八2、].|2、]

2sinC=--------------，因為-------->-----,r所rr以a+b>-,則mc'N一,

a+h2I2J22

fcVn71

△ABC外接圓的面積為%->-,故答案為

⑴88

3

17.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A.,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos（B-C）+cosA=1,

/=從；，則角A的大小為.

【試題來源】赤峰市中原金科2020-2021學年高三大聯(lián)考數(shù)學高三大聯(lián)考數(shù)學（理）試題

【答案】v

3

【分析】先利用誘導公式和兩角和與差的余弦公式化簡得sinBsinC，再利用正弦定理進

行邊角互化即得sinA,最后利用范圍進行取舍即得結(jié)果.

33

【解析】因為在△ABC中，cos(3—C)+cosA=萬，所以cos(B—C)—cos(B+C)=5,

3

所以cosBcosC+sinBsinC-(cosBcosC-sin8sinC)二j

33

所以sin8sinC=—,由=匕。和正弦定理可得sin?A=sin8sinC=一,

44

F,

在AABC中，因為0<A(萬，所以0<sinA<l,即sinA=\±

2

所以4=2或如.若4=女，則COS(B-C)+COSA=COS(JB—C)-3

33322

所以cos（B-C）=2,顯然不成立，應(yīng)舍去.故A=g.故答案為..

18.在△ABC中，角A，3,C所對的邊分別為a",。，己知3=30°,a=2,sinA=（,

則人=.

【試題來源】吉林省梅河口五中、遼源五中、四平四中2021屆高三（上）第一次聯(lián)考（文）

【答案】5

【解析】因為3=30°,a=2,sinA=l,

,2b

（ih——=------------

所以由正弦定理——=——，可得Isin30°.解得匕=5.故答案為5.

sinAsinB4

19.在AABC中，a=x,b=2,3=60。，若該三角形有兩解,則x的取值范圍為.

［試題來源］山西省山西大學附屬中學2020-2021學年高二上學期9月模塊診斷（開學考試）

【答案】（2,勺8）

3

【解析】根據(jù)正弦定理得-^=上；.，=^—.?.x=q=±^sinA

sinAsin8sinAsin603

所以A?i—>A>B=—sinAe(—,1)xe(2,^^),

因為該三角形有兩解,

23323

故答案為（2,華）.

2

20.AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知&=括，c=2,cosA=§

貝.

【試題來源】吉林省汪清縣第六中學2020-2021學年高二上學期期中考試

【答案】3

【分析】由余弦定理可得COSA=比《^，利用已知整理可得以2-泌-3=0,從而

2bc

解得。的值.

2

【解析】a=>/5，c=2,cosA=—,

由余弦定理可得cosA=]=bf=，整理可得3b2—86—3=0，

32bc2xbx2

二解得6=3或—g（舍去）.故答案為3.

21.4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=?,c=3,則4=.

【試題來源】陜西省漢中市五校2020-2021學年高二上學期第一次月考

【答案】75°

>/--73

【解析】由正弦定理——=-^,得.n人sinCV2,

sin5sinCsin5=------=--^=—

c32

結(jié)合匕<?？傻肂=45°，則A=1800-8—C=75°.

【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已

知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化.

第三步：求結(jié)果.

22.AABC中，bcosC+ccosB-2b,則￡=.

b

【試題來源】貴州省六盤水市第一中學2020-2021學年高二上學期期中

【答案】2

〃24人2_22.r2_>2

【解析】由余弦定理/?cosC+ccos3=〃-----------i-c-----------=a=2h,

2ab2ac

所以f=2.故答案為2.

b

23.半徑為R的圓外接于AABC,且2/?卜足24-$足2。)=(6。一。卜由8,若火=2,

則AAbC面積的最大值為.

【試題來源】重慶市縉云教育聯(lián)盟2020-2021學年高一上學期9月月考

【答案】2+6

【解析】因為27??!!?A-sin?C)=(V3?-^)sinB

所以由正弦定理得〃-2=(Ga-b)b,即。2=/+/一百必，

所以由余弦定理可得cosC="一+"一廠=旦，又Ce(0,萬)，故。=工.

