新教材數學人教A版學案4-2-2第1課時指數函數的圖象和性質（一）

4．2.2指數函數的圖象和性質第1課時指數函數的圖象和性質(一)必備知識·探新知基礎知識知識點指數函數的圖象和性質0＜a＜1a＞1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1在R上是減函數在R上是增函數思考：(1)對于指數函數y＝2x，y＝3x，y＝(eq\f(1,2))x，y＝(eq\f(1,3))x，…，為什么一定過點(0，1)?(2)觀察指數函數的圖象，思考：在下表中，？處y的范圍是什么？底數x的范圍y的范圍a>1x>0？x<0？0<a<1x>0？x<0？提示：(1)當x＝0時，a0＝1(a≠0)恒成立，即指數函數的圖象一定過點(0，1)．(2)底數x的范圍y的范圍a>1x>0y>1x<00<y<10<a<1x>00<y<1x<0y>1基礎自測1．下列說法正確的個數是(C)(1)指數函數的圖象都在x軸的上方．(2)若指數函數y＝ax是減函數，則0<a<1.(3)對于任意的x∈R，一定有3x>2x.A．0 B．1C．2 D．3[解析]對于(1)，由指數函數的性質可知正確．對于(2)，由指數函數的單調性可知正確．對于(3)，由y＝3x，y＝2x的圖象可知，當x<0時，3x<2x，故(3)不正確．2．函數y＝(eq\r(3)－1)x在R上是(D)A．增函數 B．奇函數C．偶函數 D．減函數[解析]∵0<eq\r(3)－1<1，∴函數y＝(eq\r(3)－1)x在R上是減函數．3．函數y＝2－x的圖象是(B)[解析]函數y＝2－x＝(eq\f(1,2))x過點(0，1)，且在R上是減函數，故選B．4．函數y＝1－2x，x∈[0，1]的值域是(B)A．[0，1] B．[－1，0]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析]∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，∴－1≤1－2x≤0，選B．關鍵能力·攻重難題型探究題型一指數函數的圖象例1如圖所示是下列指數函數的圖象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.則a，b，c，d與1的大小關系是(B)A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[分析]根據指數函數的底數與圖象間的關系來進行判斷．[解析]可先分為兩類，(3)(4)的底數一定大于1，(1)(2)的底數一定小于1，然后再由(3)(4)比較，c，d的大小，由(1)(2)比較a，b的大?。斨笖岛瘮档牡讛荡笥?時，圖象上升，且當底數越大，圖象向上越靠近y軸；當底數大于0小于1時，圖象下降，且當底數越小，圖象向下越靠近x軸，故選B．[歸納提升]指數函數圖象的變化規(guī)律指數函數的圖象隨底數變化的規(guī)律可歸納為：在第一象限內，圖象自下而上對應的底數依次增大．【對點練習】?(1)如圖所示是指數函數的圖象，已知a的值取eq\r(2)，eq\f(4,3)，eq\f(3,10)，eq\f(1,5)，則相應曲線C1，C2，C3，C4的a依次為(D)A．eq\f(4,3)，eq\r(2)，eq\f(1,5)，eq\f(3,10) B．eq\r(2)，eq\f(4,3)，eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)，eq\r(2)，eq\f(4,3) D．eq\f(1,5)，eq\f(3,10)，eq\f(4,3)，eq\r(2)[解析]按規(guī)律，C1，C2，C3，C4的底數a依次增大，故選D．(2)若函數y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的圖象不經過第二象限，則有(D)A．a＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b≤0[解析]由函數圖象不過第二象限知a>1，且x＝0時，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故選D．題型二與指數函數有關的定義域、值域問題例2求下列函數的定義域和值域：(1)y＝2eq\s\up6(\f(1,x－4))；(2)y＝(eq\f(2,3))－|x|；(3)y＝eq\r(1－（\f(1,2)）x).[分析]定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值集合，值域是函數值的集合，依據定義域和函數的單調性求解．[解析](1)由題意知x－4≠0，所以x≠4，所以函數的定義域為{x|x∈R，x≠4}．因為eq\f(1,x－4)≠0，所以2eq\s\up6(\f(1,x－4))≠1，所以函數的值域為{y|y>0，且y≠1}．(2)由題意知函數的定義域為R.因為|x|≥0，所以y＝(eq\f(2,3))－|x|＝(eq\f(3,2))|x|≥(eq\f(3,2))0＝1，所以函數的值域為{y|y≥1}．(3)由題意知1－(eq\f(1,2))x≥0，所以(eq\f(1,2))x≤1＝(eq\f(1,2))0，所以x≥0，所以函數的定義域為{x|x≥0，x∈R}．因為y關于x單調遞增，所以函數的值域為{y|y≥0}．[歸納提升]1.函數單調性在求函數值域中的應用(1)若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數，則f(a)≤f(x)≤f(b)，值域為[f(a)，f(b)]．(2)若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數，則f(a)≥f(x)≥f(b)，值域為[f(b)，f(a)]．2．函數y＝af(x)定義域、值域的求法(1)定義域．函數y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．(2)值域．①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調性求y＝at，t∈M的值域．【對點練習】?求下列函數的定義域和值域：(1)y＝eq\r(1－2x)；(2)y＝(eq\f(1,2))x2－2x－3；(3)y＝5eq\f(1,\r(2x－4)).[解析](1)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，∴y＝eq\r(1－2x)的定義域為(－∞，0]．