《6.2.2 組合及組合數(shù)》考點講解與專題訓練

《6.2.2組合及組合數(shù)》考點講解【思維導圖】【常見考點】考法一組合的概念【例1】給出下列問題：①有10個車站，共需要準備多少種車票？②有10個車站，共有多少中不同的票價？③平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？④有10個同學，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？⑤從10個同學中選出2名分別參加數(shù)學和物理競賽，有多少中選派方法？以上問題中，屬于組合問題的是_________(填寫問題序號).【一隅三反】1．以下四個問題中，屬于組合問題的是（）A．從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列B．老師在排座次時將甲?乙兩位同學安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星D．從13位司機中任選出兩位分別去往甲?乙兩地2．下列問題屬于排列問題的是（）①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作為中的底數(shù)與真數(shù)A．①④B．①②C．④D．①③④考法二組合數(shù)【例2】（1）（）A．B．C．D．（2）滿足條件的自然數(shù)有（）A．7個B．6個C．5個D．4個【一隅三反】1．若，則n等于（）A．11B．12C．13D．142．已知，那么（）A．20B．30C．42D．723．設n為滿足不等式的最大正整數(shù)，則n的值為（）．A．11B．10C．9D．84．（多選）下列等式正確的是（）A．B．C．D．5．（多選）如下的四個命題中真命題的標號為（）A．B．C．D．的展開式中二項式系數(shù)最大的項是考法三組合應用【例3】男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名．現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)隊長中至少有1人參加；(4)既要有隊長，又要有女運動員．【一隅三反】1．一個口袋內(nèi)有3個不同的紅球，4個不同的白球（1）從中任取3個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取4個球，使總分不少于6分的取法有多少種？2．某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人．現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核．（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．3．有男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名.選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)既要有隊長，又要有女運動員.答案解析考法一組合的概念【例1】給出下列問題：①有10個車站，共需要準備多少種車票？②有10個車站，共有多少中不同的票價？③平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？④有10個同學，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？⑤從10個同學中選出2名分別參加數(shù)學和物理競賽，有多少中選派方法？以上問題中，屬于組合問題的是_________(填寫問題序號).【答案】②④【解析】①有10個車站，共需要準備多少種車票？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；②有10個車站，共有多少中不同的票價？相當于從10個不同元素任取2個并成一組，屬于組合問題；③平面內(nèi)有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；④有10個同學，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？相當于從10個不同元素任取2個并成一組，屬于組合問題；⑤從10個同學中選出2名分別參加數(shù)學和物理競賽，有多少中選派方法？相當于從10個不同元素任取2個按一定順序排列起來，屬于排列問題；以上問題中，屬于排列問題的是②④.【一隅三反】1．以下四個問題中，屬于組合問題的是（）A．從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列B．老師在排座次時將甲?乙兩位同學安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星D．從13位司機中任選出兩位分別去往甲?乙兩地【答案】C【解析】只有從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題.故選：C.2．下列問題屬于排列問題的是（）①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作為中的底數(shù)與真數(shù)A．①④B．①②C．④D．①③④【答案】A【解析】排列的概念：從個元素中取個元素，按照一定順序排成一列，由題可知：①④中元素的選取有順序，②③中元素的選取無順序，由此可判斷出：①④是排列問題，故選：A.考法二組合數(shù)【例2】（1）（）A．B．C．D．（2）滿足條件的自然數(shù)有（）A．7個B．6個C．5個D．4個【答案】（1）D（2）C【解析】（2）．故選：D.（2）由得，即，又，且，所以.故選：C.組合數(shù)的兩個性質(zhì)：（組合數(shù)的兩個性質(zhì)：（1）；（2）．【一隅三反】1．若，則n等于（）A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】根據(jù)題意，變形可得，；由組合性質(zhì)可得，，即，則可得到.故選：B.2．已知，那么（）A．20B．30C．42D．72【答案】B【解析】答案選B3．設n為滿足不等式的最大正整數(shù)，則n的值為（）．A．11B．10C．9D．8【答案】D【解析】設，則，又，，，由得：，，，，，的值為.故選：.4．