2024年北京市中考數(shù)學(xué)一輪模擬試題（基礎(chǔ)卷）（含解析）

年北京市中考數(shù)學(xué)一輪模擬試題（基礎(chǔ)卷）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．一個(gè)正整數(shù)a，與其倒數(shù)，相反數(shù)比較，大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．2．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．3．班級(jí)元旦晚會(huì)，同學(xué)們互送一件不同的小禮物，有人統(tǒng)計(jì)一共送了1560件小禮物，如果參加這次聚會(huì)的人數(shù)為x，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．4．若是關(guān)于x的不等式的一個(gè)整數(shù)解，則a的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．25．下列點(diǎn)在第四象限的是（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)都在直線上，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法比較7．如圖，是等邊三角形，以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E、F．再分別以E、F為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D．連接交于點(diǎn)G，度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．杭州亞運(yùn)會(huì)開幕式出現(xiàn)一座古今交匯拱底橋，橋面呈拱形．該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)），拱高（橋拱圓弧的中點(diǎn)到弦的距離）約為，則此橋拱的半徑是（）A． B． C． D．二、填空題9．如圖，等邊紙片中，，是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)現(xiàn)將沿折疊，得，連接，則長(zhǎng)度的最小值為．10．如圖是根據(jù)某班40名同學(xué)一周的體育鍛煉情況繪制的統(tǒng)計(jì)圖，該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)是．11．日常生活中主要運(yùn)用“十進(jìn)制”數(shù)，而“十六進(jìn)制”廣泛應(yīng)用于電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)編程等領(lǐng)域．十六進(jìn)制在數(shù)學(xué)中是一種“逢16進(jìn)1”的進(jìn)位制，一般用數(shù)字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示10，11，12，13，14，15．如（2AF5）16表示十六進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是2×163+10×162+15×161+5×160=10997，那么將十進(jìn)制數(shù)2020轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)表示為．12．平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足等式，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．13．若關(guān)于的方程組的解滿足，則的值為．14．（1）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，、，以點(diǎn)為圓心、2為半徑的上有一動(dòng)點(diǎn)．連接，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．（2）如圖②，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為．

15．在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，若對(duì)于，都有，則m的取值范圍為．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將長(zhǎng)方形沿直線折疊（點(diǎn)在邊上），折疊后點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．三、解答題17．計(jì)算：．18．解方程：．19．如圖，是等腰直角三角形，，D是的中點(diǎn)，連接，E是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，并將繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于F．

(1)如圖1，若，垂足為G，①求的值；②連接，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，若，求證：F是的中點(diǎn)．20．為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某地中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛好組建課外興趣小組，因此學(xué)校隨機(jī)抽取了部分同學(xué)的興趣愛好進(jìn)行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的信息，回答下列問題：(1)學(xué)校這次調(diào)查共抽取__________名學(xué)生；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)設(shè)該校共有學(xué)生名，請(qǐng)你估計(jì)該校有多少名學(xué)生喜歡國(guó)畫．21．如圖，長(zhǎng)方形在平面直角坐標(biāo)系中，其中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)，若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，(1)當(dāng)秒時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求x的值．22．如圖，在中，，，D為邊上一點(diǎn)，于E，連接并延長(zhǎng)交于F．(1)若，，求的長(zhǎng)；(2)若，求證：．(3)若，求的值．23．有一些代數(shù)問題，我們也可以通過幾何方法進(jìn)行求解，例如下面的問題：已知：，求證：．經(jīng)過思考，小明給出了幾何方法的證明，如圖：①在直線上依次取，；②以為直徑作半圓，圓心為；③過點(diǎn)作直線的垂線，與半圓交于點(diǎn)，連接．請(qǐng)回答：（1）連接，，由作圖的過程判斷，，其依據(jù)是；（2）根據(jù)作圖過程，試求線段、（用，的代數(shù)式表示），請(qǐng)寫出過程；（3）由，可知，其依據(jù)是，由此即證明了這個(gè)不等式．24．石阡是“中國(guó)苔茶之鄉(xiāng)”，是茶樹的原產(chǎn)地之一，有千年的茶葉栽種歷史．某次茶藝比賽中指定使用的飲水機(jī)4分鐘就可以將的飲用水加熱到．此后停止加熱，水溫開始下降．如圖所示，已知整個(gè)下降過程中水溫與通電時(shí)間成反比例關(guān)系．(1)在水溫下降過程中，求y與x的函數(shù)解析式；(2)比賽組織方要求，參賽選手必須把組織方提供的的飲用水用該款飲水機(jī)加熱到，然后降溫到方可使用．求從飲水機(jī)加熱開始，到可以使用需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？參考答案：1．C【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，據(jù)此即可得到與的大小關(guān)系；接下來，根據(jù)，結(jié)合上述結(jié)論即可解答．【詳解】解：由為正整數(shù)，得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)比較大小，熟記絕對(duì)值、相反數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．2．D【分析】本題主要考查整式的加減運(yùn)算法則：（1）有括號(hào)，先去括號(hào)；（2）有同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)．還需注意的是如果括號(hào)前面是減號(hào)，那么去括號(hào)時(shí)括號(hào)里面的加減號(hào)要變號(hào)．本題主要利用整式的加減運(yùn)算法則依次進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B．，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C．和不是同類項(xiàng)，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D．，此選項(xiàng)正確，符合題意．

