自動控制原理（李國勇第4版）課件 第7、8章 非線性控制系統(tǒng)分析、線性離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)

第7章非線性控制系統(tǒng)分析目錄7.1

非線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識

7.2

相平面分析法

7.3描述函數(shù)分析法7.4基于MATLAB的非線性系統(tǒng)分析7-1非線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識

嚴(yán)格地講，所有實(shí)際物理系統(tǒng)都是非線性的，只是非線性的程度不同而已。 對某些在研究區(qū)間內(nèi)連續(xù)的、非線性程度不嚴(yán)重（二階導(dǎo)數(shù)趨于0）或信號變化范圍不大的實(shí)際物理系統(tǒng)，可在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化處理后，將系統(tǒng)近似當(dāng)做線性系統(tǒng)來分析。

當(dāng)系統(tǒng)中非線性程度比較嚴(yán)重，或輸入信號變化范圍較大(如電機(jī)起制動)或系統(tǒng)不連續(xù)，采用線性化方法來研究系統(tǒng)動態(tài)特性就出現(xiàn)很大缺陷，此時必須考慮非線性本質(zhì)才能得到符合實(shí)際的結(jié)果。 因此，建立非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型、尋求非線性系統(tǒng)的研究方法是很必要的。 另外，在非線性系統(tǒng)研究中，人們發(fā)現(xiàn)如果在系統(tǒng)中適當(dāng)?shù)亟尤敕蔷€性元件，能更有效地改善控制系統(tǒng)的性能。7.1.1非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)1．瞬態(tài)響應(yīng) 在線性系統(tǒng)中瞬態(tài)響應(yīng)過程曲線的形狀與輸入信號大小無關(guān)，與初始條件無關(guān)。 在非線性系統(tǒng)中瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀卻與輸入信號大小、初始條件有密切的關(guān)系。

圖7-l(a)表示同一個非線性系統(tǒng)對不同幅值階躍信號的響應(yīng)，顯然瞬態(tài)響應(yīng)是截然不同。即使形式相同，而超調(diào)量Mp、過渡過程時間ts等指標(biāo)也不相同，如圖7-l(b)所示。因此，疊加原理不適用于非線性系統(tǒng)。

2．穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而和輸入信號大小、初始狀態(tài)無關(guān)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，除了和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)外，還與初始狀態(tài)及輸入信號大小有密切關(guān)系，這一點(diǎn)是十分重要的。3．自持振蕩(自激振蕩)線性系統(tǒng)在輸入信號作用下才有輸出，輸出響應(yīng)有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種形式。而在非線性系統(tǒng)中，除了穩(wěn)定和不穩(wěn)定運(yùn)動形式外，還有一個重要特征,就是系統(tǒng)有可能發(fā)生自持振蕩。所謂自持振蕩是指在沒有周期信號作用下，由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)所確定的一種具有固定頻率和振幅的振蕩狀態(tài)，通常是一種非正弦的周期振蕩，如圖7-2所示。4．多值響應(yīng)和跳躍諧振在線性系統(tǒng)中，輸入信號為正弦信號時，系統(tǒng)輸出是同頻率的正弦信號，僅僅是幅值和相位不同。面對非線性系統(tǒng)，在正弦信號作用下系統(tǒng)的響應(yīng)組成很復(fù)雜，常常包含有倍頻、分頻等諧波分量；有些非線性系統(tǒng)當(dāng)輸入信號的頻率由低頻端開始增加時，輸出的幅值也增加，如圖7-3中點(diǎn)l到點(diǎn)2，若頻率繼續(xù)增加，將引起從點(diǎn)2到點(diǎn)3的跳躍，并伴有振幅和相位的改變，出現(xiàn)跳躍諧振。當(dāng)頻率再增加時，輸出振幅由點(diǎn)3到點(diǎn)4。若換一個方向，即頻率減小，振幅通過點(diǎn)又逐漸增大，直到點(diǎn)5為止，當(dāng)頻率繼續(xù)減小時，將引起從點(diǎn)5到點(diǎn)6的另一個跳躍，也伴有振幅和相位的改變。另外，在這個頻率范圍內(nèi)，穩(wěn)定與振蕩可能是兩者之一，即存在多值響應(yīng)。7.1.2常見的非線性特性1．死區(qū)(不靈敏區(qū))特性一般的測量元件、執(zhí)行機(jī)構(gòu)都存在不靈敏區(qū)。死區(qū)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中，x表示輸入；y表示輸出；

表示死區(qū)；-

<x<

的區(qū)域叫做不靈敏區(qū)或死區(qū)2．飽和特性在一定的輸入范圍內(nèi)保持輸出和輸入之間的線性關(guān)系，當(dāng)輸入信號超過某一范圍后，環(huán)節(jié)輸出信號不再隨輸入信號而變化仍保持某一常值。3．間隙特性一般齒輪傳動副的齒輪間隙、絲桿螺母傳動副、鏈輪傳動副等往往存在間隙。數(shù)學(xué)表達(dá)式為4．繼電器特性(a)理想繼電特性，(b)為回環(huán)繼電特性，(c)為具有死區(qū)的繼電特性，(d)為兼有死區(qū)和回環(huán)的繼電特性。7.1.3非線性系統(tǒng)的分析方法返回

由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和特殊性，使得非線性問題的求解非常困難。有關(guān)線性系統(tǒng)中的分析方法（如疊加原理、時域分析法、復(fù)域分析法、頻域分析法、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)等），在非線性系統(tǒng)中都不能應(yīng)用。到目前為止，對于非線性系統(tǒng)的研究還沒有形成一個通用的方法。雖然有一些針對特定非線性問題的系統(tǒng)分析方法，如相平面分析法和描述函數(shù)分析法，但它們的適用范圍都有限。

返回

用計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方程，以數(shù)值解形式進(jìn)行仿真研究，是分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜非線性系統(tǒng)的有效方法。當(dāng)前，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)仿真已成為研究非線性系統(tǒng)的重要手段。本章將著重介紹相平面分析法和描述函數(shù)分析法。

7.2相平面分析法

相平面分析法(簡稱相平面法)是Poincare.H于1885年提出來的，它是一種用于求解二階線性或非線性系統(tǒng)的圖解方法。相平面分析法的主要工作是畫相平面上的相軌跡圖，有了相軌跡圖，就可以在相平面上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、時間響應(yīng)特性、穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響等。7.2.1概述

1．基本概念設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列微分方程描述

式中， 是和的線性函數(shù)或非線性函數(shù)。描述該系統(tǒng)特性必須有兩個變量和，即系統(tǒng)在某一初始狀態(tài)[(0),(0)]下的解可由(t)、(t)兩張曲線圖來表示。也可以將時間

t作為參變量，用(t)和(t)的關(guān)系曲線來表示，如圖7-9(a)表示。(1)相平面、相點(diǎn)和相軌跡將和為狀態(tài)構(gòu)成的坐標(biāo)平面稱為相平面，如圖7-9（a）所示。相平面上的點(diǎn)稱為相點(diǎn)，如。當(dāng)t變化時，由某一初始狀態(tài)出發(fā)在相平面上描繪出的曲線稱為相平面軌跡，簡稱相軌跡。(2)相平面圖、相平面法不同初始狀態(tài)下構(gòu)成的相軌跡，稱為相軌跡族。由相軌跡族構(gòu)成的圖稱為相平面圖，簡稱相圖。由相平面圖分析系統(tǒng)的方法，稱為相平面法。相平面圖能給出二階系統(tǒng)相軌跡的清晰圖像，但要做出三階或三階以上系統(tǒng)的相軌跡比較困難，甚至是不可能的。但是從分析非線性因素對二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響中得到的結(jié)果，對于分析具有同樣非線性因素的高階系統(tǒng)的動態(tài)過程是很有用的。(3)相軌跡方程對于一個二階系統(tǒng)，其微分方程為式中

是和的線性或非線性函數(shù)。根據(jù)相平面的定義，令則有一般形式為從方程中消去時間變量，可得到上式是關(guān)于和的一階微分方程，該方程給出了相軌跡上通過點(diǎn)的切線的斜率。一般情況下，相軌跡不相交。對任一相點(diǎn)，通過該點(diǎn)相軌跡的斜率由上式唯一確定，所以不同初始狀態(tài)下的相軌跡是不會相交的。求解方程式，就可得相軌跡方程，即

