（江蘇專用）高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列、推理與證明 第四節(jié) 數(shù)列求和課時跟蹤檢測 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

課時跟蹤檢測（三十二）數(shù)列求和一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S5＝25，則S7＝________.解析：設(shè)Sn＝An2＋Bn，由題知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S3＝9A＋3B＝9，,S5＝25A＋5B＝25，))解得A＝1，B＝0，∴S7＝49.答案：492．?dāng)?shù)列{1＋2n－1}的前n項和為________．解析：由題意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋eq\f(1－2n,1－2)＝n＋2n－1.答案：n＋2n－13．(2016·江西新余三校聯(lián)考)數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項之和為________．解析：根據(jù)題意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.答案：1004．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．解析：an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＋a1＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n－1n)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＋1＝2－eq\f(1,n).答案：an＝2－eq\f(1,n)5．(2015·蘇北四市調(diào)研)已知正項數(shù)列{an}滿足aeq\o\al(2,n＋1)－6aeq\o\al(2,n)＝an＋1an.若a1＝2，則數(shù)列{an}的前n項和為________．解析：∵aeq\o\al(2,n＋1)－6aeq\o\al(2,n)＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝2，∴{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，∴Sn＝eq\f(21－3n,1－3)＝3n－1.答案：3n－1二保高考，全練題型做到高考達標(biāo)1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，并滿足：an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，則S7＝________.解析：由an＋2＝2an＋1－an知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，由a5＝4－a3得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝14.答案：142．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項和為________．解析：設(shè){an}的公比為q，顯然q≠1，由題意得eq\f(91－q3,1－q)＝eq\f(1－q6,1－q)，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，前5項和為eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5,1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).答案：eq\f(31,16)3．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n，則其前20項和為________．解析：令數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋\f(1,52)＋…＋\f(1,520)))＝2×eq\f(20×20＋1,2)－3×eq\f(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,520))),1－\f(1,5))＝420－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,520))).答案：420－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,520)))4．已知數(shù)列{an}中，an＝－4n＋5，等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.解析：由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列．∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(31－4n,1－4)＝4n－1.答案：4n－15.eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)的值為________．解析：∵eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))).答案：eq\f(3,4)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)))6．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,2)＋eq\r(an－a\o\al(2,n))，且a1＝eq\f(1,2)，則該數(shù)列{an}的前2017項的和為________．解析：因為a1＝eq\f(1,2)，又an＋1＝eq\f(1,2)＋eq\r(an－a\o\al(2,n))，所以a2＝1，a3＝eq\f(1,2)，a4＝1，…，即得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝2k－1k∈N*，,1，n＝2kk∈N*.))故數(shù)列{an}的前2017項的和為S2017＝1008×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(3025,2).答案：eq\f(3025,2)7．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項公式為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.答案：2n＋1－28．(2016·蘇州名校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2015＝________.解析：∵an＋1＋(－1)nan＝cos(n＋1)π＝(－1)n＋1，∴當(dāng)n＝2k時，a2k＋1＋a2k＝－1，k∈N*，∴S2015＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2014＋a2015)＝1＋(－1)×1007＝－1006.答案：－10069．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．解：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝eq\f(21－22n,1－2)＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.10．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))與eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))，若a1＝3且對任意正整數(shù)n滿足an＋1－an＝2，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n項和Sn＝n2＋an.(1)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通項公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n項和Tn.解：(1)因為對任意正整數(shù)n滿足an＋1－an＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是公差為2的等差數(shù)列．又因為a1＝3，所以an＝2n＋1.當(dāng)n＝1時，b1＝S1＝4；當(dāng)n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n＋1)－[(n－1)2＋2(n－1)＋1]＝2n＋1，對b1＝4不成立．所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通項公式為bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))(2)由(1)知當(dāng)n＝1時，T1＝eq\f(1,b1b2)＝eq\f(1,20).當(dāng)n≥2時，eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,2n＋12n＋3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))，所以Tn＝eq\f(1,20)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,9)))＋…＋\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2n＋3)))))＝eq\f(1,20)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,20)＋eq\f(n－1,10n＋15).當(dāng)n＝1時仍成立，所以Tn＝eq\f(1,20)＋eq\f(n－1,10n＋15).三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．(2016·南京師大附中檢測)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，則{an}的前100項和為________．解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1276＋13＝1289.答案：12892．已知數(shù)列{an}：eq\f(1,2)，eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，eq\f(1,4)＋eq\f(2,4)＋eq\f(3,4)，…，eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＋…＋eq\f(9,10)，…，那么數(shù)列{bn}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n項和Sn為________．解析：由已知條件可得：數(shù)列{an}的通項為an＝eq\f(1＋2＋3＋…＋n,n＋1)＝eq\f(n,2).所以bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(4,nn＋1)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).Sn＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(4n,n＋1).答案：eq\f(4n,n＋1)3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n，數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{bn}的通項公式；(3)若cn＝eq\f(an·bn,n)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.解：(1)∵Sn＝3n，∴Sn