高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)第一章4-3一元二次不等式的應(yīng)用

4．3一元二次不等式的應(yīng)用一、選擇題(每小題5分，共25分)1．商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售．每天可銷(xiāo)售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來(lái)增加利潤(rùn)．已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)提高1元，銷(xiāo)售量就要減少10件.那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上，銷(xiāo)售價(jià)每件可定為()A．11元 B．16元C．12元到16元之間 D．11元到15元之間【解析】選C.設(shè)銷(xiāo)售價(jià)定為每件x元，利潤(rùn)為y元，則y＝(x－8)[100－10(x－10)]，由題意可得：(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0,所以(x－12)(x－16)<0，解得：12<x<16，所以每件銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間．2．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷(xiāo)售量x(件)與單價(jià)P(元)之間的關(guān)系為P＝160－2x，生產(chǎn)x件所需成本為C(元)，其中C＝500＋30x元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷(xiāo)售量x的取值范圍是()A．20≤x≤30(x∈N) B．20≤x≤45(x∈N)C．15≤x≤30(x∈N) D．15≤x≤45(x∈N)【解析】選B.設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為y元，則y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，(0<x<80)，根據(jù)題意知，－2x2＋130x－500≥1300，解得20≤x≤45，所以當(dāng)20≤x≤45(x∈N)時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)不少于1300元.3．某種型號(hào)的汽車(chē)在水泥路面上的剎車(chē)距離(剎車(chē)距離是指汽車(chē)剎車(chē)后由于慣性往前滑行的距離)s(m)和汽車(chē)車(chē)速x(km/h)有如下關(guān)系：s＝－2x＋eq\f(1,18)x2.在一次交通事故中，測(cè)得這種車(chē)的剎車(chē)距離不小于22.5m，則這輛汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速至少為_(kāi)_______km/h.()A．45B．46C．47D．48【解析】選A.由題意可得s＝－2x＋eq\f(1,18)x2≥22.5，化簡(jiǎn)得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9，又因?yàn)閤≥0，所以x≥45.所以車(chē)速至少為45km/h.【加練備選】行駛中的汽車(chē)，在剎車(chē)時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停止，這段距離叫做剎車(chē)距離．在某種路面上，某種型號(hào)的汽車(chē)的剎車(chē)距離y(米)與汽車(chē)車(chē)速x(千米/小時(shí))滿足下列關(guān)系式：y＝eq\f(nx,100)＋eq\f(x2,400)(n為常數(shù)，且n∈N).在兩次試驗(yàn)剎車(chē)中，所取得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，其中5<y1<7，13<y2<15.要使剎車(chē)距離不超過(guò)18.4米，則行駛的最大速度應(yīng)為_(kāi)_______千米/小時(shí)．()A．60B．70C．80D．90【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)系y＝eq\f(nx,100)＋eq\f(x2,400)，且5<y1<7，13<y2<15.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5<\f(40n,100)＋\f(402,400)<7，,13<\f(70n,100)＋\f(702,400)<15))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)<n<\f(15,2)，,\f(15,14)<n<\f(55,14)，))則eq\f(5,2)<n<eq\f(55,14).因?yàn)閚∈N，所以n＝3，所以y＝eq\f(3x,100)＋eq\f(x2,400).因?yàn)橐箘x車(chē)距離不超過(guò)18.4米，則eq\f(3x,100)＋eq\f(x2,400)≤18.4，解得－92≤x≤80，所以要使剎車(chē)距離不超過(guò)18.4米，則行駛的最大速度應(yīng)為80千米/小時(shí)．4．(多選)某城市對(duì)一種每件售價(jià)為160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷(xiāo)售100元征稅R元)，若年銷(xiāo)售量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))萬(wàn)件，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，則R的值可以是()A．3B．4C．7D．8【解析】選BCD.根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].所以R的值可以是4，5，6，7，8.5．(金榜原創(chuàng)題)把一個(gè)長(zhǎng)為80cm、寬為60cm的矩形硬紙板分別在四個(gè)角各剪去一個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器，要使長(zhǎng)方體的底面面積不小于2400cm2，體積不小于24000cm3，則小正方形的邊長(zhǎng)可以為()A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm【解析】選C.設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則所得的長(zhǎng)方體的底面面積為S＝(80－2x)(60－2x)cm2，體積為V＝(80－2x)(60－2x)xcm3，當(dāng)x＝8時(shí)，S＝2816>2400，V＝22528<24000，所以A不滿足題意．當(dāng)x＝9時(shí)，S＝2604＞2400，V＝23436＜24000，所以B不滿足題意．當(dāng)x＝10時(shí)，S＝2400，V＝24000，所以C滿足題意．