高中同步新教材選擇性必修第一冊(cè)（人教A版）數(shù)學(xué) 第二章 直線(xiàn)和圓的方程 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

第二章直線(xiàn)和圓的方程

2.5直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系

2.5.1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

1.（2023遼寧縣級(jí)重點(diǎn)高中聯(lián)合體期中）圓/+（y+l）2=l與直線(xiàn)

%+2y+3=0的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切

C.相離D.不能確定

2.（2023安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)期中）直線(xiàn)ωc+y-a=0R）與圓（%-

2）2+y2=4的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交

C.相切D.無(wú)法確定

3.（2022浙江臺(tái)州十校聯(lián)盟期中）直線(xiàn)％-√?H?m=0與圓x2+y2=?有兩個(gè)

不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)〃2的取值范圍是（）

A.-2≤m≤2B.-2<m<2

C.∕%<-2或m>2D.∕nW-2或m12

4.（2023山東煙臺(tái)期中）已知點(diǎn)M（α,引在圓O:Λ2+/=1外，則直線(xiàn)

OX+by=l與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離D.不能確定

5.已知直線(xiàn)mx-y-m-?=O,圓x2+)2-4%-2y+l=0.當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線(xiàn):

(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)？

⑵只有一個(gè)公共點(diǎn)？

⑶沒(méi)有公共點(diǎn)？

6.(2022福建福州期中聯(lián)考)已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(5,0)和點(diǎn)。(1,4),且

圓心在直線(xiàn)x+y=l上.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)(-1,4)的直線(xiàn)/與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且NAC3=120°,

求直線(xiàn)I的方程.

題組二圓的相交弦問(wèn)題

7.直線(xiàn)％+√?H?12=0被圓Λ2+V=100所截得的弦長(zhǎng)為()

A.2B.4C.8D.16

8.(2022浙江寧波北侖中學(xué)期中)若直線(xiàn)％-y-3=0被圓x2+y2-2x+4y+m=Q

所截得的弦長(zhǎng)為6,則實(shí)數(shù)m的值為()

A.-lB.-2C.-4D.-31

9.(2021江西南昌二中月考)若PQ是圓x2+y2=9的弦,尸。的中點(diǎn)是

(1,2),則直線(xiàn)PQ的方程是()

A.x+2y-3=0B.x+2y-5=0

C.2x-y+4=0D.2%-y=0

10.(2023山西晉中期中聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，直線(xiàn)y=%+α被

圓0:r+9=2截得的弦長(zhǎng)為2,則實(shí)數(shù)α的值為.

11.(2022四川成都簡(jiǎn)陽(yáng)陽(yáng)安中學(xué)期中)已知圓C:(%-l)2+(y-2)2=25,直

線(xiàn)Z:(2m+l)A：+(m+l)γ-7m-4=0.

(1)求證:直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)；

⑵判斷直線(xiàn)/被圓。截得的弦何時(shí)最長(zhǎng),何時(shí)最短,并求截得的弦最

短時(shí),用的值以及最短弦的長(zhǎng).

12.(2023河北邢臺(tái)六校期中聯(lián)考)已知圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且與直線(xiàn)x-y-

4=0相切，圓心C在直線(xiàn)x+y=O上.

(1)求圓C的方程；

(2)已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2,求直線(xiàn)/的

方程.

題組三圓的切線(xiàn)問(wèn)題

13.(2022安徽合肥六中期中)過(guò)點(diǎn)M(2,3)且與圓%2+產(chǎn)2x=0相切的直

線(xiàn)方程為()

A.4%-3γ+l=0B.x=2或3x-4y+6=0

C.3x-4y+6=0D.x=2或4%-3y+l=0

14.(2023廣東廣州期中)已知過(guò)點(diǎn)產(chǎn)⑵1)有且僅有一條直線(xiàn)與圓

CΛ2+y2+20r+αy+2α2+α-l=0相切，貝IJa=()

A.-lB.-2

C.1或2D.-1或-2

15.(2021吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)過(guò)點(diǎn)M(-1,H)且與圓0:%2+>2=4

相切的直線(xiàn)方程為.

16.(2022山東泰安期中)過(guò)點(diǎn)尸(4,3)作圓Cx2+6x+γ2+5=0的切線(xiàn),則

切線(xiàn)長(zhǎng)為.

