高三二輪復習專題05解三角形

2024屆高三二輪復習第5講：解三角形解析版2023年考情考題示例考點關聯(lián)考點2023年新I卷，第17題三角形面積公式三角恒等變換2023年新Ⅱ卷，第17題余弦定理、面積公式同角三角函數(shù)關系2023年天津卷，第16題正弦、余弦定理兩角之差公式2023年北京卷，第7題正弦定理化簡無2023年乙卷理科，第18題余弦定理、面積公式無2023年甲卷理科，第16題余弦定理、面積公式角平分線的性質2023年甲卷文科，第17題正、余弦定理，面積公式無題型一：正、余弦定理【典例例題】例1.（2023春·廣東省實驗中學一模）的內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，設(I)求C；(Ⅱ)若,求解：(I)由正弦定理得化簡得，(Ⅱ)由正弦定理得即【變式訓練】1.（2023春·廣東省汕頭市二模）在中，已知C=45°，，，則角B為（）A.30 B.60 C.30或150 D.60或120【答案】A【解析】【分析】由正弦定理，求得，結合，即可求解.【詳解】在中，由正弦定理可得，又因為，可得，即，所以.故選：A.2.（2023春·黑龍江省雞西市密山市第四中學模擬）三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面積公式得到，根據(jù)角度范圍得到答案.【詳解】，故，，.故選：C3.（2023春·山東省聊城市聊城一中東校模擬）記的內角的對邊分別為．已知，為邊的中點．（1）證明：；（2）若，，求的周長．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用正余弦定理求出，再利用三角函數(shù)證明出；（2）利用勾股定理求出，再利用三角函數(shù)求出，進而求出周長.【小問1詳解】對于，因為，所以，所以,即.利用正弦定理,得.利用余弦定理,所以，即.因為，所以，利用正弦定理，得：.因為，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】在中，，，所以，.所以.因為為邊的中點，所以.在直角三角形中，利用勾股定理得：，解得：.所以.所以周長.4.（2023春·廣東省二模）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求C；（2）若，求sinA．【答案】（1）（2）或1．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換分析運算；（2）方法一：根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換分析運算；方法二：利用余弦定理解三角形，分析運算.【小問1詳解】由正弦定理，得，因為，則，所以，因為，所以．所以．因為，則，可得，所以，則，所以．【小問2詳解】方法一：因為，由正弦定理，得，因為，所以，即．因為，則，所以或，所以或，故或1．方法二：因為，由余弦定理得，將代入（*）式得，整理得，因式分解得，解得或，①當時，，所以因為，所以，②當時，，所以，因為，所以，所以sinA的值為或1．題型二：面積公式【典例例題】例1.（2023春·廣東省佛山市一模）中，，，分別是角，，的對邊，且有.（1）求角；（2）當，時，求的面積.【答案】（1）或或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換將式子化簡，即可求出角大小；（2）先根據(jù)余弦定理求出邊的長度，再根據(jù)三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】因為，且，所以，即，所以或，解得或或.【小問2詳解】因為，，所以，根據(jù)余弦定理得，所以，即，解得或，當時，，當時，，所以的面積的面積為或.【變式訓練】1.（2023春·安徽省滁州市定遠縣育才學校模擬）設分別是的內角的對邊，已知，設是邊的中點，且的面積為1，則等于（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可求得，由三角形的面積可求得，由平面向量減法法則可得，進而可得出結果.【詳解】，由正弦定理可得：，整理可得：，由余弦定理可得：，由，可得：，又的面積為1，即，又故選：B2.（2023秋·山東省德州市第一中學模擬）在中，點是上的點，平分，面積是面積的3倍，且，則實數(shù)的取值范圍為______；若的面積為1，當最短時，______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結合，求得，進而求得，得到，再由的面積為，求得可得，根據(jù)由余弦定理得，令，化簡得到，結合基本不等式，得到時，取得最小值，進而求得，即可求得的值.【詳解】設的三個角對的邊分別為，因為且平分，可得，可得，由三角形的內角平分線定理，可得，又由，則，因為，可得，所以，則，所以，由的面積為，可得，可得，又由余弦定理得，令，可得，所以，當且僅當時，即時，等號成立，此時，則，所以，可得，即當最短時，.3.（2023春·廣東省深圳市一模）記的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）設的中點為，若，且，求的的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由可得，由正弦定理及輔助公式得,即可求得答案；(2)在中，由余弦定理得，；在中，由余弦定理得，，從而得，再由，可得，，由三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】解：由已知得，，由正弦定理可得，，因為，所以,代入上式，整理得，又因為，，所以，即,又因為，所以，所以，解得；【小問2詳解】在中，由余弦定理得，．