2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何探究題專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：幾何探究題專項(xiàng)訓(xùn)練

1.如圖，在Rt6.ABC中，乙BAC=90。，乙ABC=30。，點(diǎn)D是平面內(nèi)?動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接CD,將線段

CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段DE（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接BE.取CD的中點(diǎn)P,連接AP.

備用圖

AP

⑴如圖。），當(dāng)點(diǎn)E落在線段AC上時(shí)，彘'直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為

⑵如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)E落在平面內(nèi)其他位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖（2）的情形給出證

明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

⑶若AC=6,CP=3,當(dāng)點(diǎn)B,D,E在同一條宜線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AP的長(zhǎng).

2.如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上的?個(gè)點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F、交CD于點(diǎn)G.

圖2

⑴求證.FG=.FA

FAFE'

（2）如圖2,連接AC交BD于點(diǎn)。，連接OE交CD于點(diǎn)H,連接FH:

@薦G=1,FA=3,求tanLOEC的值；

@若印IIAC,求:

MVJ

3.如圖，在hABC、心ADE中，AB=AC,AD=AE,設(shè)乙BAC=4）AE=a.連接BD,以BC、BD為鄰邊作

cBDFC,連接EF.

（I）若a=60。，當(dāng)AD、AE分別與AB、AC重合時(shí)（圖1）,易得EF=CF.當(dāng)“ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖

2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段EF、CF的數(shù)似關(guān)系.

0）若2=90。，當(dāng)“ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時(shí)，試判斷線段EF、CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論；

（3）若a為任意角度，AB=6,BC=4,AD=3,」ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?周（圖4）,當(dāng)A、E、F點(diǎn)共線

時(shí)，諸直接寫出AF的長(zhǎng)度.

4..已知，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在射線AD卜.運(yùn)動(dòng)，連結(jié)BE,在射線AD下方作以

⑴如圖@,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，則BE的長(zhǎng)為

（2）如圖@,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，且DE=1時(shí)、求點(diǎn)F到直線AD的距離

Q當(dāng)點(diǎn)F或點(diǎn)G落在正方形ABCD的邊所在的直線上時(shí)，求矩形BEFG的面積.

5.如圖I,在等邊t:.ABC中，AB=2,過點(diǎn)C作CEJ_AB,垂足為E,p為CE上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合),

把AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,分別連接BD、PD、ED.

⑴求證：BD=CP;

(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，請(qǐng)你按照題干耍求，在圖2中作出圖形，并延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F,求出BF的長(zhǎng);

⑶直接寫出線段DE氏度的最小值.

6.某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)【觀察，猜想】

DE

如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AB,AD上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,DE上CF,則一一的值為

CF

(2)［類比探究】

CE

如圖2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，連接CE,BD,日CD.LBD.求的值；

BD

(3)【拓展延伸】

如圖3,在四邊形ABCD中，1人=乙8=90。’點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)G,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且AD=2,DE=3,CF=4求AB的長(zhǎng)；

7.已知在矩形ABCD中AB=4,AD=6,點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)點(diǎn)(與點(diǎn)A,D不益合).連接CE,作乙CEF=90°,交直

線BC點(diǎn)F,點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)

(1)如001,若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，四邊形FHAB是矩形，求證：1:,.HEFV>t!!.DCE;

⑵如圖2,若將邊AD向左平移1個(gè)單位得平行四邊形A'BCD,當(dāng)點(diǎn)G落在邊A，B上時(shí)，求A，E的長(zhǎng)；

(3)如圖3,連接DF,點(diǎn)H是DF的中點(diǎn)，連接GH,EH,是否存在點(diǎn)E,使1:,.EGH為等腰角形？若存在，直接

寫出DE的值

8.如圖，t:.ABC中，乙ACB=90。，CB=CA,CE上AB「E,點(diǎn)F是CE上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,

CGkAD千點(diǎn)G,連接EG.

(1)求證：CD2=DG?DA;

⑵如圖1,若點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，求證：CF=2EF;

(3)如圖2,若GC=2,GE=22,求證：點(diǎn)F是CE中點(diǎn).

9.感知發(fā)現(xiàn)：如圖(D,在正方形ABCD中，E為AB邊上點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作EFDE交BC千點(diǎn)F.易

證：叢從兀滬么BFE.(不需耍證明)

類比探究：如圖@,在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作EF上DE交BC干點(diǎn)F.

