2022-2023學(xué)年湖南省長沙麓山國際實驗學(xué)校高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省長沙麓山國際實驗學(xué)校高二（上）入學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

一、單項選擇題，本題共8小題，每小題5分，共4（）分。每小題給出的四個選項中，只有

一個選項符合題目要求）

1.（5分）設(shè)Z=+2i,則z,2=（）

1

A.0B.1C.-D.2

4

2.（5分）某中學(xué)的高一、高二、高三共有學(xué)生1350人，其中高一500人，高三比高二少

50人，為了解該校學(xué)生健康狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高

一學(xué)生120人，則該樣本中的高二學(xué)生人數(shù)為（）

A.80B.96C.108D.110

3.（5分）為保障婦女權(quán)益、促進(jìn)婦女發(fā)展、推動男女平等，我國于2011年頒布實施《中

國婦女發(fā)展綱要（2011-2020年）》（以下簡稱（《綱要》）.《綱要》實施以來，我國積極

推動和支持婦女參政議政，婦女參與決策和管理的比例明顯提高，婦女的政治權(quán)利得到

有力保障和加強.2018年召開的第十三屆全國人民代表大會共有女代表742名，政協(xié)第十

三屆（2018年）全國委員會中有女委員440人.第一到十三屆歷屆全國人大女代表、政

協(xié)女委員所占比重如圖：

歷屆全國人大女代表、政協(xié)女委員所占比'K

%

四五六七八九卜十一卜二卜三屆

一*一女代表女委員

下列結(jié)論錯誤的是（）

A.第十三屆全國人大女代表所占比重比第十一屆提高3.6個百分點

B.第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重比第四屆提高10個百分點以上

C.從第一到第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重的平均值低于12%

D.第十三屆全國人大代表的人數(shù)不高于3000人

4.（5分）設(shè)非零向量工，的夾角為。，定義運算Z/=向?山I?s譏。.下列敘述錯誤的是

（）

A.若a*b=0,則αIlb

B..α*(e+c)=α*e+ɑ*c(K為任意非零向量)

C..設(shè)在AABC中，AB=a,AC=b,則2SfBc=3*b

D..若IaI=IbI=1,則G*b）r∏ɑx=l

5.（5分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,若be=4百，SinA+2SinBCoSC

=0,則AABC面積的最大值為（）

A.1B.√3C.2D.2√3

6.（5分）如圖，四棱錐P-ABC。的外接球的球心為0,其中底面ABCD為正方形，若平

1

面ABCD過球心。，且∕PM=45°,tan∕PAC=右則異面直線以，CO所成角的余

7.（5分）有5個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,從中有放回的隨機取兩次，每

次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球

的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，丁表示事件“兩次取出的球

的數(shù)字之和是6"，則（）

A.甲與丙相互獨立B.乙與丁不相互獨立

C.甲與丁相互獨立D.乙與丙相互獨立

8.（5分）如圖，正方體ABeD-A181C1。中，AN=NA1,AζM=MD1,彘=咸C,當(dāng)

直線Od與平面MNE所成的角最大時，入=（）

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。每小題給出的四個選項中，有多

個選項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

（多選）9.（5分）給定組數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,則這組數(shù)據(jù)的（）

O

A.中位數(shù)為3B.方差為g

C.眾數(shù)為2和3D.第85%分位數(shù)為4.5

（多選）10.（5分）在某次數(shù)學(xué)考試中，對多項選擇題的要求是：“在每小題給出的四個選

項中，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分已知某道多項選擇題

的正確答案是ABC,且某同學(xué)不會做該題，下列結(jié)論正確的是（）

1

A.該同學(xué)僅隨機選一個選項，能得分的概率是5

4

B.該同學(xué)隨機至少選擇二個選項，能得分的概率是一

11

1

C?該同學(xué)僅隨機選三個選項，能得分的概率是一

4

4

D.該同學(xué)隨機選擇選項，能得分的概率是：

15

（多選）11.（5分）如圖，直角梯形ABCD,AB//CD,AB±BC,BC=CD=∣AB=1,E

為AB中點，以。E為折痕把AQE折起，使點A到達(dá)點P的位置，且PC=√5,則（）

A.平面PEQ_L平面EBCQ

B.PC與平面PEz）所成角的正切值為√Σ

Tt

C.二面角P-QC-3的大小為一

4

D.PCLED

（多選）12.（5分）設(shè)aABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,下列結(jié)論正確的

是（）

Tr

A.若〃=1,b=2,則A可以是三

B.若4=[,a=l,c=√3,則b=l

C.若aABC是銳角三角形，a=2,匕=3,則邊長C的取值范圍是（西，√13）

D.?sin2A≤sin2B+sin2C-sinAsinC,則角A的取值范圍是（0,金

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足IZl=IZ-2-24，則IZl的最小值為.