（多選）下列等式正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】A.，故正確；B.，故正確；C.，故錯誤；D.，故正確.故選：ABD5．（多選）如下的四個命題中真命題的標號為（）A．B．C．D．的展開式中二項式系數(shù)最大的項是【答案】BCD【解析】由于，故A錯誤；由組合數(shù)的性質(zhì)：，，故B正確；，故C正確；的展開式中二項式系數(shù)最大的項是，故D正確.故選：BCD考法三組合應用【例3】男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名．現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)隊長中至少有1人參加；(4)既要有隊長，又要有女運動員．【答案】（1）120（2）246（3）196（4）191【解析】(1)分兩步完成：第一步，選3名男運動員，有Ceq\o\al(3,6)種選法；第二步，選2名女運動員，有Ceq\o\al(2,4)種選法．由分步計數(shù)原理可得，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)選法．(2)方法一“至少有1名女運動員”包括以下四種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分類計數(shù)原理可得總選法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．方法二“至少有1名女運動員”的反面為“全是男運動員”，可用間接法求解．從10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中全是男運動員的選法有Ceq\o\al(5,6)種．所以“至少有1名女運動員”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)方法一(直接法)可分類求解：“只有男隊長”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,8)；“只有女隊長”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,8)；“男、女隊長都入選”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(3,8)，所以共有2Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196(種)選法．方法二(間接法)從10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中不選隊長的方法有Ceq\o\al(5,8)種．所以“至少有1名隊長”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,8)＝196(種)．(4)當有女隊長時，其他人任意選，共有Ceq\o\al(4,9)種選法；當不選女隊長時，必選男隊長，共有Ceq\o\al(4,8)種選法，其中不含女運動員的選法有Ceq\o\al(4,5)種，所以不選女隊長時的選法共有(Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5))種．所以既要有隊長又要有女運動員的選法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．【方法總結】【方法總結】組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．【一隅三反】1．一個口袋內(nèi)有3個不同的紅球，4個不同的白球（1）從中任取3個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取4個球，使總分不少于6分的取法有多少種？【答案】(1)；(2).【解析】(1)從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法：紅球個，紅球個和白球個.當取紅球個時，取法有種；當取紅球個和白球個時，.取法有種.根據(jù)分類計數(shù)原理,紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)的取法有種.(2)使總分不少于分情況有兩種：紅球個和白球個，紅球個和白球個.第一種，紅球個和白球個，取法有種;第二種，紅球個和白球個，取法有種,根據(jù)分類計數(shù)原理，使總分不少于分的取法有種.2．某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人．現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核．（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）因為車間甲組有10名工人，乙組有5名工人，所以甲、乙兩組的比例是，又因為從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核，所以從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)是2，1；（Ⅱ）因為車間甲組有10名工人，其中有4名女工人，所以從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）因為車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．3．有男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名.選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)既要有隊長，又要有女運動員.【答案】（1）共有(種)選法；（2）246；（3）191.【解析】⑴第一步：選3名男運動員，有種選法.第二步：選2名女運動員，有種選法.共有(種)選法.⑵“至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”.從10人中任選5人，有種選法，其中全是男運動員的選法有種.所以“至少有1名女運動員”的選法有(種).(3)當有女隊長時，其他人選法任意，共有種選法.不選女隊長時，必選男隊長，共有種選法.其中不含女運動員的選法有種，所以不選女隊長時共有種選法.故既要有隊長，又要有女運動員的選法有(種).