它表示了相平面上的一條曲線，并且反映了點(diǎn)沿曲線的運(yùn)動情況，該曲線就為相軌跡。（4）相軌跡的性質(zhì)相平面的上半平面中，，相點(diǎn)沿相軌跡向軸正方向移動，所以上半部分相軌跡箭頭向右；同理，下半相平面， 軌跡箭頭向左?？傊噗E點(diǎn)在相軌跡上總是按順時針方向運(yùn)動。當(dāng)相軌跡穿越軸交點(diǎn)處有，因此，相軌跡總是以方向通過軸的。（5）平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)若為位移，則為速度，為加速度。對所有時刻，都滿足 的狀態(tài)點(diǎn)（相點(diǎn)） ，稱為時刻的一個平衡點(diǎn)，即速度和加速度均為零的點(diǎn)。在相軌跡上滿足條件 的不定值的相點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。奇點(diǎn)就是平衡點(diǎn)，是系統(tǒng)平衡狀態(tài)相平面上的點(diǎn)。此時系統(tǒng)的速度和加速度均為零。與普通點(diǎn)不同，奇點(diǎn)可能有無數(shù)條相軌跡趨近或離開，或者連一條也沒有。解的唯一性不適合于奇點(diǎn)。2.線性二階系統(tǒng)的相軌跡圖

對于線性二階系統(tǒng)，其齊次微分方程為

令則或(7-9)

經(jīng)線性變換x=Py后，在y1-y2坐標(biāo)系中具有下列規(guī)范方程得相軌跡方程：和相軌跡的斜率

(7-l0)系統(tǒng)在y1-y2坐標(biāo)系中的平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))為(0，0)。分幾種情況來討論：(1)特征根為一對純虛根

1,2=j

，即由式(7-9)得：或整理得相軌跡方程：——橢圓式中，C為由初始條件決定的常數(shù)值。此時系統(tǒng)處于等幅振蕩，系統(tǒng)處于無阻尼運(yùn)動狀態(tài)。在x1-x2坐標(biāo)系中，相軌跡為一族圍繞奇點(diǎn)的橢圓曲線，這種奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)，如圖7-10所示。

(2)特征根為一對符號相反的實(shí)根

2<0<1

由式(7-l0)得，，相軌跡方程：—雙曲線

不同初始條件下的相軌跡是雙曲線。由于相軌跡呈鞍形。中心是奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱鞍點(diǎn)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。曲線如圖7-11所示。

(3)特征根為兩負(fù)實(shí)根

2<1<0

由式(7-l0)得相軌跡方程：

——拋物線系統(tǒng)處于過阻尼運(yùn)動狀態(tài)，暫態(tài)響應(yīng)隨時間非周期地衰減。由于相平面內(nèi)的軌跡族無振蕩地收斂于奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)相軌跡為收斂的拋物線，如圖7-12所示。

當(dāng)特征根為兩正實(shí)根，對應(yīng)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)是非周期發(fā)散的。相軌跡為發(fā)散型拋物線，相軌跡族直接從奇點(diǎn)發(fā)散出來，這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，如圖7-13所示。

(4)特征根為兩正實(shí)根0<2<1

由式(7-l0)得相軌跡方程：

——拋物線(5)特征根為一對實(shí)部為負(fù)的共扼復(fù)根

1,2=-j

由式(7-l0)得令則得相軌跡方程：

——螺旋線式中

其相軌跡為對數(shù)螺旋線，軌跡族收斂于奇點(diǎn)，如圖7-14所示，這種奇點(diǎn)稱穩(wěn)定焦點(diǎn)。系統(tǒng)穩(wěn)定，其響應(yīng)為衰減振蕩。

(6)特征根為一對實(shí)部為正的共扼復(fù)根

1,2=j

由式(7-l0)得相軌跡方程：

——螺旋線

相軌跡為發(fā)散的對數(shù)螺旋線，軌跡族從奇點(diǎn)發(fā)散出來的，如圖7-15所示，該奇點(diǎn)稱不穩(wěn)定焦點(diǎn)，對應(yīng)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)為發(fā)散振蕩的，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

線性二階系統(tǒng)的相軌跡圖和奇點(diǎn)的性質(zhì)由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，而與初始狀態(tài)無關(guān)，不同的初始狀態(tài)在相平面上形成一組幾何形狀相似的相軌跡，而不改變相軌跡的性質(zhì)。相軌跡不會相交，只在奇點(diǎn)處才有無數(shù)條相軌跡趨近或離開它。

j0j0j0穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)λj0

λ2j0λ2λ1j0λ1λ23.非線性系統(tǒng)的相圖對于非線性系統(tǒng)，描述二階非線性系統(tǒng)的微分方程為和是的非線性函數(shù)，而式表示的兩曲線的交點(diǎn)就是非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))，非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)往往不止一個。對于非線性系統(tǒng)，奇點(diǎn)類型與相軌跡的類型僅適用于奇點(diǎn)附近的區(qū)域。整個系統(tǒng)的相平面圖就可能由幾個不同類型的相軌跡組成，各類相軌跡并不是彼此弧立地存在于區(qū)域內(nèi)，而是既相對獨(dú)立又有著聯(lián)系，成為一完整的曲線。

對于非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)性質(zhì)分析，采用小范圍線性化方法求出奇點(diǎn)附近的線性化方程，進(jìn)而分析系統(tǒng)奇點(diǎn)性質(zhì)和相軌跡。假設(shè)奇點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，將和在奇點(diǎn)附近展開成泰勒級數(shù)，并取一次近似，得

(7-l1)或

上式即為非線性系統(tǒng)在奇點(diǎn)(0,0)附近小范圍內(nèi)線性化方程。

在一般情況下，這種線性化方程在平衡點(diǎn)附近的相軌跡與非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的相軌跡具有同樣的形狀特征。但要注意，若由線性化方程求解至少有一個根為零，根據(jù)李雅普諾夫小偏差理論，不能根據(jù)線性化方程確定非線性平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性。在這種情況下，平衡點(diǎn)的相軌跡特性要取決于(7-11)式中系統(tǒng)的高階項(xiàng)。

對于非線性系統(tǒng)還有一種與線性系統(tǒng)不同的運(yùn)動狀態(tài)——自持振蕩，它在相平面圖上表現(xiàn)為一條弧立曲線，稱之為極限環(huán)。對于給定的系統(tǒng)，可以有一個以上的極限環(huán)，極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。因此，極限環(huán)將相平面分成內(nèi)部平面和外部平面，極限環(huán)內(nèi)部(或外部)的相軌跡，不能穿越極限環(huán)而進(jìn)人它的外部(或內(nèi)部)，需要指出，不是相平面圖中的所有封閉曲線都是極限環(huán)。

從分析極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動特點(diǎn)，將極限環(huán)分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定、半穩(wěn)定極限環(huán)。

(l)穩(wěn)定極限環(huán)：在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)，該極限環(huán)稱穩(wěn)定極限環(huán)。穩(wěn)定極限環(huán)對應(yīng)于穩(wěn)定的自持振蕩，如圖7-16(a)。(2)不穩(wěn)定極限環(huán)： 如果極限環(huán)附近的相軌跡都是從極限環(huán)發(fā)散出去的，該極限環(huán)稱不穩(wěn)定極限環(huán)。(3)半穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部兩側(cè)的相軌跡有一側(cè)收斂于極限環(huán)，而另一側(cè)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，這種極限環(huán)稱半穩(wěn)定極限環(huán)。極限環(huán)分割的內(nèi)外兩個區(qū)域或都是穩(wěn)定區(qū)域，或都是不穩(wěn)定區(qū)域。

穩(wěn)定的極限環(huán)可通過實(shí)驗(yàn)觀察到，而不穩(wěn)定極限環(huán)和穩(wěn)定極限環(huán)無抗噪聲能力，所以通過實(shí)驗(yàn)觀察不到。另外還需指出，一般用解析法很難在相平面上確定極限環(huán)的精確位置，甚至是不可能的，極限環(huán)只能由圖解法、實(shí)驗(yàn)法或計(jì)算的方法來確定。7.2.2相軌跡圖的繪制