2ab26

由正弦定理得a=2HsinA,Z?=2/?sinB=2/?sin^-1^-Aj,

所以S=，a〃sinC=Z?2sinA?sin(*乃一A1=R2sinA?-cosA+—sinA

2<6)(22,

—R2—■sin2A+(1—cos2A)=—/?2sin(2A-^-\+-^-R~?

[44J2I3)4

所以當A=包時,5最大，S=?2R2若R=2,則面積的最大值為2+6.

12max4

【名師點睛】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應(yīng)用，正弦定理，余弦

定理，三角形面積公式，函數(shù)y=4sin(5+s)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

24.在△ABC中，角A8,C所對的邊分別為"c,A=g,若。=J7,且麗.而=一3,

則AABC的周長為.

【試題來源】廣東省梅州市蕉嶺縣蕉嶺中學2021屆高三上學期第三次質(zhì)檢

【答案】5+幣.

【分析】由麗?而=一3,利用數(shù)量積的定義結(jié)合A=^，可得匕c=6,然后利用余弦定

b2+c2-a21,,......

理cosA=---------------=一求r得Hb+c即nJ.

2bc2

JI1

【解析】QBA-AC=-3?:.-bccosA=-3QA=—,cosA=—,bc=6.

QcosA="———=—,b2+c2-7=bc>[b+c)2-7=3bc,

2bc2

.,.(〃+°)：!=25,：.。+0=5..”4^。的周長為5+77.

25.在A/WC中，角A，B,C的對邊分別為c,已知±0—2cos2c=N,

22

且a+8=5,c=J7,則△ABC的面積為.

【試題來源】廣東省汕頭市金山中學四校2021屆高三上學期10月聯(lián)考

【答案】巫

2

【分析】首先根據(jù)4sii?史辿一2cos2c=2得到cosC=L根據(jù)余弦定理得到而=6，

222

再計算AABC的面積即可.

【解析】因為4sin?”；'-cos2C=，,所以2口一cos(A+8)]-2cos?C+l=(,

,7,11

2+2cosC-2cos"C+\~—,cos'-C-cosCH■—=0,解得cosC=—,

242

根據(jù)余弦定理有/=/+從一2McosC,即a。="+/-7=(a+bp-2。匕一7,

解得ab=6.因為sinC=，^，所以5=14/j5111。=!><6乂^^=之也.

22222

26.AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c若acos8=WsinA，貝U8=.

【試題來源】廣東省中山紀念中學2021屆高三上學期10月月考

【答案】7

O

【分析】由已知結(jié)合正弦定理及同角的三角函數(shù)基本關(guān)系進行化簡即可求解.

【解析】L_L知acos8=JGhsinA,由正弦定理可得，sinAcosB=\/3sinBsinA，

由sinA>0,化簡可得tanB=走，因為0<3<萬，故8=￡.故答案為

366

27.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0。，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?/p>

30°,則甲、乙兩樓的高分別是.

【試題來源】陜西省延安市黃陵中學本部2020-2021學年高二上學期期中

【答案】20j^米、三上米

【分析】過點。作CM，A3于點Af,根據(jù)題意得3。=CM=20,根據(jù)題中所給的俯角

和仰角，然后在向"CM和心AADB中，求兩樓的高度.

【解析】如圖，甲樓的高為20tan60°=20xG=20G（米）；

乙樓的高為20百-20tan30°=20#）-20x—=（米）.

33

故答案為20，^米、—米.

28.在AA8c中.AC="BC=2,8=60。.則△ABC的面積等于

【試題來源】天津市和平區(qū)2020-2021學年高三上學期期中

【答案】述

2

【解析】由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC.

即7=A52+4-4A5COS60。，解得AB=3（AB=—1舍去）,

所以SA.RC=-ABBCsinZABC='x3x2xsin60。=—.故答案為—?

△ABC2222

【名師點睛】本題考查余弦定理，三角形面積公式，解三角形問題中要根據(jù)條件選擇恰當?shù)?/p>

公式運算，本題也可先用正弦定理求㈤C,然后求出sinC,再得結(jié)論.