2

17.(2023江蘇南通如皋質(zhì)檢)已知圓C:(%+2)2+y2=r(r>o)與直線(xiàn)

/:(m+2)x+(m-1)γ-(5m+I)=O(m￡R)恒有公共點(diǎn).

⑴求圓C的最小半徑,并寫(xiě)出此時(shí)圓C的方程；

⑵若直線(xiàn)/與(1)中的圓C相切,求相的值.

能力提升練

題組一直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

1.(2023江蘇鹽城期中)若直線(xiàn)Ix+∕x(y-4)=0與曲線(xiàn)X=I4—上有兩

個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(

A.0<m<-B.0≤m<-

33

C.0<∕w≤V3D.0≤m≤V3

2.(2023遼寧大連二十四中期中)若圓MiΛ2+γ2-6%+8γ=0上至少有3個(gè)

點(diǎn)到直線(xiàn)"l=M%-3)的距離為|,則上的取值范圍是(

A.[-√3,0)U(0,√3]

B.[-√3,√3]

C.(-∞,-√3]U[√3,+∞)

D.(-∞,-√3)U(√3,+∞)

3.(多選題)(2023湖南邵陽(yáng)二中開(kāi)學(xué)考試)已知圓M:(%+CoS2+(γ-sin

0)2=1,直線(xiàn)/:產(chǎn)氣,則下列命題中正確的是(

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)左和θ,直線(xiàn)/和圓M都有公共點(diǎn)

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)θ,必存在實(shí)數(shù)匕使得直線(xiàn)/與圓M相切

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)仇使得直線(xiàn)/與圓M相切

D.存在實(shí)數(shù)2與a使得圓M上有一點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為3

4.（2023北京一零一中學(xué)期中）已知直線(xiàn)/:米-y+仁0,若直線(xiàn)/與圓Λ2-

2九+y2-4y+3=0在第一象限內(nèi)的部分有公共點(diǎn)，則上的取值范圍

是.

題組二圓的相交弦、切線(xiàn)問(wèn)題

5.（2022山東臨沂平邑一中期中）由直線(xiàn)x-y+4=0上的點(diǎn)向圓（%-

l）2+（y-l）2=l作切線(xiàn),則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為（）

A.√7B.3C.2√2D.2√2-l

6.（2022天津北辰期中）若直線(xiàn)20t-hy+2=0（i>0,。>0）被圓x2+y2+2x-

4y+l=0截得的弦長(zhǎng)為4,貝哈+加最小值是（）

A.9B.4

11

C.-D」

24

7.（2022廣東廣州四校期中聯(lián)考）一條光線(xiàn)從點(diǎn)（-2,-3）射出，經(jīng)y軸反

射后與圓（%+3）2+0-2）2=1相切,則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為（

A.-J或?B.一：或一∣?

3352

C」或2

3343

8.（2023江蘇鹽城期中）過(guò)圓C:（x-l）2+γ2=l外一點(diǎn)尸作圓C的兩條切

線(xiàn)PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,若尸A_LP3,貝IJ點(diǎn)P到直線(xiàn)/:x+y-5=0的

距離的最小值為（）

A.lB.√2

C.2√2D.3√2

9.（2022廣東廣州七十五中期中）在平面直角坐標(biāo)系O肛中，過(guò)點(diǎn)

Λ（0,α）向圓Ca-2）2+（y-l）2=3引切線(xiàn),切線(xiàn)長(zhǎng)為dl,設(shè)點(diǎn)A到直線(xiàn)

x-y+4=0的距離為出當(dāng)d∣+<?取最小值時(shí),Q=（）

A.—B.3

2

C.2D.1

10.（2023寧夏吳忠模擬）已知直線(xiàn)I:x+y+m=0,圓C:?X2+）2-4Λ=0,若在

直線(xiàn)/上存在一點(diǎn)P,使得過(guò)點(diǎn)P所作的圓的切線(xiàn)P4,P3（切點(diǎn)分別

為A,B）滿(mǎn)足NAPB=60°,則根的取值范圍為.

