（江蘇專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)05 函數(shù)的單調(diào)性與最值必刷題（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

考點(diǎn)05函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．2．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是R的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，，故選C．3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?為偶函數(shù),且對(duì),滿(mǎn)足.若,則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閷?duì),滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，又因?yàn)?，所以有，?dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，綜上所述：不等式的解集為，故本題選A.4．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù),所以或，所以函數(shù)的定義域?yàn)榛?，?dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減，而，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故本題選A。5．已知函數(shù)，則的小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，，即，故選：．6．記設(shè)，則（）A．存在B．存在C．存在D．存在【答案】C【解析】解：x2﹣x3＝x2（1﹣x），∴當(dāng)x≤1時(shí)，x2﹣x3≥0，當(dāng)x＞1時(shí)，x2﹣x3＜0，∴f（x）．若t＞1，則|f（t）+f（﹣t）|＝|t2+（﹣t）3|＝|t2﹣t3|＝t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t2+t3|＝t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t2﹣（﹣t）3＝t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|＝|t3+（﹣t）3|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t3+t3|＝2t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t3﹣（﹣t）3＝2t3，當(dāng)t＝1時(shí)，|f（t）+f（﹣t）|＝|1+（﹣1）|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|1﹣（﹣1）|＝2，f（t）﹣f（﹣t）＝1﹣（﹣1）＝2，∴當(dāng)t＞0時(shí)，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|＝f（t）﹣f（﹣t），故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；當(dāng)t＞0時(shí)，令g（t）＝f（1+t）+f（1﹣t）＝（1+t）2+（1﹣t）3＝﹣t3+4t2﹣t+2，則g′（t）＝﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）＝0得﹣3t2+8t﹣1＝0，∴△＝64﹣12＝52，∴g（t）有兩個(gè)極值點(diǎn)t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上為減函數(shù)，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正確；令h（t）＝（1+t）﹣f（1﹣t）＝（1+t）2﹣（1﹣t）3＝t3﹣2t2+5t，則h′（t）＝3t2﹣4t+5＝3（t）20，∴h（t）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴h（t）＞h（0）＝0，∴|h（t）|＝h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＝f（1+t）﹣f（1﹣t），故D錯(cuò)誤．故選：C．7．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，,,函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，,可得到函數(shù)是單調(diào)遞增的，故在整個(gè)實(shí)屬范圍內(nèi)也是單調(diào)遞增的，故只需要.故答案為：A.8．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，若函數(shù)滿(mǎn)足：，都有，就稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是點(diǎn)的“限定函數(shù)”．以下函數(shù)：①，②，③，④，其中是原點(diǎn)的“限定函數(shù)”的序號(hào)是______．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若函數(shù)是點(diǎn)的“限定函數(shù)”，則的取值范圍是______．【答案】①③【解析】要判斷是否是原點(diǎn)O的“限定函數(shù)”只要判斷：，都有，對(duì)于①，由可得，則①是原點(diǎn)O的“限定函數(shù)”；對(duì)于②，由可得，則②不是原點(diǎn)O的“限定函數(shù)”對(duì)于③，由可得，則③是原點(diǎn)O的“限定函數(shù)”對(duì)于④，由可得，則④不是原點(diǎn)O的“限定函數(shù)”點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，若函數(shù)是點(diǎn)A的“限定函數(shù)”，可得，由，即，即，可得，可得，且，即的范圍是，故答案為：①③；.9．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為_(kāi)___．【答案】【解析】函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，可轉(zhuǎn)化為，又在上單調(diào)遞增，，兩邊平方解得：，故的解集為.10．函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】解：f（x）＝x3+2019x﹣2019﹣x+1，可得f（x）＝﹣x3+2019﹣x﹣2019x+1，則f（x）+f（x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即為f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（x）+f（x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2對(duì)?θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ，則f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x）在R上遞增，f（x）的圖象向右平移個(gè)單位可得f（x）的圖象，則f（x）在R上遞增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，設(shè)g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，則msin（θ），則m，則g（m）＝m2+m﹣2，其對(duì)稱(chēng)軸m，故當(dāng)m時(shí)，g（m）取的最大值，最大值為22．則t，故答案為：（，+∞）.11．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在上為單調(diào)增函數(shù)．若，則滿(mǎn)足的x的取值范圍是______．【答案】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在上為單調(diào)增函數(shù)，