而，，所以，①在中，由余弦定理得，，②由①②兩式消去a，得，所以，又，解得，．所以的面積．4.（2023春·福建省廈門第六中學模擬）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B：（2）若，點D滿足,，求平面四邊形ABCD的面積【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角可求出結果；（2）求出，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求出結果.【小問1詳解】由以及正弦定理得，所以，所以，所以，因為，所以，因為，所以.小問2詳解】由余弦定理得，所以，，，如圖：因為，所以，又，則，所以平面四邊形ABCD的面積為.5.（2023春·河北省唐山市邯鄲市模擬）在中，角、、所對的邊長分別為、、，且．（1）求的值．（2）若的面積為1，求的周長的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及誘導公式求出結果；（2）由三角形面積公式、余弦定理及基本不等式求得結果.【小問1詳解】由已知得，即，因為，所以，所以，∵為內角，∴，∴，，∴．【小問2詳解】∵，，則．且，當且僅當時，即時，等號成立．∴當且僅當時，取等號．∴周長最小值為．6.（2023春·河北省秦皇島市青龍滿族自治縣實驗中學模擬）在中，內角A，B，C的對邊分別是ɑ，b，c，已知，.(1)求角C；(2)求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角可求得，由的范圍可求得結果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】（1）由正弦定理得：，即又（2）由余弦定理得：（當且僅當時取等號），即面積的最大值為7.（2023春·遼寧省丹東市等2地大石橋市模擬）的內角的對邊分別為，，.設.（1）求A；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到，結合，求出；（2）由正弦定理得到，表達出，利用為銳角三角形，求出，從而得到，.【小問1詳解】變形為，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因為，所以；【小問2詳解】由正弦定理得：，故，故，因為為銳角三角形，所以，，解得：，故，，則.題型三：解三角形實例應用【典例例題】例1.（2023秋·河北省九師聯(lián)盟中學模擬）如圖，某商家欲在廣場播放露天電影，幕布最高點A處離地面，最低點B處離地面．胡大爺?shù)难劬Φ降孛娴木嚯x為，他帶著高的小板凳去觀影，由于觀影人數(shù)眾多，胡大爺決定站在板凳上觀影，為了獲得最佳觀影效果（視角最大），胡大爺離幕布的水平距離應為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)可得，進而根據(jù)兩角差的正切公式表達，利用基本不等式即可求解最值.【詳解】過點C作于D，設，則，胡大爺站在板凳上眼睛到地面的距離為．在和中，，則（當且僅當時等號成立），又，則當時，視角最大．即胡大爺離幕布的水平距離為時，觀影效果最佳．故答案為：【變式訓練】1.（2023春·河南省洛陽市第一高級中學模擬）如圖，為了測量兩個信號塔塔尖之間的距離，選取了同一水平面內的兩個測量基點與（在同一鉛垂平面內）．已知在點處測得點的仰角為，點的仰角為，在點處測得點的仰角為，點的仰角為，且米，則（）A.米 B.400米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】將實際問題抽象出幾何圖形，在多個三角形中解三角形，從而得出實際問題的解.【詳解】如圖，過作，垂足為，過作，垂足為.由題意可知，，,在中，,即，;在中，,且,由正弦定理得，,即，即，在中，,且，由余弦定理得，解得，故選：D.2.（2023秋·湖南省部分校模擬）如圖，某校數(shù)學建模社團對該校旗桿的高度進行測量，該社團的同學在A處測得該校旗桿頂部P的仰角為，再向旗桿底部方向前進15米到達B處，此時測得該校旗桿頂部P的仰角為．若，則該校旗桿的高度為（）A.14米 B.15米 C.16米 D.17米【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形中的邊角關系列式求解旗桿高度即可.【詳解】解：如圖由題可知：（米），則在中，①，在中，②，聯(lián)立①②解得：（米），（米）.即該校旗桿的高度為15米.故選：B.3.（2023秋·河北省九師聯(lián)盟模擬）如圖，某商家欲在廣場播放露天電影，幕布最高點A處離地面，最低點B處離地面．胡大爺?shù)难劬Φ降孛娴木嚯x為，他帶著高的小板凳去觀影，由于觀影人數(shù)眾多，胡大爺決定站在板凳上觀影，為了獲得最佳觀影效果（視角最大），胡大爺離幕布的水平距離應為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)可得，進而根據(jù)兩角差的正切公式表達，利用基本不等式即可求解最值.【詳解】過點C作于D，設，則，胡大爺站在板凳上眼睛到地面的距離為．在和中，，則（當且僅當時等號成立），又，則當時，視角最大．即胡大爺離幕布的水平距離為時，觀影效果最佳．故答案為：題型四：解三角形在幾何中應用【典例例題】例1.