11.（多選題）（2023黑龍江齊齊哈爾八校期中聯(lián)考）已知實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足方

程Λ2+∕-4Λ+1=0,則所給說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

Aj-X的最大值為遙-2

B,x2+γ2的最大值為7+4國(guó)

CR的最大值為今

X2

D?x+y的最大值為2+K

題組三直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用

12.（2022寧夏銀川一中模擬,）設(shè)zn∈R,圓M?.x2+y2-2x-6y=0,若動(dòng)直線(xiàn)

Zi:x+my-2-m=0與圓M交于點(diǎn)A,C,動(dòng)直線(xiàn)h:mx-y-2m+1=0與圓M

交于點(diǎn)B,D,則IAcl+∣8Dl的最大值是.

13.（2022江蘇泰州三中期中,）已知圓O:x2+∕=4和點(diǎn)M（I,α）.

⑴若過(guò)點(diǎn)M有且只有一條直線(xiàn)與圓。相切,求實(shí)數(shù)a的值,并求出

切線(xiàn)方程；

（2）若α=√I過(guò)點(diǎn)M的圓的兩條弦AcBD互相垂直,求HCl+|30|的

最大值.

14.（2022江蘇鹽城一中期中）為了保證我國(guó)東海油氣田海域的海上平

臺(tái)的生產(chǎn)安全,海事部門(mén)在某平臺(tái)O的正東方向設(shè)立了兩個(gè)觀(guān)測(cè)站

A,8（點(diǎn)A在點(diǎn)O與點(diǎn)、B之間），它們到平臺(tái)。的距離分別為3海里和

12海里,記海平面上到兩觀(guān)測(cè)站4,B的距離之比為割勺點(diǎn)P的軌跡為

曲線(xiàn)E,規(guī)定曲線(xiàn)E及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)（如圖）.

⑴如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為X軸，1海里為單位長(zhǎng)度，

建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線(xiàn)石的方程；

（2）某日在觀(guān)測(cè)站B處發(fā)現(xiàn),在該海上平臺(tái)O的正南方向相距2√TT

海里的C處,有一艘輪船正以每小時(shí)10海里的速度向北偏東30°方

向航行,如果航向不變,該輪船是否會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，

說(shuō)明理由；如果進(jìn)入,請(qǐng)求出它在安全預(yù)警區(qū)中的航行時(shí)間.

答案與分層梯度式解析

第二章直線(xiàn)和圓的方程

2.5直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系

2.5.1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.A2.B3.B4.B7.D8T9J13.D

14.A

1.A由已知可得圓的圓心為(0,-1),半徑為1,

圓心到直線(xiàn)x+2y+3=0的距離d=?翟=?1,

.?.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為相交.故選A.

2.B直線(xiàn)1x+y-α=0即α(%-l)+y=0,恒過(guò)定點(diǎn)(1,0),因?yàn)?1-2)2+()2<4,

所以點(diǎn)(1,0)在圓(%-2)2+y2=4的內(nèi)部，所以直線(xiàn)ax+y-a=0與圓(%-

2)2+y2=4-相交.故選B.

3.B易知圓x2+y2=?的圓心為(0,0),半徑為1,因?yàn)閳Ax2+y2=?與直

線(xiàn)x-y∕3y+m=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以圓心到直線(xiàn)的距離小于1,即與等<1,

整理得|刑<2,解得-2<m<2?故選B.

4.B4點(diǎn)M(4,b)在圓x2+y2=l外，，點(diǎn)M(a,引到圓心(0,0)的距離

大于半徑，即a2+h2>?,

從而圓心(0,0)到直線(xiàn)ax+by=l的距離d=?^=<?,直線(xiàn)與圓相交.

5.解析解法一:將直線(xiàn)方程如-廣怯1=0代入圓的方程,化簡(jiǎn)并整理,

得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.易知J=4m(3zn+4).

(1)當(dāng)J>0,即m>0或加<?時(shí),直線(xiàn)與圓相交，即直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共

八占、、?

⑵當(dāng)J=O,即m=0或W=T時(shí),直線(xiàn)與圓相切，即直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公

共點(diǎn).

⑶當(dāng)J<0,即-MY)時(shí),直線(xiàn)與圓相離，即直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn).

解法二：圓的方程可化為(%-2)2+(>-1)2=4,

故圓心為(2,1),半徑片2.

設(shè)圓心⑵1)到直線(xiàn)fnx-y-m-1=0的距離為d,

Ulll,?2m-l-m-l?_∣m-2∣

7√^+I—√^+T,

(1)當(dāng)d<2,即m>0或m<T時(shí)，直線(xiàn)與圓相交，即直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共

點(diǎn).

