重慶市長壽區(qū)八校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考檢測數(shù)學(xué)試題（B）

重慶市長壽區(qū)20232024學(xué)年上學(xué)期高二年級期末檢測卷（B）數(shù)學(xué)試題試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：答卷前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卷規(guī)定的位置上.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.答非選擇題時(shí)，必須使用毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卷規(guī)定的位置上．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一．單選題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，答案請涂寫在機(jī)讀卡上1.直線的傾斜角是(

)A. B. C. D.2.如圖，在平行六面體中，，，，，，則線段的長為(

)

A. B. C. D.3.已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此橢圓的短軸長為(

)A. B. C. D.4.下列關(guān)于空間向量的命題中，錯(cuò)誤的是(

)A.若非零向量，，滿足，，則有

B.任意向量，，滿足

C.若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面

D.已知向量，，若，則為銳角5.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則的高所在的直線方程是(

)A. B. C. D.6.公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯寫出了經(jīng)典之作圓錐曲線論，在此著作第七卷平面軌跡中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值不為的動點(diǎn)軌跡為圓后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是(

)A. B. C. D.7.等差數(shù)列、中的前項(xiàng)和分別為、，，則(

)A. B. C. D.8.預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，為預(yù)測期間隔年數(shù)如果在某一時(shí)期，那么在這期間人口數(shù)(

)A.呈上升趨勢 B.呈下降趨勢 C.擺動變化 D.不變二．多選題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點(diǎn)，則（）

A.直線與所成角的余弦值為 B.

C. D.點(diǎn)到直線的距離為10.已知曲線，其中，則下列結(jié)論正確的是(

)A.方程表示的曲線是橢圓或雙曲線

B.若，則曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和

C.若，則曲線的離心率

D.若方程表示的曲線是雙曲線，則其焦距的最小值為11.對于直線：與圓：的以下說法正確的有(

)A.過定點(diǎn)

B.被截得的弦長最長時(shí)，

C.與相切時(shí)，或

D.與相切時(shí)，記兩種情形下的兩個(gè)切點(diǎn)分別為、，則12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列

C.數(shù)列的通項(xiàng)公式為 D.三．填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中的橫線上.13.已知點(diǎn)，，過的直線與線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是

．14.的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，則其外接圓的方程為

．15.某石油勘探隊(duì)在某海灣發(fā)現(xiàn)兩口大型油氣井，海岸線近似于雙曲線：的右支，現(xiàn)測得兩口油氣井的坐標(biāo)位置分別為，，為了運(yùn)輸方便，計(jì)劃在海岸線上建設(shè)一個(gè)港口，當(dāng)港口到兩油氣井的距離之和最小時(shí)，港口的位置為

填寫坐標(biāo)即可16.設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值是

．四．解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分．應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17.12分設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知．Ⅰ求和的通項(xiàng)公式；Ⅱ設(shè)數(shù)列滿足求．18.（10分）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱的長為，且．求：的長；直線與所成角的余弦值．19.12分已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱．若直線過點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，求直線的方程若直線過點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，的面積為，求直線的方程．20.12分已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線上．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦的長是，求直線的方程．21.12分已知點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是否存在過左焦點(diǎn)的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，使得的面積為若存在，求出直線的方程若不存在，請說明理由．22.12分如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是軸上一定點(diǎn)，過的直線交與，兩點(diǎn)．

若過的直線交拋物線于，，證明，縱坐標(biāo)之積為定值

若直線，分別交拋物線于另一點(diǎn)，，連接，交軸于點(diǎn)．

證明：，，成等比數(shù)列．

參考答案1.

解：設(shè)直線的傾斜角為，，因?yàn)?，所以?/p>

故直線的斜率為，

即，

所以．

故選D．2.

解：在平行六面體中，，，，，，

，

，

．

故選C．3.

解：因?yàn)椋?/p>

所以此橢圓的短軸長為．

故選．4.

解：：因?yàn)?，，是非零向量?/p>

所以由，，可得，

因此本選項(xiàng)說法正確；：因?yàn)橄蛄浚?/p>

不一定是共線向量，

因此不一定成立，

所以本選項(xiàng)說法不正確；：因?yàn)?，，是空間的一組基底，所以三點(diǎn)不共線，

又因?yàn)?，，所以，，，四點(diǎn)共面，因此本選項(xiàng)說法正確；：，

當(dāng)時(shí)，，

若向量，同向，則有，所以有，而，故無實(shí)數(shù)解，

所以向量，不能同向，

因此為銳角，故本選說法正確，

故選B．5.

