第十六講-圖形的平移和旋轉(zhuǎn)講義

第十六講圖形的平移和旋轉(zhuǎn)一、課標下復習指南(一)平移變換1．平移的概念平面內(nèi)將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這種圖形變換稱為平移．注：平移變換的兩個要素：移動的方向和距離．2．平移的性質(zhì)(1)平移前后的圖形全等；(2)對應線段平行(或共線)且相等；(3)對應點所連的線段平行(或共線)且相等．3．平移變換的作圖如圖16－1所示，將△ABC平移至△A′B′C′，則有AA′∥BB′，且AA′＝BB′；BB′與CC′共線，且BB′＝CC′．圖16－1說明我們可以根據(jù)平移的方向和距離作出平移后的圖形；反之，可以根據(jù)平移前后的圖形，得知平移的方向和距離．4．用坐標表示平移(1)點(x，y)點(x＋a，y)或(x－a，y)；(2)點(x，y)(x，y＋b)或(x，y－b)．(二)軸對稱變換1．軸對稱的概念把一個圖形沿一條直線翻折過去，如果它能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這條直線對稱或軸對稱．這條直線就是對稱軸．兩個圖形中的對應點(即兩圖形重合時互相重合的點)叫做對稱點．2．軸對稱的性質(zhì)(1)關于某條直線對稱的兩個圖形全等；(2)對稱點所連的線段被對稱軸垂直平分；(3)對應線段所在直線若相交，則交點在對稱軸上．3．軸對稱變換的作圖如圖16－2，若△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，則有△ABC≌△A′B′C′；AA′，BB′，CC′都被直線l垂直平分．圖16－2說明我們可以根據(jù)對稱軸作出一個圖形的軸對稱圖形；反之，可以根據(jù)兩個成軸對稱關系的圖形，得出對稱軸．4．軸對稱圖形如果把一個圖形沿一條直線對折，對折的兩部分能夠完全重合，那么就稱這個圖形為軸對稱圖形，這條直線就是這個軸對稱圖形的對稱軸．注：一個圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條．5．軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系軸對稱軸對稱是指兩個圖形的對稱關系若把軸對稱的兩個圖形看成一個(整體)圖形，則成為軸對稱圖形；若把軸對稱圖形的互相對稱的兩個部分看成兩個圖形，則它們成軸對稱軸對稱圖形軸對稱圖形是指具有某種對稱特性的一個圖形6．用坐標表示軸對稱點(x，y)關于x軸對稱的點為(x，－y)；點(x，y)關于y軸對稱的點為(－x，y)；點(x，y)關于直線y＝x對稱的點為(y，x)；點(x，y)關于直線y＝－x對稱的點為(－y，－x)；*點(x，y)關于直線x＝m對稱的點為(2m－x，y)；*點(x，y)關于直線y＝n對稱的點為(x，2n－y)．(三)旋轉(zhuǎn)變換1．旋轉(zhuǎn)的概念在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點O沿某個方向(逆時針或順時針)轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)．這個定點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角．注：旋轉(zhuǎn)變換的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角．2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(1)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；(2)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等(意味著：即旋轉(zhuǎn)中心在對應點所連線段的垂直平分線上)；(3)對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；*(4)對應線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．3．旋轉(zhuǎn)變換的作圖(1)明確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，找出能確定原圖形的關鍵點；(2)將能確定原圖形的關鍵點(多邊形一般為每個頂點)與旋轉(zhuǎn)中心連接，并將線段按要求進行旋轉(zhuǎn)，得到這些關鍵點的對應點；(3)按原圖形頂點的順序順次連接這些對應點，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．