（2023春·廣東省汕頭市一模）如圖，在中，D是邊上的一點，，．（1）證明：；（2）若D為靠近B的三等分點，，，，為鈍角，求．【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】【分析】（1）在和中分別用正弦定理表示出，相比即可證明結論；（2）利用（1）的結論可求得，繼而由余弦定理求得的長，即可得長，從而求得的長，即可求得答案.【小問1詳解】證明：在中，，在中，,由于,故，所以.【小問2詳解】因為，故，由為鈍角，故為銳角，又，且D為靠近B的三等分點，，，故，故,故，則,故.【變式訓練】1.（2023春·黑龍江省海倫市第二中學模擬）在中，.（1）求角；（2）若為中點，求的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結合三角恒等變換化簡即可；（2）在中由余弦定理可得的長與，再在中由余弦定理可得，再在中由余弦定理可得即可.【小問1詳解】由正弦定理，，因為，故，則，即.又，故，故，故【小問2詳解】由余弦定理，故，.在中由余弦定理可得.在中由余弦定理可得，故.在中由余弦定理，即的余弦值為.2.（2023春·遼寧省朝陽市模擬）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）如圖，若D是外接圓的劣弧AC上一點，且．求AD．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】(1)利用正弦定理邊化角結合三角恒等變換即可求解；(2)利用余弦定理分別在和解三角形可求解.小問1詳解】由邊化角可得，即，即，所以，因為，所以，所以，,所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，所以，由圓的內接四邊形的性質可知,在中，由余弦定理得，所以即，解得或（舍）.3.（2023春·廣東省廣州市二模）記的內角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若點在邊上，且，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化簡可得出，可求出的值，再結合角的取值范圍可求得角的值；（2）求出、的值，設，則，分別在和中，利用正弦定理結合等式的性質可得出、的等式，即可求得的值，即為所求.【小問1詳解】解：因為，由余弦定理可得，化簡可得，由余弦定理可得，因為，所以，.【小問2詳解】解：因為，則為銳角，所以，，因為，所以，，所以，，設，則，在和中，由正弦定理得，，因為，上面兩個等式相除可得，得，即，所以，.4.（2023春·廣東省揭陽市二模）在中，內角的對邊分別為，．（1）求角；（2）是邊上的點，若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角、切化弦，結合三角恒等變換公式可化簡已知等式求得，由此可得；（2）設；在和分別利用正弦定理和余弦定理可構造關于的方程，解方程可求得結果.【小問1詳解】由得：，由正弦定理得：，，又，，；有意義，，，即，又，.【小問2詳解】，，設，則，在中，由正弦定理得：，即；在中，由余弦定理得：；，解得：，即，又，.5.（2023春·廣東省茂名市二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求A；（2）若D為邊BC上一點，且，試判斷的形狀.【答案】（1）；（2）直角三角形.【解析】【分析】（1）利用三角變換得到，即可求出；（2）設，利用正弦定理，化簡求出，得到，即可證明.【小問1詳解】由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以.【小問2詳解】設，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡得，所以，，所以是直角三角形.6.（2023春·廣東省佛山市二模）已知為銳角三角形，且．（1）若，求；（2）已知點在邊上，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用三角函數(shù)的性質結合條件即得；（2）利用正弦定理結合條件可得，然后根據(jù)條件及三角函數(shù)的性質即可求得其范圍.【小問1詳解】因為，所以，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；【小問2詳解】因為，所以，又，可得，在中，，所以，在中，，因為為銳角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范圍為.題型五：解三角形綜合應用【典例例題】例1.（2023春·廣東省一模）在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換和正弦定理的得到，進而由余弦定理得到，求出；（2）由三角函數(shù)和差公式求出，由求出取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因為，所以.【小問2詳解】在中，因為，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.【變式訓練】1.（2023秋·江蘇省南京師范大學附屬中學模擬）已知銳角的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，，則a2＋b2的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定等式求出三角形的內角C，再利用正弦定理及三角恒等變換、三角函數(shù)性質求解作答.