2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)知識點串講（北師大版）：全等三角形證明方法：截長補短（解析版）

專題09全等三角形證明方法一一截長補短

例題精講：

例1.已知：如圖，四邊形ABeD中，AC平分N84￡),CE,AB于E,且N3+ZD=180°,判斷AE、

AO和BE的關(guān)系，并說明理由.

【答案】AE=AD+BE,理由見解析

【詳解】解：AE=AD+BE.理由如下：

在AE上截取AM=AD,連接CM,

,：AC平分NBAD,

/.Zl=Z2,

在」AMC和一A。C中，

AC=AC

<Zl=Z2,

AM=AD

：.AMC^ADC(SAS),

：.Z3=ZZ),

VZB+ZD=180o,N3+N4=180°,

二N4=ZB,

.?.CM=CB,

?'CE±AB,

,ME=EB(等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合),

?.?AE=AM+ME,

/.AE=AD-^BE.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線，證出ME=EB?

例2.如圖，四邊形ABC。中，AC平分NB4。，?！?，回于點及NB+N。=180°,求證：AE=AD+BE.

【詳解】解：過點C作CHJ_AD,交AO的延長線于點”，如圖所示:

貝IJNc?4=90°,

?.?AC平分NBA。，CElAB,

：.CE=CH,NeEB=NeE4=90°,ZBAC=ZnAC,

?.?ZB+Nr)=I80°,ZCDH+ZADCISOo,

：.ZCDH=ZB,

在.COH和CEB中,

VCDH=NB

<NCHD=ZBEC,

CH=CE

:一CDHACEB(AAS),

.?.BE=DH,

在，CE4和CTi4中，

ZCEA=NCHA

<ZEAC=NHAC,

AC=AC

.?.一CE4空C?4(AAS),

.?.AE^AH,

：.AE^AD+DH=AD+EB.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解

題的關(guān)鍵.

例3.如圖，己知二ABC為等腰三角形，AB=4C,。為線段CB延長線上一點，連接A。，DE平分乙M>C

3

交AC、AB于點E、F,且NAOC+-NABC=I80°.

2

(1)猜想NzMe與NACD的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)求證AD=Z)C+EC.

【答案】（1）ZACD=IADAC,證明見解析：（2）見解析

【詳解】（1）解：ZACD=IADAC,證明如下：

?.?AB^AC,

：.ZABCZACD,

3

YZADC+-ZAfiC=180°,

2

3

二ZADC+-ZACD=180°,

2

?.?ZADC?SQo-ZACD-ZDAC,

3

.?.180°-ZACD-ZDAC=180°——ZACD,

2

化簡，得：ZACD^2ZDAC;

（2）證明：延長OC至點K,使CK=CE,

；CK=CE,

：.ZK=ZCEK,

：.ZACD=2/K,

'：ZACD=2ΛDAC,

：./DAC=/K,

?.?OE平分NAQC,

：.ZADE=ΛKDE,

在，AD石和.KDE中，

NADE=NKDE

<NDAC=NK,

DE=DE

：..ADE^,KDE(AAS),

：.DA=DK,

,：DK=DC+CK=DC+EC,

.?.AD=DC+EC.

【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明..ADE與，KDE全等解答.

例4.如圖，在中，NAcB=90°,NABe=60°,是R上ABC的一個外角的平分線，點。

在CB的延長線上，連接DM,AM,AD,且Z）M=AM.

求證：（1）AMD是等邊三角形；

(2)BM=2BC+BD.

MM

備用圖

【答案】見解析

【詳解】證明：(1)如圖1,作M￡_L于點E,_L89交BO的延長線于F,則ZDFM=AAEM=90°,

'：平分NABO,

：.MF=ME,

在RfDFM和RfAEM中，

DM=AM

MF=ME'

：.Rt.DFM^Rt.AEM(HL),

：.AMDF=AMAE,

：.ZMDB+ZMAE?ZMDB+AMDF=180°,

.?.ZΛMD=180°-ZABD-ZABC=60°,

.?..AMD是等邊三角形.

(2)如圖2,作AG〃CB交于點G,則ZBAG=NABC=60°,

VZACB=90°,ZABC=60°,

：.NBAC=30。，

.?.AB=2BC,

?/ZABD=180°-ZABC=120°,

.?.ZABG=-ZABD=60°,

2

.?.ZAGB=ZBAG=ZABG=60°,

.?._ABG是等邊三角形，

ΛBG=AG^AB=2BC,ZftAG=NDAM=60°,

.?.ZGAM=ABAD=600-ZDAG,

在nG4M和84。中，

AM^AD

<ZGAM=NBAD,

AG=AB

：.GW烏β4Z>(SAS),

.?.GM=BD,

：.BM=BG+GM=2BC+BD.

