新教材2023版高中數(shù)學(xué)第3章概率3.2離散型隨機(jī)變量及其分布列3.2.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課件湘教版選擇性必修第二冊(cè)

3．2.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習(xí)教

材

要

點(diǎn)要點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱E(X)＝__________________________為X的數(shù)學(xué)期望或均值?.批注?

(1)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)刻畫了離散型隨機(jī)變量的平均水平．(2)數(shù)學(xué)期望(均值)是一個(gè)常數(shù)，在大量實(shí)驗(yàn)下，它總是穩(wěn)定的，不具有隨機(jī)性．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn要點(diǎn)二幾類特殊分布的均值類別數(shù)學(xué)期望(均值)兩點(diǎn)分布X～B(1，p)E(X)＝________二項(xiàng)分布X～B(n，p)E(X)＝________超幾何分布X～H(N，M，n)E(X)＝________p

np

要點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，若Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，則E(Y)＝aE(X)＋b?.批注?當(dāng)a＝0時(shí)，E(b)＝b，也就是說(shuō)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望是這個(gè)常數(shù)的本身；當(dāng)a＝1時(shí)，E(X＋b)＝E(X)＋b；當(dāng)b＝0時(shí)，E(aX)＝aE(X)．基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化．(

)(2)隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平．(

)(3)隨機(jī)變量的均值相同，則兩個(gè)分布也一定相同.(

)×××

X－101p答案：C

答案：B

4．已知隨機(jī)變量ξ的期望為15，則E(3ξ＋5)＝________．50解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的期望為15，所以E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×15＋5＝50.題型探究·課堂解透

X2345P方法歸納求離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的一般步驟鞏固訓(xùn)練1

為響應(yīng)市政府“綠色出行”的號(hào)召，小李工作日上下班出行方式由自駕車改為選擇乘坐公共交通或騎共享單車中的一種．根據(jù)小李從2020年4月到2020年6月的出行情況統(tǒng)計(jì)，小李每次出行乘坐公共交通的概率是0.4，騎共享單車的概率是0.6.乘坐公共交通單程所需的費(fèi)用是3元，騎共享單車單程所需的費(fèi)用是1元．記小李在一個(gè)工作日內(nèi)上下班所花費(fèi)的總交通費(fèi)用為X元，假設(shè)小李上下班選擇出行方式是相互獨(dú)立的，(小李上下班各計(jì)一次單程)．(1)求小李在一個(gè)工作日內(nèi)上下班出行費(fèi)用為4元的概率；(2)求X的分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．

解析：(1)在一個(gè)工作日內(nèi)上下班出行費(fèi)用為4元，即乘坐公共交通和騎共享單車各一次，故其概率為P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48.(2)依題意，X可能的取值是2，4，6，P(X＝2)＝0.6×0.6＝0.36；P(X＝4)＝2×0.4×0.6＝0.48；P(X＝6)＝0.4×0.4＝0.16.因此X的分布列為由此可知，X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝2×0.36＋4×0.48＋6×0.16＝3.6.X246P0.360.480.16

η0123P方法歸納求二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望的方法鞏固訓(xùn)練2

一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的6個(gè)小球，其中白色球2個(gè)，黑色球4個(gè)．若從中一次取3個(gè)球，記所取球中白球個(gè)數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的期望為________．

1題型3離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例3某城市出租車的起步價(jià)為10元，即行駛路程不超出4km時(shí)，費(fèi)用為10元；若行駛路程超出4km，則按每超出1km加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足1km的部分按1km計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km，某司機(jī)經(jīng)常駕車在民航機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5min按1km路程計(jì)費(fèi)，不足5min的部分不計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)在一次接送旅客的轉(zhuǎn)換后的行車路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)他所收費(fèi)用η.(1)求費(fèi)用η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式；(2)若隨機(jī)變量ξ的分布列為求所收費(fèi)用η的數(shù)學(xué)期望．ξ15161718P0.10.50.30.1解析：(1)由題意，得η＝10＋2(ξ－4)，即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N*.(2)由ξ的分布列，得E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.因?yàn)棣牵?ξ＋2，所以E(η)＝2E(ξ)＋2＝2×16.4＋2＝34.8.故所收費(fèi)用η的數(shù)學(xué)期望為34.8元．方法歸納利用離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)求數(shù)學(xué)期望的策略1．若題目給出隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，直接利用E(Y)＝aE(X)＋b求解2．若題目未給出隨機(jī)變量Y與X