說明根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形可以確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角．*4．旋轉(zhuǎn)對稱圖形如果某圖形繞著某一定點轉(zhuǎn)動一定角度(小于360°)后能與自身重合，那么這種圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形．5．中心對稱把一個圖形繞著某個定點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能和另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這個定點對稱或中心對稱．這個定點叫做對稱中心，兩個圖形中對應點叫做關于對稱中心的對稱點．6．中心對稱的性質(zhì)中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)，因此它具有旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)．另外，它還有自己特殊的性質(zhì)：(1)對稱點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分，即對稱中心是兩個對稱點所連線段的中點；(2)對應線段平行或共線．7．中心對稱的作圖如圖16－3，若△ABC與△A′B′C′關于點O中心對稱，則對稱中心O是線段AA′、BB′、CC′共同的中點，且AB∥A′B′，AB＝A′B′，BC∥B′C′，BC＝B′C′，CA∥C′A′，CA＝C′A′．圖16－3說明我們可以根據(jù)對稱中心作出一個圖形的中心對稱圖形；反之，可以根據(jù)兩個成中心對稱關系的圖形，得出對稱中心．8．中心對稱圖形一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，這種圖形稱為中心對稱圖形．這個定點叫做該圖形的對稱中心．*中心對稱圖形是一個特殊的旋轉(zhuǎn)對稱圖形(旋轉(zhuǎn)角等于180°)．9．中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系中心對稱中心對稱是指兩個圖形的對稱關系把中心對稱的兩個圖形看成一個(整體)圖形，則稱為中心對稱圖形；把中心對稱圖形的互相對稱的兩個部分看成兩個圖形，則它們成中心對稱中心對稱圖形中心對稱圖形是指具有某種對稱特性的一個圖形10．關于原點對稱的點的坐標點(x，y)關于原點對稱的點的坐標為(－x，－y)．二、例題分析例1在平面直角坐標系中，Rt△AOB的兩條直角邊OA，OB分別在x軸的負半軸，y軸的負半軸上，且OA＝2，OB＝1．將△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，再把所得的圖形沿x軸正方向平移1個單位長度，得到△CDO．(1)在坐標系中，分別畫出△AOB和△COD，并寫出點A，C的坐標；(2)求點A和點C之間的距離；(3)求點A到點C所經(jīng)過的路線的長度．解(1)所畫出的△AOB和△COD如圖16－4所示，點A的坐標是(－2，0)，點C的坐標是(1，2)．圖16－4(2)連接AC．在Rt△ACD中，AD＝OA＋OD＝3，CD＝2，(3)點A到點C所經(jīng)過的路線的長度是說明(1)正確畫出圖形經(jīng)過幾何變換后所得到的圖形，是考查我們對概念的理解和空間想象力的具體體現(xiàn)．想一想，△AOB能否先進行平移、再經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，得到△CDO如果可以，請用準確的術語寫出這個變換的過程______．(2)請注意第(2)、(3)小題的區(qū)別．例2如圖16－5，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點B′處，點A落在點A′處，折痕分別交AD，BC于E，F(xiàn)．圖16－5(1)求證：B′E＝BF；(2)設AE＝a，AB＝b，BF＝c，試猜想以a，b，c為邊的三角形的形狀，并給予證明．分析折疊過程體現(xiàn)了軸對稱，由軸對稱性質(zhì)可知，B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE，而∠BFE＝∠B′EF，故有B′E＝B′F＝BF．解(1)證明：由題意，可得B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE．在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE＝∠B′FE．∴B′E＝B′F＝BF(2)解：以a，b，c為邊可以構成直角三角形．