高二數(shù)學(xué)講義四點共圓(二)

數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)競賽班二試平面幾何講義第六講四點共圓（二）班級姓名一、知識要點：1.以“四點共圓”作為解題手段這種情況不僅題目多，而且結(jié)論變幻莫測，可大體上歸納為如下幾個方面.2.平面幾何的核心是利用“四點共圓”和“三角形相似”來做。二、例題精析：例1.正方形ABCD的中心為O，面積為1989㎝2.P為正方形內(nèi)一點，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.則PB=__________(1989，全國初中聯(lián)賽)例2.設(shè)有邊長為1的正方形，試在這個正方形的內(nèi)接正三角形中找出面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積(須證明你的論斷).(1978，全國高中聯(lián)賽)例3.四邊形ABCD內(nèi)接于圓，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的內(nèi)心依次記為IA，IB，IC，ID.試證：IAIBICID是矩形.(第一屆數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)選拔試題)三、精選習(xí)題：1．在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點，過A點作PC的垂線交過B所作AB的垂線于Q點.求證：PD丄QD.2．AD，BE，CF是銳角△ABC的三條高.從A引EF的垂線l1，從B引FD的垂線l2，從C引DE的垂線l3.求證：l1，l2，l3三線共點.3．NS是⊙O的直徑，弦AB丄NS于M，P為ANB上異于N的任一點，PS交AB于R，PM的延長線交⊙O于Q.求證：RS＞MQ.(1991，江蘇省初中競賽)四、拓展提高：4．過等腰△ABC底邊BC上一點P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作點P關(guān)于MN的對稱點P′.試證：P′點在△ABC外接圓上.4．已知為△ABC垂心，為邊BC中點，過作直線交于、交于延長交△ABC的外接圓于，求證：四點共圓。高二數(shù)學(xué)競賽班二試平面幾何講義第六講四點共圓（二）例1.分析：答案是PB=42㎝.怎樣得到的呢？連接OA，OB.易知O，P，A，B四點共圓，有∠APB=∠AOB=90°.故PA2+PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.例2.分析：設(shè)△EFG為正方形ABCD的一個內(nèi)接正三角形，由于正三角形的三個頂點至少必落在正方形的三條邊上，所以不妨令F，G兩點在正方形的一組對邊上.作正△EFG的高EK，易知E，K，G，D四點共圓∠KDE=∠KGE=60°.同理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個正三角形，K必為一個定點.又正三角形面積取決于它的邊長，當(dāng)KF丄AB時，邊長為1，這時邊長最小，而面積S=也最小.當(dāng)KF通過B點時，邊長為2·，這時邊長最大，面積S=2-3也最大.例3.分析：連接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得∠AICB=90°+∠ADB=90°+∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四點共圓.同理，A，D，IB，IC四點共圓.此時∠AICID=180°-∠ABID=180°-∠ABC，∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，∴∠AICID+∠AICIB=360°-(∠ABC+∠ADC)=360°-×180°=270°.故∠IBICID=90°.同樣可證IAIBICID其它三個內(nèi)角皆為90°.該四邊形必為矩形.1.(提示：證B，Q，E，P和B，D，E，P分別共圓)2.(提示：過B作AB的垂線交l1于K，證：A，B，K，C四點共圓)3．分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長線交⊙O于Q′.連接MQ′，SQ′.易證N，M，R，P四點共圓，從而，∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.根據(jù)圓的軸對稱性質(zhì)可知Q與Q′關(guān)于NS成軸對稱MQ′=MQ.又易證M，S，Q′，R四點共圓，且RS是這個圓的直徑(∠RMS=90°)，MQ′是一條弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.4．分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故點M是△P′BP的外心，點N是△P′PC的外心.有∠BP′P=∠BMP=∠BAC，∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.從而，P′點與A，B，C共圓、即P′在△ABC外接圓上.由于P′P平分∠BP′C，顯然還有P′B:P′C=BP:PC.學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法和技巧包括：掌握基礎(chǔ)知識。確保熟練掌握基本概念、公式和定理，特別是代數(shù)、幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和積分等重要知識點。重視預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)。在上課前預(yù)習(xí)教材，梳理知識點，對不理解的內(nèi)容做好標(biāo)記；課后及時復(fù)習(xí)，通過復(fù)習(xí)和整理筆記來加深理解。提高聽課效率。在課堂上緊跟老師思路，積極參與討論，做好筆記，記錄重要的思路和方法。多做練習(xí)題。通過練習(xí)來鞏固和運用所學(xué)知識，可以選擇有代表性的題目進行練習(xí)，并嘗試一題多解，培養(yǎng)解決問題的能力。整理和總結(jié)錯題。準(zhǔn)備一個錯題本，記錄自己在練習(xí)中遇到的難題和錯誤，定期回顧并分析錯誤的原因，從而避免在未來的考試和練習(xí)中重復(fù)犯錯。學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)工具。學(xué)會使用計算器和其他數(shù)學(xué)工具，提高計算