高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試平面幾何講義第八講三角形的五心

數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試平面幾何講義第八講三角形的五心（二）班級(jí)姓名一、知識(shí)要點(diǎn)：1.垂心三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個(gè)等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.2．九點(diǎn)圓定理：三角形的三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)，以及垂心與頂點(diǎn)的三條連接線段的中點(diǎn)，共九點(diǎn)共圓。此圓稱為三角形的九點(diǎn)圓，或稱歐拉圓。的九點(diǎn)圓的圓心是其外心與垂心所連線段的中點(diǎn)，九點(diǎn)圓的半徑是的外接圓半徑的。證明：的九點(diǎn)圓與的外接圓，以三角形的垂心為外位似中心，又以三角形的重心為內(nèi)位似中心。位似比均為。3．歐拉線：的垂心，重心，外心三點(diǎn)共線。此線稱為歐拉線，且有關(guān)系：二、例題精析：例1.設(shè)A1A2A3A4為⊙O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置.(1992，全國(guó)高中聯(lián)賽)例2.如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N．求證：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．（2）OH⊥MN．例3.銳角△ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂.求證：1·d垂+2·d外=3·d重.例4.H為△ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個(gè)以H為圓心的⊙H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)三、精選習(xí)題：1.△ABC中∠C＜90°，從AB上M點(diǎn)作CA，CB的垂線MP，MQ.H是△CPQ的垂心.當(dāng)M是AB上動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求H的軌跡.(IMO-7)2.銳角△ABC的垂心關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)分別是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)3.△ABC中∠C=30°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上的E點(diǎn)使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE.(1988，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)4.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA。試證：(1)AD，BE，CF三條對(duì)角線交于一點(diǎn)；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAD+BE+CF.(1991，國(guó)家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題)四、拓展提高：5.如圖，在銳角△ABC中，AB<AC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過(guò)P作PE⊥AC，垂足為E，做PF⊥AB，垂足為F。O1、O2分別是△BDF、△CDE的外心。求證：O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是△ABC的垂心。高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試平面幾何講義第八講三角形的五心（二）例1.分析：連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易證A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點(diǎn)為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱.同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4在同一個(gè)圓上.后者的圓心設(shè)為Q，Q與O也關(guān)于M成中心對(duì)稱.由O，M兩點(diǎn)，Q點(diǎn)就不難確定了.例2.【證明】（1）∵A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠BDF=∠BAC．又∵∠OBC=(180°-∠BOC)=90°-∠BAC，∴OB⊥DF．同理OC⊥DE．………10分（2）∵CF⊥MA，∴MC2-MH2=AC2-AH2．……①∵BE⊥NA，∴NB2-NH2=AB2-AH2．……②∵DA⊥BC，∴BD2-CD2=BA2-AC2．……③∵OB⊥DF，∴BN2-BD2=ON2-OD2．……④∵OC⊥DE，∴CM2-CD2=OM2-OD2．……⑤………………30分①-②+③+④-⑤，得NH2-MH2=ON2-OM2．MO2-MH2=NO2-NH2．所以O(shè)H⊥MN．…………50分另證：以BC所在直線為x軸，D為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，則∴直線AC的方程為，直線BE的方程為由得E點(diǎn)坐標(biāo)為E()同理可得F()直線AC的垂直平分線方程為直線BC的垂直平分線方程為由得O()∵∴OB⊥DF同理可證OC⊥DE．在直線BE的方程中令x＝0得H(0，)∴直線DF的方程為由得N()同理可得M()∴∵kOH·kMN＝－1，∴OH⊥MN．例2.的外接圓為△ABC九點(diǎn)圓，圓心為的中點(diǎn)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，所以對(duì)圓的冪等于對(duì)圓的冪，故點(diǎn)在圓和圓的根軸上，同理，點(diǎn)在圓和圓的根軸上，所以是圓和圓的根軸。所以O(shè)H⊥MN例3.分析：這里用三角法.設(shè)△ABC外接圓半徑為1，三個(gè)內(nèi)角記為A，B，C.易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).①∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，同樣可得BH2·CH3.∴3d重=△ABC三條高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB)②∴=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.同樣可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)③欲證結(jié)論，觀察①、②、③，須證(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.例4.分析：只須證明AA1=BB1=CC1即可.設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，△ABC外接圓半徑為R，⊙H的半徑為r.連HA1，AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)，①又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2，②而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.例4.，同理，易證明，得證1.設(shè)于，于，則H的軌跡為線段3.分析：輔助線如圖所示，作∠DAO平分線交BC于K.易證△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用內(nèi)心張角公式，有∠AIB=90°+∠C=105°，∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠BAC-60°)=∠BAC=∠BAI=∠BEI.∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一條高.同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.4.分析：連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是△ACE的三條內(nèi)角平分線，I為△ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由△BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用不等式有：BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一點(diǎn)兩心.5.如圖，在銳角△ABC中，AB<AC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點(diǎn)。過(guò)P作PE⊥AC，垂足為E，作PF⊥AB，垂足為F。O1、O2分別是△BDF、△CDE的外心。求證：O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓的充要條件為P是△ABC的垂心。證明：連結(jié)BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因?yàn)镻D⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四點(diǎn)共圓，且BP為該圓的直徑。又因?yàn)镺1是△BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中點(diǎn)。同理可證C、D、P、E四點(diǎn)共圓，且O2是的CP中點(diǎn)。綜合以上知O1O2∥BC，所以∠PO2O1=∠PCB。因?yàn)锳F·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四點(diǎn)共圓。充分性：設(shè)P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O1、P、E四點(diǎn)共線，C、O2、P、F四點(diǎn)共線，∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1，故O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓。必要性：設(shè)O1、O2、E、F四點(diǎn)共圓，故∠O1O2E+∠EFO1=180°。由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB?∠ACP，又因?yàn)镺2是直角△CEP的斜邊中點(diǎn)，也就是△CEP的外心，所以∠PO2E=2∠ACP。因?yàn)镺1是直角△BFP的斜邊中點(diǎn)，也就是△BFP的外心，從而∠PFO1=90°?∠BFO1=90°?∠ABP。因?yàn)锽、C、E、F四點(diǎn)共圓，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°?∠ACB。于是，由∠O1O2E+∠EFO1=180°得(∠ACB?∠ACP)+2∠ACP+(90°?∠ABP)+(90°?∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP。又因?yàn)锳B<AC，AD⊥BC，故BD<CD。設(shè)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，則B'在線段DC上且B'D=BD。連結(jié)AB'、PB'。由對(duì)稱性，有∠AB'P=∠ABP，從而∠AB'P=∠ACP，所以A、P、B'、C四點(diǎn)共圓。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°?∠ACB。因?yàn)椤螾BC=∠PB'B，故∠PBC+∠ACB=(90°?∠ACB)+∠ACB=90°，故直線BP和AC垂直。由題設(shè)P在邊BC的高上，所以P是△ABC的垂心。學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法和技巧包括：掌握基礎(chǔ)知識(shí)。確保熟練掌握基本概念、公式和定理，特別是代數(shù)、幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和積分等重要知識(shí)點(diǎn)。重視預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)。在上課前預(yù)習(xí)教材，梳理知識(shí)點(diǎn)，對(duì)不理解的內(nèi)容做好標(biāo)記；課后及時(shí)復(fù)習(xí)，通過(guò)復(fù)習(xí)和整理筆記來(lái)加深理解。提高聽(tīng)課效率。在課堂上緊跟老師思路，積極參與討論，做好筆記，記錄重要的思路和