知識(shí)講解-直線、平面垂直的性質(zhì)-基礎(chǔ)

PAGEPAGE6直線、平面垂直的性質(zhì)編稿：丁會(huì)敏審稿：王靜偉【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并能解決有關(guān)問題；2．掌握兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，并能解決有關(guān)問題；3．能綜合運(yùn)用直線與平面、平面與平面的垂直、平行的判定和性質(zhì)定理解決有關(guān)問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：直線與平面垂直的性質(zhì)1.基本性質(zhì)文字語言：一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線.符號(hào)語言：圖形語言：2.性質(zhì)定理文字語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符號(hào)語言：圖形語言：3．直線與平面垂直的其他性質(zhì)（1）若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．（2）若于，，則．（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．（4）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另一個(gè)平面．要點(diǎn)詮釋：線面垂直關(guān)系是線線垂直、面面垂直關(guān)系的樞紐，通過線面垂直可以實(shí)現(xiàn)線線垂直和面面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．要點(diǎn)二：平面與平面垂直的性質(zhì)1．性質(zhì)定理文字語言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號(hào)語言：圖形語言：要點(diǎn)詮釋：面面垂直的性質(zhì)定理是作線面垂直的依據(jù)和方法，在解決二面角問題中作二面角的平面角經(jīng)常用到．這種線面垂直與面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化，是我們立體幾何中求解（證）問題的重要思想方法．2．平面與平面垂直性質(zhì)定理的推論如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)．要點(diǎn)三：垂直關(guān)系的綜合轉(zhuǎn)化線線垂直、線面垂直、面面垂直是相互聯(lián)系的，能夠相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的紐帶是對(duì)應(yīng)的定義、判定定理和性質(zhì)定理，具體的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下圖所示：在解決問題時(shí)，可以從條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，早從結(jié)論探求所需的關(guān)系，從而架起條件與結(jié)論的橋梁．垂直間的關(guān)系可按下面的口訣記憶：線面垂直的關(guān)鍵，定義來證最常見，判定定理也常用，它的意義要記清．平面之內(nèi)兩直線，兩線交于一個(gè)點(diǎn)，面外還有一條線，垂直兩線是條件．面面垂直要證好，原有圖中去尋找，若是這樣還不好，輔助線面是個(gè)寶．先作交線的垂線，面面轉(zhuǎn)為線和面，再證一步線和線，面面垂直即可見．借助輔助線和面，加的時(shí)候不能亂，以某性質(zhì)為基礎(chǔ)，不能主觀憑臆斷，判斷線和面垂直，線垂面中兩交線．兩線垂直同一面，相互平行共伸展，兩面垂直同一線，一面平行另一面．要讓面和面垂直，面過另面一垂線，面面垂直成直角，線面垂直記心間．【典型例題】類型一：直線與平面垂直的性質(zhì)例1．設(shè)a，b為異面直線，AB是它們的公垂線（與兩異面直線都垂直且相交的直線）．（1）若a，b都平行于平面，求證：AB⊥；（2）若a，b分別垂直于平面，，且，求證：AB∥c．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)直線和平面垂直的判定定理證明AB⊥，可先證明線與線的平行．（2）由于此時(shí)垂直的關(guān)系較多，因此可以考慮利用線面垂直的性質(zhì)證明AB∥c．證明：（1）如圖（1），在內(nèi)任取一點(diǎn)P，設(shè)直線a與點(diǎn)P確定的平面與平面的交線為a＇，設(shè)直線b與點(diǎn)P確定的平面與平面的交線為b＇．∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥a，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥．（2）如圖，過B作BB＇⊥，則AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇確定的平面．∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b確定的平面．故c∥AB．【總結(jié)升華】由第（2）問的證明可以看出，利用線面垂直的性質(zhì)證明線與線的平行，其關(guān)鍵是構(gòu)造平面，使所證線皆與該平面垂直．如題中，通過作出輔助線BB＇，構(gòu)造出平面，即由相交直線b與BB＇確定的平面，然后借助于題目中的其他垂直關(guān)系證明．舉一反三：【變式1】設(shè)，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）A．若⊥m，m，則⊥B．若⊥，∥m，則m⊥C．若∥，m，則∥mD．若∥，m∥，則∥m【答案】B【解析】?jī)蓷l平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．高清：空間的線面垂直398999例3例2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)．（1）證明：AE⊥CD；（2）證明：PD⊥平面ABE．【思路點(diǎn)撥】（1）由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，從而證得CD⊥AE；

（2）由等腰三角形的底邊中線的性質(zhì)可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE。（1）證明：在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，∵AE?面PAC，故CD⊥AE．（2）證明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE【總結(jié)升華】直線與平面垂直的性質(zhì)定理（以及補(bǔ)充性質(zhì)）是線線、線面垂直以及線面、面面平行相互轉(zhuǎn)化的橋梁，因此必須熟練掌握這些定理，并能靈活地運(yùn)用它們．舉一反三：【變式1】如圖，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F．（1）求證：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD．【解析】證明：（1）∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC．∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC．（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG．又由（1）有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．【變式2】如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD．【解析】要證明MN∥平面PAD，須證MN平行于平面PAD內(nèi)某一條直線．注意到M、N分別為AB，PC的中點(diǎn)，可取PD的中點(diǎn)E，從而只須證明MN∥AE即可．證明如下．證明：(1)取PD的中點(diǎn)E，連接AE、EN，則，故AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要證MN⊥CD，可證MN⊥AB．由(1)知，需證AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再證AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E為PD的中點(diǎn)．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．【總結(jié)升華】本題是涉及線面垂直、線面平行、線線垂直諸多要點(diǎn)的一道綜合題．(1)的關(guān)鍵是選取PD的中點(diǎn)E，所作的輔助線使問題處理的方向明朗化．線線垂直→線面垂直→線線垂直．類型二：平面與平面垂直的性質(zhì)高清：空間的面面垂直399110例2例3．如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．【解析】已知：，，，求證：．證法1：如圖（左），在內(nèi)取一點(diǎn)P，作PA垂直于與的交線于A，PB垂直于與的交線于B，則PA⊥，PB⊥，∵，∴⊥PA，⊥PB．∵PA，PB，PA∩PB=P，∴．證法2：如圖（右），在內(nèi)作直線m垂直于與的交線，在內(nèi)作直線n垂直于與的交線，∵，，∴，，∴m∥n．又，∴m∥，∴m∥，∴．證法3：如圖，在上取一點(diǎn)A，過A作直線m，使．∵，且，∴．同理，∴，即與m重合．∴．【總結(jié)升華】證法1、證法2都是利用“兩平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個(gè)平面”這一性質(zhì)，添加了在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線這樣的輔助線，這是證法1、證法2的關(guān)鍵．證法3利用兩個(gè)平面垂直的推論，則較為簡(jiǎn)捷．由此可見，我們必須熟練掌握這一推論．舉一反三：【變式1】如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求證：BC⊥AB．【證明】在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∵AD⊥平面PBC 又BC平面PBC，∴AD⊥BC又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．類型三：綜合應(yīng)用例4．如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C（1）若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；（2）過側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，則AM=MA【解析】（1）∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC．∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥平面BB1C1C．（2）延長(zhǎng)B1A1與BM的延長(zhǎng)線交于N，連接C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1．∵A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥B1C∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C，∴截面MBC1⊥側(cè)面（3）AM=MA1，證明如下：過M作ME⊥BC1于E，∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，∴ME⊥側(cè)面又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C，∴ME∥AD，∴∵AM∥側(cè)面BB1C1C，∴AM∥DE．∵CC1∥AM，∴DE∥CC1．∵D是BC的中點(diǎn)，∴E是BC1的中點(diǎn)．∴，∴AM=MA1．【總結(jié)升華】垂直關(guān)系在立體幾何中無處不在，是重中之重，我們必須做好它們之間的相互轉(zhuǎn)化工作，即直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直．舉一反三：【變式1】如下圖，已知三棱錐P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．（1）求證：PA⊥平面ABC；（2）當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．證明：（1）如下圖（左），在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于F．因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，且交線為AC，所以DF⊥平面PAC．又PA平面PAC，所以DF⊥PA．作DG⊥AB于G，同理可證DG⊥PA．又因?yàn)镈G、DF都在平面ABC內(nèi)，且DG∩DF=D，所以PA⊥平面ABC．（2）連接BE并延長(zhǎng)交PC于H，如上圖（右）．因?yàn)镋是△PBC的垂心，所以PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂線，所以PC⊥AE．所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB．又因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．【總結(jié)升華】證明兩個(gè)