由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，∴y＝eq\r(1－2x)的值域為[0，1)．(2)y＝(eq\f(1,2))x2－2x－3的定義域為R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴(eq\f(1,2))x2－2x－3≤(eq\f(1,2))－4＝16.又∵(eq\f(1,2))x2－2x－3>0，故函數y＝(eq\f(1,2))x2－2x－3的值域為(0，16]．(3)由2x－4>0，得x>2，故函數的定義域為{x|x>2}，因為eq\f(1,\r(2x－4))>0，所以y＝5eq\f(1,\r(2x－4))>1，故函數的值域為{y|y>1}．題型三冪式大小的比較例3比較下列各題中兩個值的大?。?1)1.82.2，1.83；(2)0.7－0.3，0.7－0.4；(3)1.90.4，0.92.4;(4)(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))，(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3)).[分析](1)(2)利用指數函數的單調性比較；(3)借助中間量1進行比較；(4)借助中間量(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,2))進行比較．[解析](1)∵1.82.2，1.83可看作函數y＝1.8x的兩個函數值，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上為增函數，又2.2<3，∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上為減函數，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.(4)∵eq\f(（\f(4,5)）\s\up6(\f(1,2)),（\f(9,10)）\s\up6(\f(1,2)))＝(eq\f(8,9))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(8,9))0＝1，∴(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,2))，∵y＝(eq\f(9,10))x在R上為減函數，又eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，∴(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3))，∴(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3)).[歸納提升]1.比較冪值大小的三種類型及處理方法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\x(\a\al(底數相同，,指數不同))→\x(利用指數函數的單調性來判斷),\x(\a\al(底數不同，,指數相同))→\x(\a\al(利用底數不同的指數函數的圖,象的變化規(guī)律來判斷)),\x(\a\al(底數不同，,指數不同))→\x(通過中間量來比較)))2．解指數不等式的類型及應注意的問題(1)形如ax>ab的不等式，借助于函數y＝ax的單調性求解，如果a的取值不確定，要對a分為0<a<1和a>1兩種情況分類討論．(2)形如ax>b的不等式，注意將b轉化為以a為底數的指數冪的形式，再借助于函數y＝ax的單調性求解．3．函數y＝af(x)(a>0，a≠1)的單調性的處理技巧當a>1時，y＝af(x)與y＝f(x)的單調性相同，當0<a<1時，y＝af(x)與y＝f(x)的單調性相反．【對點練習】?比較下列每組中兩個數的大?。?1)1.72.5，1.73；(2)0.8－0.1，0.8－0.2；(3)(eq\f(2,3))－0.5，(eq\f(3,4))－0.5；(4)1.70.3，0.93.1.[解析](1)考查指數函數y＝1.7x，由于底數1.7>1，∴指數函數y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函數．∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)考查函數y＝0.8x，由于0<0.8<1，∴指數函數y＝0.8x在(－∞，＋∞)上為減函數．∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.(3)在同一平面直角坐標系中畫出指數函數y＝(eq\f(2,3))x與y＝(eq\f(3,4))x的圖象，如圖所示，當x＝－0.5時，觀察圖象可得(eq\f(2,3))－0.5＞(eq\f(3,4))－0.5.(4)由指數函數的性質得1．70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.課堂檢測·固雙基1．函數f(x)＝πx與g(x)＝(eq\f(1,π))x的圖象關于(C)A．原點對稱 B．x軸對稱C．y軸對稱 D．直線y＝－x對稱[解析]設點(x，y)為函數f(x)＝πx的圖象上任意一點，則點(－x，y)為g(x)＝π－x＝(eq\f(1,π))x的圖象上的點．因為點(x，y)與點(－x，y)關于y軸對稱，所以函數f(x)＝πx與g(x)＝(eq\f(1,π))x的圖象關于y軸對稱，選C．2．若函數f(x)＝(2a－1)x是R上的減函數，則實數a的取值范圍是(C)A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(eq\f(1,2)，1) D．(－∞，1)[解析]由已知，得0<2a－1<1，則eq\f(1,2)<a<1，所以實數a的取值范圍是(eq\f(1,2)，1)．3．(2021·安徽合肥眾興中學高一期末測試)函數y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的圖象必經過點(D)A．(0，1) B．(1，1)C．(2，0) D．(2，2)[解析]令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故選D．4．已知函數f(x)為指數函數，且f(－e