當(dāng)x＝11時(shí)，S＝2204<2400，V＝24244>24000，所以D不滿足題意．二、填空題(每小題5分，共15分)6．某公司每個(gè)月的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)關(guān)于月份的關(guān)系式為y＝n2－9n＋114，則該公司12個(gè)月中，利潤(rùn)大于100萬(wàn)元的月份共有________個(gè)．【解析】由題意得：n2－9n＋114>100，解得n<2或n>7，故n＝1，8，9，10，11，12，共6個(gè)月．答案：67.某單位在對(duì)一個(gè)長(zhǎng)為800m、寬為600m的草坪進(jìn)行綠化時(shí)，設(shè)計(jì)方案：中間為矩形綠草坪，四周為等寬的花壇，如圖所示，若要保證綠草坪的面積不小于總面積的二分之一，則花壇寬度x的范圍為_(kāi)_________(單位：m).【解析】草坪的長(zhǎng)為(800－2x)m，寬為(600－2x)m，(0<x<300).根據(jù)題意得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋60000≥0，解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，因此0<x≤100.故當(dāng)花壇的寬度在0<x≤100之間取值時(shí)，綠草坪的面積不小于總面積的二分之一．答案：0＜x≤1008．在一個(gè)限速40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，但還是相撞了．事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)12m，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m．又知甲、乙兩種車(chē)型的剎車(chē)距離sm與車(chē)速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x甲＋0.01xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))，s乙＝0.05x乙＋0.005xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，則下列判斷錯(cuò)誤的是________(填序號(hào)).①甲車(chē)超速 ②乙車(chē)超速③兩車(chē)均不超速④兩車(chē)均超速【解析】由題意列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>12，s乙＝0.05x乙＋0.005xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))>10.分別求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40.由于x>0，從而得x甲>30km/h，x乙>40km/h.經(jīng)比較知乙車(chē)超過(guò)限速．答案：①③④三、解答題9．(10分)為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷(xiāo)售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．某大學(xué)畢業(yè)生按照相關(guān)政策投資銷(xiāo)售一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月的銷(xiāo)售量y(單位：件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(單位：元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y＝－10x＋500.(1)設(shè)他每月獲得的利潤(rùn)為w(單位：元)，寫(xiě)出他每月獲得的利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系；(2)相關(guān)部門(mén)規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于25元.如果他想要每月獲得的利潤(rùn)不少于3000元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少？【解題提示】(1)利用每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)乘以每月的銷(xiāo)售量，求得每月獲得的利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系．(2)依題意令(x－10)(－10x＋500)≥3000且x≤25，解一元二次不等式求得x的取值范圍．先求得政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的表達(dá)式，根據(jù)x的取值范圍，求得總差價(jià)的取值范圍．【解析】(1)依題意可知，每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為(x－10)元，每月的銷(xiāo)售量為(－10x＋500)件，所以每月獲得的利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系為w＝(x－10)(－10x＋500).(2)由每月獲得的利潤(rùn)不小于3000元，得(x－10)·(－10x＋500)≥3000，化簡(jiǎn)，得x2－60x＋800≤0，解得20≤x≤40.又因?yàn)檫@種節(jié)能燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于25元，所以20≤x≤25.設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，則p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.由20≤x≤25，得500≤－20x＋1000≤600，故政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍為[500，600]元．【加練備選】某汽車(chē)廠上年度生產(chǎn)汽車(chē)的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為12萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.60x，已知年利潤(rùn)＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷(xiāo)售量．(1)寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【解題提示】(1)利用年利潤(rùn)＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷(xiāo)售量列出表達(dá)式即可，要注意根據(jù)實(shí)際意義注明函數(shù)的定義域．(2)通過(guò)解一元二次不等式得到所求增加比例的范圍．