⑴求證：叢從叩o么BFE

(2)若AB=10,AD=6,E為AB的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng).

(3)如圖在心ABC中，LACB=9(P,AC=BC,AB=4.E為AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，連接

CE,過點(diǎn)E作LCE=45。交BC于點(diǎn)F.當(dāng)D..CEF為等腰：角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為

A

10.如圖，己知1::"ABC中，AB=AC,LBAC=a.點(diǎn)D是t:”ABC所在平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，連接

CD,將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段DE,連接AD、BE.

BC

備用圖

圖2

⑴如圖1,當(dāng)a=60。時(shí),線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是；直線BE與AD相交所成的銳角的度數(shù)是,

(2)如圖2,當(dāng)a=90°時(shí),

@(I)中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由;

@當(dāng)BEIiAC,AB=6,AD=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出1::..DCE的面積.

11.已知開方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)(不與C、D重合)，將t:.ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9"得到t:ABF,

如圖I,連接EF分別交AC、ABUP、G.

(I)請(qǐng)判斷6.AEF的形狀;

⑵求證：PA=PG?PF

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)時(shí)，PE=1,求AG的長(zhǎng).

A

12.如圖1,正三角形ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作乙EDF=60°,分別交AB,ACT點(diǎn)E,

F.

圖1圖2

(1)當(dāng)BE=CD時(shí)，BD與CF的關(guān)系是

(2)將乙EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BE=2CD..BD

求一一的值；

CF

(3)如圖2,若D在正三角形ABC中CB邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F落在AC延長(zhǎng)線上，AB=2,

S-1

AABL求DFT

0DCF,

AC

13..在t:,.ABC中，乙ACB=m,D是邊BC上?點(diǎn)，將1::,.ABD沿AD折疊得到匕，AED,連接BE.

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)m=1,AE落在直線AC上時(shí).求證：乙DAC=乙EBC;

(2)類比探究

CG

如圖2,當(dāng)呢I,AE與邊BC相交時(shí)，在AD上取點(diǎn)G,使乙ACG=乙BCE,CG交AE于點(diǎn)H.探究一的值

CE

(用含m的式子表示)，并寫出探窕過程；

⑶拓展運(yùn)用

在(2)條件下，當(dāng)m=Q--;D是BC的中點(diǎn)時(shí)，若EB?EH=6,直接寫出CG的長(zhǎng).

2

14.如圖1,RtllABC和RtH.ADE中,乙人08=乙人0￡=90°,ABC=乙AED=aO.

(I)當(dāng)a=30。時(shí),

@當(dāng)點(diǎn)D,E分別落在邊AC,AB±,猜想BE和CD的數(shù)量關(guān)系是.

@當(dāng)匕人口日繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)(45?！匆褻AD<90。).分別連接CD,BE,則@的結(jié)論是否仍然成句

若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立.請(qǐng)說明理由.

(2)當(dāng)a=45°時(shí)，將t:.ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到乙DEB=90°,若AC=IO,AD=25,直接寫出線段CD的長(zhǎng).

15.小志同學(xué)在玩一副直角涌尺時(shí)發(fā)現(xiàn)：含45。角的宜角角尺的斜邊可與含30。角的直角角尺的較長(zhǎng)直角邊

憲成重合(如圖O),即1:,.CDA的頂點(diǎn)A',C分別與1:..BAC的頂點(diǎn)A,C重合現(xiàn)在，他讓1:,.CDA固定不動(dòng)，將

1:..BAC通過變換使斜邊BC經(jīng)過1:,.CDA的直角頂點(diǎn)D.

(I)如圖@將人BAC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<180°),使邊BC經(jīng)過點(diǎn)D,則2=

(2)如圖@,將t:i.BAC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)使邊BC經(jīng)過點(diǎn)D,求證：BC//AC;

⑶如圖@,若AB=2,將t:i.BAC沿射線AC的方向平移m個(gè)推位長(zhǎng)度使邊BC經(jīng)過點(diǎn)D,求m的值.

16.綜合與探究

問題情境:

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動(dòng).

