第7 章 位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)

7.1概述第七章位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)某些結(jié)構(gòu)不宜用力法計算，需用位移法計算。一、位移法產(chǎn)生的背景1915年，美國西北理工大學教授孟內(nèi)提出了位移法單跨超靜定梁的力法計算結(jié)果。1.不考慮剪力、軸力對結(jié)構(gòu)變形的影響；2.變形過程中桿件兩端之間的距離保持不變；3.僅研究等截面直桿的簡單情況。三、位移法的計算基礎(chǔ)四、基本假設各構(gòu)件是直桿的受彎結(jié)構(gòu)（梁和剛架）二、位移法的研究對象7.1概述

把結(jié)構(gòu)中的某些結(jié)點位移作為基本未知量，根據(jù)平衡條件首先求出它們，然后再據(jù)以確定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形的方法。五、位移法基本原理7.1概述7.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程

——單跨超靜定梁的力法計算結(jié)果轉(zhuǎn)角位移方程：單跨等截面超靜定梁在外荷載作用下以及桿端發(fā)生轉(zhuǎn)動和移動時的桿端內(nèi)力（彎矩、剪力）的表達式。一、單跨超靜定梁的形式：二、桿端內(nèi)力、桿端位移：（一）桿端內(nèi)力1.表示方法：仍采用雙腳標。2.正負號規(guī)定：軸力N，剪力Q：彎矩M：同前；桿端彎矩：順時針為正；支座或結(jié)點的彎矩：逆時針為正。支座支座桿端轉(zhuǎn)角：以順時針方向轉(zhuǎn)動為正桿端線位移：以使桿件作順時針方向轉(zhuǎn)動為正（二）桿端位移：二、桿端內(nèi)力、桿端位移：假設：在變形過程中，直桿兩端之間距離保持不變。βAB稱為弦轉(zhuǎn)角。三、荷載作用下單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力：位移法中將單跨超靜定梁僅由荷載作用產(chǎn)生的的桿端內(nèi)力叫固端內(nèi)力（固端彎矩和固端剪力）?！址Q為載常數(shù)（一）命名用Mg表示。（二）幾種常見情況三、荷載作用下單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力：——又稱為載常數(shù)（二）幾種常見情況1.左邊的固端彎矩為負，右邊的固端彎矩非負。2.集中力作用下的系數(shù)＞均布荷載作用下的系數(shù)。3.一端固定一端鉸支情況下的系數(shù)＞兩端固定情況下的系數(shù)。4.固定端可以在左，也可以在右。5.同一桿端系數(shù)是3/2倍的關(guān)系。三、荷載作用下單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力：——又稱為載常數(shù)（二）幾種常見情況四、桿端位移所引起單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力：——又稱為形常數(shù)四、桿端位移所引起單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力：——又稱為形常數(shù)四、桿端位移所引起的桿端內(nèi)力（續(xù)）：說明：1.位移：q、Δ均設為正；2.q、Δ所引起的桿端M與（線剛度）成正比。3.當單跨梁同時受到多種作用時，利用疊加法求?！纬?shù)五、轉(zhuǎn)角位移方程（剛度方程)其中：熟記載常數(shù)和形常數(shù)了嗎?疊加法：五、轉(zhuǎn)角位移方程（剛度方程)熟記載常數(shù)和形常數(shù)了嗎?βAB稱為弦轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角位移方程：五、轉(zhuǎn)角位移方程（剛度方程)熟記載常數(shù)和形常數(shù)了嗎?7.3位移法解題的基本思路及基本概念一、基本思路：例：用位移法求解圖示結(jié)構(gòu)，并作M、Q圖：B點豎向和水平不能移動；能轉(zhuǎn)動AB、BC在B端產(chǎn)生相同轉(zhuǎn)角Z1限制轉(zhuǎn)動的約束稱為剛臂，用符號表示。原結(jié)構(gòu)變?yōu)?個相對獨立的單跨超靜定梁在（C圖）上加上荷載，并使它發(fā)生實際位移Z1（即恢復原狀）變形一致為了區(qū)別彎矩轉(zhuǎn)向和力的方向，在Z1方向上帶兩道豎杠，以表示它是轉(zhuǎn)角位移。一、基本思路：一、基本思路（一）加上限制轉(zhuǎn)動的約束（附加剛臂