故選：D．3．D【分析】本題考查了列方程（一元二次方程）問題，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)禮物總數(shù)等于人數(shù)乘以每人送出（或收到）禮物數(shù)的積．每個(gè)人送禮物除了不送給自己其他人都有一件，故禮物總數(shù)為：人數(shù)×（人數(shù)）即可得出對(duì)應(yīng)方程．【詳解】解：設(shè)有人參加聚會(huì)，則每人送出件禮物，由題意列方程得：．故選：D．4．A【分析】本題考查了不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．首先解不等式求得不等式的解集，然后根據(jù)已知條件即可得到一個(gè)關(guān)于a的不等式，求得a的值．【詳解】解：解不等式得：，是不等式的一個(gè)正整數(shù)解，則，，故答案為：A．5．C【分析】根據(jù)坐標(biāo)系中象限的特征可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)在第四象限符合，所以只有C選項(xiàng)符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系象限中點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握象限中點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握求函數(shù)值的方法是解題的關(guān)鍵．分別求出與的值即可比較大?。驹斀狻拷猓簩Ⅻc(diǎn)代入直線，得，，．故選：A．7．D【分析】由作圖方法可知，是的垂直平分線，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得．【詳解】解：由作圖方法可知，是的垂直平分線，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的尺規(guī)作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．設(shè)圓心為，作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交圓弧為點(diǎn)，設(shè)半徑為，根據(jù)垂徑定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)圓心為，作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交圓弧為點(diǎn)，則為優(yōu)弧的中點(diǎn)，設(shè)半徑為，，，，由勾股定理得：，，解得：，故選：B．9．/【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)，連接，就可以求出的長(zhǎng)，根據(jù)已知條件得到當(dāng)在上時(shí)，長(zhǎng)度的最小，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，于是可得到結(jié)論，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．【詳解】連接，∵是等邊三角形，是邊的中點(diǎn)，∴，，，∵將沿折疊，得，連接，∴當(dāng)在上時(shí)，長(zhǎng)度的最小，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴長(zhǎng)度的最小值為，故答案為：．10．9小時(shí)【分析】本題考查了中位數(shù)的定義，根據(jù)中位數(shù)的定義可知將40位同學(xué)鍛煉時(shí)間從小到大排序后，第20位同學(xué)和第21位同學(xué)的平均數(shù)即是中位數(shù)．【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，第20位同學(xué)和第21位同學(xué)的平均數(shù)為（小時(shí)），即中位數(shù)為9小時(shí)，故答案為：9小時(shí)．11．（7E4）16【分析】由于十六進(jìn)制“逢16進(jìn)1”的進(jìn)位制，據(jù)此把2020先化成7×162+14×161+4×160，則可得出結(jié)果．【詳解】解：2020=7×162+14×161+4×160=（7E4）16.故答案為：（7E4）16.【點(diǎn)睛】本題考查十進(jìn)制和十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換．12．【分析】根據(jù)非負(fù)式子和為0，它們分別等于0求出，結(jié)合軸對(duì)稱求解即可得到答案；【詳解】解：∵，，，∴，，解得：，，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)，∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)式子和為0，它們分別等于0及關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)y不變x互為相反數(shù)．13．【分析】本題考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解的定義是解題關(guān)鍵．用加減消元計(jì)算即可．【詳解】解：關(guān)于的方程組．方程與方程相加得，，故答案為∶．14．【分析】（1）連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)，，根據(jù)三角形的中位線定理得，則點(diǎn)C在以定點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，的值最小，求出的長(zhǎng)，即得的最小值；（2）連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)，，根據(jù)三角形的中位線定理得，則點(diǎn)M在以定點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，求出的長(zhǎng)，即得的最大值．【詳解】（1）連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)，，

