河南省濮陽市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次摸底考試文科數(shù)學(xué)試題

2023屆高三年級摸底考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合并集的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z，可得其共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)模的計算可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)，故，所以，故選：C3.某大型企業(yè)開發(fā)了一款新產(chǎn)品，投放市場后供不應(yīng)求，為了達(dá)到產(chǎn)量最大化，決定增加生產(chǎn)線．經(jīng)過一段時間的生產(chǎn)，統(tǒng)計得該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線條數(shù)與月產(chǎn)量（件）之間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：4681030406070由數(shù)據(jù)可知，線性相關(guān)，且滿足回歸直線方程，則當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時，預(yù)計月產(chǎn)量為（）A.73件 B.79件 C.85件 D.90件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出樣本中心點(diǎn)，再代入回歸直線方程，即可求出參數(shù)的值，從而得到回歸直線方程，最后將代入計算可得.【詳解】解：依題意可得，，因為回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)，即，解得，所以，當(dāng)時，故當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時，預(yù)計月產(chǎn)量為85件.故選：C4.若實數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值為（）A.1 B.2 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式組作出可行域，結(jié)合直線縱截距的幾何意義求解.【詳解】作出可行域如下，由可得，結(jié)合的幾何意義可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，縱截距有最大值，最大值為，故選:D.5.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性排除A，利用特殊值和圖象變化趨勢排除B,D.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，故排除A；因為，所以排除B；因為，所以排除D；故選：C.6.設(shè)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到，再根據(jù)兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式得到，再根據(jù)、的范圍判斷即可.【詳解】解：因為，所以，即，即，即，因為，所以，所以，即.故選：D7.已知圓柱的下底面圓的內(nèi)接正三角形ABC的邊長為6，P為圓柱上底面圓上任意—點(diǎn)，若三棱錐的體積為，則圓柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出底面內(nèi)接正三角形外接圓的半徑及的面積，設(shè)圓柱的母線長為，根據(jù)圓錐的體積公式求出，則圓柱外接球的半徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】解：如圖，因為是邊長為的正三角形，則其外接圓的半徑，解得，又，設(shè)圓柱的母線長為，則，解得，所以圓柱的外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故選：B8.在直三棱柱中，，且，若直線與側(cè)面所成的角為，則異面直線與所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面角的向量求法求出的值，再求異面直線所成角即可.【詳解】因為直三棱柱，所以底面，又因為，所以兩兩垂直，以為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，解得，所以直線與側(cè)面所成的角的正弦值，解得，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，所以異面直線與所成的角的正弦值為.故選：D9.已知函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)在上的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的開口向下，對稱軸是直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意可知，在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D10.以拋物線的焦點(diǎn)F為端點(diǎn)的射線與C及C的準(zhǔn)線l分別交于A，B兩點(diǎn)，過B且平行于x軸的直線交C于點(diǎn)P，過A且平行于x軸的直線交l于點(diǎn)Q，且，則△PBF的周長為（）A.16 B.12 C.10 D.6【答案】B【解析】【分析】因，則，準(zhǔn)線為.由，可得坐標(biāo)，直線AF方程，進(jìn)而可得B，P坐標(biāo)，后由兩點(diǎn)間距離公式及拋物線定義可得答案.【詳解】因，則，準(zhǔn)線為.由，如圖，設(shè)，則，得，則.得直線AF方程：，代入，得，將代入，可得.則周長，則.故.故選：B11.已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在y軸上，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．直線，與C的左、右支分別交于另外兩點(diǎn)P，Q，若四邊形為矩形，且P，N，三點(diǎn)共線，則C的離心率為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由四邊形為矩形，可得，，設(shè)，則，由P，N，三點(diǎn)共線，可得，由P，M，三點(diǎn)共線，可得，即可得，從而得答案.【詳解】解：如圖所示：，由，則有，設(shè)，則，由，可得，取，同理可得，又因為，P，N，三點(diǎn)共線，所以，，所以，所以，P，M，三點(diǎn)共線，所以，，所以，所以，又因為，所以，即有，所以，所以.故選：A.12.已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，，，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又當(dāng)時，，當(dāng)，，由此作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，因為且，則由圖可知，所以.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)，求出向量的模長以及夾角，利用平面向量的定義式，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：在正六邊形中，易知，，，，則與的夾角為，即，在中，，.故答案為：.14.已知圓，的圓心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為與．若圓的圓心在軸正半軸上，且與圓，均內(nèi)切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．【答案】【解析】【分析】依題意求出圓心的橫坐標(biāo)與半徑，即可得解.【詳解】解：依題意可知圓心的橫坐標(biāo)為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.15.