2022-2023學(xué)年黑龍江省雞西市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題-附答案

2022-2023學(xué)年黑龍江省雞西市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

?.下列結(jié)論中，正確的是（）

A.數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集｛1,2,3,,〃｝）上的函數(shù)

B.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無限的

C.數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯一的

D.數(shù)列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通項(xiàng)公式

【答案】A

【分析】利用數(shù)列的定義判斷A；舉例說明判斷BC；寫出數(shù)列通項(xiàng)公式判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,由數(shù)列定義知，A正確；

對(duì)于B,數(shù)列1,2,3,4,5只有5項(xiàng)，該數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,的通項(xiàng)公式可以為α,,=（-l）",

也可以為4=I冷UkN*，該數(shù)列通項(xiàng)公式不唯一，C錯(cuò)誤;

?7

對(duì)于D,該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為。Z,氏∈N*,D錯(cuò)誤.

—=2k

2

故選：A

2.已知｛q｝中，4=1,γh=∣,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是（）

A?B.a”=；C.an=-77D.atl=3

ZnZn

【答案】C

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可知首項(xiàng)為％=1,公比9=答=4,代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出結(jié)

果.

【詳解】解:因?yàn)椋?｝中，q=L乎=；，

所以數(shù)列｛““｝是首項(xiàng)為6=1,公比4=g的等比數(shù)列，

設(shè)通項(xiàng)公式為：4,=q∕τ,

所以％=1x（』=擊.

故選：c

3.在等差數(shù)列伍“｝中，若%+%+4=6,則為+%=（）

A.2B.4

C.6D.8

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到4=2,ai+a5=2a4得到答案.

【詳解】據(jù)已知得：a2+ai+a6=3a4=6,所以“4=2,a3+a5=2aa=4

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

4.已知數(shù)列｛%）的通項(xiàng)公式為a,=/-",則下列各數(shù)中不是數(shù)列中的項(xiàng)的是

A.2B.40C.56D.90

【答案】B

【分析】分別令選項(xiàng)中的數(shù)等于川―〃，解得n值不是正整數(shù)的即為答案.

【詳解】由題意令/="-"=2,可得n=2為正整數(shù)，即2是｛a11｝的項(xiàng)；

同理令4=/-"=40,可得n不為正整數(shù)，即40不是｛a11｝的項(xiàng)；

令?！?〃2一”=56,可得n=8為正整數(shù)，即56是⑶｝的項(xiàng)；

令a,,=/—”=%,可得n=10是正整數(shù)，即90是｛a11｝的項(xiàng).

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義，注意數(shù)列通項(xiàng)公式中n必須是正整數(shù).

5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛α,,｝中，34，＜4,2々成等差數(shù)列，則巴詈1=

a

2十IO

A.27B.3C.-1或3D.1或27

【答案】A

【詳解】試題分析：由題意，得∕=34+2/，即α4=3q+20u,解得q=3或4=-1（舍去），則

gi=空士￠=/=27,故選A.

08+"ιo?+&q

【解析】1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).

6.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為9.5尺，立夏當(dāng)日

日影長(zhǎng)為2.5尺，則春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為()

A.4.5尺B.5尺C.5.5尺D.6尺

【答案】D

【分析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為｛，，“｝,利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為｛凡｝,則立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為%=9.5,立

夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為％。=2.5,所以春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為%=］對(duì)+4。)=6.

故選：D

7.等比數(shù)列｛4“｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且外出+外孫=18,貝∣Jlc>g3α∣+log3α2++∣og3α18=()

A.17B.18C.19D.20

【答案】B

【分析】由等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且％42+"M∣=18,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1ax2+?6∕∣l=2α7<2l2=18,

所以，%“∣2=9,即H$=4267==%"∣2==α,4<>=9,

9

因此，Iog34+log3α2++Iog3αl8=Iog3(β1672βιs)=log3(t∕7α12)

9l8

=log39=log33=18.

故選：B.

8.已知Kr)=阮r,則/d)的值為

e

A.IB.-1C.cD.一

e

【答案】C

【解析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

【詳解】由"x)=Inx,貝IJr(X)=：.

所以吧十e

e

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)值，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.

9.曲線y=e2'+x在X=O處切線方程是()

A.3x-y÷l=0B.x-3γ+l=0

C.3x+γ÷l=0D.x+3>j+l=O

【答案】A

【分析】求出函數(shù)y=e"+X的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.