【詳解】因，顯然，，銳角中，，，則，令，由得：，由正弦定理得，，因此，而，則，即有，所以a2＋b2的取值范圍為.故答案為：2.（2023春·廣東省江門市一模）在銳角中，角的對邊分別為，且，，依次組成等差數(shù)列.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列結合三角恒等變換可得，由正弦定理即可求得的值；（2）由（1）得，根據(jù)銳角三角形結合余弦定理可得的取值范圍，將轉化為，令，設根據(jù)函數(shù)單調性確定函數(shù)取值范圍，即得的取值范圍.【小問1詳解】由條件得：，所以，由正弦定理得：，所以.【小問2詳解】及，則，角一定為銳角，又為銳角三角形，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，又，所以.又，令，則，，所以在上遞增，又，，所以的取值范圍是.3.（2023春·河北省張家口市張垣聯(lián)盟模擬）在中，角的對邊分別為，若，且.（1）求角的大??；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理的邊角變換得到，從而得到，由此得解；（2）利用正弦定理與三角形恒等變換得得關于的三角函數(shù)式，結合的取值范圍即可得解.【小問1詳解】因為，，所以，則，整理得，所以，又，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，所以，故，因為是銳角三角形，則，解得，所以，則，故.4.（2023春·廣東省潮州市一模）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式和誘導公式即可求解，（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質即可求解.【小問1詳解】，又,所以,由于為三角形的內角，所以,【小問2詳解】由于，所以,故,由于為銳角三角形，所以且，故，則，故，故的取值范圍為5.（2023春·廣東省潮陽區(qū)二模）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2），BD=3，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理結合兩角和的正弦公式，得到求解.（2）利用余弦定理結合基本不等式得到，再利用三角形面積公式求解.【小問1詳解】解：由正弦定理可得，因為，所以，即，整理得：，因為，所以，所以，因為，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即.整理得，當且僅當時，等號成立，所以，因為，所以，所以ABC面積的最大值為.6.（2023秋·江蘇省南京市六校中學模擬）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）若，求面積的最大值；（2）若，在邊的外側取一點（點在外部），使得，且四邊形的面積為.求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理及誘導公式得到，從而求出，再由余弦定理和基本不等式求出，利用三角形面積公式求出答案；（2）利用三角形面積公式得到，結合第一問得到，從而求出四邊形的面積，列出方程，求出.【小問1詳解】由，得，即，由得，因為，所以，因為，所以，故，在中，由余弦定理得，即，當且僅當時，等號成立，，【小問2詳解】設，則，在中，，由（1）知為正三角形，故，故四邊形的面積，故，所以，因為，所以，即.1.（全國乙卷數(shù)學（文））在中，內角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意結合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.2.（全國甲卷數(shù)學（理））在中，，，D為BC上一點，AD為的平分線，則_________．【答案】【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．3.（新課標全國Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.4.（新課標全國Ⅱ卷）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）方法1：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.5.（全國甲卷數(shù)學（文））在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.6.（全國甲卷數(shù)學（文））記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．7.（新高考天津卷）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，故．1.（2023秋·湖南省常德市漢壽縣第一中學模擬）已知的面積為，則的中線長的一個值為___________.【答案】或【解析】【分析】結合已知條件和三角形面積公式求，然后利用余弦定理即可求解.【詳解】因為的面積為，所以，故或；①當時，，故，因為，所以，故；②當時，，故，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，，故.綜上所述，的中線長為或.