⑵當(dāng)d=2,即m=0或〃片T時(shí)，直線(xiàn)與圓相切，即直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公

共點(diǎn).

⑶當(dāng)d>2,gp-∣<m<θ時(shí),直線(xiàn)與圓相離，即直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn).

規(guī)律方法處理直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題主要用幾何法，即比較圓心

到直線(xiàn)的距離和半徑的大小,遇到含參問(wèn)題時(shí)也可選用聯(lián)立方程的方

法.

6.解析(1):P(5,0),Q(l,4),.?.線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為

(3,2),kpQ=γ~^=~1,

則線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)的方程為y-2=x-3,即Λ-γ-l=O.

聯(lián)立｛二工；二輛得｛二；：

則圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為5-1=4.

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-I)2+y2=16.

⑵過(guò)C作CCAB,垂足為Q,?.?圓C的半徑為4,且NAcB=I20°,

Λ∣CD∣=2,即圓心C到直線(xiàn)I的距離為2.

當(dāng)直線(xiàn)I的斜率不存在時(shí)一,其方程為x=-?,滿(mǎn)足題意；

當(dāng)直線(xiàn)I的斜率存在時(shí)一，設(shè)斜率為k,則直線(xiàn)I的方程為y-4=M%+l),

即kx-y+k+4=0,

由喏智2,解得仁;

√l+∕c24

則直線(xiàn)I的方程為《％-y+Y=O,即3x+4y-13=0.

綜上，直線(xiàn)I的方程為X=-I或3x+4γ-13=0.

7.D圓/+y2=100的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為10,

圓心(0,0)到直線(xiàn)x+y∕3y+12=0的距曷d=,1?2'==6,則直線(xiàn)

Jl2+(√3)2

x+√f3y+12=0被圓%2+y2=

100所截得的弦長(zhǎng)為2√100-36=16.故選D.

解后反思求弦長(zhǎng)的兩種方法:①由于半徑八弦心距小弦長(zhǎng)/的一

半滿(mǎn)足勾股定理,所以可利用法+0)=/求弦長(zhǎng);②聯(lián)立直線(xiàn)與圓的

方程，利用弦長(zhǎng)公式∣A3∣=√ΓΓ∕∣%1-%2|或MBl=Jl+^∣γ,-γ2∣<k

≠0)求弦長(zhǎng).

8.C圓的方程可化為(X-I)2+(γ+2)2=5-7%,

.?.其圓心為(1,-2).設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為d,則*薩1=0,.?.5-

√2

m=(,),.*.m=-4,故選C.

9.B因?yàn)橄襊Q的中點(diǎn)與圓心連成的線(xiàn)段垂直于PQ,所以kPQ=-

工=一；,所以直線(xiàn)PQ的方程是y-2=1(X-1),即X+2y-5=0,故選B.

2—022

10.答案士&

解析圓。的圓心為0(0,0),半徑/-√2,

圓心O到直線(xiàn)y=%+α的距離J=-7=M==號(hào)

Y直線(xiàn)y=x+α被圓O:x2+y2=2截得的弦長(zhǎng)為2,

."=Jr2一=1=號(hào)解得tz=±√2.

11.解析⑴證明：直線(xiàn)/的方程可化為(2Λ+γ-7)m+(%+α4)=0,

由匕丁丁7??°'解得?-:所以直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)(3,1)?

⑵易知當(dāng)直線(xiàn)/過(guò)圓心C(l,2)時(shí),直線(xiàn)/被圓C截得的弦最長(zhǎng).

由⑴得直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)(3,1),設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)P,

當(dāng)直線(xiàn)LLeP時(shí),直線(xiàn)/被圓C截得的弦最短，

又kcP=^=-：,直線(xiàn)/的斜率為-網(wǎng)?，

3-12m+1

:即衛(wèi)三1?(—；)=」解得”],此時(shí)直線(xiàn)I的方程是2x-γ-

m+1\2/4

5=0,

圓心C(1,2)到直線(xiàn)/:2%-y-5=0的距離d-2~^2=V5,

V?

所以最短弦的長(zhǎng)是2√25—d?=2√25-5=4√5.

解后反思若直線(xiàn)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)，則直線(xiàn)與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn).此外，當(dāng)

直線(xiàn)過(guò)圓心時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最長(zhǎng)；當(dāng)直線(xiàn)垂直于定點(diǎn)與圓心的

連線(xiàn)時(shí),直線(xiàn)被圓截得的弦最短.