【詳解】函數(shù)y=e2*+x,求導(dǎo)得y'=2e"+l,

2x

則曲線y=e+X在40處切線斜率?=√L0=2+l=3,而切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),

所以曲線y=∕*+x在Fo處切線方程是y=3x+l,即3x—y+l=O,A正確，BCD錯(cuò)誤.

故選：A

JT

10.函數(shù))，=x-cos(2x-§)的導(dǎo)數(shù)為()

【答案】B

【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則即可求解.

P1，

【詳解】y=(X2)COS(2χ-y)+χ2COS(2χ-y)

=2xcos(2x-y)+x2—sin(2x-j^-)

=Ixcos(2x----)-2X2sin(2x-----).

33

故選：B

二、多選題

11.函數(shù)/(x)=∕+αχ2+3x-9,已知在*=一3時(shí)取得極值，則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.a=5

B.函數(shù)F(X)在X=-3處有極大值為0

C.函數(shù)F(X)在X=-g處有極大值為0

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間-?,-?上單調(diào)遞減

【答案】ABD

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)給定的極值點(diǎn)求出。，再判斷單調(diào)性、求出極值即可判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=d+nχ2+3x-9定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得：函數(shù)/'。)=3/+2以+3,

因?yàn)?(x)在x=-3時(shí)取得極值，則/'(-3)=3χ(-3)2-6α+3=0,解得α=5,

此時(shí)∕?,(χ)=3d+1Oχ+3=3(x+S(X+3),

當(dāng)x<-3或x>-g時(shí)，f(x)>O,當(dāng)-3<x<-g時(shí)，f(x)<O,

因此/(X)在(-8,-3),(-g,+8)上單調(diào)遞增，在(-3,-J上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)F(X)在X=-3處有極大值，則a=5,A正確；

f(x)=x3+5x2+3x-9,f(-3)=(-3)3+5×(-3)2+3×(-3)-9=0,B正確；

函數(shù)f(x)在X=-g處有極小值，C錯(cuò)誤；

函數(shù)/(x)在區(qū)間-?,-?上單調(diào)遞減，D正確.

故選：ABD

12.已知數(shù)列也｝滿足q=-2,?=W^(“≥2,"eN*),｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,,則()

an-ln~1

n

A.α2=-8B.an=-n?2

C.S3=-30D.S,,=(l-n)?2,,+l

【答案】AB

【分析】求出數(shù)列包｝的通項(xiàng)公式?！昂颓啊?xiàng)和公式S,,,再去驗(yàn)證選項(xiàng)即可作答.

【詳解】由4=22=W("Z2,"GN),得%=2?%,而?=-2,

因此數(shù)列｛"｝是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列，％=-2x2"T=-2",

nn

所以％=-"?2",B正確；

2

?α2=-2×2=-8,A正確；

S?=-l×2'-2×22-3×23--n-2",

則有2S“=-1x22-2x2J3*2il-?-n?2π+l,

+22+,,+l

兩式相減得SZ,=(2'+22+23++2")-n-2"'=0^-n-2"'=(l-∕ι)?2-2,D錯(cuò)誤；

1-2`7

由S3=(1_3)"+I_2=_34,C錯(cuò)誤.

故選：AB

三、填空題

13.在等比數(shù)列｛為｝中，S”為數(shù)列的前〃項(xiàng)和，$2=3,S4=9,則Sf=

【答案】21

【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列｛a,J公比，再利用性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,由$2=3,S4=9,得4+%=S4-S2=6,

而為+α4=d(q+42)=3q2,于是/=2,

所以$6=S&+g+以=9+q2(/+%)=9+2χ6=21.

故答案為：21

14.已知〃x)=d-3x+3,則曲線y=∕(x)在點(diǎn)p(2,5)處的切線方程為.

【答案】9A-y-13=0

【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)(2,5)在曲線上，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式

方程即可得出結(jié)果.

【詳解】解：:點(diǎn)(2,5)在/(x)=d-3x+3上,

又用x)=3x"3,1(2)=9,

.?.曲線在(2,5)外的切線方程為y-5=9(x-2),

g∣J9x-y-13=O.

故答案為：9x7-13=0

15.函數(shù)y=χ3+αχ+6在(-1,1)上為減函數(shù)，在(l,+∞)上為增函數(shù)，則α=.

【答案】-3

【分析】分析可知X=I為函數(shù)y=∕+"x+匕的極值點(diǎn)，可得出y'k∣=θ,即可求得實(shí)數(shù)”的值，再

結(jié)合極值點(diǎn)的定義驗(yàn)證即可.

