2023屆高考前復(fù)習(xí)（上海）1-5平面向量三大考點(diǎn)與真題訓(xùn)練 （解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專用））

專題1.5平面向量三大考點(diǎn)與真題訓(xùn)練

考點(diǎn)一：平面向量的概念及線性運(yùn)算

一、單選題

1.（2022?上海?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，B、。是以AC為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中

A.1B.2C.tD.2t

【答案】A

【分析】連結(jié)BC、CD,則有AB?AC=AB?=〃1,ADAC=AD2=t+2,根據(jù)

UUUUlUUUUUUUIiUl_

AC.8。=AC?(AO-A8)求解即可.

UUlDUUU

所以AB?AC=A8XACXcosNBAC=ASx(AC×cosZBAC)=AB2=t+l.

UULILLLl

ADAC=AD×AC×cosZCAD=AD×(AC×cosZCAD)=AD2=t+2.

因?yàn)锽O=AO-AB,

ULKlUuLIILIULLULLlUULijIRiIULRiLLU

所以AC?8O=AC?(AO-AB)=AC?A。-AC?A8=∕+2-(f+1)=1.

故選：A.

2.(2022?上海閔行?統(tǒng)考二模)已知A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，點(diǎn)。滿足

04+2OB+/IOC=O"為實(shí)常數(shù)，現(xiàn)有下述兩個(gè)命題：(1)當(dāng)/LX-3時(shí)，滿足條件的點(diǎn)。存在

且是唯一的；（2）當(dāng)人=-3時(shí)，滿足條件的點(diǎn)。不存在.則說法正確的一項(xiàng)是（）

A.命題（1）和（2）均為真命題

B.命題（1）為真命題，命題（2）為假命題

C.命題（1）和（2）均為假命題

D.命題（1）為假命題，命題（2）為真命題

【答案】A

2λ

【分析】∕iχ-3時(shí)?，題干條件變形得到AO=?-AB+EAC,由向量基本定理得到滿足條件

Λ7+3Λ+37

的點(diǎn)。存在且是唯一；當(dāng)∕l=-3時(shí)，條件變形得到AC=2CB,得到4B、C三點(diǎn)共線，與已知

矛盾，故（2）為真命題.

【詳解】當(dāng)時(shí)，OA+2OB+λOC=0,

所以-Ao+2AB-2AO+/IAC-TlAo=0，

2

所以40=AB+AC,

7+3Λ+3

因?yàn)锳8,AC不共線，由向量的基本定理得:滿足條件的點(diǎn)。存在且是唯一，①正確;

當(dāng)4=一3時(shí)，OC-QA=2（0B-OC）,即AC=2CB，所以AC〃CB，

因?yàn)锳C，CB有公共點(diǎn)C,所以A、B、C三點(diǎn)共線，

這與題干條件4AC是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)相矛盾，故滿足條件的點(diǎn)。不存在,

（2）為真命題.

故選：A

3.（2022?上海?統(tǒng)考二模）在4?C中，AC=3AD,BE=ED,設(shè)

AE=λAB+μAC{λ,μ≡R）,貝V+〃=（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運(yùn)算法則，化簡得到AE=：A8+1AC,結(jié)合題設(shè)條

2o

件，得到，=:,〃=:,即可求解.

2o

【詳解】在三角形ABC中，AC=3AD,BE=ED,

^^^AE=~[AB+AD）=-AB+-×-AC=-AB+-AC,

222326

_112

因?yàn)锳E=√IAB+wR）,所以見=7，〃=:，所以義+〃=7.

263

故選：C.

4.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知尸為拋物線丁=4》的焦點(diǎn)，A、

B、C為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)E4+F8+FC=0時(shí)，則存在橫坐標(biāo)x>2的點(diǎn)A、B、C有

（）

A.O個(gè)B.2個(gè)C.有限個(gè)，但多于2個(gè)D.無限多個(gè)

【答案】A

【分析】首先判斷出產(chǎn)為43C的重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式可得赴+W=3-x∣,%+%=-%,結(jié)

合基本不等式可得出X≈≤2（y;+y;）,結(jié)合拋物線的定義化簡得出芭≤2,同理得出

X2<2,X3<2,進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)Aa,乂）,臺（々,％），。（W，％），先證再42,

由E4+FB+FC=0知，F(xiàn)為ASC的重心，

；j

又尸（1,0）,.../++?=[,X+g+y3=0,.?.x2+x3=3-Λl,y2+y3=-yl,

，（%+為丫=￡+犬+2%為42（尺+$）,.?.χ252（￡+￡）,

/.—≤2"z^^+，；?x∣42（x?+X3）,.?.玉≤2（3—X]）%≤2,

同理X2≤2,J?≤2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是判斷出尸點(diǎn)

為三角形的重心，屬于中檔題.

二、填空題

5.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)在ABC中，AC=4,且AC在4B方向上的數(shù)量投影是-2,則

∣BC-ABA∣(Λ∈R)的最小值為.

【答案】2√3

【分析】根據(jù)AC在AB方向上的數(shù)量投影先求出NBAC=I20,取284=B。，則

IBCT網(wǎng)=∣DC∣,即求|用的最小值,過點(diǎn)C作AB的垂線即可求得.