29.在AAbC中，內(nèi)角A、3、C所對的邊分別為。、。、。，若C=120‘，a=百，8=2百，

則A3邊上的高的長度為.

【試題來源】安徽省皖北名校2020-2021學年高二上學期第二次聯(lián)考

【答案】邁

7

【分析】根據(jù)余弦定理求出c=⑨，根據(jù)三角形的面積公式求出面積，再根據(jù)三角形的面

積可求出結(jié)果.

【解析】由余弦定理得=/+從一2。。（：05。=3+12-2><石乂2百<：0$120。=21,

c-V2T,SAj?r=-x-^Sx2-73，所以AB邊上的高的長度為=——.

△ABC222V217

30.在3c中，內(nèi)角A，B,C的對邊分別是“，b,c.若

Z?（sinA-sinB）=asinA-csinC,且AABC的面積為走c?,則2+f的值為

【試題來源】河南省洛陽市汝陽縣2020-2021學年高三上學期聯(lián)考（理）

【答案】4

【分析】由條件結(jié)合正弦定理可得一02,再利用余弦定理以及角的范圍可得

c=勺7T，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案.

3

【解析】山正弦定理及人（sinA-sin3）=asinA-csinC,得次7=廿+a?-/，

=一①,

由的面積為遺)!^-c2--absinC>

又。€（0,兀），所以C△ABC

122

即‘2=3"，代入①，得戶+02=4M，所以2+3=匕￡=4.故答案為4

abab

31.對于△ABC,有如下判斷，其中正確的是.

（1）若sin2A=sin2B,則AABC必為等腰三角形

（2）若A>B，貝iJsinA>sinB

（3）若a=5,b=3,8=60°，則符合條件的AABC有兩個

（4）若cos2A+cos25—cos2c>1,貝IJAA5c必為鈍角三角形

【試題來源】遼寧省遼河油田第二高級中學2020-2021學年高三上學期第一次月考

【答案】（2）（4）

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可以判定（1）錯誤；正弦定理，結(jié)合大

邊對大角性質(zhì)，可以判定（2）正確；利用正弦定理求解，可判定（3）錯誤；利用同角三角

函數(shù)的關(guān)系將已知不等式化為關(guān)于三角形三個角的正弦的不等式，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為三邊

的不等式，結(jié)合余弦定理即可判定（4）正確.

【解析】???解5是三角形內(nèi)角，.?.由sin2A=sin25得2A=25或2A+23=180°,

即A=8或A+B=90。，三角形為等腰二角形或者直角三角形，故（1）錯；

A>B<^>a>b又由&=b,得sinA>sinB，故（2）正確；

sinAsinB

若a=51=3,B=60°，則sin4=竺吧0=細”=些〉1，無解，故（3）錯；

b36

若cos'A+cos2B-cos2C>1>則1—sin~A+l—sin2B—（1—sin-C）>I,

即sin2A+sin2B-sin2C<0'山正弦定理得a?+b2-c2<0（

+h2_2

cosC=----------<0，為鈍角，故（4）正確.故答案為（2）（4）.

lab

【名師點睛】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦定理、余弦定理解三角形.掌握正弦定理

和余弦定理是解三角形的關(guān)鍵.應(yīng)用正弦定理解三角形時注意三角形解的情況，可能1解也

可能2解，還可能無解.

32.要航測某座山的海拔高度，如圖，飛機的航線與山頂M在同一個鉛垂面內(nèi)，已知飛機

的飛行高度為海拔10000米，速度為900km/h,航測員先測得對山頂?shù)母┙菫?0。，經(jīng)過

40S已飛過M點）后又測得對山頂?shù)母┙菫?5°,山頂?shù)暮０胃叨葹?（精確到

m）（可能要用到的數(shù)據(jù)：血=1.414，6=1.732,#=2.450）

【試題來源】陜西省榆林市第一中學2020-2021學年高二上學期第一次月考

【答案】6340m

【分析】求出4B,由正弦定理求出在直角三角形中解得MD,即可求山頂海拔.

