預習19講復數的三角表示2024年高一數學寒假自學提升課（人教A版2019）原卷版

2024年高一數學寒假自學精品課（人教A版2019必修第二冊）預習19講復數的三角表示（精講+精練）①復數的三角形式②把復數表示成代數形式③復數三角形式的乘、除運算④復數乘、除運算的幾何意義一、復數的三角表示式及復數的輻角和輻角的主值（1）復數的三角形式一般地，任何一個復數都可以表示成的形式.其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角.叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式.（2）復數的俯角任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍.復數0的輻角也是任意的，不討論它的輻角主值.我們規(guī)定在范圍內的輻角的值為輻角的主值.通常記作，即.二、復數代數形式和三角形式的互化復數的代數形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數形式.我們可以根據運算的需要，將復數的三角形式和代數形式進行互化.復數的代數形式化三角形式的步驟:①先求復數的模；②決定輻角所在的象限；③根據象限求出輻角(常取它的主值)；④寫出復數的三角形式．三、三角形式下復數的相等兩個用三角形式表示的復數相等的充要條件：兩個非零復數相等當且僅當它們模與輻角的主值分別相等．知識點1：復數三角形式的乘法設，的三角形式分別是：，，則簡記為：模數相乘，幅角相加四、復數乘法的幾何意義兩個復數相乘時，可以像下圖那樣，先分別畫出與對應的向量，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點O按順時針方向旋轉角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的復數就是積.這就是復數乘法的幾何意義.五、復數三角形式的除法及其幾何意義（1）復數三角形式的除法設，，且，因為，所以根據復數除法的定義，有.這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.簡記為：模數相除，幅角相減（2）復數除法的幾何意義幾何意義：把復數對應的向量繞原點順時針旋轉的一個輻角，長度除以的模，所得向量對應的復數就是zz0．六、復數的乘方及其幾何意義利用復數的乘法不難得到.這說明,復數的次方等于它模的次方,幅角的倍.的幾何意義是將向量的模變?yōu)樵瓉淼拇畏?然后再將它繞原點逆時針旋轉角,就得到對應的向量.題型一：題型一：復數的三角形式策略方法將復數的代數形式z=a+bi(a,b∈R)化為三角形式z=r(cosθ+isinθ)(r>0),可按如下步驟進行(1)畫圖,并標出r和θ.(2)求θ和r,其中r=a2+b2,cosθ=(3)寫出復數z的三角形式.【題型精練】一、單選題1．復數的三角形式是（

）A． B．C． D．2．（i是虛數單位），則z的輻角主值（

）A． B． C． D．3．若，則復數（

）A． B． C． D．4．設，，則（

）A． B． C． D．5．復數與下列復數相等的是（

）A． B．C． D．6．若，則（

）A．1 B． C．i D．二、填空題7．把復數（i為虛數單位）改寫成三角形式為．8．已知為虛數單位，，則的輻角主值為.9．設復數，則得一個輻角是.三、解答題10．把下列復數的代數形式化成三角形式：(1)；(2)i．11．判斷下列復數是不是復數的三角形式，并說明理由.(1)；(2)．12．求下列復數的模和輻角主值.(1)；(2).題型二：題型二：把復數表示成代數形式策略方法(1)類似三角形式的復數求模和輻角時,注意三角形式的結構特征:模非負,角相同,余弦前,加號連.(2)由三角形式表示成代數形式,直接求出角的三角函數值,化簡即可.【題型精練】一、解答題1．復數的代數形式與三角形式互化：（1）；（2）.2．把下列復數表示成代數形式：(1)；(2)．3．分別指出下列復數的模和輻角的主值，并將復數表示成代數形式．（1）4；（2）24．已知，求復數（用代數形式表示）.題型三：題型三：復數三角形式的乘、除運算策略方法復數三角形式的運算法則(1)乘法法則:模相乘,輻角相加.(2)除法法則:模相除,輻角相減.(3)復數的n次冪:模的n次冪,輻角的n倍.【題型精練】一、解答題1．計算：(1)；(2).2．計算：(1)；(2)．3．計算：(1)(2)(3)(4)題型四：題型四：復數乘、除運算的幾何意義策略方法復數三角形式的乘、除法運算的幾何意義:設復數z對應的向量為OZ→(1)把向量OZ→繞點O按逆時針方向旋轉角θ(θ>0),得到向量OZ→1(2)把向量OZ→繞點O按順時針方向旋轉角θ(θ>0),得到向量OZ→2,OZ【題型精練】一、解答題1．