證明：如圖16－6，連接BE，則BE＝B′E．圖16－6由(1)知，B′E＝BF＝c，∴a2＋b2＝AE2＋AB2＝BE2＝c2．∴以a，b，c為邊構成的三角形是直角三角形．例3如圖16－7，某人有一塊平行四邊形的土地，地里有一個圓形池塘，此人立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個兒子，中間的池塘也要同時平分，但不知如何去做．你能想個辦法嗎圖16－7分析這個圖形實際上是由兩個中心對稱圖形組合而成，要想將其面積平分，只要找一條直線，使其既能平分平行四邊形的面積，又能平分圓的面積即可．解連接平行四邊形的兩條對角線，其交點A就是平行四邊形的中心，而圓的圓心B就是圓的中心，因此直線AB就能將土地與池塘的面積同時平分了．說明此題可以推廣．(1)由于經(jīng)過中心對稱圖形的對稱中心的直線都可以平分該圖形的面積，所以只要地和池塘都是中心對稱圖形，過兩個對稱中心的直線即可同時平分它們的面積．(2)一些非中心對稱的圖形內(nèi)部也存在這樣的點，使得過該點有無數(shù)條直線平分該圖形的面積．比如梯形，過梯形中位線的中點，且與梯形上、下兩底均相交的直線均平分該梯形的面積．請思考：如圖16－8，五邊形ABCDE中，AB∥CD，AE∥BC，你能找到多少條平分該五邊形的面積的直線呢圖16－8例4已知△ABC中，AB＞AC，AD為△ABC的角平分線，P為線段AD上一點，分別連接BP和CP，試判斷AB－AC和BP－CP的大小關系，并說明理由．分析AB和AC不共線，BP和CP也不共線，即不是同一個三角形的兩條邊，要想構造它們的差，可以嘗試通過圖形變換把它們集中到一條直線上(或集中到一個三角形的三邊上)，從而得到線段差(或便于利用三角形的三邊關系)．另外，已知中有“AD為△ABC的角平分線”，因此可以利用角平分線的特點作軸對稱變換．這樣幾個關鍵的線段就都集中了．解如圖16－9，在AB上截取AC′＝AC，連接PC′，圖16－9則有AB－AC＝AB－AC′＝BC′．∵AD平分∠BAC，∴∠C'AP＝∠CAP．又AC′＝AC，AP＝AP，∴△APC′≌△APC(SAS)．∴C′P＝CP．①若點P與A重合，則BP＝AB，C′P＝CP＝AC．∴BP－CP＝AB－AC．②若點P與A不重合，則在△BC′P中，BP－C′P＜BC′．即BP－CP＜AB－AC′＝AB－AC．綜上所述，AB－AC≥BP－CP．例5如圖16－10，P是矩形內(nèi)一點，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求PD的長．圖16－10分析如圖16－10，考慮通過平移將四條線段PA，PB，PC，PD集中到一起，構成一個封閉圖形(四邊形)．再考慮到題目中有垂直的條件，在平移后保持不變，于是可能運用勾股定理求出PD的長．行四邊形．圖16－11∴PP′∥AD∥BC，PP′＝AD＝BC．∴四邊形PBCP′為平行四邊形．∴P′D＝PA＝3，P′C＝PB＝4．又∵AD⊥CD，PP′∥AD，∴PP′⊥CD．設PP′與CD相交于點O，則P′C2＋PD2＝(P′O2＋OC2)＋(OD2＋OP2)＝P′D2＋PC2．解得例6已知O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，試問：(1)以OA，OB，OC為邊能否構成一個三角形若能，求出該三角形各角的度數(shù)；若不能，請說明理由；(2)如果∠AOB的大小保持不變，那么當∠BOC等于多少度時，以OA，OB，OC為邊的三角形是一個直角三角形分析由于OA，OB，OC的長度直接不易求，但角的信息比較多(除了直接給的∠AOB與∠BOC外，還有正△ABC的三個內(nèi)角均為60°)，故可以考慮將這三條線段通過旋轉(zhuǎn)變換集中到一起，便可直接得知它們能否拼接成一個三角形了．比如，這里可以將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，這樣OA，OB，OC就集中為一個四邊形的邊了．解(1)如圖16－12，過點B作BP，使得∠OBP＝60°，在BP上截取BP＝BO，連接OP，CP．圖16－12∵正△ABC中，∠ABC＝60°，又∠OBP＝60°，∴∠ABC－∠OBC＝∠OBP－∠OBC．∴∠ABO＝∠CBP．又∵AB＝CB，BO＝BP，∴△ABO≌△CBP(SAS)．∴PC＝OA，∠BPC＝∠BOA＝110°．∵△OBP中，BO＝BP，∠OBP＝60°，∴△OBP為正三角形．∴OP＝OB，∠BOP＝∠BPO＝60°，亦即在△OPC中，PC＝OA，OP＝OB，OC＝OC，∴以OA，OB，OC為邊能構成一個三角形，且這樣的三角形與△OPC全等．在△OPC中，∠POC＝∠BOC－∠BOP＝135°－60°＝75°．∠OPC＝∠BPC－∠BPO＝110°－60°＝50°．∠OCP＝180°－∠POC－∠OPC＝180°－75°－50°＝55°．