圖1

探究發(fā)現(xiàn):

(1)如圖1,當(dāng)BE=5時(shí)，連接AE,過點(diǎn)B作BF..1AE千點(diǎn)G,交CD千點(diǎn)F,請(qǐng)直接寫出線段BG和BF的長(zhǎng)

度;

⑵如圖2,以BE為邊作正方形BEFG,并把正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AG和DF,發(fā)現(xiàn)DF與AG之

間存在數(shù)量關(guān)系，諸寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證

明.探究拓廣:

(3)如圖3,點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合，連接AC,在AB上取點(diǎn)F,使AF=8,以CF為邊作正方形CFMN,連接

AM,在圖3中補(bǔ)全圖形并直接寫出AM的長(zhǎng).

17.如圖，1:,.ABC中，AC=BC,乙C=120°,D在BC邊上、1:,.BDE為等邊三角形，連接AE,F為AE中點(diǎn)，連

CF,DF.

(1)請(qǐng)直接寫出CF、DF的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由;

(2)將圖1中的t:,DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(00<a<60"),其它條件不變，如圖2,試回答(I)中的結(jié)論是否成

立？并說明理由；

⑶若將圖(I)中的t:,DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，其它條件不變，請(qǐng)完成圖3,并直接給出結(jié)論，不必說明理

由.

18.如圖，在等邊“ABC的AC.BC邊上各取點(diǎn)E,D,使AE=CD,AD,BE相交于點(diǎn)0.

(1)求證：AD=BE;

12石

⑵若B0=60￡=,求CD的長(zhǎng).

(3)在(2)的條件下，動(dòng)點(diǎn)P在CE從點(diǎn)C向終點(diǎn)E勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上，連結(jié)OP,PQ,滿足乙OPQ=60。，記

PC為x,DQ的長(zhǎng)為y,求y關(guān)千x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍.

19..問題提出：

COFO

如圖O所示，在矩形AOCB和矩形ODEF中，=——=k,點(diǎn)A,0.D不在同

直線上，連接AD,CF.HO

AODO

是6.AOD的中線，那么HO,CF之間存在怎樣的關(guān)系？

⑴問題探究：先將問題特殊化，如圖@所示，當(dāng)k=l且夕叨D=90。時(shí)，HO,CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系

是__________

⑵問題拓展：再探究?般情形如圖@所示，當(dāng)k=l,乙4()D=ft90。時(shí)，證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

(3)問題解決：回歸圖0所示，探究HO.CF之間存在怎樣的關(guān)系(數(shù)擬關(guān)系用K表示)？

20.已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.

圖1氐2

(I)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求LOAB的度數(shù)；

(2)如圖1,已知折痕與邊BC交千點(diǎn)0,連結(jié)AP、OP、OA.

CD求證：f:::,OCP=從PDA;

@若心OCP與t:.PDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng)：

(3)如圖2,(2)的條件下，擦去折痕AO、線段OP,連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合)，動(dòng)

點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM,連結(jié)MN交PB千點(diǎn)F,作ME"BP千點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)

過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度.

參考答案：

1.

(1)

解：0如圖所示，延長(zhǎng)BE交AP于F,取BE中點(diǎn)G,BC中點(diǎn)H,連接AH,AG,GH,

?在肉6ABC中，乙BAC=90°,乙鈕C=30。，H是BC的中點(diǎn)，

11

AC=2.BC,BH=CH=AH=.:..Be,乙ACB=600,

22

AC=AH=BH=CH,

1

同理可得AG=BE=BG,

2

?將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到線段DE,

:?乙D=6(J,DE=DC.

「.6.DCE是等邊一角形，

,.乙ECD=6O\CE=CD,

?:p是CD的中點(diǎn)，

I

-ZcD—cE

CP-：-

22

?:c、H分別是BE,BC的中點(diǎn)，

:.GH是1::,.ACE的中位線，

GH-..CE,HGIICE,

2

：.乙BHG乙ACB=6(r,HG=CP,

在t:,.AGH和1::”BGH中

AG=BG

AH=BH,

GH=GH

:.6.AGH%.6-BGH(SSS),

:.乙AHG=乙BHG=6。，乙HBG乙HAG;

.乙ECD=6Qc,點(diǎn)E在AC上，

：.乙AHG=乙ECD=60。，

在1::,.AHG和1::,.ACP中,

HG=CP

ZAHG=ZACP,

AH=AC

:?叢AHG6.ACP(SAS),

:.AG=AP,

.APAG」

BEBE2'