圖1圖2

【點睛】此題重點考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同角的補角相等、直角三角

形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

例5.己在等腰R±ABC中，NABC=90°,AB=Q3,。為直線AB上一點,連接CD,過點C作

且CE=CD,連接。E,交AC于點尸.

（1）如圖1,當(dāng)點Z）在線段48上，且NoeB=30°時，請?zhí)骄縊E,EF,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由；

（2）如圖2,在（1）的條件下，在EC上任取一點G,連接。G,作射線GP使Nr）GP=60°,交/DFG

的平分線于點。，求證：FD+FG=FQ.

Sl圖2

【答案】（1）EFDF+CF,理由見解析；（2）見解析

【詳解】（1）解：EF=DF+CF；

在EF上找到G點使得FG=CF,如圖，

?：NBCD=30°,ZACB=45°,

：.NAC￡>=15°,

.?.ZCFG=ZCDE+ZACD=60°,

?.?FG=CF,

..._CFG是等邊三角形，

,CG=CF=FG,N尸CG=60°,

.?.NGCE=90°-15°-60°=15°,

在.ECG和.。CF中，

CG=CF

<NECG=ZACD,

CE=CD

.WCG-DCb（SAS）,

.?.DF=EG,

?.?EF=EG+GF,

EF=DF+CF；

（2）證明：在尸。上找到H點，使得FH=FG,如圖，

FQ平分ZDFG,：.NQFG=60°,

,：FG=FH,

.??FG”是等邊三角形，

ΛZGHFZFGH=60°,GH=FG=FH,

?：ZAFD=ZCDE+ZACD=ωo,

：.ZGHQ=ZDFG=120°,

,/ZFGD+ZDGH=60o,NDGH+NQGH=60°,NQGH=NDGF,

：.ZFGD=ZQGH,

在.OFG和_Q"G中,

ZDFG=NQHG

FG=HG

NFGD=ZQGH

：.DFG冬QHG(ASA),

.?.DF=QH,

,：FQ=FH+QH,

：.FQ=FG+FD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證二ECG也_COR

和-OQGg_Q”G是解題的關(guān)鍵.

專練過關(guān)：

1.如圖，A。是4ABC的角平分線，/B=26°,ZAr)C=77°.

(1)求NC的度數(shù)；

(2)求證：AC+CD=AB.

【答案】(1)52°；(2)見解析

【詳解】(1)解：YZADC=NB+NAW,

.?.NBW=NAZ)C-NB=77。-26。=51。，

?/AD平分NB4C,

.?.ZCAD=ABAD51°,

：.NC=I80。-NADC-NC4￡>=180。-77。-51。=52。；

(2)證明：在AB上取一點T,使得AT=AC.

在，A"和一AOC中，

AT=AC

<NDAT=ZDAC,

AD=AD

：.Ar)T組,ADC(SAS),

ΛDT=CD,NATD=NC=52。，

,：ZATC=ZB+ZTDB=52°,

.?./B=NTDB=26。，

：.TB=TD=CD,

二AC+CD=AT+TB=AB.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會添加常用

輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

2.如圖所示，BE平分NABD,DE平分NCDB,BE和。E相交于AC上一點E,如果∕BEO=90°,

證明：（1）AB//CD；（2）BD=AB+CD.

【答案】見解析

【詳解】證明：（1）在,8DE中,

?.?ZBED=90o,ZBED+ZEBD+ZEDB=180°,

.?.ZEBD+ZEDB=180°-/BED=180°-90°=90°,

「BE平分NABO,DE平濟/CDB,

：.ZABD=2AEBD,∕CDB=2∕EDB,

：.ZABD+ZCDB=2(ZEBD+NEDB)=2χ90。=180。,

.?.AB//CD-,

(2)如圖，在3。上截取BF=84,連接EE,

fBE平分NABO,DE平濟/CDB,

：.ZABE=∕EBF,/CDE=/EDF,

*.*BE=BE,AB=BF,

：..ABEWFBE(SAS),

IZA=ZBFE,

'：AB//CD,

：.NA+NC=180。，

ZBFE+NEFD=180°,

：.ZC=ZDFE,

?：/CDE=/EDF,DE=DE,

：.CDE咨FDf(AAS),

.?.DF=CD,

：.BD=BF+DF=BA+CD.