【解析】(1)由題意得，y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.60x)(0<x<1)，整理得，y＝－6000x2＋2000x＋20000(0<x<1).(2)要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，必須y－(12－10)×10000>0(0<x<1)，即－6000x2＋2000x>0(0<x<1)，解得0<x<eq\f(1,3)，所以投入成本增加的比例應(yīng)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))范圍內(nèi)．一、選擇題(每小題5分，共30分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意)1．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是()【解析】選D.因?yàn)閍>b>c且a＋b＋c＝0，則a>0，c<0，所以對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，對(duì)比函數(shù)圖象，D選項(xiàng)符合要求．2．下列不等式中，解集為R的不等式是()A．4x2－12x＋9>0B．4x2－12x＋9<0C．2x2＋x＋1<0D．3x2－2x＋4>0【解析】選D.A項(xiàng)：Δ＝0，故4x2－12x＋9≥0，則4x2－12x＋9>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(3,2)))，A錯(cuò)．B項(xiàng)：Δ＝0，4x2－12x＋9≥0，則4x2－12x＋9<0的解集為，B錯(cuò)．C項(xiàng)：Δ<0，2x2＋x＋1>0，則2x2＋x＋1<0的解集為，C錯(cuò)．D項(xiàng)：Δ<0，3x2－2x＋4>0，則3x2－2x＋4>0的解集為R.3．不等式x2＋x－20<0的解集是()A．{x|－5<x<4} B．{x|－4<x<5}C．{x|x<－5或x>4} D．{x|x<－4或x>5}【解析】選A.由x2＋x－20＝0，得(x＋5)(x－4)＝0，解得x1＝－5，x2＝4，所以不等式x2＋x－20<0的解集是{x|－5<x<4}．4．函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1，4]，則f(x)的最小值為()A．－1B．0C．3D．－2【解析】選A.由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3的圖象開(kāi)口朝上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，所以函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，4]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，f(x)min＝f(2)＝4－8＋3＝－1.5．已知不等式：①x2－4x＋3<0；②x2＋x－6<0；③2x2－5x＋m<0，若要同時(shí)滿足不等式①②的x也滿足不等式③，則有()A．m>2B．m＝2C．m≤2D．0<m<2【解析】選C.不等式①x2－4x＋3<0等價(jià)于(x－1)(x－3)<0，解得1<x<3，則不等式①的解集為(1，3)，不等式②x2＋x－6<0等價(jià)于(x＋3)(x－2)<0，解得－3<x<2，則不等式②的解集為(－3，2)，記不等式①和不等式②的解集的交集為A，則A＝(1，2).因?yàn)闈M足不等式①②的x也滿足不等式③，所以當(dāng)x∈A時(shí)，2x2－5x＋m<0恒成立，即m<－2x2＋5x恒成立，又因?yàn)楫?dāng)x∈(1，2)時(shí)，－2x2＋5x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,8)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(25,8)))，所以m≤2.6．若關(guān)于x的方程|4x－x2|＋a＝0有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－4，0]B．(－4，0)C．[0，4]D．(0，4)【解析】選B.因?yàn)榉匠蘾4x－x2|＝－a有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．所以可令y＝|4x－x2|，y＝－a，由圖象可知要使方程|4x－x2|＝－a有4個(gè)根，則兩個(gè)函數(shù)的圖象應(yīng)有4個(gè)交點(diǎn)，所以0<－a<4，即－4<a<0，所以a的取值范圍是(－4，0).【加練備選】方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的一個(gè)根在區(qū)間(2，3)內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間(3，4)內(nèi)，則m的取值范圍是()A．(－5，－4) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－4)) D．(－5，－2)【解析】選C.令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一個(gè)根在區(qū)間(2，3)內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間(3，4)內(nèi)，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）>0，,f（3）<0，,f（4）>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋2（m－2）＋5－m>0，,9＋3（m－2）＋5－m<0，,16＋4（m－2）＋5－m>0，))解不等式組可得－eq\f(13,3)<m<－4，即m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－4)).二、選擇題(每小題5分，共10分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)7．已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，則下列結(jié)論中正確的是()A．方程有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根的充要條件是m∈{m|m<0}B．方程有兩個(gè)正根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}C．方程無(wú)實(shí)數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}D．