14.（5分）如圖，在AABC中，AN=^NC,P是線段BN上的一點，^AP=mAB+^AC,

則實數(shù)Zn=.

15.（5分）在正三棱柱ABC-4B∣Cι中，D,E,F分別為AiBi,BICi，G4的中點，AB

=2,例為80的中點，則下列說法正確的是.

①AF,BE為異面直線；

②EM〃平面AOF；

③若BELCF,則A4=孝；

④若∕BEC=60°,則直線4C與平面BCCIBl所成的角為45°.

16.（5分）如圖所示，要修建一個形狀為等腰直角三角形的廣場A8C,NA8C=90°,且

在廣場外修建一塊三角形草地BC。，滿足BO=2,CD=].

①若=*則AD=；

②欲使A、。之間距離最長，則CoSNBoC=.

C

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中17題10分，其余每題12分.解答題應(yīng)寫出文

字說明過程或演算步驟)

17.(10分)已知向量Z=(1,√3),b=(-2,0).

(I)求之一甘的坐標(biāo)以及Z—％與之之間的夾角；

1TT

(II)當(dāng)f∈［-l,］］時，求佃一班|的取值范圍.

18.(12分)隨著金融市場的發(fā)展，越來越多人選擇投資“黃金”作為理財?shù)氖侄危旅鎸?/p>

A市把黃金作為理財產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計如圖所示.

(1)求”的取值，以及把黃金作為理財產(chǎn)品的投資者的年齡的中位數(shù)：(結(jié)果用小數(shù)表

示，小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)

(2)現(xiàn)按照分層抽樣的方法從年齡在［40,50)和［60,70J的投資者中隨機抽取5人，再

從這5人中隨機抽取2人進(jìn)行投資調(diào)查，求至少有1人年齡在［60,70］的概率.

19.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知(ɑ2-卅+c2)tcmB=√3αc.

(1)求角B的大??；

(2)當(dāng)角8為鈍角時，若點E滿足族=2R，AB=√3,BE=I,求BC的長度.

20.(12分)為普及抗疫知識、弘揚抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，

每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在

53

第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為7-；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概

65

23

率分別為1甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.

(I)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？

(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.

21.(12分)如圖，在等腰直角BC中，∕A8C=90°,腰長為2,尸為aA8C外一點,

NBPC=90°.

(1)若PC=√3,求以長；

(2)若NAPB=30。，求tan∕P8A.

22.(12分)己知在長方形ABC。中，AD=2AB=2√2,點E是AO的中點，沿8E折起

平面ABE,使平面ABE_L平面8C￡)E.

(1)求證：在四棱錐A-BCDE中，AB1AC；

(2)在線段AC上是否存在點F,使二面角A-BE-F的余弦值為為孚？若存在，找出

13

點廠的位置；若不存在，請說明理由.

D

BB

2022-2023學(xué)年湖南省長沙麓山國際實驗學(xué)校高二（上）入學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題，本題共8小題，每小題5分,共40分。每小題給出的四個選項中，只有

一個選項符合題目要求）

1.(5分)設(shè)Z=:f?;+23則z?2=()

1

A.0B.1C.-D.2

4

l-i??.(l-02??..??..

【解答】解:z=T+l+2t=(i+0(l-0+2ι=-ι+2ι=ι,

則Zz=i?(―i)=1.

故選：B.

2.（5分）某中學(xué)的高一、高二、高三共有學(xué)生1350人，其中高一500人，高三比高二少

50人，為了解該校學(xué)生健康狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高

一學(xué)生120人，則該樣本中的高二學(xué)生人數(shù)為（）

A.80B.96C.108D.110

【解答】解：設(shè)高二X人，貝Ux+x-50+500=1350,x=450,

所以，高一、高二、高三的人數(shù)分別為：500,450,400

因為攔=三，所以，高二學(xué)生抽取人數(shù)為：450×?=108,

5002525

故選：C.