研究二階系統(tǒng)的相軌跡圖既可通過解析法來繪制，也可通過圖解法或?qū)嶒?yàn)的方法作出。常用的兩種圖解法是等傾線法和

法，所有的圖解法，基本上都是一種逐步作圖法。作相軌跡圖的準(zhǔn)確度取決于作圖的方法、作圖時采用的增量大小。增量應(yīng)當(dāng)具有適當(dāng)?shù)拇笮?，增量取得太大，?zhǔn)確度要下降；如果增量選的太小，則計(jì)算起來將很費(fèi)時間，且積累誤差也會造成后面部分的不準(zhǔn)確。

1.相軌跡圖的解析法

解析法的基本思路是先求出相軌跡的解，再畫出相軌跡圖。適用場合是比較簡單或可以分段線性化的運(yùn)動方程。解析法求系統(tǒng)相軌跡方程，一種是對系統(tǒng)的斜率方程(7-6)式兩邊積分得如下相軌跡方程另一種方法是求出xl和x2與t的函數(shù)關(guān)系，然后從兩個方程中消去t，得到相軌跡狀態(tài)。

例7-1

試?yán)L制如圖7-17所示的非線性系統(tǒng)的相軌跡圖。假設(shè)輸入信號r為階躍信號。

解系統(tǒng)線性部分

非線性部分令得：

相軌跡的斜率為在(x10,x20)初始條件下對上式兩邊積分得：

當(dāng)，則有

當(dāng)，則有

由上知相軌跡為拋物線，當(dāng)

r>x1時，拋物線開口向右，當(dāng)r<x1時，拋物線開口向左，如圖7-18所示。從相軌跡圖上看到r>x1和r<x1兩個區(qū)域的拋物線連在—起構(gòu)成一族封閉曲線，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)為周期運(yùn)動，并且在x1=r處為切換線。奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。

2.相軌跡圖的圖解法等傾線法等傾線法的基本思路是首先確定相軌跡的等傾線，進(jìn)而繪制出相軌跡的切線方向場，然后從初條出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。特點(diǎn)是不需求解微分方程。對于求解困難的非線性微方，顯得尤為實(shí)用。

對于二階非線性系統(tǒng)

其相軌跡的斜率為若取斜率為常數(shù)q，則得等傾線方程給定不同的q值，可在相平面上畫出許多等傾線。等傾線——在不同的q值下，畫出表示相軌跡切線（斜率）的方向場的線段，再由初始點(diǎn)沿切線場方向畫出相軌跡的方法。

例7-2

設(shè)線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為解令，則得：由得等傾線方程：它表示在相平面上為一條通過原點(diǎn)的直線。當(dāng)

=0.5,

n=1時，等傾線方程為：對于不同的q值，可得不同斜率的等傾線方程

在不同的q值下，根據(jù)等傾線的斜率畫出等傾線方程，并標(biāo)注相應(yīng)的q值。q值-1-1.2-1.4-1.6-2-3等傾線方程x1=0x2=5x1x2=2.5x1x2=1.7x1x2=x1x2=0.5x1其斜率

52.51.710.5q值

20.50-0.5等傾線方程x2=0x2=-1/3x1x2=-2/3x1x2=-x1x2=-2x1其斜率0-1/3-2/3-1-2

在不同的q值下，根據(jù)等傾線的斜率畫出等傾線方程，并標(biāo)注相應(yīng)的q值。為了保證繪制相軌跡的準(zhǔn)確性，一般使各等傾線間有50

100的間隔。

為了保證繪制相軌跡的準(zhǔn)確性，一般使各等傾線間有50

100的間隔。

對于給定初始條件[x1(0),x2(0)]，假設(shè)起始于A點(diǎn)，則從A點(diǎn)出發(fā)，沿切線場方向，用一條直線段代替，其斜率取q=-1和q=-1.2的平均值-1.1，交于q=-1.2的等傾線于B點(diǎn)，AB線段既為近似相軌跡的一部分；再從B點(diǎn)開始，以q=-1.2和q=-1.4的平均值-1.3為斜率的線段到C點(diǎn)，BC線段又為近似相軌跡的一部分，如此下去可得ABCD…0的近似相軌跡。對于非線性系統(tǒng)可將其化分為幾個相應(yīng)的線性區(qū)，每個線性區(qū)可按以上方法作圖，最后將每個線性區(qū)的相軌跡平滑連接即可。

使用等傾線法繪制相軌跡應(yīng)注意的問題：①坐標(biāo)軸x和應(yīng)選用相同的比例尺，否則等傾線斜率不準(zhǔn)確。①在相平面的上半平面，相軌跡的走向應(yīng)是由左向右；相反，在下半平面相軌跡的走向應(yīng)是由右向左。③除平衡點(diǎn)外，相軌跡與x軸的相交處的切線斜率，即相軌跡與x軸垂直相交。④采用平均斜率法——取相鄰兩條等傾線所對應(yīng)的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。(2)

法思路是：在平面上，用分段圓弧擬合相軌跡。如何根據(jù)微分方程和初始值尋找這段圓弧的圓心和半徑呢？設(shè)是單值連續(xù)函數(shù)（線性、非線性甚至?xí)r變），將改寫為 （7-12）其中，為一常數(shù)。適當(dāng)選擇值，以使下面定義的函數(shù)值在所討論的，取值范圍內(nèi)，既不太大也不太小，令

則在相平面上某一點(diǎn)處有在 附近 變化很小時，可以看作常數(shù)。兩邊積分得整理得

用法作相軌跡的步驟可以概括為：在平面 上，根據(jù)初始狀態(tài)的坐標(biāo)按上述公式計(jì)算出。以為圓心，過初始狀態(tài)作一小段圓弧，使系統(tǒng)的初始狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到 。根據(jù)和求出后，以 為圓心，作過的一小段圓弧，系統(tǒng)的狀態(tài)又從 轉(zhuǎn)移到 。重復(fù)這樣的步驟可以畫出整個相軌跡。為了獲得比較精確的值，可以采用逐次逼近的辦法。例7-3

設(shè)非線性系統(tǒng)方程為 ，試用法繪出初始狀態(tài)出發(fā)的相軌跡（）。解由非線性系統(tǒng)方程原式可知，，選，則相平面橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。把原方程變?yōu)榱顝腁點(diǎn)開始繪圖，過A點(diǎn)弧線的圓心，其中在平面上，以點(diǎn)為圓心，過A點(diǎn)做一小段圓弧到點(diǎn)B(0.1,0.94)，稱此點(diǎn)為“預(yù)測點(diǎn)”。計(jì)算過B點(diǎn)弧線的圓心，其中為提高精度，以 和 的平均值為弧AB的圓心以 點(diǎn)為圓心，過A點(diǎn)作一圓弧，此圓弧過B(0.1,0.94)。B點(diǎn)便是第一段小圓弧終點(diǎn)。按此步驟分別做出圓弧AB、CD、DE、EF、FG、GH，…，最終繪出該非線性系統(tǒng)從A點(diǎn)出發(fā)的相軌跡，如圖7-20所示。7.2.3由相軌跡圖求系統(tǒng)的暫態(tài)晌應(yīng)

相軌跡是在xl-x2平面上系統(tǒng)在各個初始狀態(tài)下的運(yùn)動軌跡線，它雖然能反映系統(tǒng)時間響應(yīng)的主要特征，但在這種圖中，時間信息沒有清楚的顯示出來。如需要求出系統(tǒng)的時域響應(yīng)，

我們可用下述的方法確定相軌跡上各點(diǎn)對應(yīng)的時間。這些方法的求解過程，基本上是一種逐步求解、近似求解過程。1．根據(jù)相軌跡上斜率求時間信息設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖7-21(a)所示，對于小增量

x1和時間

t，其速度為x2v＝

x1/t，則時間增量

t＝

x1/x2v。

(1)

從t=0的初始值開始，在相軌跡上依次取點(diǎn)A、B、C點(diǎn)，并求出相應(yīng)的位置變化小區(qū)間

xAB，

xBC，

xCD(2)

求取以上兩點(diǎn)間的平均速度值，即

(3)

