河北省強基名校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期開學聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

河北省強基名校聯(lián)盟高二年級第二學期開學聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一、二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線與直線平行，則實數(shù)的值為（）A.1或 B. C.1 D.02.等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.15 B.10 C.25 D.203.已知，為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（）A.4 B.16 C.12 D.84.若函數(shù)在處的導數(shù)等于，則的值為（）A.B. C. D.5.已知直線與拋物線：（）交于，兩點，為坐標原點，且，交于點，點的坐標為，則拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.6.給出下列命題，其中正確的命題是（）A.若向量，，共面，則它們所在的直線共面B.已知，若，，，四點共面，則C.為單位向量D.已知向量，，則在上的投影向量為7.已知數(shù)列滿足，（），則滿足的的最小取值為（）A.5 B.6 C.7 D.88.已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，是雙曲線的左頂點，，（在第一象限）是雙曲線上關于軸對稱的兩個點，若直線與直線的斜率之積為，直線與雙曲線的右支交于另一點，且，的周長為20，則該雙曲線的標準方程為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A.若，則 B.C. D.10.已知圓：，圓：，則（）A.兩個圓心所在直線的斜率為B.兩個圓公共弦所在直線的方程為C.過點作直線使圓上有且只有一個點到的距離為1，則直線的方程為D.過點作圓的兩條切線，切點為，，則直線的方程為11.如圖，該形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……設第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則下列結論正確的是（）A. B.（）C. D.數(shù)列的前100項和為12.如圖，在正方體中，，，分別為，的中點，點滿足，，.下列說法正確的是（）A.若，則與的夾角為B.若，，則平面C.若，，則四面體的外接球的表面積為D.若，，則三棱錐的體積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.過點且橫截距是縱截距2倍的直線方程為______.（寫成一般式方程）14.已知函數(shù)，若，則______.15.已知拋物線：（）的焦點為，準線為，過的直線與交于，兩點（點在第一象限），與交于點，若，，則______.16.已知定義在上的連續(xù)偶函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，不等式成立，若對任意的，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知圓：，直線：.（1）證明：直線恒過定點.（2）設直線交圓于，兩點，求弦長的最小值及相應的值.18.（12分）已知函數(shù)（，）的圖象過點，且.（1）求，的值；（2）求曲線過點的切線方程.19.（12分）已知函數(shù)（）.（1）討論的極值；（2）求在上的最小值.20.（12分）若數(shù)列滿足，（）.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21.（12分）如圖，在四棱錐中，，且，，，，，為的中點.（1）證明：平面.（2）在線段（不含端點）上是否存在點，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22.（12分）已知橢圓：（）的離心率為，左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，且四邊形的面積為4.（1）求橢圓的方程.（2）平行于軸的直線與橢圓的一個交點為，與以為直徑的圓的一個交點為，且，位于軸兩側，，分別是橢圓的左、右頂點，直線，分別與軸交于點，.證明：為定值.河北省強基名校聯(lián)盟高二年級第二學期開學聯(lián)考數(shù)學試卷參考答案1.B【詳解】若直線與直線平行，則需滿足，解得，當時，兩直線重合，因此.故選B.2.A【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，且，則，則.故選A.3.B【詳解】由，可得，根據(jù)橢圓的定義得，所以.故選B.4.D【詳解】由已知得.故選D.5.A【詳解】，.，，直線的方程為.設，，由得，，.，，，焦點坐標為.故選A.6.D【詳解】對于A，直線可以是異面直線；對于B，若與，，，共面，則系數(shù)和不確定；對于C，，不是單位向量；對于D，在上的投影向量為.故選D.7.C【詳解】因為，所以，所以，又，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.由，得，即，解得.因為為正整數(shù)，所以的最小值為7.