@?：6.AHG蘭6.ACP

：.乙HAG=乙CAP

.：乙HBG=乙HAG,

：.乙HBG=乙CAP,

.：乙AFB=180°—乙CAP一乙AEF,乙ACB=180°—乙HBG—乙BEC,乙BEC=乙

AEF,

：.乙AFB=乙ACB=60°,

:.直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為60。;

(2)

解：(I)中結(jié)論仍然成立，理由如下：

如圖所示，連接CE,延長(zhǎng)AP交BE延長(zhǎng)線于G,

同理可得CE=CD,乙DC￡=60。，

?乙ACB3一乙ABC=60。，

.乙ACPNBCE,

..CP_CP_1_AC

CECD2BC

6.ACPv->6.BCE,

.APACI

.—=一=一，乙CAP=^CBE,

BEBC2

：.乙CAP+乙ACB^CB氏乙G,

:.乙G=乙ACB=60。，即直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為60。;

D>

⑶

解：如圖（3）所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，過點(diǎn)C作CN±BD干N,

".℃P=3,P是CD的中點(diǎn)，

:.CD=6,

由（2）知1:..DCE是等邊?:角形，

:.CE=DE=CD=6.EN=DN=3DE=3

2

:.CN—=3石.>

在Rt叢ABC中，ZBAC=90°,乙鈕C=30°,

BC=2AC=I2,

:.BN==3而，

BE=BN-NE=3平一3,

13-3

：.AP=..:.EBEE=;

22

如圖（4）所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),過點(diǎn)C作CN上DE干N,

同理可得EN=DN=1DE=3,BN=313,

2

BE=BN+NE=3淚+3'

13flf|-3

:.AP=..:.BE=;

22

綜上所述，AP=3而—3或Ap=3而+3

2一2

2.

(1)

證明：？四邊形ABCD是正方形，

ADliBC,AB11CD,

:ADliBC,

：?ZLDAF=zLBEA,ZLADF=乙EBF,

f:..ADFV?t:,.EBF,

.FA_DF

**FE-BF

:ABiiCD,

：.乙DGF=ZLBAF,乙GDF=LABF,

1:;EX]FU?"'BAF,

.DFFG

??=，

BFFA

.FG_FA

FAFE

(2)

..FGFA

O解：.=,FG=1,FA=3,

FAFE

:.FE=9,

GE=FE-FG=8,AG=AF+FG=4,

?:ADIIBE,

：.乙DAG-CEG,ZAGD=Z￡GC,

1:;DAG<1/>l:fEG,

.DG_AG

CGEG82

:.CG=2DG,CD=3DG,

?:AD=CD,

AG=AD2+DG2,

2而

解得DG=

.而5

一CD=^^12而

5,CE=2AD=6DG='5

如圖1,作OMj_BE于M,

圖l

i3rnEM=CM+CE=I'而

由題意知OMHCD,OM=CM=CD=,

255

.：ZEHC=ZLEOM,組EC=乙OEM,

1:,.EHC<nl:?￡0M,

12電

.HC_fciC___riC_5

.—即=

OMEM3而15而'

55

12而

解得HC=,

25

12而

tan乙7COCEC=——CH25=J_

EC12而25

T

:.tan乙OEC的值為,.

@解：如圖2,延長(zhǎng)FH交CE千N,

A

D

圖2

由正方形的性質(zhì)可知LBOC=90。，LBDC=45°,OB=OB,

?:FHIIAC,

：.ZJ4FB=ZLNFD=9(T,BF=FN,

設(shè)DF=a,OD=b,則CD=AD=2b,AC=BD=勸，F(xiàn)N=BF=讓f

DH=2a,CN=CH=CD-DH=2(b-a),

?:FHIIAC,

:.2BFN=Z￡AC,

X?小EN=LAEC,

1:,EFN=1:,EAC,

._EN———FNup-EN=2b-a

?'ECACEN+5(b-a)2b,

.「z2(b-a)(2b-a)2(b-a)(2b-a)i.22b(b-a)