當(dāng)m＝3時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為0【解析】選ABC.A選項(xiàng)中，方程有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m－3）2－4m>0，,f（0）<0，))即m<0；同時(shí)m<0時(shí)，方程有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，故m<0是方程有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根的充要條件．B選項(xiàng)中，方程有兩個(gè)正根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m－3）2－4m≥0，,－\f(b,2a)＝\f(3－m,2)>0，,f（0）>0，))即0<m≤1；同時(shí)0<m≤1時(shí)方程有兩個(gè)正根；0<m≤1是方程有兩個(gè)正根的充要條件．C選項(xiàng)中，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則Δ＝(m－3)2－4m<0，即1<m<9；而m>1時(shí)，方程可能無(wú)實(shí)根也可能有實(shí)根，故m>1是方程無(wú)實(shí)數(shù)根的必要條件．D選項(xiàng)中，m＝3時(shí)x2＋3＝0知方程無(wú)實(shí)根．【加練備選】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的有()A．b<0 B．b2－4ac>0C．4a－2b＋c>0 D．a(chǎn)－b＋c<0【解析】選ABC.從圖象知，拋物線開(kāi)口向下，所以a<0.又對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝－eq\f(b,2a)<0，所以b<0，故A正確；由于拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，故Δ＝b2－4ac>0，故B正確；又f(－2)＝4a－2b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c>0，故C正確，D錯(cuò)誤．Ｋ8．若不等式x2－2x－3<0的解集為A，不等式x2＋x－6<0的解集為B，不等式x2＋x＋a2－a<0的解集為C.命題p：“x∈A且x∈B”，命題q：“x∈C”，若q是p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的可能值為()A．－1B．0C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,2)【解析】選ABD.由已知A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3<x<2}，C＝{x|x2＋x＋a2－a<0}，則命題p：“x∈A且x∈B”，即命題p：x∈A∩B＝(－1，2)，又q是p的充分不必要條件，則C是(－1，2)的真子集，當(dāng)a＝－1時(shí)，C＝{x|x2＋x＋2<0}＝，滿足C是(－1，2)的真子集；當(dāng)a＝0時(shí)，C＝{x|x2＋x<0}＝{x|－1<x<0}，滿足C是(－1，2)的真子集；當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2＋x－\f(1,4)<0))＝{x|－eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)<x<－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)}，不滿足C是(－1，2)的真子集；當(dāng)a＝eq\f(3,2)時(shí)，C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2＋x＋\f(3,4)<0))＝，滿足C是(－1，2)的真子集．三、填空題(每小題5分，共20分)9．已知不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋\r(2)ax＋5≥\f(1,3)，,x2＋\r(2)ax＋5≤\f(7,2)))有唯一解，則實(shí)數(shù)a＝________．【解析】由題意x2＋eq\r(2)ax＋5＝eq\f(7,2)有唯一解，所以x2＋eq\r(2)ax＋eq\f(3,2)＝0有唯一解，所以Δ＝2a2－6＝0，求得a＝±eq\r(3)，此時(shí)不等式組也是有唯一解．答案：±eq\r(3)10．已知y＝m(x－2m)(x＋m＋3)，y＝2x－2，若同時(shí)滿足條件：①?x∈R，兩個(gè)函數(shù)的值至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)；②?x∈(－∞，－4)，兩個(gè)函數(shù)的值的乘積是負(fù)數(shù)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【解析】因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝2x－2<0，可解得x<1，由于題目中①的限制，當(dāng)x≥1時(shí)必須是y＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0，當(dāng)m＝0時(shí)，y＝0，不合題意，所以舍掉，所以二次函數(shù)的開(kāi)口只能向下，即m<0，且此時(shí)2個(gè)根分別為x1＝2m，x2＝－m－3，為保證條件成立，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2m<1，,x2＝－m－3<1))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,2)，,m>－4，))所以－4<m<0；又由于條件②的限制，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝2x－2在(－∞，－4)上都是負(fù)數(shù)，所以?x∈(－∞，－4)，使y＝m(x－2m)(x＋m＋3)>0，所以－4在兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2之間，所以－m－3<－4<2m，或者2m<－4<－m－3，所以m<－2，綜上所述，m∈(－4，－2).答案：－4<m<－211．已知二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2＋x，如果存在實(shí)數(shù)m，n(m<n)，使得當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，y的最大值為3n，最小值為3m，那么m＝________，n＝________．【解析】根據(jù)題意，得二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2＋x的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，函數(shù)的最大值為eq\f(1,2).