故答案為：或.2.（2023秋·福建省廈門第二中學模擬）在中，，則A． B． C． D．【答案】【解析】由正弦定理為三角形外接圓半徑)可得：，，，所以可化為，即，，又，．故選：．3.（2023秋·河南省新鄉(xiāng)市長垣市第一中學模擬）在中，角所對的邊分別為，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意和三角恒等變換的公式，求得，根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質得到且，得出，求得，，結合正弦定理，即可求解.【詳解】因為，即，所以，可得，所以，由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質，可得且，因為且，所以，解得，所以，又由正弦定理可得.故選：C.4.（2023秋·河北省邢臺市四校質檢聯(lián)盟模擬）（多選）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，則的取值可能是（）A. B. C.2 D.【答案】BC【解析】【分析】由正弦定理得到或，分兩種情況，求出答案.【詳解】因為，由正弦定理得，因為，所以，即，所以，所以或．當時，，因為，所以，所以，，則，當時，，綜上：的值為或2.故選：BC5.（2023春·天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學模擬）在中，內角所對的邊分別為．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關系和余弦定理求解；（2）利用正弦定理即可；（3）利用二倍角的正余弦公式以及兩角和的正弦公式求解.【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以為銳角，所以，由余弦定理可得，所以【小問2詳解】由可得解得.【小問3詳解】因為所以為銳角，由（2）可知，所以，，，所以.6.（2023春·密山市第四中學模擬）在中，內角的對邊分別為，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對于已知條件使用正弦定理，結合三角恒等變換求解；（2）用余弦定理進行求解.【小問1詳解】由，根據(jù)正弦定理可得，，由，則，約去可得，則.【小問2詳解】由（1）及余弦定理可得，即，整理可得，解得（負值舍去）7.（2023春·模擬）記的內角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求的大小；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，再根據(jù)正弦定理得到，得到答案.（2）確定，，再根據(jù)正弦定理計算得到答案.【小問1詳解】，故意，即，所以，，故，所以，所以，又，所以.【小問2詳解】，，所以.故，故.8.（2023秋·湖南省部分校模擬）的內角的對邊分別是.已知.（1）求角；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦的二倍角公式變形可求得角；（2）由面積公式求得，再由余弦定理求得，從而得三角形周長．【小問1詳解】因為，所以，因為，所以.【小問2詳解】因為的面積為，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的周長為.9.（2023春·廣東省大灣區(qū)二模）在中，角，，的對邊分別為，，．點D為BC邊的中點，已知，，．（1）求b；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，邊角互化后，再結合余弦定理，即可求解；（2）由條件可知，，再結合向量數(shù)量積公式，求，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解.【小問1詳解】因為,由正弦定理得，由余弦定理得，所以，又因為，所以；【小問2詳解】因為，所以，即，因為，所以，化簡得，解得：或（舍去），因為，所以,所以.10.（2023秋·河北省邢臺市四校質檢聯(lián)盟模擬）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡求解；（2）由，得到，再由的面積為，得到，然后利用余弦定理求解.【小問1詳解】解：因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以.因為的面積為，所以，所以，則.由余弦定理可得，即，所以，則.故的周長為.11.（2023秋·廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學模擬）在中，內角的對邊分別為，且，.（1）證明：;（2）若的面積為，求邊上的高.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理以及二倍角公式證明即可；（2）結合（1）的結論以及利用正弦定理或余弦定理求出角的值，再根據(jù)三角形面積公式以及等面積法求解即可.【小問1詳解】證明：，由正弦定理，及余弦定理得，①，又，②由①②得，，.【小問2詳解】由（1）得，，（或由余弦定理得）的面積，設邊上的高為，則的面積，，即邊上的高為.12.（2023春·廣東省廣州市一模）記的內角、、的對邊分別為、、.已知.