）；（圖b）（二）加上荷載，并使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生實際位移（恢復原狀）。即圖e。（三）如何求Z1：即，平衡條件（三）如何求Z1：即，平衡條件列等截面直桿轉(zhuǎn)角位移方程：一、基本思路，，

位移法通過引入附加約束，把原超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為若干單跨梁的組合體，從而把復雜結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為簡單桿件的分析和綜合問題。一、基本思路（四）將Z1回代到轉(zhuǎn)角位移方程，得出桿端彎矩：等截面直桿轉(zhuǎn)角位移方程：一、基本思路（五）作內(nèi)力圖：1.利用區(qū)段疊加法作M圖。2.利用力矩平衡方程作Q圖。一、基本思路二、位移法基本概念：（一）基本結(jié)構(gòu)：

在原結(jié)構(gòu)上增加一些附加約束（剛臂、支座它是位移法的研究對象。鏈桿），以使原結(jié)構(gòu)變成若干單跨超靜定梁的組合體。該組合體稱為位移法基本結(jié)構(gòu)。（二）基本未知量：附加約束處，在附加約束方向上原結(jié)構(gòu)的實際位移。包括剛結(jié)點轉(zhuǎn)角、獨立結(jié)點線位移。（三）基本方程：表示附加約束上無約束反力的方程。顯然：1.對于附加剛臂：基本方程為力矩平衡方程。2.對于附加鏈桿：基本方程為鏈桿方向上力的平衡方程。等截面直桿轉(zhuǎn)角位移方程的重要性：1.它是把基本未知量與桿端內(nèi)力聯(lián)系起來，是建立位移法基本方程、求解基本未知量的基礎(chǔ)。2.求出基本未知量后，它又是求解桿端內(nèi)力的依據(jù)。（一）確定基本結(jié)構(gòu)（二）求基本未知量3.（2）代入（1）解方程，得實際位移（3）（三）內(nèi)力計算2.寫出各桿端彎矩表達式（轉(zhuǎn)角位移方程）（2）1.列位移法方程（1）1.求各桿端彎矩：（3）代入（2）3.求N（有的結(jié)構(gòu)N求不出）2.求Q三、位移法解題的一般步驟一、位移法基本未知量類型Z1Z27.4位移法基本未知量的確定結(jié)點角位移n1

用

表示獨立結(jié)點線位移n2

用表示二、位移法基本未知量數(shù)目：（一）n1：表示剛結(jié)點數(shù)目：注意：1.包含組合結(jié)點；2.不包含與EI=∞桿剛結(jié)的結(jié)點。例、n1=4n1=2n1=1二、位移法基本未知量數(shù)目：（一）n1：表示剛結(jié)點數(shù)目：注意：1.包含組合結(jié)點；2.不包含與EI=∞桿剛結(jié)的結(jié)點。例、由兩個不動點引出的兩根不共線直桿的交點是一個新的不動點。（二）n2：獨立的結(jié)點線位移數(shù)目：認為變形前后桿件兩端距離保持不變n2：由不動點原理來確定；不動點：無線位移的點。不動點原理：方法一：使所有結(jié)點成為不動點所需增加的最少支座鏈桿數(shù)目就是n2。二、位移法基本未知量數(shù)目n2=2

將所有剛結(jié)點、固端改為鉸結(jié)點，然后將鉸結(jié)體系變?yōu)閹缀尾蛔凅w系所需要增加的最少鏈桿數(shù)目。例：方法二：（二）n2：獨立的結(jié)點線位移數(shù)目：n1=1n2=1n1=5n2=3n1=9n2=3二、位移法基本未知量確定示例：n1=2n2=1n1=1n2=07.5應用平衡條件建立位移法方程的步驟和示例一、應用平衡條件建立位移法方程的步驟（一）確定基本未知量數(shù)目，并確定基本結(jié)構(gòu)；（二）使基本結(jié)構(gòu)承受原來的荷載，并令各附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移（復原）；（三）利用平衡條件建立基本方程；（四）寫出轉(zhuǎn)角位移方程，并求桿斷剪力。（五）解方程，求基本未知量；（六）回代，并作彎矩圖。RBMBAMBCZ1解：1、確定基本結(jié)構(gòu)2、列位移法方程3、寫出各桿端彎矩表達式令EI/4=i，則iAB=i，iBC=2iMAB=2iZ1MBA=4iZ1MBC=3.2iZ1–1/8.10.42=6iZ1-204、回代解方程，求基本未知量Z1