求取以上兩點(diǎn)間的時間間隔，并標(biāo)注在x-t平面上如圖7-19(b)所示。為了保證具有足夠的精確度，位移增量

x1必須選擇的足夠小。另外

x1的值可根據(jù)相軌跡各部分的不同形狀而改變，從而可在保證精度的前題下，減小計(jì)算的工作量。

2．根據(jù)面積求時間信息設(shè)系統(tǒng)的相軌跡方程為

根據(jù)相變量，得，積分后得：

上式表明，曲線1/x2和xl軸之間所包圍的面積，就是相應(yīng)的時間間隔。圖中曲線下的陰影面積，就是時間間隔。

7.2.4控制系統(tǒng)的相平面分析

相平面分析法在分析非線性二階系統(tǒng)時，是很有用的。由于很多非線性元件可用分段(或分區(qū))線性來表示，因此可以用分段線性來表示非線性系統(tǒng)。在非線性系統(tǒng)相平面分析之前，先討論線性系統(tǒng)的相平面分析。1.線性二階系統(tǒng)相平面分析線性二階系統(tǒng)如圖7-22所示。現(xiàn)以系統(tǒng)誤差信號e作相軌跡。由圖7-22可得：系統(tǒng)的微分方程為

(7-17)(1)階躍信號r(t)=R

當(dāng)，方程式(7-17)可寫成

(t>0)

令，則（7-18）,奇點(diǎn)為(0,0)

假設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)，即誤差信號的初始條件是

e1(0)＝R，e2(0)=0。e1—e2平面上相軌跡起始于(R，0)點(diǎn)，而收斂于原點(diǎn)(系統(tǒng)的奇點(diǎn))。當(dāng)系統(tǒng)的特征根為負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根時(欠阻尼狀態(tài))，系統(tǒng)相軌跡如圖7-23(a)所示；當(dāng)特征根為兩負(fù)實(shí)根，其相軌跡如圖7-23(b)所示。在這兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零；系統(tǒng)響應(yīng)的其它性質(zhì)，如振蕩性、衰減性、超調(diào)量等從相平面上可清楚地反映出來。

(2)斜坡信號r(t)=R2t或斜坡加階躍信號r(t)＝R1+R2t輸入當(dāng)，方程式(7-17)可寫成令，則：再令，則(7-20)

在

x1-x2平面上，由方程式(7-20)給出的相軌跡與在

e1-e2平面上，由方程式(7-18)給出的相軌跡是相同的。而

x1-x2平面與

e1-e2平面僅x與

e相差R2/K。式(7-20)表示的奇點(diǎn)不在

e1-e2平面的坐標(biāo)原點(diǎn)上而在(R2/K，0)。

斜坡函數(shù)作用下的初始狀態(tài)為：e1(0)＝r(0)＝R1，e2(0)=r’(0)＝R2。式中

R1可以為零。圖7-24(a)和(b)表示了

e1—e2平面上的相軌跡。

對于斜坡信號作用下，其相軌跡起始于A點(diǎn)：對于斜坡加階躍信號作用下，其相軌跡起始于

B點(diǎn)。相軌跡均收斂于奇點(diǎn)(R2/K，0)。系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差為R2/K。

(3)脈沖信號r(t)＝

(t)

單位脈沖信號作用下，因?yàn)楫?dāng)t>0時，r(t)=0，e(t)=r(t)-c(t)=-c(t)，所以系統(tǒng)的輸出方程為（t>0）初始條件為由初值定理令，則

在c1-c2平面上，相軌跡的起始點(diǎn)為((0，-K/T)。若以誤差信號為輸出，則有

(t>0)其初始條件：，

在e1-e2平面上，相軌跡的起始點(diǎn)為(0，K/T)。當(dāng)t＞0時，單位脈沖響應(yīng)的相軌跡如圖7-25和7-26所示。2.非線性系統(tǒng)相平面分析非線性系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖可表示為：由線性和非線性兩部分組成。對于具有非線性元件的二階系統(tǒng)，可以用幾個分段的相軌跡來近似。因此，可把整個相平面劃分為幾個區(qū)域，每個區(qū)域相應(yīng)于一個單獨(dú)的線性工作狀態(tài)，它們合成了非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性。(1)具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)根據(jù)飽和非線性的特點(diǎn)，非線性元件可用分段線性化表示為：

系統(tǒng)線性部分的微分方程為由上兩式得系統(tǒng)方程將，代入上式可得：

①當(dāng)為階躍信號

時

區(qū)域內(nèi)當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，其奇點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)。是穩(wěn)定焦點(diǎn)或是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。相軌跡是收斂的對數(shù)螺旋線或收斂的拋物線

根據(jù)參數(shù)

的不同取值，奇點(diǎn)可以在區(qū)域內(nèi)(即飽和域內(nèi))由分為兩種情況由以上兩式可看出在飽和區(qū)域內(nèi)不存在奇點(diǎn)。

②當(dāng)輸入為斜坡信號當(dāng)對于不同區(qū)域分別有：

相軌跡方程為

飽和區(qū)域內(nèi)不存在奇點(diǎn)時，區(qū)域內(nèi)的慚近線方程為且在飽和區(qū)域內(nèi)，漸近線方程存在三種情況。為方便起見，設(shè)非線性特性參數(shù)當(dāng)時，，在區(qū)域內(nèi)漸近線位于e軸的上方，相軌跡圖如圖7-30(a)

當(dāng)時，，在區(qū)域內(nèi)的漸近線位于e軸的下方，相軌跡如圖7-30(b)當(dāng)時，，漸近線與軸重合以上分析表明，具有飽和非線性特性的二階系統(tǒng)的相圖與輸入信號的形式及大小有關(guān)。階躍信號輸入時，相軌跡收斂于穩(wěn)定奇點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。而輸入信號為斜坡函數(shù)時，隨輸入信號的大小不同，奇點(diǎn)位置隨之變化，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)也有比較大的差別，穩(wěn)態(tài)誤差也各不相同。若R不變，為減小系統(tǒng)誤差可通過提高KM的值。(2)具有死區(qū)繼電器特性的控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)如圖7-31(a)所示，非線性元件特性如圖7-31(b)所示。線性部分的微分方程：(假設(shè)輸入為階躍信號)非線性元件的特性方程為：

相平面被分成三個區(qū)域，各區(qū)域的微分方程為從相圖可知，由于非線性中的死區(qū)，在相圖上也出現(xiàn)死區(qū)段。一旦相軌跡到達(dá)死區(qū)，系統(tǒng)就處于平衡工作狀態(tài)。線段MoM1稱作奇線。系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)由初始條件確定，且平衡工作點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示穩(wěn)態(tài)誤差大小。相圖上還表明，不論初始條件如何，系統(tǒng)的暫態(tài)過程最終都收斂于平衡工作點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)參數(shù)對動態(tài)過程的影響卻十分顯著。例如，減小時間常數(shù)，區(qū)域內(nèi)相軌跡的斜率增大，在相同初始條件下相軌跡經(jīng)過很少幾次切換就能到達(dá)平衡工作點(diǎn)，系統(tǒng)的平穩(wěn)性提高。反之，若增大T，相軌跡的斜率降低，系統(tǒng)要經(jīng)過多次切換才能到達(dá)穩(wěn)態(tài)，因而加劇了過程的振蕩返回7-3描述函數(shù)分析法

描述函數(shù)分析法（簡稱描述函數(shù)法）是達(dá)尼爾（P.J.Daniel）于1940年提出的，它是頻域分析法在非線性系統(tǒng)中的推廣。描述函數(shù)分析法利用諧波函數(shù)線性化方法近似分析非線性系統(tǒng)，又稱諧波分析法，它是等效線性化方法的一種，它的物理概念、基本思路和方法與線性系統(tǒng)中的頻域分析法是相同的。

描述函數(shù)分析法主要用來研究在沒有輸入信號作用時，一類非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩的存在條件，以及如何消除系統(tǒng)不希望的自持振蕩。這種方法不受系統(tǒng)階次的限制，但有一定的近似性。另外，描述函數(shù)分析法只能用于分析系統(tǒng)的頻域響應(yīng)特性，不能給出時間響應(yīng)的確切信息。7.3.1概述

非線性系統(tǒng)如圖7-33所示。對線性部分，當(dāng)輸入為正弦信號時，輸出為同頻率的正弦信號，僅僅是幅值和相位不同。而對于非線性部分，輸入為正弦信號時，輸出量通常是非正弦的周期信號。所以，線性系統(tǒng)中的頻域法不能直接用于分析非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性。