《6.2.2組合及組合數(shù)》考點訓練【題組一組合的概念】1．下列問題不是組合問題的是()A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015個不同的點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三(19)班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？2.給出下列問題：(1)從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成一件工作，有多少種不同的選法？(2)從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(3)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？(4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結果？(5)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結果有多少種？(6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結果有多少種？在上述問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？【題組二組合數(shù)】1．已知，（）A．1B．mC．D．02．下列等式中，錯誤的是（）A．B．C．D．3．（）．A．B．C．D．4．若，則（）A．5B．8C．7D．65．（多選）關于排列組合數(shù)，下列結論正確的是（）A．B．C．D．6．計算的值為__________．（用數(shù)字作答）7．求值：（1）；（2）.【題組三組合應用】1．若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取3個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則不同的取法共有（）A．36種B．40種C．44種D．48種2．從3名男生和4名女生中各選2人組成一隊參加數(shù)學建模比賽，則不同的選法種數(shù)是（）A．12B．18C．35D．363．已知集合，則集合各子集中元素之和為（）A．320B．240C．160D．84．、兩社區(qū)需要招募義務宣傳員，現(xiàn)有、、、、、六位大學生和甲、乙、丙三位教師志愿參加，現(xiàn)將他們分成兩個小組分別派往、兩社區(qū)開展疫情防控宣傳工作，要求每個社區(qū)都至少安排1位教師及2位大學生，且由于工作原因只能派往社區(qū)，則不同的選派方案種數(shù)為（）A．120B．90C．60D．305．已知一個不透明的袋子里共有15個除了顏色外其他質(zhì)地完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球，若從口袋里一次任取2個球，則“所取得2個球中至少有1個白球”的概率為（）A．B．C．D．6．中央電視臺總臺推出的《中國詩詞大會》節(jié)目以“賞中華詩詞、尋文化基因、品生活之美”為宗旨，邀請全國各個年齡段、各個領域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識競賽，現(xiàn)組委會要從甲、乙等五位候選參賽者中隨機選取2人進行比拼，則甲、乙二人至少有一人被選上的概率為（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.97．現(xiàn)準備將6本不同的書全部分配給5個不同的班級，其中甲乙兩個班級每個班至少2本，其他班級允許1本也沒有，則不同的分配方案有________種.(用數(shù)字作答)8．小明一家想從北京、濟南、上海、廣州四個城市中任選三個城市作為2018年暑假期間的旅游目的地,則濟南被選入的概率是________.9．袋中有3個紅球，2個白球，現(xiàn)從中取出3個球，則取到的紅球個數(shù)為2的概率為_________.10．2020年國慶檔上映的影片有《奪冠》，《我和我的家鄉(xiāng)》，《一點就到家》，《急先鋒》，《木蘭·橫空出世》，《姜子牙》，其中后兩部為動畫片．甲、乙兩位同學都跟隨家人觀影，甲觀看了六部中的兩部，乙觀看了六部中的一部，則甲、乙兩人觀看了同一部動畫片的概率為________．11．已知7件產(chǎn)品中有5件合格品，2件次品.為找出這2件次品，每次任取一件檢驗，檢驗后不放回，則“恰好第一次檢驗出正品且第五次檢驗出最后一件次品”的概率為____.12．一個盒子里裝有7個大小?形狀完成相同的小球，其中紅球4個，編號分別為1，2，3，4，黃球3個，編號分別為1，2，3，從盒子中任取4個小球，其中含有編號為3的不同取法有________種.13．某校開展一次網(wǎng)絡科普講座.高三年級男生60人，女生40人參加.按分層抽樣的方法，在100名同學中選出5人，則男生中選出________人.再從此5人中選出兩名同學作為聯(lián)絡人，則這兩名聯(lián)絡人中男女都有的概率是________.（第1空2分，第2空3分）答案解析【題組一組合的概念】1．下列問題不是組合問題的是()A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015個不同的點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三(19)班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】組合問題與次序無關，排列問題與次序有關，D項中，選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是兩個不同的選法，因此是排列問題，不是組合問題，選D.2.給出下列問題：(1)從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成一件工作，有多少種不同的選法？(2)從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(3)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？(4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結果？