10iZ1-20=0解得，Z1=2/i二、連續(xù)梁和無側(cè)移剛架的計算示例（基本未知量只有結(jié)點角位移）RB=MBA+MBC=0Z14820M圖（kN.m）Q圖（kN）32218-+-解：5、內(nèi)力計算（1）

回代求M（2）利用平衡條件求QMAB=2iZ1MBA=4iZ1MBC=6iZ1-204、回代解方程，求Z1

Z1=2/i=4kN.m=8kN.m=-8kN.m3、寫出各桿端彎矩表達式二、連續(xù)梁和無側(cè)移剛架的計算示例（基本未知量只有結(jié)點角位移）例、用位移法求解圖示結(jié)構(gòu)：解：1.確定基本結(jié)構(gòu)：2.列基本方程二、連續(xù)梁和無側(cè)移剛架的計算示例（基本未知量只有結(jié)點角位移）由3.寫出各桿端彎矩表達式：4.回代，求基本未知量Z1：熟記載常數(shù)和形常數(shù)了嗎?5.回代，并求各桿桿端彎矩：6.求作M圖：例、用位移法計算圖示排架，并作M圖。解：1.確定基本結(jié)構(gòu)：2.加上荷載，并使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生實際位移Z1（復原）：3.利用平衡條件列基本方程：由(1)4.求桿端剪力由由(2)(3)寫出轉(zhuǎn)角位移方程：(1)將(2)、(3)代入(1)得：(2)(3)5.求Z1(1)6.回代到轉(zhuǎn)角位移方程，作M圖：寫出轉(zhuǎn)角位移方程：R1=0R2=0（一）計算特點2.在寫出各桿端彎矩表達式時，寫出方程中出現(xiàn)的桿端剪力表達式。三、有側(cè)移剛架的計算（基本未知量有結(jié)點線位移的情況）1.與結(jié)點角位移對應的基本方程是附加剛臂方向上的平衡方程。與結(jié)點線位移對應的基本方程是附加鏈桿方向上的平衡方程。R1=0R2=0QCAO例、用位移法計算圖示剛架，并作M圖。解：1.確定基本結(jié)構(gòu)：

2.加上荷載，并使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生實際位移（復原）：3.列位移法基本方程由由4.寫出轉(zhuǎn)角位移方程，并求出桿端剪力令：iAB===i則：iBC=iCD=2i熟記載常數(shù)和形常數(shù)了嗎？（1）轉(zhuǎn)角位移方程（2）求出桿端剪力：由由同理，取出隔離體CD：AB段：4.寫出轉(zhuǎn)角位移方程，并求出桿端剪力5.回代，求Z1、Z2：由①②由聯(lián)解①、②，①②得：5.回代，并作M圖：上述的解題方法，很多書上叫做角變位移法。Z1Z2解：1、確定基本結(jié)構(gòu)2、求基本未知量1）列位移法方程2）寫出各桿端M，并寫出QBA、QCDMAB=2iZ1-1.5iZ2-20MBA=4iZ1-1.5iZ2+203）解方程Z2=25.5/i3、內(nèi)力計算M

回代=-53kN.m=-7.8kN.mMBC=3iZ1MDC=-0.75iZ2

=7.8kN.m=-19.1kN.mMBA+MBC=0QBA+QCD=0QBA=-20-（6iZ1-3iZ2）/4QCD=0.75iZ2/4Z1=2.61/i7iZ1-1.5iZ2+20=0-1.5iZ1+0.9375iZ2-20=0537.819.1M圖（kN.m）40角變位移法：優(yōu)點：物理概念清楚，便于記憶。缺點：書寫內(nèi)容較多，給出的方程不及力法典型方程“整齊”。7.6位移法的典型方程一、思考方法：解：1.確定基本結(jié)構(gòu)：2.加上荷載，并使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生實際位移（復原）：根據(jù)疊加原理，將圖b進行分解：b圖中，同理，b圖中，式中：R1P—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨在荷載作用下，在第一個附加約束上產(chǎn)生的反力矩。一、思考方法：式中：R11—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨由第一個附加約束順時針轉(zhuǎn)過一角度Z1時，在該附加約束上產(chǎn)生的反力矩。r11—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨由第一個附加約束順時針轉(zhuǎn)過一單位角度`Z1=1時，在該附加約束上產(chǎn)生的反力矩。由疊加原理：R12—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨由第二個附加約束移動一正的水平位移Z2時，在第一個附加約束上產(chǎn)生的反力矩，它等于R12=r12Z2。r12—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨由第二個附加約束移動一正的單位水平位移`Z2=1時，在第一個附加約束上產(chǎn)生的反力矩。以此類推。R2P—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨在

