預(yù)習(xí)19講復(fù)數(shù)的三角表示2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)提升課（人教A版2019）原卷版

2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)精品課（人教A版2019必修第二冊）預(yù)習(xí)19講復(fù)數(shù)的三角表示（精講+精練）①復(fù)數(shù)的三角形式②把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式③復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算④復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義一、復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值（1）復(fù)數(shù)的三角形式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角.叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.（2）復(fù)數(shù)的俯角任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差的整數(shù)倍.復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的，不討論它的輻角主值.我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作，即.二、復(fù)數(shù)代數(shù)形式和三角形式的互化復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.我們可以根據(jù)運(yùn)算的需要，將復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式進(jìn)行互化.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟:①先求復(fù)數(shù)的模；②決定輻角所在的象限；③根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值)；④寫出復(fù)數(shù)的三角形式．三、三角形式下復(fù)數(shù)的相等兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們模與輻角的主值分別相等．知識點(diǎn)1：復(fù)數(shù)三角形式的乘法設(shè)，的三角形式分別是：，，則簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加四、復(fù)數(shù)乘法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘時(shí)，可以像下圖那樣，先分別畫出與對應(yīng)的向量，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄?，表示的?fù)數(shù)就是積.這就是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.五、復(fù)數(shù)三角形式的除法及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)三角形式的除法設(shè)，，且，因?yàn)?，所以根?jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有.這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.簡記為：模數(shù)相除，幅角相減（2）復(fù)數(shù)除法的幾何意義幾何意義：把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一個(gè)輻角，長度除以的模，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是zz0．六、復(fù)數(shù)的乘方及其幾何意義利用復(fù)數(shù)的乘法不難得到.這說明,復(fù)數(shù)的次方等于它模的次方,幅角的倍.的幾何意義是將向量的模變?yōu)樵瓉淼拇畏?然后再將它繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角,就得到對應(yīng)的向量.題型一：題型一：復(fù)數(shù)的三角形式策略方法將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R)化為三角形式z=r(cosθ+isinθ)(r>0),可按如下步驟進(jìn)行(1)畫圖,并標(biāo)出r和θ.(2)求θ和r,其中r=a2+b2,cosθ=(3)寫出復(fù)數(shù)z的三角形式.【題型精練】一、單選題1．復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．2．（i是虛數(shù)單位），則z的輻角主值（

）A． B． C． D．3．若，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．4．設(shè)，，則（

）A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)與下列復(fù)數(shù)相等的是（

）A． B．C． D．6．若，則（

）A．1 B． C．i D．二、填空題7．把復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）改寫成三角形式為．8．已知為虛數(shù)單位，，則的輻角主值為.9．設(shè)復(fù)數(shù)，則得一個(gè)輻角是.三、解答題10．把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：(1)；(2)i．11．判斷下列復(fù)數(shù)是不是復(fù)數(shù)的三角形式，并說明理由.(1)；(2)．12．求下列復(fù)數(shù)的模和輻角主值.(1)；(2).題型二：題型二：把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式策略方法(1)類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時(shí),注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號連.(2)由三角形式表示成代數(shù)形式,直接求出角的三角函數(shù)值,化簡即可.【題型精練】一、解答題1．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化：（1）；（2）.2．把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：(1)；(2)．3．分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并將復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式．（1）4；（2）24．已知，求復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.題型三：題型三：復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算策略方法復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算法則(1)乘法法則:模相乘,輻角相加.(2)除法法則:模相除,輻角相減.(3)復(fù)數(shù)的n次冪:模的n次冪,輻角的n倍.【題型精練】一、解答題1．計(jì)算：(1)；(2).2．計(jì)算：(1)；(2)．3．計(jì)算：(1)(2)(3)(4)題型四：題型四：復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義策略方法復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法運(yùn)算的幾何意義:設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為OZ→(1)把向量OZ→繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ(θ>0),得到向量OZ→1(2)把向量OZ→繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ(θ>0),得到向量OZ→2,OZ【題型精練】一、解答題1．