新教材高中數(shù)學(xué)人教B版學(xué)案2-1-1等式的性質(zhì)與方程的解集

第二章等式與不等式2．1等式2．1.1等式的性質(zhì)與方程的解集[課程目標(biāo)]1.理解等式的性質(zhì)；2.區(qū)分等式與恒等式；3.理解方程解集的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單方程的解集．知識(shí)點(diǎn)一等式的性質(zhì)[填一填](1)如果a＝b，則對(duì)任意c，都有a＋c＝b＋c.(2)如果a＝b，則對(duì)任意不為零的c，都有ac＝bc.知識(shí)點(diǎn)二恒等式[填一填]1．恒等式的概念一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立，則稱(chēng)其為恒等式，也稱(chēng)等式兩邊恒等．2．十字相乘法給定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，則x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．這種因式分解的方法稱(chēng)為“十字相乘法”．[答一答]1．若a＋c＝b＋c，則一定有a＝b嗎？提示：有，只需等式兩邊加上－c即可．2．若ac＝bc，則一定有a＝b嗎？提示：不一定，若c≠0，則兩邊同乘以eq\f(1,c)，一定有a＝b；若c＝0，則a，b可以為任意實(shí)數(shù)，不一定有a＝b.知識(shí)點(diǎn)三方程的解集[填一填]一般地，把一個(gè)方程所有解組成的集合稱(chēng)為這個(gè)方程的解集．[答一答]3．方程2x－1＝0的解集為x＝eq\f(1,2)對(duì)嗎？提示：不對(duì)．方程的解集要寫(xiě)成集合的形式應(yīng)為{x|x＝eq\f(1,2)}或者{eq\f(1,2)}．類(lèi)型一恒等式[例1]求證：(1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3(立方和公式)；(2)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)(三數(shù)和平方公式)．[證明](1)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，∴等式成立．(2)∵(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，∴等式成立．常用公式：(1)平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(2)完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2；(3)立方和公式a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；(4)立方差公式a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；(5)三數(shù)和平方公式(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)；(6)兩數(shù)和立方公式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(7)兩數(shù)差立方公式(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.[變式訓(xùn)練1]已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值．解：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)．∵a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，∴a2＋b2＋c2＝8.類(lèi)型二十字相乘法分解因式[例2]把下列各式因式分解：(1)x2－2x－3;(2)y2－7y＋12；(3)12x2－5x－2;(4)11x－x2－18.[解](1)x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．(2)y2－7y＋12＝(y－3)(y－4)．(3)12x2－5x－2＝(3x－2)(4x＋1)．(4)11x－x2－18＝－(x2－11x＋18)＝－(x－2)(x－9)．二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，需要同時(shí)分解二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)，因此心算或嘗試的次數(shù)可能會(huì)增加.若一次不行，換成另外兩個(gè)數(shù)的積，或者交換一下因數(shù)的位置、交換一下兩個(gè)因數(shù)的符號(hào)，直到嘗試成功.[變式訓(xùn)練2]把下列各式因式分解：(1)x2＋5x－24;(2)x2－2x－15；(3)－12a2＋17a－6;(4)3x2－10x＋3.解：(1)∵－24＝(－3)×8，(－3)＋8＝5，∴x2＋5x－24＝[x＋(－3)](x＋8)＝(x－3)(x＋8)．(2)∵－15＝(－5)×3，(－5)＋3＝－2，∴x2－2x－15＝[x＋(－5)](x＋3)＝(x－5)(x＋3)．(3)原式＝(－3a＋2)(4a－3)＝－(3a－2)(4a－3)．(4)原式＝(3x－1)(x－3)．類(lèi)型三方程的解集[例3]求下列方程的解集：(1)2－eq\f(1,3)x＝3－eq\f(1,4)x;(2)eq\f(2x＋1,3)－eq\f(x－1,2)＝eq\f(1,6)；(3)x2－6x－7＝0;(4)x2＝2x.[解](1)方程變形為(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))x＝－1，即x＝－12，因此方程的解集為{－12}．(2)兩邊去分母得：2(2x＋1)－3(x－1)＝1，即x＝－4，因此方程的解集為{－4}．(3)因?yàn)閤2－6x－7＝(x－7)(x＋1)，所以方程可化為(x－7)(x＋1)＝0，因此方程的解集為{－1,7}．(4)方程變形為x2－2x＝0，即x(x－2)＝0，因此方程的解集為{0,2}．1關(guān)于一次方程變形為ax＝b，從而求解，進(jìn)而得解集.2關(guān)于二次方程先分解因式求解，進(jìn)而得解集.[變式訓(xùn)練3]求下列方程的解集：(1)x(2x＋1)－(2x＋1)(x－2)＝3；(2)2x2－3x＋1＝0；(3)x(x－1)(x＋2)2＝0.解：(1)方程變形為(2x＋1)×2＝3，即4x＝1，解得x＝eq\f(1,4)，方程的解集為{eq\f(1,4)}．(2)2x2－3x＋1＝(2x－1)(x－1)，即(2x－1)(x－1)＝0，解得x＝eq\f(1,2)或x＝1，方程的解集為{1，eq\f(1,2)}．(3)解方程得x＝0,1或－2，故方程解集為{0,1，－2}．1．若(x2＋mx＋n)(x－1)＝x3－1，則m＋n等于(D)A．0 B．1C．－1 D．2解析：x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)，∴m＝1，n＝1，∴m＋n＝2，故選D.2．方程4x2＋4x＋1＝0的解集為(B)A．{eq\f(1,2)} B．{－eq\f(1,2)}C．{－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)} D．{eq\f(1,2)，eq\f(1,2)}解析：方程變形為(2x＋1)2＝0，∴x＝－eq\f(1,2)，解集為{－eq\f(1,2)}．3．下列式子變形不正確的是(D)A．(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝x3－64y3B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－y))3＝eq\f(1,8)x3－eq\f(3,4)x2y＋eq\f(3,2)xy2－y3C．(2x－3y＋z)2＝4x2＋9y2＋z2－12xy－6yz＋4xzD．(x＋3)(x2－6x＋9)＝x3＋27解析：對(duì)于A(yíng)，(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝(x－4y)[x2＋x·4y＋(4y)2]＝x3－(4y)3＝x3－64y3，故A正確；對(duì)于B，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－y))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))3－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))2y＋3×eq\f(1,2)xy2－y3＝eq\f(1,8)x3－eq\f(3,4)x2y＋eq\f(3,2)xy2－y3，故B正確；對(duì)于C，(2x－3y＋z)2＝[2x＋(－3y)＋z]2＝(2x)2＋(－3y)2＋z2＋2[2x(－3y)＋(－3y)z＋2xz]＝4x2＋9y2＋z2－12xy－6yz＋4xz，故C正確；對(duì)于D，x3＋27＝x3＋33＝(x＋3)(x2－3x＋9)，故D不正確．4．(1)eq\f(1,9)a2－eq\f(1,4)b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(1,2)b))(eq\f(1,3)a－eq\f(1,2)b)；(2)(4m＋eq\f(1,2))2＝16m2＋4m＋eq\f(1,4).解析：(1)eq\f(1,9)a2－eq\f(1,4)b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(