解：由斜率公式可得，

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以直線的方程為：，

化為一般式可得．

故選A．6.

解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?/p>

所以，

化簡得，即，

所以點(diǎn)的軌跡方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對稱，

所以圓心在此直線上，即，，，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，

故選B．7.

解：等差數(shù)列、中的前項(xiàng)和分別為、，，

．8.

解：

．

又，，，

即，．

方法：由題意，為預(yù)測期內(nèi)年增長率，如果在某一時(shí)期有人口數(shù)呈下降趨勢．

故選B．9.

解：過作，垂足為，則，由題，可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，

所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，

，，，．

因?yàn)?，?/p>

所以直線與所成角的余弦值為，故A正確．

因?yàn)?，所以B正確．

因?yàn)?，所以與不垂直，故C不正確．

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，

即點(diǎn)到直線的距離為，故D正確．

10.

解：若，則，則曲線：，表示圓，

若，則，則曲線：，表示橢圓，

若，則，則曲線：，表示兩條直線，

若，則，則曲線：，表示雙曲線，故A錯(cuò)誤；

B.若，則曲線：，此時(shí)，，則，所以曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，故B正確；

C.若，則，此時(shí)，則，

曲線的離心率，則，故C正確；

D.若方程表示的曲線是雙曲線，則，則，此時(shí)雙曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且，，，則的最小值為，所以焦距的最小值為，故D正確．11.

解：由直線：，得，

由，解得，過定點(diǎn)，故A正確；

被截得的弦長最長時(shí)，圓心在直線上，

此時(shí)，即，故B錯(cuò)誤；

由圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得或，故C錯(cuò)誤；

與相切時(shí)，記兩種情形下的兩個(gè)切點(diǎn)分別為、，

不妨設(shè)與圓相切于，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，

設(shè)，則，可得，

則，

，故D正確．

故選AD．12.

解：由即為，可化為，由，則，

可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，又

，

可得，故A錯(cuò)誤，，，D正確．故選BCD．13.

解：由題意作示意圖，如下圖，

設(shè)，直線的斜率為，

直線與線段有公共點(diǎn)且過點(diǎn)，

當(dāng)直線的傾斜角小于時(shí)，有，

當(dāng)直線的傾斜角大于時(shí)，有，

而，．

，

直線的斜率的取值范圍是．

故答案為：．14.

解：設(shè)的外接圓的方程為：，

把，，三點(diǎn)代入，得，

解得，，，

外接圓的方程為：，即．

故答案為：．15.

解：由題意得，即，

故該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，

則恰好為雙曲線的右焦點(diǎn)，

設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，連接與雙曲線右支交于點(diǎn)，如圖所示：

則點(diǎn)即為港口所在位置，

由雙曲線的定義可得，即，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)港口到兩油氣井的距離之和最小，

，，

，

則直線，

聯(lián)立，整理得，

，

解得或，

，

，

將代入直線方程得，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，即港口的位置為．

故答案為：．16.

解：因?yàn)榈那绊?xiàng)和，

因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，設(shè)首項(xiàng)為；是公比為的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，

所以的通項(xiàng)公式，

所以其前項(xiàng)和：，

中，當(dāng)公比時(shí)，其前項(xiàng)和，

所以的前項(xiàng)和，

顯然沒有出現(xiàn)，所以，

則的前項(xiàng)和為：，

所以，

由兩邊對應(yīng)項(xiàng)相等可得：解得：，，，，

所以，

故答案為：．17.解：是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于．

設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，．

由題意可得：；

解得：，，

故，；

數(shù)列滿足

令，

則

，

得：

；

故

18.解：，所以，所以，，，所以直線與所成角的余弦值為．19.解：設(shè)點(diǎn)，則解得所以點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．若直線過點(diǎn)，且使得點(diǎn)到直線的距離最大，則直線與過點(diǎn)，的直線垂直，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．，因?yàn)榈拿娣e為，所以的邊上的高，又點(diǎn)在直線上，直線與直線垂直，所以點(diǎn)到直線的距離為．易知直線的方程為，設(shè)，則，即或，

又，解得或則直線的方程為或．20.解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意可得，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方