如果線性部分具有較好的低通濾波性能，當(dāng)非線性部分輸入正弦信號時，輸出中的高次諧波分量將被大大削弱，因此閉環(huán)通道內(nèi)近似只有基波信號流通，這樣可把非線性部分輸出的非正弦周期信號作近似處理，即將非正弦周期信號展開成傅里葉級數(shù)，只取基波分量來近似非正弦周期信號，那么非線性部分輸出與輸入之間也為同頻率的正弦信號，這樣線性系統(tǒng)的頻域法就可用來分析非線性系統(tǒng)。描述函數(shù)法中，將非線性部分輸出的非正弦周期信號用其基波分量來代替，而忽略掉信號中的高次諧波。由于高次諧波的振幅比基波分量小得多，而且控制系統(tǒng)中的線性部分大多具有低通濾波特性，所以略去高次諧波是允許的。式中，X是正弦函數(shù)的幅值。將非線性環(huán)節(jié)的輸出分解為富氏級數(shù)：

對于任意一個非線性部分或環(huán)節(jié)，如圖7-33所示，設(shè)輸入為正弦信號

式中

如果非線性特性是奇對稱的，那么直流分量A0=0，這時輸出的基波分量是：

如果函數(shù)y=f(x)是已知的，X是一個待定常數(shù)，那么些由式求出的

只與X有關(guān)，記作。描述函數(shù)的定義為：系統(tǒng)輸出的一次諧波分量與正弦輸入信號的復(fù)數(shù)之比。即

顯然，描述函數(shù)是X的函數(shù)，描述函數(shù)可以理解為非線性環(huán)節(jié)在忽略高次諧波情況下的非線性增益——這個增益與輸入正弦函數(shù)的幅值有關(guān)。如果非線性特性是單值奇對稱的，那么：

值得注意的是，線性系統(tǒng)的頻率特性是輸入正弦信號頻率的函數(shù)，與正弦信號的幅值無關(guān)，而描述函數(shù)表示的非線性部分的近似頻率特性則是輸入信號幅值的函數(shù)，這正是非線性系統(tǒng)的近似頻率特性與線性系統(tǒng)頻率特性的本質(zhì)區(qū)別。

7.3.2典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

1．飽和非線性環(huán)節(jié)具有飽和非線性特性的輸入輸出波形如圖

輸出輸出y(t)是對稱于原點(diǎn)的奇函數(shù)，故圖7-34飽和特性輸入/輸出波形圖故飽和非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為

具有死區(qū)繼電器特性的輸入輸出波形如圖所示。輸入信號輸出信號式中，輸出y(t)是奇次諧波函數(shù)，故

2．繼電器特性圖7-35具有死區(qū)繼電器特性環(huán)節(jié)故繼電器非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為當(dāng)

時，為理想繼電器特性的描述函數(shù)。時，

為具有死區(qū)的繼電器特性的描述函數(shù)

當(dāng)

時，為具有回環(huán)的繼電器特性的描述函數(shù)。當(dāng)

常見的非線性特性及其描述函數(shù)見表7-2。

非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡化成只有一個非線性部分和一個線性部分相串聯(lián)的典型形式，如圖7-36所示。其中非線性部分的特性用描述函數(shù)表示，線性部分的特性用頻率特性表示。對于非線性系統(tǒng)的分析，主要是穩(wěn)定性、自持振蕩產(chǎn)生的條件，自持振蕩幅值和頻率的確定以及如何抑制自持振蕩。7.3.3描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)

1.穩(wěn)定性分析

若非線性元件輸入端為正弦信號：

特征方程為

:則以上非線性系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為

當(dāng)為最小相位傳函時，若系統(tǒng)線性部分的幅相特性曲線包圍非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。同理，若曲線不包圍，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。而當(dāng)曲線與曲線相交時，非線性系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，產(chǎn)生等幅振蕩，振蕩頻率和振幅由交點(diǎn)處的來確定。

為了類比，假設(shè)靜態(tài)環(huán)節(jié)退化為線性環(huán)節(jié)y=kx，即N(X)=k（常數(shù)）。因?yàn)镚(s)是最小相位環(huán)節(jié)，根據(jù)線性系統(tǒng)的Nyquist判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于在復(fù)平面上G(jω)曲線是否包圍實(shí)軸上的－1／k點(diǎn)。

2.自持振蕩

當(dāng)曲線與曲線相交，滿足產(chǎn)生自持振蕩的條件是式(7-26)，系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)。如果不止一組參數(shù)滿足式(7-26)，則系統(tǒng)存在幾個等幅運(yùn)動。如圖7-37所示，與有兩個交點(diǎn)P及Q，則系統(tǒng)存在兩個等幅運(yùn)動狀態(tài)。但P和Q兩點(diǎn)所對應(yīng)的等幅運(yùn)動是否能維持不變，即當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)稍有變化后，系統(tǒng)本身是否具有恢復(fù)到原來狀態(tài)的能力?如果系統(tǒng)能夠恢復(fù)，則稱系統(tǒng)的等幅運(yùn)動是穩(wěn)定的；如果該等幅運(yùn)動才稱之為自持振蕩。而不穩(wěn)定的等幅運(yùn)動不能長時間存在，稍有擾動，就將轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌\(yùn)動狀態(tài)，或收斂，或發(fā)散，或轉(zhuǎn)移到另一個穩(wěn)定的等幅運(yùn)動，則稱系統(tǒng)的等幅運(yùn)動具有不穩(wěn)定性。

當(dāng)微小擾動使振幅X增大到C點(diǎn)時，C點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅X減??； 返回到Q。當(dāng)微小擾動使振幅X減小到B點(diǎn)，B點(diǎn)“(-1,j0)”

被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅X增大； 返回到Q。

Q點(diǎn)為穩(wěn)定自持振蕩點(diǎn)。3.典型非線性對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響(1)飽和非線性對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響飽和非線性特性的描述函數(shù)為描述函數(shù)負(fù)倒曲線為

當(dāng)X=a時，-1/N(X)=-1/k，X=

，-1/N(X)=-，故描述函數(shù)負(fù)倒曲線是一條沿負(fù)實(shí)軸并在-1/k至-范圍內(nèi)變化的曲線，如圖7-38所示。箭頭方向表示輸入幅值增大方向和-1/N(X)的變化方向。

若系統(tǒng)的線性部分分別為則其極坐標(biāo)曲線分別如圖7-38所示。為分析具有飽和特性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將-1/N(X)曲線和G(j

)曲線畫在同一坐標(biāo)系中，如圖7-38所示。由圖可知對于具有0型或I型的二階系統(tǒng)，G1(j)或G3(j)曲線不可能包圍飽和特性的-1/N(X)曲線或與之相交，因而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不受非線性元件的影響。而對于0型或I型的三階系統(tǒng)，G2(j)或G(j)4曲線可能與飽和特性的-1/N(X)曲線相交，則系統(tǒng)可能產(chǎn)生自持振蕩。(2)繼電器特性對穩(wěn)定性的影響

理想繼電器特性的描述函數(shù)描述函數(shù)負(fù)倒曲線為

對于具有0型或I型的二階系統(tǒng)，如對于圖7-39中的或曲線與理想繼電特性的曲線交于原點(diǎn)，因而非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)存在的自持振蕩，也就是收斂于原點(diǎn)。而對于0型或I型的三階系統(tǒng)，如對于圖7-39中的或曲線與理想繼電器特性的曲線相交，系統(tǒng)必然產(chǎn)生自持振蕩。(3)回環(huán)繼電器特性對系統(tǒng)穩(wěn)定性影晌

回環(huán)繼電器特性的描述函數(shù)描述函數(shù)負(fù)倒曲線為

當(dāng)X=h時，-1/N(X)=0-j

h/(4M)，X=，-1/N(X)=--j

h/(4M)，故描述函數(shù)負(fù)倒曲線是一條距實(shí)軸為-jh/(4M)的從0至-范圍內(nèi)變化的水平線。從圖7-40看出，回環(huán)繼電器與所有系統(tǒng)串聯(lián)都可能產(chǎn)生自持振蕩。對0型系統(tǒng)適當(dāng)?shù)剡x擇非線性元件和線性部分的參數(shù)，或是對系統(tǒng)線性部分進(jìn)行校正，有可能避免產(chǎn)生自持振蕩。但對I型系統(tǒng)，無論如何，必定產(chǎn)生自持振蕩。例7-6