EN=,EC=+2(b-a)=

aaa

?:ADIIBE,

：.ZDAG=^LCEG,LA.GD=ZLEGC,

:?心DAGc,『C?CEG,

DGAD2ba

:.CG=EC_22b(b-a)=2(b-a),

a

?:DG+CG=2b,

:.DG=2ab,

2b-a

-:FH11AC,

：.ZEFH=ZJEAO,

又？LFEH=LAEO,

A

D

圖2

由正方形的性質(zhì)可知LBOC=901LBDC=45°,OB=OB,

?:FHIIAC,

：.ZJ4FB=ZLNFD=9(T,BF=FN,

設(shè)DF=a,OD=b,則CD=AD=2b,AC=BD=勸，F(xiàn)N=BF=讓f

DH=2a,CN=CH=CD-DH=2(b-a),

?:FHIIAC,

:.2BFN=Z￡AC,

X?小EN=LAEC,

1:,EFN=1:,EAC,

._EN———FNup-EN=2b-a

?'ECACEN+5(b-a)2b,

.「z2(b-a)(2b-a)2(b-a)(2b-a)i.22b(b-a)

EN=,EC=+2(b-a)=

aaa

?:ADIIBE,

：.ZDAG=^LCEG,LA.GD=ZLEGC,

:?心DAGc,『C?CEG,

DGAD2ba

:.CG=EC_22b(b-a)=2(b-a),

a

?:DG+CG=2b,

:.DG=2ab,

2b-a

-:FH11AC,

：.ZEFH=ZJEAO,

又？LFEH=LAEO,

又..AB=AC,AD=AE,

：?叢ADB蘭乙ABC(SAS),

BD=EC,ZLABDFACE,

LABC+LACB=C?BC+莊CB,

?四邊形BDFC是平行四邊形，

:.BC/IDF,BD=CF

：.乙DBC+LBCF—DBC+ZLECB+ZLECF=180。，CF=EC,

：.zLABC+乙ACB+乙ECF=I80。，

又？乙鈕C+LACB+乙BAC=180°,

：.乙ECF=乙BAC=a,

當(dāng)a=60。時(shí)，CF=EC,

：.L::::￡CF是等邊：角形，

:.EF=CF;

(2)

解：同理(1)可得：CF=EC,LECF=LBAC=a,

當(dāng)a=90°時(shí)，CF=EC,

：.L::::￡CFgW立角三角形，

:.EF=>llCF;

(3)

解：分兩種情況進(jìn)行討論：

如圖3-1:AF=AE+EF,

同理1可得CF=EC,LECF=紐AC=a,

又.AB=AC,AD=AE,乙BAC=乙DAE=a.

.AB_AD_EC

'AC-AE-FC

:?心ABC向ADE-"CEF,

.DEEFBC

吵EOCEF,

.ADCEAB,

-:AB=6,BC=4,AD=3,

2

:.DE=2,EF=EC,

3

由(1)得:叢ADB6AEC(SAS),

:.乙ADB=乙AEC,

：.ZADE+乙ADB=乙AEC+乙CEF

..在A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，乙ADE+乙ADB=2AEC+乙CEF,

：MIA、E、F.點(diǎn)共線時(shí)，D、B、E:點(diǎn)共線，

如圖4-1,過A點(diǎn)作AHDE,

"."AD=AE,

I

:.DH=-=-DE=1,

2

：.AH==盧=2五，

HB=礎(chǔ)一AH2-6-(泣》=2石,

:.BD=HB-HD=2石一1

■:EC=BD=2捫一——1,

EF=2EC=2(2tT-----1J

33

2±r4打+7

AF=AE+EF=3aQ訂---1.)=3

如圖4-2,AF=EF-AE,

B

E

DH

2

同理可得：HB=27,EF=;Ec,

3

BD=HB+HD=2JT+1

?:EC=BD=2打—1,

EF=<:Ee=々2行+1），

33

2,4打一7

AF=EF-AE==::（2打+l）-3=,

33

綜上所述：AF長(zhǎng)為4打+7或4石——7

33

4.

（I）

解：S正方形A.BCD中，AB=AD=4,叢=90,

在RtMBD中，BD=5AB=45,

.點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，

:.BE=BD=42,

故答案為：4丘；

解：如圖，過點(diǎn)F作FM..IAD,交AD的延長(zhǎng)線千點(diǎn)M,

aEDAf

?:DE=I,AD=4,

AE=3,

在Rt從BE中，AB=4,

.BE—5,

?:EF=S,

:.BE=EF,

■：ZA=ZLBEF=ZLM=90°,

.乙ABE+乙AEB=zlAEB+乙'EF=90°,即

...B叢蘭兇EF(咕S),

:.MF=AE=3,

即點(diǎn)F到直線AD的距離為3

(3)