（1）證明：；（2）若，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換結合正弦定理化簡可證得結論成立；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可得出，結合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面積.【小問1詳解】因為，則，即，由正弦定理可得，因此，.【小問2詳解】因為，由正弦定理可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，，可得，即，所以，，則，，所以，，則為銳角，且，因此，.13.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)二模）記的內角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知.（1）證明：；（2）若角B的平分線交AC于點D，且，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理結合條件即得；（2）利用余弦定理結合條件可得，然后利用角平分線定理及余弦定理即得.【小問1詳解】由正弦定理得：所以可化為,因為,，所以所以，所以，即，所以；【小問2詳解】角B的平分線交AC于點D，且，,由角平分線定理可得，,,又，由余弦定理得：，，在中，由余弦定理得：，所以.所以.14.（2023春·廣東省梅州市一模）在中，內角的對邊分別為，，，已知.（1）求內角；（2）點是邊上的中點，已知，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化成角，根據(jù)輔助角公式即可求得內角；（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，再利用數(shù)量積公式和基本不等式即可求得面積的最大值.【小問1詳解】在中，因為，由正弦定理得，因為，所以，于是有，所以，即，因為，所以，所以，即.【小問2詳解】因為點是邊上的中點，所以，對上式兩邊平分得：，因為，所以，即，而，有，所以，當且僅當時，等號成立.因此.即面積的最大值為.15.（2023春·山西省運城市稷山縣稷王中學模擬）在中，內角，，所對的邊分別為，，，且滿足．（1）求證：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化簡已知條件可得，再利用正弦定理化邊為角，即可證明（2）消元，將要求取值范圍的代數(shù)式轉化為，利用第一問得出的結論求出角的取值范圍，從而得到的取值范圍，最后應用對勾函數(shù)的單調性即可求解【小問1詳解】由余弦定理得，∵，∴∴∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∴【小問2詳解】由（1）得，∴，∵，又，∴，∴，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，∴，∴的取值范圍為．16.（2023春·山東省青島萊西市模擬）給出下列三個條件：①；②；③．請從上面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，然后對下面的問題進行作答．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，______．（1）求A；（2）設AD是的內角平分線，邊b，c的長度是方程的兩根，求線段AD的長度．

【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇條件①，利用正弦定理可得答案；選擇條件②，利用余弦定理可得答案；選擇條件③，利用兩角和的正切展開式化簡可得答案.（2）利用韋達定理和三角形的面積公式計算可得答案.【小問1詳解】選擇條件①：因為，由正弦定理得：，即，在中，∵，∴，即，因為A為的內角，所以；選擇條件②：∵，由余弦定理得：，整理得：，所以，因為A為的內角，所以；選擇條件③：∵，∴，即，∵，∴，因為A，B，C為的內角，所以，從而，所以；【小問2詳解】∵邊b，c的長度是方程的兩根，∴；∵，∴，即，∴.17.（2023春·廣東省深圳市二模）已知分別為三個內角的對邊，且.（1）證明:；（2）若，，，求AM的長度.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用三角形的內角和定理結合兩角和差的正弦公式化簡，再利用正弦定理和余弦定理化角為邊，整理即可得證；（2）在中，由（1）結合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解.【小問1詳解】由，得，則，由正弦定理和余弦定理得，化簡得；【小問2詳解】在中，，又因為，所以，所以，所以，由，得，在中，，所以.18.（2023春·廣東省深圳市二模）已知a?b?c分別為三內角A?B?C所對的邊，且.（1）求A；（2）若，且，求c的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及和差正弦公式化簡即可求解；（2）結合余弦定理與條件即可求解【小問1詳解】依題意，因為，由正弦定理得：，由，所以，所以，所以，又因為，所以，所以.【小問2詳解】由（1）以及余弦定理變形式得：即，由，解得或（舍去），所以，.19.（2023春·河南省洛陽市第一高級中學模擬）在中，角所對的邊分別為．（1）求角；（2）已知，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應用余弦定理邊角轉化，再應用正弦定理結合兩角和差公式計算即可；（2）應用正弦定理邊角互化,再應用面積公式結合三角恒等變換,求三角函數(shù)值域可得范圍.