2024年中考數(shù)學專題訓練 專題10 截長補短模型綜合應用（專項訓練）能力提升（原卷版+解析）

專題10截長補短模型綜合應用（專項訓練）(能力提升）1．綜合與實踐【問題情境】數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；【思考嘗試】（1）同學們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．【實踐探究】（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．【拓展遷移】（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當AB＝4時，請你求出△ADP周長的最小值．2．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點E是邊BC上的動點（與點B、C不重合），過點D作DF∥AE，交射線BC于點F，作FP⊥BD于點P，連結PA、PE．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）①判斷△APE的形狀，并說明理由；②求的值；（3）設BE＝x，PD＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關系式．3．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB′，連接A′B′．我們稱△A′B′C是△ABC的“旋補交差三角形”，連接AB′、A′B，我們將AB′、A′B所在直線的相交而成的角稱之為△ABC“旋補交差角”，C點到A′B′中點E間的距離成為“旋轉中距”．如圖1，∠B′OB即為△ABC“旋補交差角”，CE即為△ABC“旋補中距”．（1）若已知圖1中AB的長度等于4，當∠ACB＝90°，則△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝，“旋補中距”CE長度＝；（2）若圖1中∠ACB的度數(shù)發(fā)生改變，則△ABC“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結論，并直接判斷△ABC“旋補中距”是否也發(fā)生改變；（3）已知圖2中△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，AB的長度等于4，A′B′長度等于6，問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由．4．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE繞點A旋轉．（1）如圖1，若連接BD，CE，則BD與CE的關系為；（2）如圖2，若連接CD，BE，取BE中點F，連接AF，探究AF與CD的關系，并證明你的結論；（3）在（2）的條件下，當△ADE旋轉到如圖3的位置時，點D落在BC延長線上，若AF＝3，AC＝，請直接寫出線段AE的長．5．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系，并說明理由．6．閱讀下面材料：小軍遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題．他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構造△BED≌△CAD，經過推理和計算使問題得到解決．請回答：AD的取值范圍是．參考小軍思考問題的方法，解決問題：如圖3，△ABC中，E為AB中點，P是CA延長線上一點，連接PE并延長交BC于點D．求證：PA?CD＝PC?BD．7．【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關系是；【拓展延伸】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長為cm．8．截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE，易證△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而解決問題．根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關系是；（直接寫出結果）（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關系，并證明你的結論．專題10截長補短模型綜合應用（專項訓練）（能力提升）1．綜合與實踐【問題情境】數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；【思考嘗試】（1）同學們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．【實踐探究】（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．【拓展遷移】（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當AB＝4時，請你求出△ADP周長的最小值．【解答】解：（1）AE＝EP，理由如下：取AB的中點F，連接EF，∵F、E分別為AB、BC的中點，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°，（3）連接CP，作DG⊥CP，交BC的延長線于G，交CP于O，連接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴點D與G關于CP對稱，∴AP+DP的最小值為AG的長，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝＝4，∴△ADP周長的最小值為AD+AG＝4+4．2．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點E是邊BC上的動點（與點B、C不重合），過點D作DF∥AE，交射線BC于點F，作FP⊥BD于點P，連結PA、PE．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）①判斷△APE的形狀，并說明理由；②求的值；（3）設BE＝x，PD＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關系式．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠ABE＝90°，AB＝DC，∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF，∵DF∥AE，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）；（2）解：①△APE是等腰直角三角形．理由如下：如圖，連接CP，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC，∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠APB＝∠CPB，∵FP⊥BD，∠PBF＝45°，∴△PBF是等腰直角三角形，∴PB＝PF，∠PFB＝∠PBF＝45°，∵△ABE≌△DCF，∴BE＝CF，∴△BEP≌△FCP（SAS），∴PE＝PC，∠BPE＝∠FPC，∴PA＝PE，∠APE＝∠APB+∠BPE＝∠BPC+∠FPC＝∠BPF＝90°，∴△APE是等腰直角三角形；②∵△APE是等腰直角三角形，∴＝，∵△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，∴＝＝；（3）設BE＝x，PD＝y(tǒng)，則BF＝x+1，∵△PBF是等腰直角三角形，∴PB＝（x+1），∵BD＝，∴y＝﹣（x+1），即y＝﹣x+（0＜x＜1）．3．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB′，連接A′B′．我們稱△A′B′C是△ABC的“旋補交差三角形”，連接AB′、A′B，我們將AB′、A′B所在直線的相交而成的角稱之為△ABC“旋補交差角”，C點到A′B′中點E間的距離成為“旋轉中距”．如圖1，∠B′OB即為△ABC“旋補交差角”，CE即為△ABC“旋補中距”．