①當(dāng)m<n≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2＋x的圖象在[m，n]上是上升的，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)m2＋m＝3m，,－\f(1,2)n2＋n＝3n，,3n≤\f(1,2)，))解得m＝－4，n＝0；②當(dāng)m<1<n時(shí)，最大值為eq\f(1,2)＝3n，解得n＝eq\f(1,6)，與m<1<n矛盾，不符合題意；③當(dāng)1≤m<n時(shí)，二次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x2＋x的圖象在[m，n]上是下降的，由題意必有3n≤eq\f(1,2)，解得n≤eq\f(1,6)，不符合題意．故m＝－4，n＝0.答案：－4012．已知函數(shù)y＝ax2－ax＋2，(1)若y>0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(2)若y>0在[1,9]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】(1)由題意知，ax2－ax＋2>0在R上恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，2>0恒成立，滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－8a<0，))解得0<a<8，綜上，0≤a<8；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，y＝2>0恒成立，滿足題意；當(dāng)a>0時(shí)，y在[1，9]上隨x的增大而增大，最小值為2，滿足題意；當(dāng)a<0時(shí)，y在[1，9]上隨x的增大而減小，最小值為81a－9a＋2>0，解得－eq\f(1,36)<a<0，綜上所述，a>－eq\f(1,36).答案：(1)[0，8)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,36)，＋∞))四、解答題(每小題10分，共40分)13．設(shè)關(guān)于x的不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)>0和(x－a2)(x－a)<0的解集分別為A和B.(1)求集合A；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得A∪B＝R？如果存在，求出a的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)>0可化為[x－(a＋2)][x－(a－1)]>0，解得x<a－1或x>a＋2，所以不等式的解集為A＝{x|x<a－1或x>a＋2}；(2)不存在．當(dāng)a＝0時(shí)，不等式(x－a2)(x－a)<0化為x2<0，此時(shí)不等式無(wú)解，當(dāng)a<0時(shí)，a2>a，不等式(x－a2)(x－a)<0的解集為{x|a<x<a2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，a2<a，不等式(x－a2)(x－a)<0的解集為{x|a2<x<a}；當(dāng)a＝1時(shí)，a2＝a，不等式(x－a2)(x－a)<0化為(x－1)2<0，此時(shí)不等式無(wú)解；當(dāng)a>1時(shí)，a2>a，不等式(x－a2)(x－a)<0的解集為{x|a<x<a2}．綜上所述：當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，B＝；當(dāng)a<0或a>1時(shí)，B＝{x|a<x<a2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，B＝{x|a2<x<a}．要使A∪B＝R，當(dāng)B＝{a|a<x<a2}時(shí)，a2>a，a<x<a2，a－1＞a或a＋2＜a2，無(wú)解；當(dāng)B＝{a|a2<x<a}時(shí)，a2<a，a2<x<a，a＋2＜a，a2＜a－1，無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)a，使得A∪B＝R.14．設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在區(qū)間[－2，2]上的最大值、最小值分別是M，m，集合A＝{x|f(x)＝x}．(1)若A＝{1，2}，且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，求M和m的值；(2)若A＝{1}，且a≥1，記t＝M＋m，求t的最小值．【解析】(1)由當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，得c＝2.又A＝{1，2}，故1，2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的兩實(shí)數(shù)根．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2＝\f(1－b,a)，,2＝\f(c,a)，))解得a＝1，b＝－2，所以y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2，2]，所以當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝1，當(dāng)x＝－2時(shí)，ymax＝10，即M＝10，m＝1.(2)由題意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有兩相等實(shí)數(shù)根1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋1＝\f(1－b,a)，,1＝\f(c,a)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1－2a，,c＝a，))所以y＝ax2＋(1－2a)x＋a,x∈[－2，2]，其對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝－eq\f(1－2a,2a).又a≥1，故－eq\f(1－2a,2a)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以M＝9a－2，當(dāng)x＝－eq\f(1－2a,2a)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以m＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1－2a,2a)))eq\s\up12(2)＋(1－2a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1－2a,2a)))＋a＝1－eq\f(1,4a)，所以t＝M＋m＝9a－1－eq\f(1,4a).因?yàn)楫?dāng)a≥1時(shí)，t隨a的增大而增大，所以當(dāng)a＝1時(shí)，t取最小值為9－1－eq\f(1,4)＝eq\f(31,4).15．已知關(guān)于x的不等式ax2－x＋1－a≤0.(1)當(dāng)a∈R時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，不等式ax2－x＋1－a≤0恒成立，求a的取值范圍．【解析】(1)不等式ax2－x＋1－a≤0可化為[ax－(1－a