解：分種情況討論：

0如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，

則SBEFG=AB-EF=4x5=20;

A(E)D

@如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)E作EH..LBC千點(diǎn)H,

:.EH=AB=4,乙EHF=^G=90。,

在RMEHF中，EF=5,

:.HF=3,

-:EFI/BG,

在RtABE中，AB=4,

.BE—5,

?:EF=S,

:.BE=EF,

■：ZA=ZLBEF=ZLM=90°,

.乙ABE+乙AEB=zlAEB+乙'EF=90°,即

...B叢蘭兇EF(咕S),

:.MF=AE=3,

即點(diǎn)F到直線AD的距離為3

(3)

解：分種情況討論：

0如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，

則SBEFG=AB-EF=4x5=20;

A(E)D

@如圖，當(dāng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)E作EH..LBC千點(diǎn)H,

:.EH=AB=4,乙EHF=^G=90。,

在RMEHF中，EF=5,

:.HF=3,

-:EFI/BG,

:.乙DAB=LCAP,

:.從DAB“，6FAC(SAS),

:.BDCP;

(2)

解：如圖2,

由旋轉(zhuǎn)知，AD=AP,乙DAP=60。，

占6ADP是等邊用形，

:.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，有AE=DE,乙AED=60°,

?CE..LAB,

.".AE=BE=DE,乙BCE^【ACB=30。，

，乙

2

:.乙EBD=30。，

：.乙DBC=9O。，

在Rlt::.BCF中，

BF

”."BC=2,tan乙BCE二一，

BC'

2/3

BF=2tan30=—；

2

(3)

I

解：DE長(zhǎng)蛹最小值是一，

2

理由是：如圖3,

A

由⑴知:t:,.DAB蘭.6PAC,

取AC的中點(diǎn)H,連接PH,則PH=DE,

PH長(zhǎng)度的最小俏就是DE長(zhǎng)的最小俏，

過點(diǎn)作上千垂足就是最小時(shí)點(diǎn)的位置，此時(shí)

FHGCEG,GPHPPH=-,/

1

故DE長(zhǎng)度的最小俏是一.

2

6.

(1)

解：設(shè)DE與CF的交點(diǎn)為G,

?四邊形ABCD是正方形，

：.乙A=乙FDC=90。，AD=CD,

?DE..1CF,

：.乙DGF=90。,

：.乙ADE+CFD=90°,乙ADE+乙AED=9()°,

：.CFD=ZJAED,

在1:::.AED與FC中，

zLA=LFDC

乙CFD=乙慶￡口，

AD=CD

:.叢AED+叢DFC(AAS),

:.DE=CF,

CF

故答案為：1;

(2)

解：如圖2,設(shè)DB與CE交于點(diǎn)G,

:.乙人=乙￡D?=90°,

-:cE.1BD,

：.乙DGC=900,

二.乙CDG+Z￡CD=90。，ZADB+乙CDG=90。，

..ECD=ZADB,

.乙CDE=L.A,

..公ECO乙ABD,

.CE_DC_4_

-BDAD7

(3)

解：如圖3,過點(diǎn)C作CHJ_AF交AF的延長(zhǎng)線千點(diǎn)H,

：?乙6=組=4A=ZLB=90。，

：.四邊形ABCH為矩形，

AB=CH,ZLFCH+乙CFH=ZLDFG+乙FDG=90。，

：,￡CH=ZLFDG=ZADE,=90°,

mEAO心CFH,'J'AD,;_PEAD,

CFCHCFAB'

-:AD=2,DE=3,CF=4,

-3_2

??~=，

4AB

AB=:?..

3

7.

(1)

心YH=90。，F(xiàn)H=AB=4,AE=DE=3,

..CECH?乙DCE=90°,

??己CEF=90。，

.乙CED+組'EF=90。，

、乙HEF=ZLDCE,

..AHEFOADCE,

(2)

如圖2,

xB6

圖2

作FH..1A'D千H，作CD..1A'D千D,

.?.DD=1,

由(I)得：遼GA'芻兇GB,

??.設(shè)EA'二BF=x,

:.EIY=6-x,

EH=DH-DE=CF-DE=(6+x)-(1+6-x)=2x-1,

由(1)知：D.CDE=D.EHF,

..DE_CD

FHEH

?7-x4

"4-2x-1

15土J可

?x=

,,A4'