12.解析(1)因?yàn)閳A心C在直線(xiàn)x+y=O上,所以可設(shè)圓心為C(α,-α)?

貝IJC到直線(xiàn)Λ-γ-4=0的距離上也震?.

由題意知d=?OC?,則出落1=√a2+(-a)2,

解得a=?.

所以圓心為C(I,-1),半徑r=d=y∕2,

則所求圓的方程是(%-1)2+(y+1)2=2.

⑵當(dāng)直線(xiàn)I的斜率不存在時(shí),其方程為產(chǎn)2,此時(shí)圓心C到直線(xiàn)I的

距離為1,直線(xiàn)/被圓C截得的弦的長(zhǎng)為2√Σ=I=2,符合題意；

當(dāng)直線(xiàn)I的斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則直線(xiàn)I的方程為y-l=M%-2),即kx-

y-2A+l=0,

此時(shí)圓心C到直線(xiàn)I的距離為四身巴=√2^T..,.M

√1+∕C24

.?.直線(xiàn)I的方程為3%-4y-2=0.

綜上所述,直線(xiàn)I的方程為x=2或3尤-4y-2=0.

13.D圓Λ2+y2-2x=0可化為其圓心為(1,0),半徑為1.

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M⑵3)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為尤=2,與圓相切,

符合題意；

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M⑵3)的直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則直線(xiàn)方程為y-3=k(x-

2),即kx-y+3-2k=0,

有弟普=1，解得k=l此時(shí)直線(xiàn)的方程為4%-3y+l=0?綜上,所求的直

√l+∕cz3.

線(xiàn)方程為x=2或4x-3y+l=0.故選D.

14.A由x2+y2+2ax+ay+2a1+a-1=0為圓的方程，

可得(2a)2+a2-4(2α2+α-l)>0,解得-2<“彳.

由題易知點(diǎn)P⑵D在圓C上，

貝IJ22+12+4a+a+2a2+a-1=0,解得a=-2或a=-1,

,.,-2<a<-,.?a=-l,故選A.

15.答案x-V3>,+4=0

解析?.?(-l)2+(√^)2=4,.?.點(diǎn)M在圓％2+y2=4上，

因止匕左切M=-I,即々切?,？：=-1，

切=手,又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(-l,√3),

；?切線(xiàn)方程為γ-V3=γ(jc+l),即Λ-V3J+4=0.

16.答案3√6

解析由圓C的方程可知，圓心為C(-3,0),半徑片2,又P(4,3),所

以IPc∣=√72+32=√58.

設(shè)切點(diǎn)為A,則Hq=k2,由切線(xiàn)的性質(zhì)可知CALPA,

所以在直角三角形PAC中，∣PA∣=?√IPC12—MQ2=二R=3限

所以切線(xiàn)長(zhǎng)為3√6.

17.解析(1)直線(xiàn)/的方程可整理為∕n(x+y-5)+2%-y-l=0,

令。+y—S；0A解得片=?所以直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)(2,3),記為點(diǎn)H.

由題意知，圓C的圓心為C(-2,0),半徑為廣,且當(dāng)點(diǎn)“在圓內(nèi)或圓上

時(shí),直線(xiàn)/與圓C恒有公共點(diǎn)，

則∣C"∣=Λ∕(2+2)2+(3—0)2=5Wr,故rmin=5,

所以圓C的半徑最小為5,此時(shí)圓C:(%+2)2+y2=25?

(2)解法一：由于定點(diǎn)”⑵3)既在圓C上,又在直線(xiàn)/上,而直線(xiàn)/與

圓C相切，

所以H為切點(diǎn)、,kcH=--^-=?

2-(-2)4

由于ILCH,所以直線(xiàn)I的斜率為g

又h=-"I所以m=10.

m-13

解法二：因?yàn)橹本€(xiàn)/與圓C相切,所以圓心C到直線(xiàn)/的距離為5,

Ig+2)χ(：T)XO-(5m+i)∣

所以亨=5,化簡(jiǎn)得zn2-20w+100=0,所以m=10.