(5)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結果有多少種？(6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結果有多少種？在上述問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？【答案】見解析【解析】(1)2名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題．(2)2名學生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題．(3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題．(4)冠亞軍是有順序的，是排列問題．(5)命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素，沒有順序，是組合問題．(6)命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍，有順序，是排列問題．【題組二組合數(shù)】1．已知，（）A．1B．mC．D．0【答案】D【解析】.故選：D2．下列等式中，錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通過計算得到選項A,B,D的左右兩邊都是相等的.對于選項C,,所以選項C是錯誤的.故答案為C.3．（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以．故選：B4．若，則（）A．5B．8C．7D．6【答案】A【解析】∵，∴，即，求得，或（舍去），故選：A.5．（多選）關于排列組合數(shù)，下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)或組合數(shù)的計算公式，可知A，B選項正確；，而，故C選項錯誤；，故D選項正確；故選：ABD.6．計算的值為__________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由組合數(shù)的基本性質(zhì)可得.故答案為：.7．求值：（1）；（2）.【答案】（1）31464；（2）.【解析】（1）（2）【題組三組合應用】1．若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中同時取3個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則不同的取法共有（）A．36種B．40種C．44種D．48種【答案】B【解析】根據(jù)題意，將9個數(shù)分為2組，一組為奇數(shù)：1?3?5?7?9，一組為偶數(shù)：2?4?6?8，若取出的3個數(shù)和為奇數(shù)，分2種情況討論：①取出的3個數(shù)全部為奇數(shù)，有種情況，②取出的3個數(shù)有1個奇數(shù)，2個偶數(shù)，有種情況，則和為奇數(shù)的情況有種.故選：B.2．從3名男生和4名女生中各選2人組成一隊參加數(shù)學建模比賽，則不同的選法種數(shù)是（）A．12B．18C．35D．36【答案】B【解析】先從3名男生中選出2人有種，再從4名女生中選出2人有種，所以共有種，故選：B3．已知集合，則集合各子集中元素之和為（）A．320B．240C．160D．8【答案】B【解析】當集合的子集為空集時，各元素之和為0；當集合的子集含有1個元素時，共有個集合，1、2、3、4、5各出現(xiàn)1次；當集合的子集含有2個元素時，共有個集合，1、2、3、4、5各出現(xiàn)4次；當集合的子集含有3個元素時，共有個集合，1、2、3、4、5各出現(xiàn)6次；當集合的子集含有4個元素時，共有個集合，1、2、3、4、5各出現(xiàn)4次；當集合的子集含有5個元素時，共有個集合，1、2、3、4、5各出現(xiàn)1次；所以集合各子集中，1、2、3、4、5各出現(xiàn)了次，所以集合各子集中元素之和為.故選：B.4．、兩社區(qū)需要招募義務宣傳員，現(xiàn)有、、、、、六位大學生和甲、乙、丙三位教師志愿參加，現(xiàn)將他們分成兩個小組分別派往、兩社區(qū)開展疫情防控宣傳工作，要求每個社區(qū)都至少安排1位教師及2位大學生，且由于工作原因只能派往社區(qū)，則不同的選派方案種數(shù)為（）A．120B．90C．60D．30【答案】C【解析】由于B只能派往M社區(qū)，所以分組時不用考慮B.按照要求分步將大學生和教師分為兩組，再分別派往兩個社區(qū).第一步：按題意將剩余的5位大學生分成一組2人，一組3人，有種，第二步：按題意將3位大學生分成一組1人，一組2人，有種，再分別派往兩個社區(qū)的不同選派種數(shù)：種，故選：C。5．已知一個不透明的袋子里共有15個除了顏色外其他質(zhì)地完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球，若從口袋里一次任取2個球，則“所取得2個球中至少有1個白球”的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】據(jù)題意知，所求概率.故選：B.6．中央電視臺總臺推出的《中國詩詞大會》節(jié)目以“賞中華詩詞、尋文化基因、品生活之美”為宗旨，邀請全國各個年齡段、各個領域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識競賽，現(xiàn)組委會要從甲、乙等五位候選參賽者中隨機選取2人進行比拼，則甲、乙二人至少有一人被選上的概率為（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9【答案】B【解析】總的基本事件個數(shù)為，甲、乙二人都沒有被選上的基本事件有，甲、乙二人都沒有被選上的概率為，則甲、乙二人至少有一人被選上的概率為，故選：7．現(xiàn)準備將6本不同的書全部分配給5個不同的班級，其中甲乙兩個班級每個班至少2本，其他班級允許1本也沒有，則不同的分配方案有________種.(用數(shù)字作答)【答案】1220【解析】由題可知，分配方式可分為以下情況：甲分2本，乙分4本，則有種，甲分3本，乙分3本，則有種，甲分4本，乙分2本，則有種，甲分2本，乙分3本，剩下的1本分給其它3個班的1個班，則有種，甲分3本，乙分2