15±可

AAIEC=J

4，

⑶

如圖3,

圖3

作FR..1AD-fR,HQ..lAD^FQ,

設(shè)DE=a,貝ijAE=6-a,

G是EF的中點(diǎn)，H是DF的中點(diǎn)，

:.GH是DFDQ的中位線，

II

:.GH=.：：...DE=

22

由（1）可得，

a4

4RE'

RF-16

a

EF=JRR+RE=116+(也

a

EG=/EF=%?16+(J,

.:DR=DE+ER=a+16,

??.DQ=------DR=-----L-(a+'

22-7^

116116

:.EQ=DE-DQ=a-7(a+—)=—(a--),

2a2a

1162

EH2=EQ2+QH2=[?(a--xl)1+4,

2a

當(dāng)EG=GH時(shí)，

11621

-[16+(_)n]=—H'

4a4

a2=8+85或d=8-8§(舍去)，

當(dāng)EG二EH時(shí)，

1I621162、

-[16+(—x)n]=——-)4,

4a4a

:.a2=32,

當(dāng)GH=EH時(shí)，

I2J162

4=101a-)+

:.a2=16,

綜上所述DE2=8+85或32或16.

8.

(1)

證明：？CG..1AD,乙ACB=90°,

：.乙CGD=乙ACB=90。，

.：乙CDA=乙CDG,

叢ACD二叢CGD,

CD:DG=DA:CD,

:.cfii=DG*DA;

(2)

如圖1,過E作EHi/AD交BC于點(diǎn)H,

-:HEliAD,

:.BH:HD=BE:EA,CD:HD=CF:EF,

-.cs=CA,乙ACB=90。，CE..1AB,

:.E為AB的中點(diǎn)，

.'.BE:EA=1,

:.BH:HD=BE:EA=1

?:V為BD的中點(diǎn)

:.CD=BD,

:.CD:HD=2,

-:EHi/AD

:.CD:HD=CF:EF=2

:.CF=2EF.

圖1

(3)

TCB=CA,乙ACB=90°,

:?乙BAO45。，

?CEhAB,CGhAD,

..ZAGC=^AEC=900,乙ACE=45。,

:.A、C、G、E四點(diǎn)共圓，

：.乙EGF=乙ACF=45。，

過點(diǎn)E作EMLAD于點(diǎn)M,

二6.EGM是等腰直角三角形，

EM=GE*sin45°=22二2,

2

?:CG=2,

CG=EM,

.:乙CFG=乙EFM,乙CGR=L.EMF=9(T,

:.心CGF蘭心EMF,

:.CF=EF,

即點(diǎn)F是CE中點(diǎn)

9.

(1)

證明：？四邊形ABCD是矩形,

:.ZA=^B=90°,

：.乙鉛￡+乙人￡口=90°,

?:DE..1EF,

：.乙DEF=90°,

：.紐EF+選D=90°,

LADE-塵E,

:.辜E0叢BFE.

(2)

解：?:E為AB中點(diǎn)，

:.AE=BE=S,

由(I)知叢AED46.BFE,

.ADAE65

:.—=—,即nn---=■—,

BEBF.5BF

BF：25

6

(3)

解：如圖，

c

@如果CE=CF,則LCEF=LCFE=45°,乙ECF=90°,

則點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，不符合題意

1800-45°

@如果CE=EF,則乙EFC=乙ECF==67.5°,

2

.:乙EFC為1二肥的靦，

：.乙EFC=〃B+乙BEF,

..ACB=90°,AC=BC,

乙、=乙B=45。，

:.乙BEF=Z￡FC—乙B=67.5°-45°=22.5。，

ZACE=90°-Z1ECF=90°-67.5°=22.5°,

：.乙ACF=LBEF,

又？M=LB,CE=EF,

：?竺二心BFE,

:.BE=AC,

-:LACB=90°,AC=BC,AB=4,

4L?_2_4、

AC=x4=2拉，

cAB=c

22

:.BE=22.

@如果CF=EF,則LCEF=L.ECF=45°,

:?乙CFE=90。，

在i::::.BEC中，LB=LBCE=45°,

：.乙BEC=90。，

:.CE..1AB,

5?AC=BC,

:.點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，

:.BE/AB=2.

