高中數(shù)學正弦定理課件

1．1正弦定理二、解三角形1．解三角形時常用的結(jié)論(1)在△ABC中，A>B?⑤________?⑥________；(即在一個三角形中大邊對大角)(2)a＋b>c，b＋c>a，⑦________；(即在一個三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊)(3)內(nèi)角和定理：△ABC中，A＋B＋C＝⑧________.2．正弦定理的應(yīng)用利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：(1)兩角和任意一邊，求其他⑨________和⑩________；(2)兩邊和其中一邊的對角，求?________，從而進一步求出其他的邊和角．對于第(1)類，其解是唯一確定的，一般先由三角形內(nèi)角和為180°求得?________，再利用正弦定理求其余兩邊；對于第(2)類，其解不一定唯一，由于三角形的形狀不能唯一確定，因而會出現(xiàn)?________三種情況．友情提示：在△ABC中，如果邊a，b和角A，解的情況討論如下：一般地，兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解和無解三種情況．①A為銳角，如以下圖：a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥b?________解?________解?________解?________解②A為直角或鈍角，如以下圖．?________解?________解?________解________解歸納列表如下：1.正弦定理的推導(dǎo)方法對正弦定理的推導(dǎo)，我們可以從幾何的角度進行推導(dǎo)．如圖，以△ABC的頂點A為原點，邊AC所在的射線為x軸的正半軸，建立直角坐標系．另外，我們也可以從△ABC的外接圓來進行推導(dǎo)，如圖．當△ABC為直角三角形時，如圖①所示，其外接圓的圓心O位于Rt△ABC的斜邊AB上，R為外接圓的半徑．2．兩邊與其中一邊的對角時，怎樣確定三角形解的個數(shù)？利用數(shù)形結(jié)合和三角函數(shù)知識來分析．例如：△ABC的兩邊a，b和角A解三角形時，有以下方法：方法一：可以作圖，利用數(shù)形結(jié)合加以說明．如下表所示：具體解題時，作出角A，邊長b，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，與射線AB的公共點(除去頂點A)的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)．分析：從方程的觀點看，正弦定理有三個等式，可視為三個方程，每個方程都含有四個量，知其三個量，便可求得第四個量．此題△ABC的兩邊和其中一邊的對角，運用正弦定理可求出角A，然后再利用三角形內(nèi)角和公式求得角C，進而求出邊c.[變式訓(xùn)練1]在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.[例2]△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，b＝5，∠B＝30°，假設(shè)c＝ ，解此三角形．分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角變形的技巧．[例3]在△ABC中，假設(shè)b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，試判斷三角形的形狀．分析：條件中有邊和角的混合關(guān)系，可考慮利用邊化角，從角的關(guān)系判斷，也可考慮角化邊，從邊的關(guān)系判斷．[變式訓(xùn)練3]在△ABC中，假設(shè)acosA＝bcosB，求證：△ABC是等腰三角形或直角三角形．分析：判斷三角形形狀通常從三角形內(nèi)角的關(guān)系確定，也可以從三角形三邊關(guān)系確定．此題可考慮把邊化為角，尋找三角形角與角之間的關(guān)系，然后予以判定．[例4]如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點，AB＝AD，記∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)證明sinα＋cos2β＝0；(2)假設(shè)AC＝DC，求β的值．分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，結(jié)合三角公式，正、余弦定理即可解決．解三角形的應(yīng)用問題，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出三角形的邊和角的大小，從而得出實際問題的解．[例5](2009·遼寧卷)如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km，

≈1.414，≈2.449)．分析：此題考查了應(yīng)用三角形知識求解實際問題的能力．求解此類解三角形問題首先要能夠讀懂題意，分析清楚題意，要能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即解三角形問題．在具體求解過程中要能夠明確三角形中的邊角關(guān)系，同時要注意多解情況和計算的準確性．解析：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA.[變式訓(xùn)練5]