3.（5分）為保障婦女權(quán)益、促進(jìn)婦女發(fā)展、推動男女平等，我國于2011年頒布實施《中

國婦女發(fā)展綱要（2011-2020年）》（以下簡稱（《綱要》）.《綱要》實施以來，我國積極

推動和支持婦女參政議政，婦女參與決策和管理的比例明顯提高，婦女的政治權(quán)利得到

有力保障和加強.2018年召開的第十三屆全國人民代表大會共有女代表742名，政協(xié)第十

三屆（2018年）全國委員會中有女委員440人.第一到十三屆歷屆全國人大女代表、政

協(xié)女委員所占比重如圖：

-Mi全國人大女代表、政協(xié)女委員所占比幣:

%

?.t

一二三四五六七八九十十一十二十三屆

一?一女代表女委員

下列結(jié)論錯誤的是()

A.第十三屆全國人大女代表所占比重比第十一屆提高3.6個百分點

B.第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重比第四屆提高10個百分點以上

C.從第一到第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重的平均值低于12%

D.第十三屆全國人大代表的人數(shù)不高于3000人

【解答】對于A,第十三屆全國人大女代表所占比重為24.9%,

第十一屆為21.3,提高3.6個百分點，故A正確；

對于第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重為20.4%,第四屆為9%,

提高11.4個百分點，故B正確；

對于C,從第一到第十三屆全國政協(xié)女委員所占比重的平均值為：

—(6.7+11.4+8.1+9.0+13.1+12.8+13.9+13.7+?5.5+16.7+17.7+17.8+20.4)%=13.6%,高于

13

12%,故C錯誤；

724

對于。，第十三屆全國人大代表的人數(shù)約為——≈2979A,不高于3000人，故。正

0.249

確.

故選：C.

(分)設(shè)非零向量工而勺夾角為。，定義運算蜘?山。.下列敘述錯誤的是

4.5Z/=I?sin

()

A.若a*b=0,則α||b

B..a*(b+c')=a*b+a*c(C為任意非零向量)

C..設(shè)在AABC中，AB=a,AC=b,則=

D..若Ial=Ibl=I,則(α*b)7nαx=l

【解答】解：對于選項A,定義運算％*b=而I?聞?s譏氏又若3*b=0,則sinθ=O,

即θ=0,即京^同向共線，即M人即選項A正確；

對于選項B,不妨取b=-cf且Q1b,則Q*（b+c）=α*b+Q*c（C為任意非零向量）

顯然不成立，即選項B錯誤；

TTTTITTTT

對于選項C,設(shè)在AABC中，48=a,AC=b,則SAABC=∕∣α∣∣b∣s譏仇則25&謝=a*b,

即選項C正確；

對于選項D,若Ial=Ibl=1,又α*b=∣α∣?∣fe∣?sinθ,sinθ∈[O,1],則（α*b）max=1,

即選項。正確，

故選:B.

5.(5分)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為4,b,c,若be=4√5,SinA+2SinBCOSC

=0,則AABC面積的最大值為（）

A.IB.√3C.2D.2√3

【解答】解：?.?sinA+2sinBcosC=0,

'α+2bx≡??^=0,化簡得"+/Ac?=。，即展平，

由余弦定理知,

.?.0<?≤*

.?sinA∈（0,5

-11

/.ΔABC的面積S=2bcsinA≤不be=遮.

故選：B.

6.（5分）如圖，四棱錐P-ABCz）的外接球的球心為O,其中底面ABC。為正方形，若平

面ABCO過球心0,且NPBQ=45°,tanZPAC=?,則異面直線∕?,CD所成角的余

弦值為（)

√103√10

C.—D.

IO10

【解答】解：?；四邊形ABC。為正方形,

???A3〃C。，.??N∕?3即為所求異面直線與CD所成角,

由14R

P∕+pc2=4R2,tan乙PAC=）可得PA=AB=√2R,

又NPBD=45°,

：.PB=PD,：.P01.BD,：.PB=√2∕?,

2R

C.cosZPAB=^p-=√10

42R~?