(2)∵∠AOB大小不變，∴∠BPC大小也不變，即總有∠OPC＝50°．①若△OPC中，∠POC＝90°，則∠BOC＝∠POC＋∠BOP＝90°＋60°＝150°．②若△OPC中，∠OCP＝90°，則∠POC＝180°－∠OPC－∠OCP＝180°－50°－90°＝40°．∴此時∠BOC＝∠POC＋∠BOP＝40°＋60°＝100°．綜上所述，當∠BOC＝150°或100°時，由OA，OB，OC為邊的三角形為直角三角形．說明一個圖形經(jīng)過平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換后都與原圖形全等，因此可以用這三種變換來構造全等圖形，從而“轉(zhuǎn)移”邊、角、面積的條件，使圖形中一些分散的邊與角相對集中，便于發(fā)現(xiàn)關系．例7已知拋物線，請分別寫出滿足下列條件的拋物線的解析式：(1)拋物線C關于y軸對稱的拋物線：__________________；(2)拋物線C關于x軸對稱的拋物線：__________________；(3)拋物線C關于原點對稱的拋物線：__________________；(4)拋物線C關于其頂點對稱的拋物線：__________________；(5)拋物線C沿y軸向上平移3個單位長度所得的拋物線：__________________；(6)拋物線C沿x軸向左平移3個單位長度所得的拋物線：__________________．分析解決這類問題的關鍵是根據(jù)變換的規(guī)律確定所得拋物線的頂點坐標和開口方向，而拋物線的形狀不變(即|a|不變)．解拋物線C的頂點為(1，－2)，開口向上，且(1)拋物線C關于y軸對稱的拋物線的頂點為(－1，－2)，開口方向不變，故所得拋物線為本題也可理解為拋物線對稱后，只有對稱軸變?yōu)橹本€x＝－1．(2)(3)(4)拋物線C關于其頂點對稱后，頂點不變，開口向下，故所得拋物線為(5)平移后拋物線的頂點為(1，1)，方向、形狀不變所得拋物線為(6)平移后拋物線的頂點為(－2，－2)，所得拋物線為例8如圖16－13，在平面直角坐標系中有四個點A(－6，3)，B(－2，5)，C(0，m)，D(n，0)，當四邊形ABCD的周長最短時，求m，n的值．圖16－13分析本題等價于：在平面直角坐標系中，已知A，B兩點的坐標，在x軸，y軸上各求一點D，C，使得四邊形ABCD的周長最?。捎贏，B兩點的位置確定，分別可作A，B兩點關于x軸，y軸的對稱點A′，B′，則線段A′B′與x軸，y軸的交點為所求作的點D，C．)，則有CD＋BC＋AD＝CD＋B′C＋DA′．圖16－14當點C，D在直線A′B′上時，BC＋CD＋AD最?。O直線A′B′的解析式為y＝kx＋b，依題意得解得∴直線A′B′的解析式為y＝x＋3．令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝－3．∴m＝3，n＝－3．說明(1)本題利用軸對稱把四邊形周長最短問題轉(zhuǎn)化為兩定點間折線段最短問題，從而可利用“兩點之間，線段最短”來解決；(2)求幾何中的最值問題是一類常見的題目，而對稱點法是解決這類問題的一個非常有效的方法．三、課標下新題展示例9(2009河北)在圖16－15至圖16－17中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點，四邊形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中點是M．(1)如圖16－15，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，圖16－15求證：FM＝MH，F(xiàn)M⊥MH；(2)將圖16－15中的CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖16－16，求證：△FMH是等腰直角三角形．圖16－16解(1)證明：∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形，又∵點N與點G重合，點M與點C重合，∴FB＝BM＝MG＝MD＝DH，∠FBM＝∠MDH＝90°．∴△FBM≌△MDH．∴FM＝MH．∵∠FMB＝∠DMH＝45°，∴∠FMH＝90°．∴FM⊥HM．(2)證明：連接MB，MD，如圖16－17，設FM與AC交于點P．圖16－17∵B，D，M分別是AC，CE、AE的中點，∴MD∥BC，且MD＝BC＝BF，MB∥CD，且MB＝CD＝DH．∵四邊形BCDM是平行四邊形且∠APM＝∠FMD．∴∠CBM＝∠CDM．又∵∠FBP＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH．∵△FBM≌△MDH．∴FM＝MH，且∠MFB＝∠HMD．