則在在上也是增函數(shù)，

故函數(shù)在R上也是增函數(shù)；

又由，則，則解可得，即不等式的解集為故答案為：.12．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】令，則，∵，∴，函數(shù)在遞減，∴，∴，，∴，即，故，解得：，∴.故答案為：13．若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.則的最小值為_(kāi)___________【答案】【解析】∵，∴，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)∴且，即，因此（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），從而的最小值為14．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】，，存在，使得，即,,，令，,，∴，故，∴答案為.15．已知函數(shù)，．若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___．【答案】【解析】不等式可化為：若對(duì)任意，總存在，使得成立，則：當(dāng)時(shí)，的最大值為：當(dāng)時(shí)，的最大值為：最小值為：所以可化為：，解得：.故：16．己知實(shí)數(shù)x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差為2的等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)______．【答案】4－2【解析】由于數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，故，且，故，，而函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)取得最大值為，所以.17．設(shè)函數(shù)（）．若存在，使，則的取值范圍是____．【答案】【解析】存在,使，，當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，(1)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增,,解得；(2)若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，綜上，的取值范圍是，故答案為.18．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底）.若函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），當(dāng)時(shí)，，因此19．已知函數(shù)，，則最大值是______．【答案】【解析】分析：分x=0和x≠0兩種情況討論．當(dāng)x≠0時(shí)，利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值的問(wèn)題處理，進(jìn)而可得所求的最大值．詳解：①當(dāng)x=0時(shí)，；②當(dāng)x≠0時(shí)，由，令，由得，則，由于在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)x＝，所以f(x)≤．故f(x)的最大值為．20．選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(I)最大值為1.(Ⅱ)【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)可化為，由，即時(shí)“=”成立，所以原函數(shù)取得最大值為1.（Ⅱ）函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，，，∴，即，所以，∴.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．已知函數(shù)（且）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，討論函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域是..當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為；②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為；③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為.最大值為與中的較大者.下面比較與的大?。阂?yàn)椋?，得，化?jiǎn)得，解得.因?yàn)椋?，所?所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的最大值為；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的最大值為；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上的最大值為.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為；最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.22．選修4-5：不等式選講設(shè)的最小值為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，，，求證：.【答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，取得最小值，即.（2）證明：依題意，，則.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.所以.23．已知函數(shù)的圖像在上連續(xù)不斷，定義：（），（），其中表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值，若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱(chēng)函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”.（1）若，，試寫(xiě)出，的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)，，判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知，函數(shù)，是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.數(shù)學(xué)附加題【答案】(1)，，，.(2).即存在，使得是上的“4階收縮函數(shù)”.(3)【解析】試題分析：（1）根據(jù)的最大值可求出，的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)，上的值域，先求出，的解析式，再根據(jù)求出k的取值范圍得到答案.(3)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而寫(xiě)出，的解析式，然后再由求出k的取值范圍.試題解析：（1）由題意可得：，，，.（2），，當(dāng)時(shí)，，∴，；當(dāng)時(shí)，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，綜上所述，.即存在，使得是上的“4階收縮函數(shù)”.（3），令得或.函數(shù)的變化情況如下：令得或.（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，，.因?yàn)槭巧系摹岸A收縮函數(shù)”，所以，①，對(duì)恒成立；②存在，使得成立.①即：對(duì)恒成立，由解得或.要使對(duì)恒成立，需且只需.②即：存在，使得成立.由解得或.所以，只需.綜合①②可得（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，，顯然當(dāng)時(shí)，不成立，（3）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，，顯然當(dāng)時(shí)，不成立.綜合（1）（2）（3）可得：.24．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)。(1)當(dāng)a＝時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！敬鸢浮竣?；②【解析】(1)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝.(2)在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝恒成立，則?等價(jià)于a大于函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．只需求函數(shù)φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上遞減，∴當(dāng)x＝1時(shí)，φ(x)最大值為φ(1)＝－3.∴a＞－3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞).25．已知函數(shù)，，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若對(duì)任意，均有，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）;(2);(3).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，的值域?yàn)椋?）若，若時(shí)，可化為即，所以因?yàn)樵跒檫f增函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即取“”）所以的取值范圍是.（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，，則，當(dāng)時(shí)，即，；當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以?若，，此時(shí)，若，即，此時(shí)，所以實(shí)數(shù).26．已知函數(shù)，．（1）求的最小值；（2）若．求證：．【答案】（1）；（2）證明過(guò)程如解析【解析】解：（1），令．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，．（2）由，，得，，．由（1），當(dāng)，，所以，，，．（*）因?yàn)?，由?），，所以，．由（*）（*），，所以，．點(diǎn)睛：解答本題的第一問(wèn)時(shí)，先對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)（極值點(diǎn)），再求出其最小值；第二問(wèn)的證明過(guò)程是：先借助（1）的結(jié)論證得當(dāng)，，然后分析推證，，再運(yùn)用，即，也即．同理可證．進(jìn)而證得，故所證不等式成立。27．已知函數(shù).（1）設(shè).①若，曲線在處的切線過(guò)點(diǎn)，求的值；②若，求在區(qū)間上的最大值.（2）設(shè)在，兩處取得極值，求證：，不同時(shí)成立.【答案】（1）①或.②的最大值為0.（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，在①中，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將點(diǎn)代入即求出的值，在②中，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)研究其單調(diào)性，并求出其