已知為奇函數(shù)，若對任意，存在，滿足，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，再根據(jù)題意推得的關(guān)系式，結(jié)合的范圍，即可求得答案.【詳解】因為為奇函數(shù)，故，即，由于,故，則，由于，故，所以，由，可得，即或，對任意，存在，滿足，故，則,，，k取負(fù)值，則只能，此時，或，則，則,綜合可得或，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為：16.如圖，已知AB為圓O的直徑，，，則六邊形AECBDF的周長的最大值為______．【答案】12【解析】【分析】連接，，，設(shè)，，，先證明，再求得，，則六邊形AECBDF的周長為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而求得最值即可．【詳解】連接，，，由，則，設(shè)，，，則，，又，得，，在直角中，由，則，，在中，由正弦定理有，即，得，所以六邊形AECBDF的周長為，故當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為12．所以六邊形AECBDF的周長的最大值為12．故答案：12．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將六邊形AECBDF的周長和邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為周長和角的關(guān)系．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在數(shù)列中，，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項和為．若，求正整數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，利用累加法求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，即可得到，利用裂項相消法求出，即可得到方程，解得即可.【小問1詳解】解：因為，，且，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，又時也符合上式，所以.【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，所以，所以，則，解得.18.某出租車公司為推動駕駛員服務(wù)意識和服務(wù)水平大提升，對出租車駕駛員從駕駛技術(shù)和服務(wù)水平兩個方面進(jìn)行了考核，并從中隨機(jī)抽取了100名駕駛員，這100名駕駛員的駕駛技術(shù)與性別的2×2列聯(lián)表和服務(wù)水平評分的頻率分布直方圖如下，已知所有駕駛員的服務(wù)水平評分均在區(qū)間內(nèi)．駕駛技術(shù)優(yōu)秀非優(yōu)秀男2545女525（1）判斷能否有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）從服務(wù)水平評分在，內(nèi)的駕駛員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人，求這3人中恰有2人的評分在內(nèi)的概率．附：，其中．0.1000500.0102.70638416.635【答案】（1）沒有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）計算出卡方，與3.841比較后得到相應(yīng)結(jié)論；（2）先根據(jù)頻率之和為1得到，從而得到評分在，內(nèi)的駕駛員人數(shù)比例，及兩個區(qū)間各抽取的人數(shù)，利用列舉法求出概率.【小問1詳解】，沒有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；【小問2詳解】，解得：，故服務(wù)水平評分在，內(nèi)的駕駛員人數(shù)比例為，故用分層抽樣的方法抽取5人中，內(nèi)有4人，設(shè)為，內(nèi)有1人，設(shè)為，再從這5人中隨機(jī)抽取3人，共有以下情況：，共10種情況，其中這3人中恰有2人的評分在的有，6種情況，故這3人中恰有2人的評分在內(nèi)的概率為．19.在如圖所示的六面體中，平面平面，，，．（1）求證：平面；（2）若AC，BC，兩兩互相垂直，，，求點(diǎn)A到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，利用面面平行的性質(zhì)定理推出，再利用線面平行的判定定理可證結(jié)論成立；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到面的距離的向量公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，，，在六面體中，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，因為分別是，的中點(diǎn)，且，，所以，，，，所以四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，所以，，又已知，所以，則共面，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，又分別是，的中點(diǎn)，，所以，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】因為AC，BC，兩兩互相垂直，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，則，取，則，，所以點(diǎn)A到平面的距離為.20.已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，解不等式可得增區(qū)間，解不等式可得減區(qū)間；（2）先由時不等式成立，得，再將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，代入可解得結(jié)果.【小問1詳解】，，令，得或，令，得或，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】關(guān)于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時，得，即，令，，因為，所以，設(shè)，則，令，得,令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即，所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即.21.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在短軸上，且．（1）求的方程；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，求（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題知，，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得，再根據(jù)即可求得，進(jìn)而得答案；（2）設(shè)，進(jìn)而聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長公式得，再求得原點(diǎn)到直線的距離即可計算的面積，再根據(jù)基本不等式求解即可.【小問1詳解】解：因為橢圓的離心率為，所以，即，因為點(diǎn)在短軸上，且，所以，，解得，因為，所以，，所以，的方程為；【小問2詳解】解：設(shè)聯(lián)立方程得，所以，即，所以，所以，，因為原點(diǎn)到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值為.（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是．（1）求l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)l與C相交于點(diǎn)A，B，求的值．【答案】（1）直線的普通方程為，;（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法求得正確答案.（