【小問1詳解】，，．，，，．，．，．【小問2詳解】由（1）知．由正弦定理知，．，，，．面積的取值范圍為．20.（2023春·河南省洛陽市第一高級中學模擬）如圖所示，在平面四邊形中，的面積為．AI（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理面積公式得到，再利用余弦定理求解即可.（2）作，垂足分別為，根據(jù)題意得到，，再利用求解即可.【小問1詳解】，，由余弦定理知，，．【小問2詳解】由（1）知，，所以如圖所示，作，垂足分別為，則．，，．．21.（2023春·廣東省高州市二模）已知中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大小；（2）若，點、在邊上，，求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用余弦定理將用邊表示后，再用余弦定理即可求得角；（2），用面積公式將的面積表示為角的函數(shù)進行求解.【小問1詳解】因為，由余弦定理，得，化簡整理得：，由余弦定理，得，因為，所以，即角的大小為.【小問2詳解】如圖：設，在中，由正弦定理，得，由（1）和可知，，，所以，在中，同理可得，因為，所以，因為，所以，所以當，即時面積取得最小值為.22.（2023春·廣東省惠州市一模）平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質．如圖所示，四邊形的頂點在同一平面上，已知．（1）當長度變化時，是否為一個定值？若是，求出這個定值；若否，說明理由．（2）記與的面積分別為和，請求出的最大值．【答案】（1）為定值，定值為1（2）14【解析】【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；（2）由面積公式可得，令轉化為二次函數(shù)配方求最值即可．【小問1詳解】法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以當長度變化時，為定值，定值為1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化簡得，即，所以當長度變化時，為定值，定值為1；【小問2詳解】，令，所以，所以，即時，有最大值為14．23.（2023秋·山東省德州市第一中學模擬）如圖，四邊形ABCD中，已知，.（1）若ABC的面積為，求ABC的周長；（2）若，，，求∠BDC的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，結合余弦定理可得，由ABC的面積為可得，后由余弦定理可得AC即可得周長；（2）由（1）結合，，可設，則，后由正弦定理可得，即可得答案.【小問1詳解】由余弦定理，在中，.又，，則.又ABC的面積為，則.則，則ABC的周長為.【小問2詳解】由（1）可知，又，，四邊形內角和為，則.設，則.在中，由正弦定理，.在中，由正弦定理，.消去，得.因，則，則.則.24.（2023春·廣東省梅州市二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，設．（1）當時，求BD的長；（2）求BD的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）在中，求得，然后在中，由余弦定理求解即可；（2）在中，求得，然后在中，由余弦定理求出的表達式，結合三角恒等變換化簡，利用三角函數(shù)的性質求解的最大值.【小問1詳解】在中，．在中，因為，由余弦定理得，，因此．【小問2詳解】在中，．在中，因為，由余弦定理得，，所以．所以當，即時，BD最長，的最大值為．25.（2023春·廣東省韶關市二模）在中，，，點為內一點.（1）若（圖1），求的面積；（2）若（圖2），求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，從而可得，利用面積公式即可求解；（2）設，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．【小問1詳解】在中，，，由余弦定理得，又，，故．【小問2詳解】設，因為，則，則，在中，由正弦定理可得，即，故，在中，，由余弦定理可得，其中，，，因為，則，即當時，．26.（2023秋·江蘇省南京師范大學附屬中學模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大?。唬?）若，求邊上的中線長度的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）邊化角即可；（2）利用余弦定理和基本不等式解決.【小問1詳解】由得,,即.【小問2詳解】,即，當且僅當取等號．27.（2023春·江西省宜春市宜豐縣宜豐中學模擬）在中，所對的邊分別為，且，其中是三角形外接圓半徑，且不為直角.（1）若，求的大?。唬?）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求出的大小.(2)運用正弦定理和二倍角的余弦公式，化簡，再利用基本不等式求解的最小值.【小問1詳解】在中，，進而，，，又不為直角，則，，，.【小問2詳解】由(1)知，轉化為，又，，.，當且僅當，即時，等號成立，的最小值為.28.（2023秋·河南省新鄉(xiāng)市長垣市第一中學模擬）的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個內角都小