（1）若已知圖1中AB的長度等于4，當∠ACB＝90°，則△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝90°，“旋補中距”CE長度＝2；（2）若圖1中∠ACB的度數(shù)發(fā)生改變，則△ABC“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結論，并直接判斷△ABC“旋補中距”是否也發(fā)生改變；（3）已知圖2中△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，AB的長度等于4，A′B′長度等于6，問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，∵把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB′，∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，∵∠ACB＝90°，∴∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACA'＝180°，∠ACB+∠BCB'＝180°，∴點A，點C，點B'共線，點B，點C，點A'共線，∴AB′、A′B的交點O與點C重合，∴△ABC“旋補交差角”∠B′OB＝90°，∵AC＝A'C，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，BC＝B'C，∴△ACB≌△A'CB'（SAS），∴AB＝A'B'＝4，∵點E是A'B'的中點，∠A'CB'＝90°，∴CE＝2，故答案為：90°，2；（2）△ABC“旋補交差角”度數(shù)不變，△ABC“旋補中距”長度不變，理由如下：∵把AC點繞點C順時針旋轉90°得到CA'，把BC繞點C逆時針旋轉90°得到CB′，∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，∴∠ACB'＝∠BCA'，在△ACB'和△A'CB中，，∴△ACB'≌△A'CB（SAS），∴∠CAB'＝∠CA'B，∴點A，點A'，點C，點O四點共圓，∴∠ACA'＝∠AOA'＝90°＝∠BOB'，如圖2，延長CE至F，使CE＝EF，連接A'F，B'F，∵CE＝EF，A'E＝B'E，∴四邊形A'CB'F是平行四邊形，∴∠A'CB'+∠FA'C＝180°，A'F＝B'C，∵∠A'CB'+∠ACB＝360°﹣∠A'CA﹣∠B'CB＝180°，∴∠ACB＝∠CA'F，又∵A'C＝AC，A'F＝B'C＝BC，∴△ACB≌△CA'F（SAS），∴AB＝CF＝4，∴CE＝2；（3）OC存在最小值，最小值為1，理由如下：如圖3，取A'B'中點E，連接CE，CO，EO，∵△A′B′C是△ABC“旋補交差三角形”，∴∠BOB'＝90°，CE＝AB＝2，∵點E是A'B'中點，∠A'OB'＝90°，∴OE＝A'B'＝3，在△OCE中，OC＞OE﹣CE，∴當點C在線段OE上時，OC有最小值為OE﹣CE＝1．4．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE繞點A旋轉．（1）如圖1，若連接BD，CE，則BD與CE的關系為BD＝CE，BD⊥CE；（2）如圖2，若連接CD，BE，取BE中點F，連接AF，探究AF與CD的關系，并證明你的結論；（3）在（2）的條件下，當△ADE旋轉到如圖3的位置時，點D落在BC延長線上，若AF＝3，AC＝，請直接寫出線段AE的長．【解答】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：如圖1，設CE與BD交于點O，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BD⊥CE，故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；（2）AF＝CD，AF⊥CD，理由如下：如圖2，延長FA交DC于點G，延長AF到點H，使FH＝FA，連接EH，∵F是BE中點，∴FE＝FB，又∵∠EFH＝∠BFA，∴△EFH≌△BFA（SAS），∴HE＝AB，∠HEB＝∠EBA，∴HE∥AB，∴∠HEA+∠BAE＝180°，∵AB＝AC，∴HE＝AC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝180°，∴∠HEA＝∠CAD，又∵AD＝AE，∴△HEA≌△CAD（SAS），∴AH＝CD，∠EAH＝∠ADC，∵FH＝FA，∴AF＝AH＝CD，∵∠DAE＝90°，∴∠EAH+∠DAG＝90°，∴∠ADC+∠DAG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴AG⊥CD，即AF⊥CD；（3）如圖3，過點A作AN⊥BC于N，由（2）可知，CD＝2AF＝6，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AN⊥BC，∴BC＝AB＝8，AN＝BC＝BN＝CN＝4，∴DN＝CD+CN＝10，∴AD＝＝＝2，∴AE＝AD＝2．5．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是1；（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點作一個50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系，并說明理由．【解答】（1）解：如圖①，將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD，則△ACD≌△EBD，∴AD＝DE，BE＝AC＝5，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，故答案為：1.5＜AE＜6.5；（2）證明：如圖②，延長FD至N，使DN＝DF，連接BN、EN，在△FDC和△NDB中，，∴△FDC≌△NDB（SAS）∴BN＝FC，∵DF＝DN，DE⊥DF，∴EF＝EN，在△EBN中，BE+BN＞EN，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF，理由如下：如圖③，延長AB至點H，使BH＝DF，連接CH，∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠D，在△HBC和△FDC中，，∴△HBC≌△FDC（SAS）∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE+∠FCD＝50°，∴∠ECH＝50°＝∠ECF，在△HCE和△FCE中，，∴△HCE≌△FCE（SAS）∴EH＝EF，∴BE+DF＝EF．6．閱讀下面材料：小軍遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題．他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構造△BED≌△CAD，經過推理和計算使問題得到解決．請回答：AD的取值范圍是．參考小軍思考問題的方法，解決問題：如圖3，△ABC中，E為AB中點，P是CA延長線上一點，連接PE并延長交BC于點D．求證：PA?CD＝PC?BD．【解答】解：（1）1＜AD＜5，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ACD與△EBD中，，∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；（2）證明：延長PD至點F，使EF＝PE，連接BF，∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，在△BEF與△AEP中，，∴△BEF≌△AEP，∴∠APE＝∠F，BF＝PA，又∵∠BDF＝∠CDP，∴△BDF∽△CDP，∴＝，∴＝，即PA?CD＝PC?BD．7．【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關系是；【拓展延伸】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系，并說明理由；【知識應用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為14cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的長為cm．【解答】解：（1）如圖1，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，故答案為：DA＝DC+DB；（2）DA＝DB+DC，如圖2，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴D