數(shù)學(xué)選修課件第章瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)

數(shù)學(xué)選修課件第章瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)匯報(bào)人：XX2024-01-13CATALOGUE目錄瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則與技巧導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用微分概念及其在近似計(jì)算中應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介及誤差分析總結(jié)回顧與拓展延伸瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)概念01瞬時(shí)變化率定義瞬時(shí)變化率描述的是函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化速率，即函數(shù)在該點(diǎn)的切線斜率。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，其在$x=a$處的瞬時(shí)變化率表示為$lim_{{Deltaxto0}}frac{f(a+Deltax)-f(a)}{Deltax}$。瞬時(shí)變化率意義瞬時(shí)變化率反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，能夠揭示函數(shù)在該點(diǎn)的增減性、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等重要特征。瞬時(shí)變化率定義及意義導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率的極限值。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，其在$x=a$處的導(dǎo)數(shù)記為$f'(a)$，定義為$lim_{{Deltaxto0}}frac{f(a+Deltax)-f(a)}{Deltax}$。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線斜率。若$f'(a)>0$，則函數(shù)在$x=a$處遞增；若$f'(a)<0$，則函數(shù)在$x=a$處遞減；若$f'(a)=0$，則函數(shù)在$x=a$處可能取得極值或拐點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義若函數(shù)在某一點(diǎn)處可導(dǎo)，則該函數(shù)在該點(diǎn)處必定連續(xù)。這是因?yàn)榭蓪?dǎo)要求函數(shù)在該點(diǎn)處的左右極限存在且相等，而連續(xù)只需要函數(shù)在該點(diǎn)處的極限值等于函數(shù)值?？蓪?dǎo)與連續(xù)的聯(lián)系雖然可導(dǎo)必然連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。例如，絕對(duì)值函數(shù)$f(x)=|x|$在$x=0$處連續(xù)但不可導(dǎo)，因?yàn)槠湓谠擖c(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)不相等?？蓪?dǎo)與連續(xù)的區(qū)別可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則與技巧02指數(shù)函數(shù)$f(x)=a^x$（$a>0$，$aneq1$），其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=a^xlna$常數(shù)函數(shù)$f(x)=c$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=0$冪函數(shù)$f(x)=x^n$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=nx^{n-1}$對(duì)數(shù)函數(shù)$f(x)=log_ax$（$a>0$，$aneq1$），其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=frac{1}{xlna}$三角函數(shù)如$sinx$，$cosx$，$tanx$等，它們的導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)相應(yīng)的公式求得?；境醯群瘮?shù)導(dǎo)數(shù)公式加法法則減法法則乘法法則除法法則導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則$(u+v)'=u'+v'$$(uv)'=u'v+uv'$$(u-v)'=u'-v'$$left(frac{u}{v}right)'=frac{u'v-uv'}{v^2}$（$vneq0$）鏈?zhǔn)椒▌t：如果$y=f(u)$和$u=g(x)$都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)$y=f(g(x))$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則二階及二階以上導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，可以通過(guò)連續(xù)應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則得到。例如，二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$可以通過(guò)對(duì)$f'(x)$再次求導(dǎo)得到。高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用03利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量之間的邊際關(guān)系，如邊際成本、邊際收益等，為經(jīng)濟(jì)決策提供量化依據(jù)。邊際分析通過(guò)導(dǎo)數(shù)計(jì)算需求彈性、供給彈性等，揭示經(jīng)濟(jì)變量之間的相對(duì)變化關(guān)系，為市場(chǎng)預(yù)測(cè)和價(jià)格策略制定提供指導(dǎo)。彈性分析邊際與彈性分析運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而找到函數(shù)的最大值和最小值，解決優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的駐點(diǎn)，結(jié)合二階偏導(dǎo)數(shù)判斷駐點(diǎn)的性質(zhì)，從而找到多元函數(shù)的極值和最值。最值問(wèn)題求解多元函數(shù)最值一元函數(shù)最值曲線形狀判斷及拐點(diǎn)求解曲線形狀判斷利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性，確定曲線的形狀，如向上凸、向下凹等。拐點(diǎn)求解通過(guò)求解二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，結(jié)合一階導(dǎo)數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的拐點(diǎn)，即曲線形狀發(fā)生變化的點(diǎn)。微分概念及其在近似計(jì)算中應(yīng)用04微分是函數(shù)改變量的線性部分，即在一個(gè)數(shù)集中，當(dāng)一個(gè)數(shù)靠近時(shí)，函數(shù)在該數(shù)處的極限被稱為函數(shù)在該數(shù)處的微分。微分定義微分反映了函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線斜率，即函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。通過(guò)微分可以研究函數(shù)的增減性、極值等問(wèn)題。幾何意義微分定義及幾何意義

微分運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的微分法則包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的微分法則。微分四則運(yùn)算法則包括微分的加法、減法、乘法和除法運(yùn)算法則，以及復(fù)合函數(shù)的微分法則和隱函數(shù)的微分法則等。高階微分高階微分是指對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)的過(guò)程，可以得到函數(shù)更高階的變化率信息。近似計(jì)算01利用微分可以進(jìn)行近似計(jì)算，例如估算函數(shù)在某一點(diǎn)附近的函數(shù)值、求解方程的近似解等。誤差分析02在測(cè)量和計(jì)算過(guò)程中，由于各種因素的影響往往會(huì)產(chǎn)生誤差。利用微分可以對(duì)誤差進(jìn)行分析和估計(jì)，從而提高測(cè)量和計(jì)算的精度。最優(yōu)化問(wèn)題03最優(yōu)化問(wèn)題是在一定條件下尋找最優(yōu)解的問(wèn)題，例如求解函數(shù)的最大值或最小值等。利用微分可以求解最優(yōu)化問(wèn)題，例如通過(guò)求導(dǎo)找到函數(shù)的極值點(diǎn)等。微分在近似計(jì)算中應(yīng)用舉例數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介及誤差分析05研究用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論的學(xué)科，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它以數(shù)字計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的理論和方法為研究對(duì)象。數(shù)值計(jì)算方法的定義為計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用提供基礎(chǔ)，推動(dòng)計(jì)算機(jī)應(yīng)用的深入發(fā)展，擴(kuò)大計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域。數(shù)值計(jì)算方法的重要性包括插值法，函數(shù)逼近，曲線擬合，數(shù)值積分，數(shù)值微分，解線性方程組的直接方法，解線性方程組的迭代法，非線性方程求根，常微分方程的數(shù)值解法。數(shù)值計(jì)算方法的研究?jī)?nèi)容數(shù)值計(jì)算方法概述模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差和舍入誤差。誤差來(lái)源絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。誤差分類絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限、有效數(shù)字等。誤差表示方法誤差來(lái)源與分類減小誤差策略避免兩個(gè)相近的數(shù)相減、防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)、注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)等。誤差傳播在數(shù)值計(jì)算中，初始數(shù)據(jù)的誤差會(huì)在計(jì)算過(guò)程中傳播和積累，導(dǎo)致最終結(jié)果的誤差。數(shù)值穩(wěn)定性算法的穩(wěn)定性是指當(dāng)輸入數(shù)據(jù)有微小變動(dòng)時(shí)，輸出結(jié)果的變化程度。穩(wěn)定的算法能夠減小誤差的傳播和積累。誤差傳播與減小誤差策略總結(jié)回顧與拓展延伸06導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，其幾何意義是函數(shù)圖像在該點(diǎn)處的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，表示函數(shù)更高階的變化率。導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、曲線的凹凸性等方面有廣泛應(yīng)用。本章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧在物理學(xué)中，導(dǎo)數(shù)被用來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如速度、加速度等，是運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域的基礎(chǔ)工具。物理學(xué)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)被用來(lái)分析成本、收益等經(jīng)濟(jì)量的變化率，以及邊際分析