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-44，利用描述函數(shù)法分析下述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(l)當(dāng)線性部分K=10時，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，若產(chǎn)生自持振蕩求出自持振蕩頻率和幅值。

(2)欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，可采取什么措施圖7-44系統(tǒng)結(jié)構(gòu)解非線性元件的描述函數(shù)為

負(fù)倒描述函數(shù)

當(dāng)X=a時，-1/N(X)=-

，X=，-1/N(X)=-，且曲線-1/N(X)在X=2a時，取最大值-a/(2M)，如圖8-51所示。曲線在負(fù)實(shí)軸上完全重合，只是重合點(diǎn)對應(yīng)的振幅不同。線性部分的頻率特性為當(dāng)K=10,a=1,N=1時，由圖可見，G(j)與-1/N(X)曲線有兩個交點(diǎn)B點(diǎn)和C點(diǎn)。交點(diǎn)處的頻率為

=

2。幅值為XB＝1.2，XC＝1.73。

這說明系統(tǒng)存在兩個振幅不同，而振蕩頻率相同的周期運(yùn)動，通過對周期運(yùn)動的穩(wěn)定性判別可得振幅為1.2的周期運(yùn)動是不穩(wěn)定的。振幅為1.73的周期運(yùn)動是穩(wěn)定的，振蕩頻率為

=

2。幅值為XC＝1.73。

從圖7-45可見，若改變系統(tǒng)線性部分的系數(shù)K；使G(j

)曲線在實(shí)軸上交點(diǎn)的距離小于-1/N(X)曲線的最大值，G(j)曲線不包圍-1/N(X)，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。線性部分G(j)曲線通過-1/N(X)曲線最大點(diǎn)時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，臨界放大系數(shù)K臨=3a/M

從圖7-45看出，調(diào)整非線性元件的參數(shù)a或

M也可達(dá)到消除自持振蕩目的。另外也可通過對線性部分特性進(jìn)行校正，改變G(j)曲線的形狀來消除自持振蕩。

7.3.4非線性系統(tǒng)的的簡化

當(dāng)系統(tǒng)由多個非線性環(huán)節(jié)和多個線性環(huán)節(jié)組合時，可通過等效變換，使系統(tǒng)簡化為典型的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖所示1．非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)

兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，則等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。如圖為死區(qū)非線性和死區(qū)繼電器非線性特性的并聯(lián)。2．非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)

若兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可采用作圖方法求得串聯(lián)后的等效非線性特性。如圖所示的兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，求得等效后的非線性特性。由圖可知，等效后的非線性為死區(qū)飽和特性

參數(shù)的求?。?/p>

7-4基于Simulink的非線性系統(tǒng)分析

在一般非線性系統(tǒng)分析中，常需要在平衡點(diǎn)處求系統(tǒng)的線性化模型，進(jìn)而對系統(tǒng)進(jìn)行分析。利用MATLAB/Simulink提供的函數(shù)，不僅可對非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，而且也可直接對非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。

7.4.1利用MATLAB求解非線性系統(tǒng)的線性化模型1.平衡點(diǎn)的確定

利用函數(shù)trim()可根據(jù)系統(tǒng)的Simulink模型文件來求出系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：[x,u,y,dx]=trim('model',x0,u0,y0)或[x,u,y,dx]=trim('model')

由于該函數(shù)是通過極小化的算法來求出系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，所以有時不能保證狀態(tài)向量的變化率等于零。也即除非問題本身的最小值惟一，否則不能保證所求的平衡點(diǎn)是最佳的，因此，若想尋找全局最佳平衡點(diǎn)，必須多試幾組初始值。2.連續(xù)系統(tǒng)的線性化模型

利用Simulink提供的函數(shù)linmod()linmed2()可以根據(jù)模型文件得到線性化模型的狀態(tài)參數(shù)A,B,C和D，它們的調(diào)用它們的調(diào)用格式相同，其中函數(shù)linmod()的調(diào)用格式為：

[A,B,C,D]=linmod('model',x,u)

或[A,B,C,D]=linmod('model')例7-7

利用MATLAB求圖7-49所示非線性系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，及在平衡工作點(diǎn)附近的線性模型。圖7-49單輸入-單輸出非線性系統(tǒng)解①在Simulink中建立如圖7-48所示的模型并保存為ex7_7文件，其中飽和非線性模塊(Saturation)輸出的上下限幅大小，通過修改參數(shù)對話框中輸出下限(Lowerlimit)和輸出上限(Upperlimit)兩個編輯框中的內(nèi)容即可，此例采用默認(rèn)設(shè)置±0.5。

②在MATLAB命令窗口中，運(yùn)行以下命令可求出平衡點(diǎn)。>>x0=[0;0;0];u0=1;y0=0;[x,u,y,dx]=trim('ex7_7',x0,u0,y0);x結(jié)果顯示：

x=0.00000.50000.5000結(jié)果顯示：

num/den=8.8818e-016s^2+1s+1--------------------------------s^3+2.4s^2+2.4s+2>>[A,B,C,D]=linmod('ex7_7');[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);printsys(num,den)③在MATLAB命令窗口中，運(yùn)行以下命令可得系統(tǒng)在平衡工作點(diǎn)附近的線性模型7.4.2基于MATLAB的相平面法分析非線性系統(tǒng)1．利用MATLAB繪制系統(tǒng)的相軌跡1）利用MATLAB繪制非線性系統(tǒng)的相軌跡在MATLAB中提供了求解非線性系統(tǒng)常微分方程的函數(shù)ode45()，其調(diào)用格式為

x=ode45(fun,[t0,tf],x0)

在MATLAB中，利用單位階躍響應(yīng)函數(shù)step()可以求出由狀態(tài)方程所描述的線性系統(tǒng)狀態(tài)向量的值，函數(shù)step()的調(diào)用格式為

[y,x,t]=step(A,B,C,D)2）利用MATLAB繪制線性系統(tǒng)的相軌跡例7-10已知非線性系統(tǒng)如圖7-52所示。試?yán)肧imulink繪制系統(tǒng)的相軌跡。

2.利用Simulink繪制系統(tǒng)的相軌跡

利用Simulink模塊庫中的標(biāo)準(zhǔn)模塊，可以方便地構(gòu)成各種各樣的非線性系統(tǒng)，從而方便地在Simulink環(huán)境下對非線性進(jìn)行分析圖7-53非線性系統(tǒng)的Simulink仿真框圖解：①在Simulink中建立如圖7-53所示的模型并保存為ex7_10文件。故XYGraph將顯示出的相軌跡曲線。

由于XYGraph模塊的兩輸入端口的輸入數(shù)據(jù)分別為②將飽和非線性模塊(Saturation)輸出的上下限幅大小，通過修改參數(shù)對話框中輸出下限(Lowerlimit)和輸出上限(Upperlimit)兩個編輯框中的內(nèi)容即可，此例采用默認(rèn)設(shè)置±0.5。輸入模塊Step的初始時間（Steptime）改為0；作用幅值（Finalvalue）的采用默認(rèn)值1。增益模塊Gain的增益（Gain）值改為-1。③將仿真時間設(shè)為20，打開示波器，啟動仿真便可在XYGraph中得到如圖7-54所示的階躍響應(yīng)曲線和如圖7-55所示的相軌跡。

圖7-54系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖7-55系統(tǒng)的相軌跡

由于利用MATLAB可以在復(fù)數(shù)平面中繪制出非線性系統(tǒng)的線性部分當(dāng)從0變化時的Nyquist曲線和非線性部分負(fù)倒描述函數(shù)

當(dāng)X從小

變化時的軌跡，所以可以方便地利用MATLAB采用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)。7.4.3基于MATLAB的描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)例7-11已知非線性系統(tǒng)如圖7-56所示。試?yán)肕ATLAB采用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)在K=1和2時的穩(wěn)定性。其中k=1，h=1。圖7-56非線性系統(tǒng)解①系統(tǒng)線性部分的頻率特性為系統(tǒng)非線性部分飽和特性的描述函數(shù)為其負(fù)倒描述函數(shù)為②根據(jù)以上線性部分和非線性部的表達(dá)式，可編寫如下繪制線性部分分別在K=1和2時的Nyquist曲線和非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線的MATLAB程序。%ex7_11_1.mforK=[1,2]figure;num=K;den=[1,2,1,0.5];nyquist(num,den);%繪制線性部Nyquist