【解析】因為900km/h=25()m/s,所以AB=250x40=10000(m),

在△ARM中，山正弦定理得一Z=?BMA8-sin30。

sin30°sin105°sin105°

作MD1,ABT-D，則MD=BMsin45°=1'"n3()°xsin45。=5OOo(V3-11=3660,

sin105°')

所以M的海拔高度為l(XXX)—3660=6340m.故答案為6340m

b

33.在△ABC中，已知a=2,,則△ABC的面積為

cosAcosBcosC

【試題來源】北京市人大附中2021屆高三年級10月數(shù)學月考試題

【答案】y/3

bcosRcosHsinR

【分析】由已知得±=再由正弦定理可得上一，整理變形可得C=B,

ccosCcosCsinC

進一步可.說明△ABC是等邊三角形，則面積可求.

-、、『bcbcosB,...bsin5cosBsinB

【解析】由已知——-=一二，I即TI1一=一二，又由正r1弦3定Tr理a一二一^；，.??一二=七二，

cos3cosCccosCcsmCcosCsmC

即sinCeosB=sinBcosC,

.?.sin(C-8)=0,由于是在△ABC中，，C=3,同理C=A，所以AABC是等邊三

角形，SA.c=gx2x2xsin6(r=6.故答案為6.

34.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸5,。的俯角分別為75。，30。，此時氣球

的高是60m,則河流的寬度BC等于.

【試題來源】北京市新學道臨川學校20120-2021學年高二上學期第一次月考

【答案】120(V3-l)/?

【分析】由題意畫出圖形，由兩角差的正切求出15。的正切值，然后通過求解兩個直角三角

形得到OC和DB的長度，作差后可得答案.

【解析】由圖可知，ZDAB=15°,

...Q/"c"c\tan45°-tan300谷r:

：tan15°=tan(45°-30°)=----------------------=2-J3,

''1+tan45°tan30°

在用AAD8中，AD=6Q,VDB=ADxtan15°=60x(2-73j=120-60\/3,

在MAADC中，NDAC=60°,AD=60,：.DC^ADxtan60°=6073，

ABC=DC-=6073-（120-60V3）=120（V3-l）（m）,

河流的寬度BC等于120（6-1）相，故答案為120（6-1）根.

【名師點睛】本題給出實際應(yīng)用問題，求河流在B,C兩地的寬度，著重考查了三角函數(shù)的

定義、正余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題.

35.在AABC中，AB=2，AC=4,則NC的取值范圍為.

【試題來源】北京二十中2019-2020學年高一下學期期末

【答案】（0看

【分析】先根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊求出”的范圍，再結(jié)合余弦定理可以用。表

示cosC,求出cosC的范圍，進而求得NC的取值范圍.

【解析】在△A6C中，內(nèi)角A，B,C的對邊分別是。，b，c,由題意得c=2,b=4.

即2<a<6,cosC=a+b-C'

\b-c\<a<b+ct3

2abSa82a

令/（x）=]+^,易知函數(shù)在（2,2代）上單調(diào)遞減，在（26,6）上單調(diào)遞增,

所以當2<x<6時，/（x）的取值范圍為判.所以cosCe

因為0<c<7i,所以.故答案為（0年

36.若A，B,。為AABC的內(nèi)角，滿足sinA,sinC,sin3成等差數(shù)列，貝UcosC的

最小值是.

【試題來源】湖北省黃岡市麻城-中2019-2020學年高三上學期期末（理）

【答案】—

2

【分析】根據(jù)sinA,sinC,sinB成等差數(shù)歹人利用等差中項結(jié)合正弦定理得到2c=a+〃，

然后由cosCh/+萬一/=（"+〃）一’,—I，利用基本不等式求解?

2ab2ab

【解析】因為sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列，所以2sinC=sinA+sin5,

由正弦定理得2c=a+8,所以cosC=L+'T=（"〃）二c[_],

2ab2ab

：22

＞（a+h）-c3c1

-2（a+bj-2c2-2.當且僅當a=0時取等號，所以cosC的最小值是5.

【名師點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用以及等差數(shù)列和基本不等式的應(yīng)用，

還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

37.在△ABC中，內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為4，。，。，且從泊4=。3$（8一弓），

則角3=.