故選：B.

7.(5分)有5個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,從中有放回的隨機取兩次，每

次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球

的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，丁表示事件“兩次取出的球

的數(shù)字之和是6"，則()

A.甲與丙相互獨立B.乙與丁不相互獨立

C.甲與丁相互獨立D.乙與丙相互獨立

【解答】解：設(shè)甲、乙、丙、丁事件發(fā)生的概率分別為尸(A),P(B),P(C),P(D),

1AA?1

則尸(A)=P(B)=F，P(C)=FTTF=o?,P(D)=rr=F>

??^?4D?^v??

對于A,P(AC)=0≠P(A)P(C),...甲與丙不是相互獨立事件，故A錯誤；

11

對于B,P(M)=*=表=P(B)P(D)乙與丁相互獨立，故3錯誤；

?X?乙5

11

對于C,P(AZ))=*=表=P(Z)P(D),；.甲與丁相互獨立，故C正確；

?^?乙J

對于。，P(BC)=?=?≠P(B)P(C),.?.乙與丙不相互獨立，故。錯誤.

故選：C.

8.（5分）如圖，正方體ABCf>-AIBICIOI中，AN=NA1,A^M=MD1,B^E=λB^C,當(dāng)

直線。G與平面MNE所成的角最大時，入=()

【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCn-AIBICIDI的棱長為1,

TTTlITl

.?.B]E=入BIC=入(7,0,-1),E(I-入，1,1-入)，MN=(”，-?),ME=(--λ,

1,-入)，

設(shè)平面MNE的一個法向量為￡=(x,yfz),

則匕?V=O,卜X2z~0,令X=I,可得￡=(1,2λ-∣,1),

'-n?ME=0((]-2)x+y-z=0

又血=(0,0,1),

設(shè)直線DD\與平面MNE所成的角為θ,

→T

則sin。=∣cos<n,DD1>?=4空∣=∣1,

ImIDDllJ(2Λ-∣)+2

當(dāng)2人一2=0,即入=?t,sin。有最大值，即直線。Z)I與平面MNE所成的角最大.

L4

故選：C.

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分。每小題給出的四個選項中，有多

個選項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分）

（多選）9.（5分）給定組數(shù)5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,則這組數(shù)據(jù)的（）

8

A.中位數(shù)為3B.方差為g

C.眾數(shù)為2和3D.第85%分位數(shù)為4.5

【解答】解：將數(shù)據(jù)從小到大排序為1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,

3+3

故中位數(shù)為---，故A正確；

2

數(shù)據(jù)中2,3,出現(xiàn)次數(shù)最多，.?.眾數(shù)2和3,故C正確；

方差為上[（1-3）2+（2-3）2×3+（3-3）2X3+（4-3）2+（5-3）2×2]=∣,故B

105

正確；

第85百分位數(shù)是數(shù)據(jù)中至少有85%的數(shù)據(jù)小于或等于該數(shù)，

二從小到大第9個數(shù)字5為該組的第85百分位數(shù)，故D錯誤.

故選：ABC.

（多選）10.（5分）在某次數(shù)學(xué)考試中，對多項選擇題的要求是：“在每小題給出的四個選

項中，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分已知某道多項選擇題

的正確答案是ABC,且某同學(xué)不會做該題，下列結(jié)論正確的是（）

A.該同學(xué)僅隨機選一個選項，能得分的概率是:

、4

B.該同學(xué)隨機至少選擇二個選項，能得分的概率是K

11

C.該同學(xué)僅隨機選三個選項，能得分的概率是:

4

4

D.該同學(xué)隨機選擇選項，能得分的概率是T

175

【解答】解：該同學(xué)隨機選一個選項，共有4個基本事件，分別為A,B,C,D.

隨機選兩個選項，共有6個基本事件，分別為AB,AC,AD,BC,BD,CD.

隨機選三個選項，共有4個基本事件，分別為A8C,ABD,ACD,BCD.

隨機選四個選項，共有1個基本事件，即ABCD

僅隨機選一個選項，能得分的概率是士故A錯誤.

4

隨機至少選擇二個選項，能得分的概率是*-=土，故B正確.