荷載作用下，在第二個附加約束上產(chǎn)生的

反力。R21—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨由第一個附加約束順時針轉(zhuǎn)過一角度Z1時，在第二個附加約束上產(chǎn)生的反力，它等于R21=r21

Z1。r21—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨由第一個附加約束順時針轉(zhuǎn)過一單位角度`Z1=1時，在第二個附加約束上產(chǎn)生的反力。r22—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨由第二個附加約束移動一正的單位水平位移`Z2=1時，在該附加約束上產(chǎn)生的反力。R22—表示在位移法基本結(jié)構(gòu)中，單獨由第二個附加約束移動一正的水平位移Z2時，在該附加約束上產(chǎn)生的反力，它等于R22=r22

Z2。代入方程整理，得：這就是位移法典型方程。注意各系數(shù)和自由項的物理意義。Pl/4=40二、計算位移法典型方程的系數(shù)和自由項：（一）分別作出基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨作用下以及各附加約束產(chǎn)生單位位移時的M圖：=（二）按照平衡條件計算系數(shù)和自由項：Pl/4=40由`M1圖：（二）按照平衡條件計算系數(shù)和自由項：Pl/4=40由`M2圖：（二）按照平衡條件計算系數(shù)和自由項：Pl/4=40由MP圖：將系數(shù)和自由項代入典型方程：三、解方程求Z1、Z2：四、按疊加公式M=`M1Z1+`M2Z2+MP求出控制截面彎矩值，并作彎矩圖：四、按疊加公式M=`M1

Z1+`M2

Z2+MP

求出控制截

面彎矩值，并作彎矩圖：比如：Pl/4=40最后，M圖如下：這就是用位移法典型方程求解的全過程。1.確定基本結(jié)構(gòu)2.求基本未知量（3）解方程3.內(nèi)力計算（2）求系數(shù)和自由項rij、RiP（1）列位移法方程（2）Q、N

同前（1）M

一、位移法典型方程解題的一般步驟7.7位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)示例例1、用位移法求解圖示結(jié)構(gòu)：解：方法一、用角變位移法：1.確定基本結(jié)構(gòu)：2.加上荷載，并使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生實際位移（復原）：二、位移法典型方程解題的示例3.寫出各桿端彎矩表達式：令i=iAB=，則：iBC=2i4.由結(jié)點平衡條件求Z1：由5.回代，并作M圖：1.確定基本結(jié)構(gòu)：2.加上荷載，并使基本結(jié)構(gòu)發(fā)生實際位移（復原）：方法二、用位移法典型方程：3.列位移法典型方程：4.按照平衡條件求系數(shù)和自由項：（1）作`M1圖、MP圖：4.按照平衡條件求系數(shù)和自由項：（1）作`M1圖、MP圖：（2）求剛臂上的約束反力矩：由`M1圖：由`MP圖：5.求Z1：6.按疊加公式M=`M1Z1+MP求出控制截面彎矩，并作彎矩圖。qlqlZ1Z2R2R1解：1、確定基本結(jié)構(gòu)2、求基本未知量（1）列位移法方程例2：利用位移法典型方程作圖示結(jié)構(gòu)M圖。R1=0R2=0qll/2l/2EI=常數(shù)qllABCDr21r11Z1Z2qlql（2）求系數(shù)和自由項rij、RiPr22R2Pr12R1P=1=1M1M2r11r21r12R1Pr22R2PMP（3）解方程3.內(nèi)力計算r21Z1Z2qlqlr22R2Pr12R1P=1=1M1M2MPqlqlA