曲線

holdon;h=1;k=1;forX=h:0.1:100Re=-(pi/(2*k))/(asin(h/X)+(h/X)*sqrt(1-(h/X)^2));Im=zeros(size(Re));plot(Re,Im,'*');%繪制非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線

endholdoffend

(a)K=1時的曲線

(b)K=2時的曲線

執(zhí)行以上程序ex7_11_1.m可得如圖7-57所示的曲線。按住鼠標(biāo)左鍵沿Nyquist曲線拖動其手形到與軌跡的交點(diǎn)處，此時該信息窗口將給出該交點(diǎn)的頻率、實(shí)部和虛部的值分別為，1.01、-1.32和0，如圖7-57所示。此點(diǎn)的頻率值1即為系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩時的振蕩頻率。而系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩時的振幅X，可根據(jù)此點(diǎn)的實(shí)部值-1.32利用下式求出，即

%ex7_11_2.mh=1;k=1;forX=h:0.001:100;Re=-(pi/(2*k))/(asin(h/X)+(h/X)*sqrt(1-(h/X)^2));ifRe<=-1.32break;end;end;X

根據(jù)上式，可編寫如下利用MATLAB求解上式解X的程序。執(zhí)行以上程序ex7_11_2.m可得如下結(jié)果。X=1.5570由此可知，系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩時的振蕩頻率和幅值X分別為：1.01和1.557。本章小結(jié)

非線性系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀卻與輸入信號大小、初始條件有密切的關(guān)系。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，除了和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)外，還與初始狀態(tài)及輸入信號大小有密切關(guān)系。在非線性系統(tǒng)中，除了穩(wěn)定和不穩(wěn)定運(yùn)動形式外，還有一個重要特征就是系統(tǒng)有可能發(fā)生自持振蕩。因此，非線性系統(tǒng)的性能在整個過程中是時變的，這使得在研究上與線性系統(tǒng)有著本質(zhì)差別。本章主要介紹了非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)和分析方法，要著重掌握以下內(nèi)容。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)輸入信號及初始狀態(tài)有關(guān)。因此，對非線性系統(tǒng)不能籠統(tǒng)地說穩(wěn)定與不穩(wěn)定，而必須指明穩(wěn)定的范圍。相平面法是一種圖解方法，僅適用于二階或一階系統(tǒng)。相平面分析法研究非線性系統(tǒng)的基本思想是：對于二階非線性系統(tǒng)，先用圖解方法作出其相軌跡曲線，然后通過相軌跡來研究系統(tǒng)的運(yùn)動。如：分析極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動特點(diǎn)，將極限環(huán)分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定、半穩(wěn)定極限環(huán)。描述函數(shù)分析法是等效線性化方法的一種，它是頻域法在非線性系統(tǒng)上的延伸。描述函數(shù)法只能研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和是否存在極限環(huán)，使用時不受系統(tǒng)階次的限制。描述函數(shù)法只能近似分析非線性系統(tǒng)，對分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和自持振蕩是很有用的。應(yīng)用此方法必須注意兩個條件：一是非線性特性輸出中的高次諧波分量較?。涣硪皇蔷€性部分具有低通濾波特性。對于非線性系統(tǒng)的分析，主要是穩(wěn)定性、自持振蕩產(chǎn)生的條件，自持振蕩幅值和頻率的確定以及如何抑制自持振蕩。利用非線性特性改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，往桂可以取得較線性系統(tǒng)更為理想的效果。第8章線性離散控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)

目錄8-l離散系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識8-2z變換及其反變換

8-3

離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

8-4

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

8-5

離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差8-6離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能8-7

離散控制系統(tǒng)的校正

154

近年來，隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字計(jì)算機(jī)和微處理器的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)字控制器在許多場合已經(jīng)逐步取代了模擬控制器。由于數(shù)字控制器接收、處理和傳送的是數(shù)字脈沖信號，因此稱采用數(shù)字控制器的系統(tǒng)為離散控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)相比，盡管在信號傳遞方式上有所不同，但在分析方法方面有很多相似之處。155

有關(guān)連續(xù)系統(tǒng)的理論雖然不能直接用來分析離散系統(tǒng)，但通過z變換法，可以把連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推廣應(yīng)用到離散控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中。本章主要介紹離散信號的采樣過程、采樣定理、采樣信號的復(fù)現(xiàn)、z變換、離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和瞬態(tài)響應(yīng)等離散控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)內(nèi)容。1568-l離散系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識

在連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)各處的信號都是時間的連續(xù)函數(shù)，這種在時間上連續(xù)，在幅值上也連續(xù)的信號稱為連續(xù)信號或模擬信號。近年來，隨著脈沖技術(shù)和數(shù)字計(jì)算機(jī)的蓬勃發(fā)展，離散控制系統(tǒng)的應(yīng)用越來越廣泛。與連續(xù)系統(tǒng)顯著不同的特點(diǎn)是離散系統(tǒng)中至少有一處或幾處信號在時間上為離散的脈沖或數(shù)字信號。實(shí)際中，當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)中的信號以間斷方式獲得時，該連續(xù)系統(tǒng)也就變成離散系統(tǒng)。157

圖8-l計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)方框圖

對于圖8-l所示的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能處理二進(jìn)制的斷續(xù)信號，所以計(jì)算機(jī)接收和輸出的信號均為離散信號。158

模數(shù)轉(zhuǎn)換器A/D的作用是定時地將連續(xù)的誤差信號e(t)轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)能接收的離散的數(shù)字誤差信號e(kT)。離散的誤差信號e(kT)以二進(jìn)制脈沖數(shù)碼送入計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)按一定要求進(jìn)行運(yùn)算后輸出數(shù)字控制信號u(kT)。這樣，計(jì)算機(jī)以采樣周期T輸出的數(shù)字量，可以用一個與輸入采樣開關(guān)同步的采樣開關(guān)的輸出來代替。159

由于受控對象的執(zhí)行裝置通常按連續(xù)信號進(jìn)行控制，所以由數(shù)字計(jì)算機(jī)輸出的離散信號，應(yīng)先轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號，這種轉(zhuǎn)換是由模數(shù)轉(zhuǎn)換器D/A來實(shí)現(xiàn)的。由于A/D轉(zhuǎn)換器精度足夠高，所形成的量化誤差可以不計(jì)，因而輸入通道一般把A/D轉(zhuǎn)換器用周期為T的采樣開關(guān)來代替。而D/A相當(dāng)于一個保持器。這樣，由計(jì)算機(jī)作為控制器的采樣控制系統(tǒng)可以等效為一個典型的離散控制系統(tǒng)，如圖8-2所示。160

下面將進(jìn)行討論在怎樣的條件下，離散信號可以按一定的方式恢復(fù)出原來的連續(xù)信號，以及對離散控制系統(tǒng)如何進(jìn)行分析等。

采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)均稱為離散控制系統(tǒng)。

由于離散信號僅是連續(xù)信號在離散采樣點(diǎn)上的值，所以離散信號與連續(xù)信號的關(guān)系是局部與整體的關(guān)系。1618.1.1信號的采樣

離散系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)中有一處或數(shù)處的信號是脈沖序列或數(shù)字序列。在離散系統(tǒng)中，為了把連續(xù)信號變換為脈沖信號，需要使用采樣器；另一方面，為了控制連續(xù)式元部件，又需要使用保持器將脈沖信號變換為連續(xù)信號，因此，為了定量研究離散系統(tǒng)，必須對信號的采樣過程和保持過程用數(shù)學(xué)的方法加以描述。1621.采樣過程

在采樣控制系統(tǒng)中總存在一個把連續(xù)信號f(t)轉(zhuǎn)換成離散信號（采樣信號）f*(t)的過程，這樣的過程稱為采樣過程。實(shí)現(xiàn)這個采樣過程的的裝置稱為采樣開關(guān)或采樣器。