6+4+111

僅隨機選三個選項，能得分的概率是3故C正確.

4

3+3+17

隨機選擇選項，能得分的概率是，一=工,故。錯誤.

4+6+4+115

故選：BC.

（多選）11.（5分）如圖，直角梯形ABCD,AB//CD,ABlBC,BC=CD=^AB=?,E

為AB中點，以。E為折痕把AQE折起，使點A到達(dá)點P的位置，且PC=√5,則（）

A.平面PED_L平面EBCD

B.PC與平面PE。所成角的正切值為√Σ

Tt

C.二面角P-OC-8的大小為一

4

D.PCLED

【解答】解：對于4,"：AB//CD,BCLAB,CD=BC=^AB=BE,

四邊形BCQE是正方形，J.DEVAE,DELBE,

故翻折后。E_LPE,,：PE=AE=I,EC=√2,PC=√3,

.,.PE1+EC1=PC2,故PE_LEC,XDEQEC=E,DE.ECc5FffiBCDE,

.,.PE，平面BCDE,又PEU平面PDE,

：.平面PEQ_L平面BCDE,故A正確，

對于B,由CZ），平面PDE可得NCPD為PC與平面PDE所成角，

AtanZCPD==?=?,故3錯誤.

對于C,由PE_L平面Ba）E可得PE_LC￡>,又CDLDE,PECDE=E,

：.CD-L平面PDE,故COJ_P。，

ZPDE為二面角P-DC-B的平面角，

,."PE=DE=?,PEA-DE,；.NPDE=%故C正確；

對于。，：￡>E〃BC,二NPCB為異面直線PC與。E所成的角，

'：DEYPE,DE1.BE,PECBE=E,PE、BEu平面PBE,ΛDE±5F≡PBE,

：.DEA.PB,XDE//BC,.,.BC-LPB,

.?ZPCB<^,故。錯誤;

故選：AC.

（多選）12.（5分）設(shè)448C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列結(jié)論正確的

是（）

n

A.若。=1,b=2,則A可以是三

B.若A=J，α=l,c=√3,則。=1

O

C.若aA3C是銳角三角形，a=2,b=3,則邊長C的取值范圍是（通，√13）

D.若sin2A≤sin2B+sin2C-sinΛsinC,則角A的取值范圍是（0,芻

【解答】解：對選項A,~Γn=-T-∑y解得SmB=W>1,故A錯誤；

sm-SinB

3

對選項B,l=62+3-2×6×√3×^,解得人=1或人=2,故B錯誤.

對選項C,因為aABC是銳角三角形,

‘b2+c2-a2

COsA-----?-r----->0

2bcp+c2-4>0

整理可得14+C2-9>0,解得√^VC<√T5,

所以<CosB=U——>0,

2ac

(4+9-C2>0

樂+廬一

cosC=—?-r—>0

I2ab

故C正確.

對選項D,因為sin2A≤sin2θ+sin2C-SinASinC,

??2I2_Λ2-1

所以β2≤fe2+c2-etc,?2+c2-a2,^ac---------≥一，

f2ac2

1_TT

即cos4≥],又因為O<A<τt,所以O(shè)v4≤g,故￡>正確.

故選：CD.

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足IZI=IZ-2-2/|,則團(tuán)的最小值為?一

【解答】解：設(shè)z=α+"a,?∈R,

V∣z∣=∣z-2-2z∣,

.".?a+bi?=?(α-2)+(6-2)z∣,

.,.a2+b2=(α-2)2+(h-2')2,

?>?a+b=2,

Λ∣z∣=√02+b2=?/ɑ2+(2—ɑ)2=√2ɑ2—4α+4=√,2(α—l)2+2,

當(dāng)α=l時，IZl取得最小值√Σ

故答案為：√2.

14.(5分)如圖，在AABC中，R=帝加,P是線段BN上的一點，若而="源?+,兄,

則實數(shù)m—I.

【解答】解：因為局=^加，則h=3茄，

所以筋=mAB+∣∕1C=〃族+∣×3AN=mAB+∣47V,

Q7

因為點8,P,N三點共線，所以優(yōu)+g=l,則加=(,

故答案為：|.