故選C.8.C【詳解】設雙曲線：（，）的右頂點為，則，所以，所以.因為直線與雙曲線的右支交于另一點，所以，，即，，則的周長為，所以，則，所以該雙曲線的標準方程為.故選C.9.AC【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選AC.10.AD【詳解】根據(jù)題意，圓：，其圓心為，半徑.圓：，即，其圓心為，半徑，則兩個圓心所在直線的斜率，故A正確；圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故B不正確；因為圓上有且只有一個點到的距離為1，所以點到的距離為3，當直線斜率不存在時，的方程為，滿足題意，故C不正確；連接，（圖略），則，，，四點共圓，該圓的方程為，而圓：，且為圓與圓的公共弦，兩式相減得直線的方程為，故D正確.故選AD.11.ACD【詳解】對于A，，，，，A正確.對于B，由每層球數(shù)變化規(guī)律可知（），B錯誤.對于C，當時，，當時，滿足，（）.，，C正確.對于D，，則其前100項和為，D正確.故選ACD.12.BC【詳解】對于A，若，則在線段（不含）上，與的夾角為，向量與的夾角為，故A錯誤；對于B，如圖1，以為坐標原點，分別以，，所線為，，軸建立空間直角坐標系，圖1則，，，，，，，則，，，則，，又，，所以，，則是平面的一個法向量，所以平面，故B正確；對于C，若，，則點即點，連接，由正方體的性質可知幾何體是側棱垂直于底面的三棱錐，而底面是直角三角形，易得，所以外接圓的半徑，設其外接球的半徑為，則，所以四面體即三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；對于D，若，，則為的中點，如圖2，取點，滿足，連接，易知，故，也可以將三棱錐的高轉化為點面距，用空間向量求解，故D錯誤.故選BC.圖213.或【詳解】當直線過原點時，直線的斜率為，此時直線的方程為，即；當直線不過原點時，設所求直線的方程為（），即，將點的坐標代入直線方程可得，解得，此時直線的方程為.因此，所求直線方程為或.14.【詳解】由，倒序相加可得，則.15.【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，作，，垂足分別為，，所以.又，所以.設，則.因為，所以，所以，所以，即.（或由，得）故拋物線的方程為，焦點為，準線為：，所以直線的方程為.聯(lián)立方程得，解得，，所以.（或）16.5【詳解】令，因為當時，不等式成立，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由題意得，且，所以是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因為對任意的，不等式恒成立，所以，所以，所以.因為，所以當時，上式顯然成立.當時，，令（），所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以正整數(shù)的最大值為5.17.【詳解】（1）直線的方程可化為，…………2分聯(lián)立解得故直線恒過定點.…………4分（2）可化為，則圓心為，.設圓心到直線的距離為，要使直線被圓截得的線段長度最小，則需最大，當直線垂直于直線時，取得最大值，最大值為的線段長度.因為，所以，解得.…………6分由兩點間距離公式可得，…………7分所以直線被圓截得的最短弦長為.…………8分綜上，弦長的最小值為，對應的值為.…………10分18.【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象過點，所以①.又，，所以②，…………3分由①②解得，.…………5分（2）由（1）知，設所求切線在曲線上的切點為，則，…………7分所以切線方程為，…………8分又切線過點，所以，解得，…………10分所以切點為，切線方程為.故曲線過點的切線方程為.…………12分19.【詳解】（1）由題意得的定義域為，且.…………1分①若，則，所以在上單調(diào)遞增，所以無極值；…………2分②若，則當時，，當時，，…………4分所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.…………5分（2）當時，在上單調(diào)遞增，所以；…………7分當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；…………9分當時，在上單調(diào)遞減，所以.…………11分綜上，…………12分20.【詳解】（1）由，知（），兩式相減得（），…………2分則，故當時，為常數(shù)列.…………4分當時，，則當時，，即.又不適合上式，所以…………6分（2）當時，，當時，，…………7分，，兩式相減得，…………10分…………11分所以，又符合式子，所以（）.…………12分21.【詳解】（1）如圖1，取的中點，連接，.圖1因為，分別為，的中點，所以.又，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，…………2分則，又平面，平面，…………3分所以平面.…………4分（2）如圖2，取的中點，連接.圖2由且，得四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以，所以.由，得.在中，，，，由余弦定理得，則，又，，所以，所以，則，又，所以平面.…………6分在平面內(nèi)作交于.以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，.假設存在點滿足題意，設（），則，.………