163圖8-3采樣過程(1)采樣信號的描述

連續(xù)信號f(t)加到采樣開關(guān)輸入端，如果采樣開關(guān)每隔時間T閉合一次，閉合持續(xù)時間為

，于是采樣開關(guān)輸出端得到寬度為

的脈沖序列f*(t)。通常閉合時間

比采樣周期T及系統(tǒng)各元件的時間常數(shù)要小得多，即

<<T，這樣連續(xù)信號f(t)經(jīng)過采樣后變成一串脈沖序列f*(t)，如圖8-3所示。164

這種理想的采樣過程，可以借助于數(shù)學(xué)上的脈沖信號來描述。連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣后的脈沖序列f*(t)在kT時刻的脈沖信號f(kT)可表示為

(8-1)

式中，

(t)為單位脈沖信號。

連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣開關(guān)得到的脈沖序列f*(t)可表示為(8-2)165(8-3)

或?qū)懗?/p>

式中，

為單位理想脈沖序列。

采樣過程的物理意義可由式(8-3)看出，采樣過程可以看作是單位理想脈沖序列

T(t)對輸入信號f(t)進(jìn)行幅值調(diào)制的過程，其中

T(t)為載波信號，f(t)為調(diào)制信號，采樣器為幅值調(diào)制器，輸出為脈沖序列f*(t)，如圖8-4所示。圖8-4調(diào)制過程166由于連續(xù)信號f(t)在采樣時刻kT有故式(8-2)也可寫成

(8-4)

167(2)采樣信號的頻譜由于采樣信號的信息并不等于連續(xù)信號的全部信息，所以采樣信號的頻譜與連續(xù)信號的頻譜相比，要發(fā)生變化，研究采樣信號的頻譜，目的是找出采樣信號的頻譜與連續(xù)信號的頻譜之間的互相聯(lián)系。

因?yàn)閱挝幻}沖序列

T(t)是周期為T的周期函數(shù)，其采樣頻率168

T(t)可以展開成富里葉級數(shù)

(8-5)

此時脈沖序列f*(t)可以表示為

(8-6)

取拉普拉斯變換，可得

(8-7)

169令得f*(t)的頻域表達(dá)式

(8-8)

可以看到，采樣信號f*(t)的頻譜F*(j

)是頻率

s的周期函數(shù)，它的頻譜將沿著頻率軸，從

=0開始，左右每隔一個采樣周期

s重復(fù)依次采樣前連續(xù)信號f(t)的頻譜，但幅值減小為原來的1/T。1702.采樣定理

對一個連續(xù)信號f(t)經(jīng)過采樣后，只能得到采樣信號f*(t)在采樣點(diǎn)上的數(shù)值f(0)，f(T)，f(2T)，…，因此，從時域上來看，采樣過程將損失f(t)所含的信息。怎樣才能使采樣信號f*(t)基本上反映連續(xù)信號f(t)的變化呢?下面先從采樣過程及信號頻譜的變化，給出采樣定理。171

連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣后的脈沖信號f*(t)可由式(8-8)頻域表達(dá)式給出。連續(xù)信號f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)，通常為一孤立的連續(xù)頻譜，頻帶寬度是有限的

ωmax，如圖8-5(a)所示。而采樣信號f*(t)的頻譜F*(jω)則具有以采樣頻率

s為周期的無窮多個頻譜之和，如式(8-8)所示。圖8-5連續(xù)信號及采樣信號的頻譜172

式(8-8)中，當(dāng)

時，

稱為采樣信號的主頻譜，其余

分量，稱為高次頻譜分量或附加頻譜分量。也就是，連續(xù)信號經(jīng)采樣后的采樣信號頻譜中，除包含有主頻譜之外，還有很多高次頻譜，可以分兩種情況作出采樣頻譜特性，如圖8-5(b)和(c)。時的頻譜

173

時的采樣信號頻譜，

圖8-5(b)為滿足F*(j

)的各頻譜分量彼此不發(fā)生重疊，則有可能通過一個理想的低通濾波器，將

的高頻分量全部濾掉，而F*(j

)中僅留下主頻譜部分。這樣連續(xù)信號經(jīng)采樣后再通過一個理想低通濾波器就可復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號。174

對圖8-5(c)，時采樣信號頻譜分量彼此相互重疊，不可能實(shí)現(xiàn)既濾掉所有高頻頻譜分量，而又不損失主頻譜，因此不能復(fù)現(xiàn)原來的連續(xù)信號。

通過以上分析，可得采樣定理(Shinnon定理)：如果對一個具有有限頻譜的連續(xù)信號采樣，當(dāng)采樣頻率，那么采樣后的信號可以無失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號。175

實(shí)際中應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

(1)如果是一非周期連續(xù)函數(shù)的信號，這時頻譜中的最高頻率是無限的，如圖8-6所示，這時，無論采樣頻率多高，采樣后的頻譜波形總是互相重疊的，但通常頻率相當(dāng)高時，幅值不大，因此可做近似處理，將連續(xù)信號頻譜時截?cái)啵藭r頻率作為最高角頻率ωmax，b為給定的信號損失允許值。圖8-6非周期函數(shù)的處理176

(2)采樣定理給出了采樣頻率的最低限度，,s不能太低，否則信息損失太大，原信號不能準(zhǔn)確恢復(fù)。而

s也不能過大，實(shí)現(xiàn)起來有困難，同時干擾信號影響也增大。

177

離散控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一個主要問題是采樣周期T的選取。采樣定理給出了采樣周期的最大值。顯然，采樣周期T選得越小，也就是采樣角頻率

s選得越高，對系統(tǒng)控制過程的信息了解就越多，控制效果就會更好。但是，采樣周期T選得過短，將增加不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān)；采樣周期T選得過長，又會給控制過程帶來較大的誤差，降低系統(tǒng)的動態(tài)性能，甚至有可能導(dǎo)致整個控制系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。因此，采樣周期T的選擇要根據(jù)實(shí)際情況綜合考慮，合理選擇。在一般工業(yè)過程控制中，微型計(jì)算機(jī)所能提供的運(yùn)算速度，對于采樣周期T的選擇來說，有很大的回旋余地。178

應(yīng)當(dāng)指出，采樣信號f*(t)完全復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號f(t)的前提是選擇恰當(dāng)?shù)牟蓸又芷?。然而，?shí)際中并不存在理想濾波器，只能用特征接近理想濾波器的低通濾波器來實(shí)現(xiàn)，零階保持器是常用的低通濾波器，為此需要研究信號的保持過程。1798.1.2信號的保持1.信號恢復(fù)

連續(xù)信號采樣后的脈沖信號的頻譜中除主頻譜之外，還包含了無窮多高頻頻譜。顯然，高頻分量相當(dāng)于給系統(tǒng)加入了噪聲，嚴(yán)重時會使系統(tǒng)部件受損。當(dāng)采樣頻率滿足采樣定理時，在采樣開關(guān)后串入一個信號復(fù)現(xiàn)濾波器，通過它使離散信號復(fù)原成原連續(xù)信號。180

當(dāng)采樣頻率滿足采樣定理時，采樣信號頻譜F*(j

)的各頻譜分量彼此不發(fā)生重疊，即當(dāng)

時，有

或181

由此可見，如果讓采樣信號f*(t)通過一個僅讓主頻譜通過的理想低頻濾波器G(j

)，則可濾出原信號f(t)的頻譜F(j

)，從而在其輸出端就可得到恢復(fù)的原連續(xù)信號f(t)。理想低頻濾波器G(j

)的頻譜特性：182

但是在實(shí)際中，這種理想的低通濾波器是不存在的。工程上，通常只能采用接近理想濾波器性能的保持器來代替。保持器是將采樣信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號的元件，其任務(wù)是解決各采樣時刻之間的插值問題，即按現(xiàn)時刻或過去時刻

的采樣值，推算下一采樣時刻到來之前，這一段時間的函數(shù)值。183

通常把具有恒值、線性和拋物線外推規(guī)律的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。其中最簡單、應(yīng)用最廣的是零階保持器。1842.零階保持器

零階保持器的作用是將采樣時刻的采樣值f(kT)恒定不變地保持到下一個采樣時刻(k+1)T，從而使采樣信號f*(t)變成階梯信號fh(t)，如圖8-7所示。由于是常值外推，在每個采樣區(qū)間內(nèi)的值為常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為零，故稱零階保持器。185圖8-7零階保持器的輸入-輸出特性

圖8-8零階保持器的脈沖輸出函數(shù)186

從圖8-7可看出，零階保持器輸入為單位脈沖時，其輸出為一高度為l