15.(5分)在正三棱柱ABC-AlBICl中，D,E,尸分別為AιB∣,BiCi,ClAl的中點，AB

=2,例為80的中點，則下列說法正確的是②③.

①AF,BE為異面直線；

②EM〃平面4OF；

③若3ELCF,則441=當(dāng)；

④若∕BEC=60°,則直線4C與平面BCCiBi所成的角為45°.

【解答】解：對于①：如圖，連接ER由題意得E尸〃A8,所以A,B,E,尸四點共面，

所以AF,BE不是異面直線，①錯誤；

1

對于②：取D4的中點N,連接FMMN,得MNHAB,MN=-^AB,

所以EF〃MN,EF=MN,則四邊形EFMW是平行四邊形，

所以EM〃FN,因為FNU面AFQ,所以EM〃面AOF,②正確；

對于③：取AB的中點。，連接C。，F(xiàn)Q,由E尸，QB平行且相等知：四邊形EFQB為

平行四邊形，

則有FQ〃BE,又BE上CF,即NQFC=90°,

設(shè)A4ι=x,則QF2=BE?=1+%2,CF2=1+X2,CQ=?

.?.2√+2=3,解得X=孝，③正確；

對于④：由NBEC=60°,BE=CE,可知48CE為正三角形，CE=BC=2,

連接AiE,易知AiEL平面BCCIBl,故NAICE即直線AIC與平面BCClBI所成的角,

tan^A1CE==?,乙?CE=泉所以④錯誤；

C1

故答案為：②③.

16.（5分）如圖所示，要修建一個形狀為等腰直角三角形的廣場ABC,∕ABC=90°,且

在廣場外修建一塊三角形草地BCD,滿足BO=2,CD=I.

①若/BDC=泉則Ao=√7+2√3；

②欲使A、。之間距離最長，則CoSNBnC=-瞪.

-----------------------------C

【解答】解：①在ABCD中，由BO=2,CD=1,NBDC=鼻,

得BC=JBD2+CD2-2BD-CD-cos^=J4+1-2×2×1×∣=√3,

J.BCλ+CD1=BD1,即NBCn=協(xié)

在等腰直角三角形ABC中，可得AC=√^BC=√δ,

又/BCA=??ZACD=?,

由余弦定理可得，AD=JAC2+CD2-2AC-CD?cos-

=J6+1-2×√6×1×(-^)=√7+2√3;

Tl___________

②設(shè)∕OBC=α,則αe(0,一)，ZBDC=Q,貝∣JAB=BC=√5-4cos8,

2

在AABO中，由正弦定理可得：—=-^=Sina=警=∣

sιnasιnθ?ɑ√5-4cos6

Tr

在AABC中，由余弦定理可得，AD1=AB2-^-BD2-2AB?BD?cos(-÷a)

2

=9-4cosθ-2×√5-4cosθx2X(-Sina)=9-4cosθ+4√5-4cos0sina

=9-4cosθ+4sinθ=9+4√2sin(θ-≡).

q

當(dāng)e=,π時，AO取最大值9+4√Σ

,,3π√2

此l時COSN8。C=CoS—=——

42

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中17題10分，其余每題12分.解答題應(yīng)寫出文

字說明過程或演算步驟)

17.(10分)已知向量Z=(1,√3),7=(-2,0).

(1)求Z-Z的坐標(biāo)以及最一。與最之間的夾角；

1TT

(II)當(dāng)f∈[-l,m時，求∣α-tb∣的取值范圍.

【解答】解：⑺Va=(1,√3),b=(-2,0),

.'.a—b—(3,V3),

設(shè)2—Z與段之間的夾角為0,θ∈[0,π],

G-b)?Z_6_/3

.?cosθ=

?a-b??a?4√32

=看.

TTTTTT1

(//)?a-tb?2=a2-2ta-b+t2b2=4t2+4t+4=4(t+1)2+3,

當(dāng)te[―1r時，lɑ—tb?^∈[3>7]>

故而一面的取值范圍為[√5,√7].

18.(12分)隨著金融市場的發(fā)展，越來越多人選擇投資“黃金”作為理財?shù)氖侄?，下面?/p>

A市把黃金作為理財產(chǎn)品的投資人的年齡情況統(tǒng)計如圖所示.