√(m+2)2+(m-l)2

1.B%=λ∕4-產(chǎn)表示的曲線(xiàn)是圓心為(0,0),半徑為2的圓在y軸及

其右側(cè)的部分，

直線(xiàn)I:x+m(γ-4)=0恒過(guò)定點(diǎn)(0,4),

當(dāng)直線(xiàn)/與此半圓相切時(shí),直線(xiàn)和此半圓恰有一個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)有粵?=2,結(jié)合直線(xiàn)與半圓相切可得加="；

√l+m23

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率不存在，即m=0時(shí),直線(xiàn)和曲線(xiàn)恰有兩個(gè)交點(diǎn).

所以要使直線(xiàn)/和曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則0W"2<9.

故選B.

2.C圓M:Λ2+γ2-6Λ+8>,=0可化為(X-3/+。+4)2=25,圓心坐標(biāo)為

(3,-4),半徑為5.

若圓M上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為|,則圓心(3,-4)

到直線(xiàn)/的距離應(yīng)小于等于I，

即叫寫(xiě)解得舊或^≤.√3,

√k2+l2

的取值范圍是(-8,-H]U[√3,+∞).

3.AC圓心M(-cosθ,sin6)到直線(xiàn)/的距離總喑等乎=

√∕C2+(-l)2

江笠翳墳?=ISin(8+9)其中tanφ=k.

?.?d<l,.?.直線(xiàn)/與圓M恒有公共點(diǎn),A正確.

當(dāng)月)時(shí),d=獸<1恒成立,此時(shí)不存在實(shí)數(shù)匕使得直線(xiàn)I和圓M

√k2+l

相切,B錯(cuò)誤.

無(wú)論k為何值,d=∣sin(8+9)|=1都有解，

即對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)仇使得直線(xiàn)/與圓M相切,C正確.

?.?dWl,且圓上任一點(diǎn)到直線(xiàn)I的距離都不超過(guò)d+l,.?.d+lW2,D錯(cuò)

誤.故選AC.

4.答案［2-√3,3)

解析圓x2-2x+y2-4y+3=0可化為(X-I)?+(γ-2)2=2,

.?.圓心為C(1,2),半徑片√Σ

由直線(xiàn)I:kx-y+k=O即y=Z(%+l),可得直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)(-1,0),記A(-l,0).

如圖，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)M時(shí),其斜率最小，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B時(shí),其斜

率最大.

由與誓?=V2,可得k=2±y∕3,結(jié)合圖形可知kAM=2-V3;

√Zcz+l

由A(-1,0),3(0,3),可得MB=m=3,

0+1

.”的取值范圍是［2-g,3).

5.A圓(%-l)2+(y-l)2=i的圓心為(1,1),設(shè)為C半徑為1.設(shè)P為直

線(xiàn)％-y+4=0上任意一點(diǎn)，

由直線(xiàn)%-γ+4=0上的點(diǎn)向圓31)2+(y-l)2=l作切線(xiàn),要使切線(xiàn)長(zhǎng)最小,

只需FCl最小，易知IPClmin=2√2,

√2

???切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為J(2√?211=√7?故選A.

6.A圓x1+y2+2x-4y+?=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(%+1)2+(γ-2)2=4,故圓的半徑

為2.

由題意得直線(xiàn)20r-hy+2=0(α>0,Z?>0)必定經(jīng)過(guò)圓心(-1,2),所以-2α-

2/7+2=0,即a+b-?,所以3+-=(―+(tz+Z>)=5+—+2，因?yàn)閠z>O,b>Q,

ab?ab/ab

所以由基本不等式得竺+？≥2隹W=4,當(dāng)且僅當(dāng)”=三,即α=∣,h=l

abyjabab33

時(shí),等號(hào)成立,所以3+1的最小值為9.

ab

7.D設(shè)點(diǎn)(-2,-3)為A,點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4,則A，(2,-3),易

知反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)為k,則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方

程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.

V反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓(%+3)2+(y-2)2=1相切，

.?.圓心(-3,2)到反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的距離^l~3fc72~2fc~3l=l,整理得

√∕c2+l

12F+25%+12=0,

.?.仁或Z=-2故選D.

34

8.B由題可知四邊形CAP3是邊長(zhǎng)為1的正方形，

.?.∣CP∣=√I.?.P點(diǎn)的軌跡是以C(1,0)為圓心,k√∑為半徑的圓,圓心

C(l,0)到直線(xiàn)l?.x+y-5=0的距離冷卓浮1=?=2√2,故點(diǎn)P到直線(xiàn)

/:Λ+γ-5=0的距離的最小值為d-r=2>f2-VΣ=V2.