∴∠FMH＝∠FMD－∠HMD＝∠APM－∠MFB＝∠FBP＝90°．∴△FMH是等腰直角三角形．例10(2009太原)【問題解決】如圖16－18，將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E(不與點C，D重合)，壓平后得到折痕MN．當時，求的值．方法指導：為了求得的值，可先求BN、AM的長，不妨設AB＝2．【類比歸納】在圖16－18中，若，則的值等于______；若，則的值等于______；若(n為整數(shù))，則的值等于(用含n的式子表示)．圖16－18【聯(lián)系拓廣】如圖16－19，將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E(不與點C，D重合)，壓平后得到折痕MN．設，則的值等于______(用含m，n的式子表示)．圖16－19解【問題解決】方法一：如圖16－20，連接BM，EM，BE．圖16－20由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．∴MN垂直平分BE．∴BM＝EM，BN＝EN．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2．設BN＝x，則NE＝x，NC＝2－x．在Rt△CNE中，NE2＝CN2＋CE2，∴x2＝(2－x)2＋12．解得即在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2＋AB2＝BM2，DM2＋DE2＝ME2．∴AM2＋AB2＝DM2＋DE2．同理，可得方法二：同方法一，如圖16－21，過點N做NG∥CD交AD于點G，連接BE．圖16－21∵AD∥BC，∴四邊形GDCN是平行四邊形．∴NG＝CD＝BC．同理，四邊形ABNG也是平行四邊形．與方法一同理得∵MN⊥BE，∴∠EBC＋∠BNM＝90°．∵NG⊥BC，∠MNG＋∠BNM＝90°．∴∠EBC＝∠MNG．又∵∠C＝∠NGM＝90°，∴△BCE≌△NGM，EC＝MG．【類比歸納】【聯(lián)系拓廣】四、課標考試達標題(－)選擇題1．下列標志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的為()． 2．在平面直角坐標系中，點(2，4)繞點(1，1)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，所得的點的坐標為()．A．(－2，2) B．(4，1)C．(3，1) D．(4，0)3．已知兩條互不平行的線段AB，A′B′關于直線l對稱，AB，A′B′所在的直線交于點P，下面四個結(jié)論：①AB＝A′B′；②點P在直線l上；③若A，A′是對稱點，則直線l垂直平分線段AA′；④若B，B′是對稱點，則PB＝PB′．其中正確的是()．A．①③④ B．①②C．③④ D．①②③④4．已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，則∠P1OP2等于()．A．45° B．50°C．60° D．70°5．如圖16－22，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是()．圖16－22A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm6．如圖16－23，兩個全等的正六邊形ABCDEF，PQRSTU，其中點P位于正六邊形ABCDEF的中心．如果它們的面積均為3，那么陰影部分的面積是()．圖16－23A． B．1 C．2 D．3(二)填空題7．若點M關于x軸對稱的點的坐標為(3，－9)，則點M關于y軸對稱的點的坐標為_____．8．如圖16－24，P是正△ABC內(nèi)的一點，若將△PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△P′AC，則∠PAP′的度數(shù)為______．圖16－249．如圖16－25，半圓A和半圓B均與y軸相切于點O，其直徑CD，EF均和x軸垂直，以O為頂點的兩條拋物線分別經(jīng)過點C，E和點D，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積是______．圖16－2510．如圖16－26，已知正方形紙片ABCD，M，N分別是AD，BC的中點，把BC邊向上翻折，使點C恰好落在MN上的P點處，折痕交CD于Q，則∠PBQ＝______°．圖16－2611．如圖16－27，已知五邊形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，若AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝20，則五邊形ABCDE的面積