【詳解】因?yàn)閥=d+0r+%在上為減函數(shù)，在(l,+∞)上為增函數(shù)，

所以，x=l為函數(shù))，=丁+奴+/7的極值點(diǎn)，且y'=3χ2+α,

所以，y'k∣=3+α=0,解得α=—3,且當(dāng)。=一3時(shí)，y'=3x2-3,

由y'<0可得一l<xvl；由y'>0可得x<T或χ>l,

所以，函數(shù)y=d-3x+b的減區(qū)間為(-1,1),增區(qū)間為(ro,-l)、(1,+8),合乎題意.

因此，CI=—3.

故答案為：-3.

16.數(shù)列｛“"｝的前”項(xiàng)和為S"，若5=7?,則Ss=一

【答案】I

O

【分析】S,=q+w+…+%=J；+J；+…+J7,然后利用裂項(xiàng)求和法進(jìn)行運(yùn)算.

`1×22×35×6

【詳解】S5=4+電+.??+%

111

=-------1------------1-,,,4----------

1×22×35×6

Illl11

=-------1------------F...H--------------

122356

15

=1l--=—.

66

故答案為q.

6

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求和，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理應(yīng)用.

四、解答題

17.已知數(shù)列”,,=∕-7"+6.

(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？

(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是，求出它是第幾項(xiàng)；若不是，請(qǐng)說明理由；

(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？

【答案】(1)-6;

⑵是,第16項(xiàng)；

⑶第7項(xiàng).

【分析】(1)"=4代入”,,="-7"+6求解即可；

(2)令="2-7"+6=150,求解即可;

(3)令a"="2-7∕I+6>0,求解即可.

2

【詳解】(1)?=4-7×4+6=-6s

2

(2)令a“="2-7"+6=150,BPn-7?-144=0,

即("-16)("+9)=0,解得〃=16或〃=-9(舍去)，

故150是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，為第16項(xiàng)；

⑶令-7”+6>0,("-l)("-6)>0,解得“<1或〃>6,

因?yàn)椤檎麛?shù)，所以從第7項(xiàng)開始都為正數(shù).

18.(1)在等差數(shù)列｛(｝中，公差d=2,n=15,??=10,求4及S.；

(2)已知一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)等于175cm,所有各邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列，最大的邊長(zhǎng)為41cm,公差為

3cm,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

2

【答案】(1)4=-18,Sn=n-?9n.(2)5.

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出4的值，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得S,,；

(2)設(shè)這個(gè)多邊形各邊邊長(zhǎng)由小到大形成數(shù)列｛〃｝(單位：cm),根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得出

關(guān)于4的等式，結(jié)合AeN”解出火的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)在等差數(shù)列｛%｝中，公差d=2,w=15,?=lθ,

則a∣5-a?+14d=4+2x14=10,解得4=-18,

Cn(n-?]dYC2n(π-l)?YC

所以，S=na,÷----------=-1872+——-------=n~-\9n；

"ll'22

(2)設(shè)這個(gè)多邊形各邊邊長(zhǎng)由小到大形成數(shù)列｛〃｝(單位：cm),

該數(shù)列的公差為4=3(Cm),設(shè)該數(shù)列有MZeN*)項(xiàng)，

由題意可得--=~^~~~~=k∩k-?=Mk

22422

=85K[K=T5,整理可得對(duì)-85%+350=0,即(3Z—70)住一5)=O,

因?yàn)閆eNL解得％=5,故該多邊形的邊數(shù)為5.

19.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=1,?+1=2?+l,求數(shù)列｛外｝的通項(xiàng)公式，及前8項(xiàng)和.

【答案】?=2n-l;502

【分析】由題可得｛%+l｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，即可求得通項(xiàng)公式和前8項(xiàng)和.

【詳解】‰=2cιπ+l,.?.α,,+1+l=2(απ+l),

???｛%+l｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

.?.an+?=2×2"-'=2",即α,,=2"-l,

,2×(l-28)

.,.S=6z+6t++?=2+2^++2o—8=-------------8=502?

8l21—2

20.(1)已知數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，若4=2,a4=16,求%及5“；

(2)在(1)的條件下，若數(shù)歹￡2｝的通項(xiàng)公式為4=2"+”,,,求它的前〃項(xiàng)和

π+2+

【答案】(1)4=2",Sπ=2'-2;(2)Tπ=n+n+2"'-2.

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為