【試題來源】陜西省西安市第六十六中學2019-2020學年高三上學期期末（文）

【答案】8=]

【分析】由正弦定理及匕sinA=acos（8-W1可得sin8sinA=sinAcos（B-結(jié)合

兩角差余弦公式可得力〃5=73，進而可得到5值.

【解析】由正弦定理及bsinA=acos（B—￡j

可得sinBsinA=sinACOS（8—￡）在△ABC中，sinA0,

.（7C?7171

所以sin3=cosB---,即sinB=cos8cos—+sinBsin—

k6J66

所以柩〃5=6,又B為三角形內(nèi)角，所以5=2,故答案為

38.已知平面四邊形ABCD由"儀）與等邊△A3C拼接而成，其中AD=2CD=2,則

平面四邊形4BCO面積的最大值為.

【試題來源】陜西省漢中市漢臺二中2020-2021學年高三上學期10月月考（文）

【答案】2+包叵

【分析】設(shè)N￡>=6,利用余弦定理求出AC，利用面積公式將八48與等邊AABC的

面積用6表示，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解析】設(shè)/。=夕，

在△ACD中，由余弦定理可得一2A￡>*CQcose=5-4cos。，

所以S.ABc=‘xAC2sin^=^（5—4cose），因為5"。=JAOxC￡）xsine=sine，

2342

所以s=s.ABC+S，ACD=sin6+*（5—4cos6）

=sine-6cose+^^=2sin（e-?）+^^,

因為0€（0,乃），所以夕一—4],所以Sm"=2+^8.

''3V33Jmax4

39.如圖，某校園內(nèi)有一塊圓形草坪，其內(nèi)接AABC區(qū)域內(nèi)種植花卉（陰影部分），已知

AC=^Y^m，BC=20m,8=45。，現(xiàn)為了擴大花卉的種植面積，欲在弧BAC上找

3

一點M，使得新的種植區(qū)域△MBC的面積S（單位：n?）最大，則S的值為.

【試題來源】百師聯(lián)盟2021屆高三一輪復習聯(lián)考（一）（文）全國卷n試題

【答案】IOOG

【分析】由正弦定理求得A，設(shè)EW=xm,CM=ym,由正弦面積公式、余弦定理和不

等式放縮即可求解

BCAr1205/^

【解析】在AABC中，由正弦定理得，——=——，即20飛—，解得A=60°,

smAsinB.

sinAsin450

由“同弧所對圓周角相等“知NM=NA=60°,設(shè)=CM=ym,

則5巾“=」盯出11"=立孫，在△M3C中，山余弦定理得，

ZAiWoC2,4.

22222

20=x+y-2xy-cosM=x+y-xy..xy=^-S^MBC,&S^MBO,10073.當且僅

當x=y=20時等號成立，所以新的種植區(qū)域△MBC的面積S最大為1(X)6.

40.公元前2世紀的古希臘天文學家和數(shù)學家希帕科斯是三角學的創(chuàng)立者之一，他因天文觀

測的需要編制了有關(guān)三角比率的表格.后人推測希帕科斯在編制表格的過程中本質(zhì)上使用了

公式sir?-=上暨”.如圖是希帕科斯推導此公式時使用的幾何圖形，已知點8在以線段

22

AC為直徑的圓。上,。為弧8C的中點，點E在線段AC上且4E=AB,點尸為EC的中點.設(shè)

a_

OA-r,/DOC=a.給出下列四個結(jié)論：@CD=2rsin—②AB=2rsina；③CF=r(lYOSa)；

2

④CO?=2/(1-cosa).其中，正確結(jié)論的序號是.

【試題來源】北京市朝陽區(qū)2021屆高三上學期期中質(zhì)量檢測

【答案】①③④

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合三角函數(shù)判斷.由等腰三角形求8,判斷①，由圓周角與圓心角

及所對弧的關(guān)系，求得NBAO,在等腰三角形中求得AB，判斷②，利用AE=AB,判斷③，

在AC。。中應(yīng)用余弦定理判斷④.

a

【解析】△30。是等腰三角形，OD=OC=r,4D0