(1)求α的取值，以及把黃金作為理財產(chǎn)品的投資者的年齡的中位數(shù)；(結(jié)果用小數(shù)表

示，小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)

(2)現(xiàn)按照分層抽樣的方法從年齡在[40,50)和[60,70]的投資者中隨機抽取5人，再

從這5人中隨機抽取2人進(jìn)行投資調(diào)查，求至少有1人年齡在［60,70］的概率.

【解答】解：(1)由頻率分布直方圖的面積之和為1知，

IOX(0.007+0.0?8+A+0.025+0.020)=1,

解得α=0.030;

VlOX(0.007+0.018)=0.25<0.5,

10×(0.007+0.018+0.030)=0.55>0.5,

???把黃金作為理財產(chǎn)品的投資者的年齡的中位數(shù)為40+0θ~θθ5≈48.33;

(2)V0.030：0.020=3：2,

從年齡在［40,50)的投資者中抽取3人，記為A、B、C,

從年齡在［60,70］的投資者中抽取2人，記為1,2；

則從這5人中隨機抽取2人進(jìn)行投資調(diào)查，

有(A,B),(A,C),(A,I),(A,2),(B,C),(B,I),(.B,2),(C,1),(C,2),

(1,2),共10種情況；

至少有1人年齡在［60,70］的有(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(C,1),(C,2),

(1,2),共7種情況；

7

故至少有1人年齡在［60,70］的概率為R?

19.(12分)在三角形ABC中，角4,B,C的對邊分別為4,b,c,己知(c?-b2+c2)tanβ=√3αc.

(1)求角8的大小；

(2)當(dāng)角8為鈍角時，若點E滿足4E=2EC,AB=√3,BE=I,求BC的長度.

【解答】解：(1)V(a2—b2+c2)tanB=y∕3ac

(a2—b2+c2)slnB=WaCCOSB,

.^.(α23-b2+c2')sinB=WaCa號Cb,

：.StnB=去而O<B<ττ,.?.B=g或8=呈

(2)由(1)知當(dāng)B為純角時，B=等，

(解法一)?.???=2J?,

：.BE=BA+AE=BA+^AC=BA+^(BC-BA)=^BA+^BC,

T[T?TIT4T4TT

.?.(BE)2=^BA+^BCY=^?BA?2+^?BC?2+^?BA?■?BC?cosB,

44T4Tι

?*?1=g÷g?BC?2^÷gV3*?BC?×(-2)

整理得：2∣5C∣2-√3?∣6C∣-3=0,BP(2∣δC∣+√3)(∣BC∣-√3)=0

：.\BC\=√3

故BC的長度為H.

(解法二)'：AE=2EC,設(shè)EC=，"，則AE=2"i,設(shè)BC=x,

ii?ABC有：AC1^AB2+BC2-2ABBCcosB,

；.9m2=3+/+u丫，①

AE2+AB2-BE2_AC2+AB2-BC2

又在△中有：

aABE,ABCCoSA-2AE?AB=_2ACAB-

4m2+3-l9m2+3-x2

4√3m6√3m

.?.∕=3,"2②

②代入①有：2x2-√3x-3=O

解得x=√5(舍去負(fù)值)

故BC的長度為代.

20.(12分)為普及抗疫知識、弘揚抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪,

每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在

53

第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為:，在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概

65

23

率分別為f甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.

34

(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大?

(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.

【解答】解：（1）設(shè)4="甲在第一輪比賽中勝出”，A2="甲在第二輪比賽中勝出”,

Bl="乙在第一輪比賽中勝出''，B2=''乙在第二輪比賽中勝出”，

≡AiA2="甲贏得比賽”,BiB2="乙贏得比賽”，

5233

,：P(Ai)=∣,P(A2)=∣.P(Bi)=F，P(BG=1,

：.P(AiA)=P(AI)P(A)=i×∣=f.

22639

同理尸(BiB2)=P(Bi)P(&)=g×^=?,

59

..?一>—，

920

派甲參賽獲勝的概率更大.

(2)由(I)知，設(shè)C=”甲贏得比賽”，D="乙贏得比賽”，

—54—911

?；P(C)=1-尸(AI√?2)=1—g=g>P(Z))=I-P(B1B2)=1-2^Q=?θ,

于是CUO="兩人中至少