EC

A

BFD

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義及平行線的判定,

全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在-ABC中，AC=BC,ZC=90°,Ao是i.ABC的角平分線.

求證：AB=AC+CD；

A

CDn

【答案】見解析

【詳解】證明：作DE_LAB于點E,則NAED=NC=NBEO=90°,

：AD是ZBAC的平分線，DE±AB,DCLAC,

'.DE—CD,

在RtEAD和RtCAD中，

AD^AD

DE=DC'

：.RtEAD^RtCW(HL),

二AE—AC,

VAC=BC,ZC=90°,

：.NB=NCAB=45°,

.?.NEDB=NB=45。,

EB=ED=CD,

.?.AB=AE+EB=AC+CD.

A

【點睛】此題重點考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.在一ABC中，NA=α,BD,CE是二ABC的兩條角平分線，且BO,CE交于點、F.

(1)用含α的式子表示ZBFC,則ABFC=

(2)當(dāng)a=60°時，用等式表示BE,BC,Co這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)90°+,0;(2)BE+CDBC

2

【詳解】解：(I)VBD,CE是CABC的兩條角平分線，

.?.ZDBC=ZDBA=-ZABC,ZECB=ZECA=-ZACB,

22

.?.ZBFC=180o-NDBC-ZECB=180o-∣(ZABC+ZACB)=180°(180°—NA)=90°+gNA,

?：ZA=α,

.?.ZBFC=9Qo+-a,

2

故答案為：90o+-a.

2

(2)BE+CD=BC,

證明：當(dāng)α=600時，如圖，在BC上截取BG=BE,連接尸G,

?：ZBFC=90。+La=90。+L60。=120°,

22

.?.ZBFE=ZCFD=180°-ZBFC=60°,

在JBGF和.BEF中,

BG=BE

<NFBG=ZFBE,

BF=BF

：.BGF公BEF(SAS),

：?/BFG=NBFE=9。,

：.NeFG=NCFD=60。，

在二CGF和-CZ)E中，

ZFCG=ZFCD

<CF=CF,

NCFG=NCFD

：.CGF/CDF(ASA)，

：.CG-CD,

BE+CD=BG+CG-BC.

【點睛】此題重點考查三角形的角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識,

正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，.ABC中，NB4C=90°,以直角邊AC為腰，向外作等腰直角三角形ACr>,4C=CD,

NACD=90°,點E是BC邊上一點，且CE=CD,ΛABC=IACED.

(1)探究:NCDE與AACB的數(shù)量關(guān)系;

(2)求證:BC=CF+AB.

D

備用圖

【答案】(1)NAe3+2NcDE=90°,理由見解析；(2)見解析

【詳解】(1)解：ZACB+2ZCDE=90°,理由如下：

,：CE=CD,

：.ZCED=ZCDE,

CDE中，ZCDE+ZCEZ)+ZECD=180°,

?.?NAcD=90。，

.?.ZCED+ZCDE+ZACB=90°,

：.ZAcB+2NCr)E=90。：

(2)證明：如圖1,延長84至G,使AG=C下，連接CG,

圖1

VACCD,ZG4G=ZDCF=90o,AG=CF,

：.G4C也/CD(SAS),

.?.NG=NCFD,ZACG=/CDF,

'：ZCED=ZCDE,

：.ZACG=ZCED,

'：ZCFD=ZCED+ZACB,

：.ZCFD=NG=ZACG+ZACBZBCG,

.?.BC=BG,

?：BG^AB+AG=AB+CF,

BC=CF+AB.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì).

6.如圖，CA=CB,CD=CE,NACB=Nr)CE=60°,AD,BE交于點P,若點C在BZ)上.

(1)/￡=35°,求/C4。的度數(shù)；

(2)連接尸C,求證：PB-PA=PC.

【答案】⑴25°；(2)見解析

【詳解】(1)解：?.?NACB=NDCE,

ZACB+ZACE=ZDCE+ZACE,

即NBCE=ZACD,

在_AS和.BCE中,

CA=CB

<ZACD=NBCE,

CD=CE

：.ILACB-BCE(SAS),

.?.NjD=N￡=35。，

?.?ZACB=60。，

.?.NC4Z>=ZACe-NO=60°-35°=25。；

(2)證明：如圖，在BP上取8尸=AP,連接CT,

由(1)知，BCEW.ACD,

ZA=ZB,

?