9.C由題可知圓C的圓心為C(2,1),半徑r=V3,

點(diǎn)A(0,a)到圓心C的距離為IACl=J4+(a—1)2=y∣a2-2a+5,

2222

所以切線(xiàn)長(zhǎng)d?=y∕?AC?—r=Va—2a+2=?/(a—I)+1,可看

作點(diǎn)A到定點(diǎn)尸(1,1)的距離，

由(l-2)2+(l-l)2<3,可知P(l,1)在圓C內(nèi).

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于直線(xiàn)x-y+4=0,垂足為H,與y軸的交點(diǎn)為

點(diǎn)A；

所以kpH=-l,

則直線(xiàn)PH.y-?=-(Λ-1),即y=-x+2,

令x=0,得y=2,即4(0,2).故當(dāng)點(diǎn)A與4重合時(shí),a+小有最小值,此

時(shí)”=2.故選C.

10.答案[-4√Σ-2,4√Σ-2]

解析圓C%2+y2-4χ=0可化為(%-2)2+y2=4,其圓心為(2,0),半徑Γ=2,

過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,連接PC,CA,CB,如圖

所示，

若直線(xiàn)Γ.x+y+m=0上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足NAP3=60°,則NAPC=30

又CALPA,

故IPC=2∣CAl=2片4,

故點(diǎn)C到直線(xiàn)/的距離d=繆＜4,

√1+1

解得-4√Σ-2W機(jī)W4√Σ-2,

即機(jī)的取值范圍是[-4√Σ-2,4√Σ-2].

11.CD方程jr2+y2-4%+l=0即(%-2)2+y=3,它表示以⑵o)為圓心,迎

為半徑的圓.

令y-x=a,^=k,x+y=h,則這三條直線(xiàn)都與該圓有公共點(diǎn)，

所以甯Wb,舄Wg,等W遮，

解得-迷-2忘4?n-2,-√3≤^≤√3,2-√6≤h≤2+√6,

所以y-Λ的最大值為歷-2,(的最大值為8,％+y的最大值為2+√6,

所以A中說(shuō)法正確,C、D中說(shuō)法錯(cuò)誤；

易知d+y2表示圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，

且圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的范圍為[2-8,2+√3],

22222

即2-V3≤Λ∕X+y≤2+V3,故7-4%2+yW7+4H,所以x+y的

最大值為7+4百,B中說(shuō)法正確.

故選CD.

方法總結(jié)若P(%,y)是定圓C:(x-α)2+(y-b)2=r2(r>0)上一動(dòng)點(diǎn)，則

nvc+ny,/+>2的最值一般都采用幾何法求解,具體求法如下：

①〃ɑ+町的最值:設(shè)ιwc+ny=t,則圓心C(cz,。)到直線(xiàn)mx+ny=t的距離

dJma+nb-t?^由'可得兩個(gè),值,一個(gè)為最大值,一個(gè)為最小值.

√mz+nz

②"1勺最值?即點(diǎn)P與原點(diǎn)連線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率,通過(guò)數(shù)形結(jié)合可求

XX

得斜率的最大值和最小值.

2

③X+y2的最值:jc2+y2可視為點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的平方,可通過(guò)圓心到

原點(diǎn)的距離加上或者減去半徑得到點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最大值與最

小值,然后平方即可.

12.答案2同

解析圓M:/+y2-2%-6y=0可化為(%-1)?+(y-3)2=10,

，其圓心為M(1,3),半徑r=√10.

由直線(xiàn)/?:x+my-2-m=0,即x-2+zn(j-l)=0,可知1過(guò)定點(diǎn)(2,1),記

Ed1),

由直線(xiàn)h'.mx-y-2m+l=0,即zn(x-2)-γ+l=0,可知《過(guò)定點(diǎn)E(2,1).

易知如圖，設(shè)線(xiàn)段AC和BD的中點(diǎn)分別為凡G,則四邊形

EFMG為矩形，

22

設(shè)?MF]=d,0WdW?ME?=√5,則?MG?=yJ?ME?-?EG?=

222

y∕?ME?-?MF?=y∕5-d,

貝IJ∣AC∣+∣βD∣-2√10-d2+2√10-(5-d2)=2(√10-d2+√5+d2)

≤2√2(1