2

緣k所述，BE的長(zhǎng)為2Ji或2.

10.

(1)

解：由題意AB二AC,LBAC=^jo；DC=DE,LCDE=60°,

AABC和t:.DCE是等邊三角形，

:.AC=BC,CD=CE,

飛.乙ACD+乙DCB乙ACB=60。，乙BCE+ZJDCB=乙DCE=60。，

.\NACDMBCE,

??.MDC蘭MEC,

:.AD=BE,乙CBE=L:.CAD

如圖1,延長(zhǎng)AD交BE的延長(zhǎng)線于F,乙F即為宜線BE與AD相交所成的銳角,

...乙CBE+乙BAF=乙CAD+乙BAF=乙BAC=60°

..Fm18(r_乙BAF一乙ABF

=180°—(乙BAF+乙CBE)一乙ABC

=180°-600-60°

二60,

故答案為：BE=AD,60°;

(2)

解：@不成立，BE=.f.認(rèn)D,宜線BE與AD相交所成的銳角的度數(shù)是45。.

理由如下：如圖2,

設(shè)直線BE交AD千點(diǎn)N,AD交EC千點(diǎn)M.當(dāng)a=90。時(shí),

:AB=AC,

..乙ABC=乙ACB=45°,

??4c=sin45°二—

BC2

DC5

同理可得，-=sin45°=—,

EC2

.DCAC五

ECBC2

.：乙ACB=乙ACE+乙ECB=45。，乙DCE=乙ACE+乙DCA=45°,

..乙ECB=乙DCA,

：.心、DCA夕乙ECB,

.ADAC五

BEBC2

BE=2AD,乙CDA=乙CEB.

.：乙DMC=LEMN,

：.乙DNE=乙DCE=45氣

：.自線BE與自線AD相交所成的銳角的度數(shù)是45°.

@6.DCE的面積是13或25.

解：當(dāng)點(diǎn)D在t:..ABC外時(shí)，作EG.1.CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

、*N

圖3

.AD=￡,BE=35LAD,

:.BE=2,

?:BEi/AC,

、乙EBG，ACB=45°,

.衛(wèi)立BG是等腰宜角:角形，

:.BG=GE=SL,

.Z^AC=90°,AB=AC=6,

BC=6五,

...CG=6五+五=7五,

在Rt!iCGE中，CE=CG氣EG2=10,

:.DE=CD=5五，

SEx55x55=25;

虹=-DECD=

22

點(diǎn)D在1:,ABC內(nèi)時(shí)，如下圖所示，

圖4

同理可得SMC￡=13,

故t:.DCE的面積是13或25.

11.

(1)

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AF=AE,LDAE=乙BAF,

?四邊形ABCD是正方形，

：.乙DAB=90°,

:.乙DAE+乙BAE=90°,

：.zSBAF+ZBAE=90°,

：.乙FAE=90°,

I:,.AEF是等腰直角三角形。

(2)

證明：？四邊形ABCD是正方形，乙CAB=45°,即乙PAG=45°

由(1)可得乙AFE=45°,

：.乙PAG乙AFP=45°,

出乙APG=乙FPA,

：.從APG(./6FPA,

.PA_PG

PFPA

:.PA=PGPF;

(3)

解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a.

.：AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到t:.ABF,

：.Z.ABF=Z.D=900,DE=BF,

?乙ABC=90。，

：.乙FBC=180。，

F,B,C共線，

?:DE=EC=BF=a,BC=2a,

.'.CF=3a,EF=島了聲=(3a)2+a2=,而a,

KaK.

86:K=F8:CF=FG:FE=I:3,

152而

:.BG=3a,AG=y=-a,GE=3a

.：乙GAP=ZLAEG=45°,乙AGP=乙EGA,

:.6AGP(7?6EGA,

.AG_GP

,EGAG

AG二GP<J]E,

舊二產(chǎn)主產(chǎn)

?2而

??a=5,

AG=Ax2而=2而

353

12.

(1)

解：相等，

理由：，：AABC是等邊三角形,

:.乙B=乙C=60。，

?乙EDF=60°,

:.乙BDE+乙8￡口=乙8口￡+乙CDF=1200,

：.乙BED=zLCDF,

?:BE=CD,

:.t::,BDE蘭叢CFD(AAS),

:.BD=CF,

故答案為：相等；

(2)

解：?：t::、ABC為正