為的中點(diǎn)，，所以點(diǎn)C在以定點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，，，，所以當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，的值最小，最小值為；故答案為：．（2）連結(jié)，取的中點(diǎn)D，連結(jié)，，

為的中點(diǎn)，，所以點(diǎn)M在以定點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，，，，所以當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形與坐標(biāo)，圓的定義，三角形中位線定理，求圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．15．/【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出離對(duì)稱軸更近的點(diǎn)，從而得出，的中點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，再根據(jù)對(duì)稱性求解即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵拋物線，∴對(duì)稱軸為直線，∵，∴，∵，，∴離對(duì)稱軸更近，∴，的中點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，∴，∴，故答案為：．16．【分析】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，所以在直角中，利用勾股定理求得，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵四邊形為長(zhǎng)方形，的坐標(biāo)為，，，長(zhǎng)方形沿折疊，使落在上的點(diǎn)處，，，在中，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．17．【分析】本題考查特殊角的銳角三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，以及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，即可解題．【詳解】解：．18．無實(shí)數(shù)根【分析】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法步驟，即可解題．【詳解】解：，，，又，該方程無實(shí)數(shù)根．19．(1)①2；②(2)見解析【分析】（1）①通過三角形內(nèi)角和定理證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義得出，即可求解；②過點(diǎn)B作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，通過證明，利用全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)正切值進(jìn)行證明即可；（2）假設(shè)，由已知，只要證明，假設(shè)即可成立，利用三角形的內(nèi)角和定理及等邊對(duì)等角進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）①∵，，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，D是的中點(diǎn)，∴，∴；②過點(diǎn)B作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，假設(shè)，已知，∴證明，假設(shè)即可成立，∵，∴，設(shè)，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，即假設(shè)成立，∴，∴，∴，即F是的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反證法，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．20．(1)；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見解析；(3)估計(jì)該校有名學(xué)生喜歡書法．【分析】（）用“戲曲”的人數(shù)除以其所占百分比可得；（）用總?cè)藬?shù)乘以“民樂”人數(shù)所占百分比求得其人數(shù)，據(jù)此即可補(bǔ)全圖形；（）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中“書法”人數(shù)所占百分比可得；本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）學(xué)校本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（名），故答案為：；（2）“民樂”的人數(shù)為人，補(bǔ)全圖形如下：（3）估計(jì)該校喜歡書法的學(xué)生人數(shù)為：名，答：估計(jì)該校有名學(xué)生喜歡書法．21．(1)(2)或(3)6或5或【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的定義，長(zhǎng)方形的性質(zhì)和三角形的面積公式的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形面積公式即可求解；（2）分三種情況，分別畫出圖形，利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算解答即可；（3）分，，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，，當(dāng)秒時(shí)，，∴的面積為；（2）解：分三種情況討論，①如圖，當(dāng)P在上時(shí)，，∵的面積等于，∴，解得，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)P在上時(shí)，，如圖，∵點(diǎn)E是中點(diǎn)，∴∵的面積等于，∴，∴，解得（不符合題意，舍去）；③當(dāng)P在上時(shí)，，如圖，∴，解得，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上可知，當(dāng)?shù)拿娣e等于，P點(diǎn)坐標(biāo)為或；（3）解：由勾股定理，得，①當(dāng)時(shí)，連接，則，∴P和A重合，∴；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在上，∴，③當(dāng)時(shí)，過E作于H則，，∴，∴，解得，綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，x的值為6或5或．22．(1)5(2)見解析(3)【分析】（1）證明，列出比例式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，，連接，證明，進(jìn)而得到，得到是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，對(duì)頂角相等，即可得證；（3）取的中點(diǎn)，連接，利用中位線定理，得到，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴，即：，∴，即：，∴；（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，，連接，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（3）取的中點(diǎn)，