【詳解】解：由題知AC在AB方向上的數(shù)量投影是-2,

.?.IAC∣cosNBAC=-2,

AC=4,

cosNBAC=-g,即NBAC=120,

i己λBA=BD,

則BC-/18A∣=∣8C—BD∣=IDC∣,

若求WCT磯PWR)的最小值即求IDcl的最小值，

過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)。，此時(shí)WCl最小，

故答案為：26

6.(2022?上海浦東新?校考一模)已知平面向量α,b,c滿足何=1,忖=2,卜卜2,

0≤2≤l.?Z,.c=0＞貝電-勸-(IT)CI的取值范圍是_____.

【答案】[√2-l,3]

【分析】用坐標(biāo)表示向量，設(shè)b=O8=(2,0),C=OC=(0,2),a=OA,由Ial=1,知A在以。為

圓心，1為半徑的圓上，設(shè)OO=∕?+(l-2)c,0≤4W1,則。在線段BC上(含端點(diǎn))，問題轉(zhuǎn)

化為求線段BC上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的范圍，由圓心到直線的距離公式和兩點(diǎn)間距離結(jié)合

圓的性質(zhì)可得.

【詳解】因?yàn)椴穦=2,bc=0,所以設(shè)B=O8=(2,0),C=OC=(0,2),a=OA,

又W=1,則A在以。為圓心，1為半徑的圓上，

^OD=λb+(?-λ)c,0≤2≤l,則。在線段8C上(含端點(diǎn))，

易知。到直線BC的距離為J=√2,線段BC上的點(diǎn)到0的距離的最大值為IOBHoC=2,

所以∣D4∣的最小值為√Σ-1,最大值為2+1=3,

所以卜-利-。-；I)CI=I回的取值范圍是訴T3].

故答案為：[0-1,3].

7.(2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)點(diǎn)解ΔABC的內(nèi)部，點(diǎn)〃￡分別為

邊AG8煙中點(diǎn)，且∣8+2OE∣=1,則∣OA+208+3。CI=

【答案】2

【分析】由向量的加法法則，把。4+208+30C轉(zhuǎn)化為2(Of>+2OE),從而易得結(jié)論.

【詳解】：點(diǎn)〃《分別為邊”，比的中點(diǎn)，.?.OA+OC=200,OB+OC=IOE,

：.?θA+WB+3OC∣=∣OA+OC+2(0B+OC)I=I200+4OE∣=2∣<>D+20E∣=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，向量關(guān)鍵是利用向量加法法則，把OA+20B+3OC轉(zhuǎn)化為

2(OD+2OE).

8.(2022?上海徐匯?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)點(diǎn)M、N、P、。為圓V+y2=∕(r>0)上

四個(gè)互不相同的點(diǎn)，若MPpN=O,且(PM+PN)?PQ=2,則IPQI=.

【答案】√2

【分析】根據(jù)MP?PN=O得至IJMN過圓的圓心。，再利用向量的加法法則得PM+PN=2P0,

由向量數(shù)量積的幾何意義得到等式IPolCoSe=?PQI,最后求得IPQI的值.

【詳解】因?yàn)棣MP?PN=O,所以MPj.PN,

所以MN過圓的圓心。，

所以(PM+PN)?PQ=2P0?PQ=2∣P0∣?∣PQ∣cos6>=2,

因?yàn)槭Ｔ谑?。向量方向上的投影為：IP。ICOSo=g∣「。|,代入上式得：

∣^t=∣=>∣P2∣=√2.

故答案為：-Jl-

【點(diǎn)睛】本題考查向量與圓知識的交會、向量的垂直、加法法則、數(shù)量積的幾何意義等知識，

考查方程思想的運(yùn)用，求解時(shí)注意向量幾何意義的靈活運(yùn)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能

力.

9.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在45C中，AC=4,8C=3,點(diǎn)尸是A3的中點(diǎn)，貝IJ

BACP=.

【答案】?7

【分析】利用向量的加法和減法法則，將瓦1，CP分別用C4,C8表示出來，然后代入結(jié)論計(jì)

算即可.

【詳解】在ABC中，點(diǎn)尸是48的中點(diǎn)，所以CP=g(CA+CB),BA=CA-CB,

所以B4CP=(CA一CB).g(CA+CB)=；(CA2-CB]=g?(4232)=1

7

故答案為：—■

10.(2022?上海寶山?統(tǒng)考二模)已知2E分別是ABC邊A3,AC的中點(diǎn),“是線段DE上

12

的一動(dòng)點(diǎn)(不包含。，￡兩點(diǎn))，且滿足AM=α48+64C,則3+/的取小值為

【答案】6+4√2##4^+6

【分析】由三點(diǎn)共線得到2α+2Q=l,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【詳解】由于M是OE上的一動(dòng)點(diǎn)(不包含D,E兩點(diǎn))，

=aAB+∕3AC=2aAD+2βAE,所以α∕>0且2α+2∕7=l,

y,-+-^=(-+?(2a+2^)=6+—+^-≥6+4>∕2,

aβaβaβ

當(dāng)且僅當(dāng)α=與Lp=2乎時(shí)取等號，所以《+看的最小值為6+4拒.

故答案為：6+4應(yīng)

11.(2022?上海寶山?統(tǒng)考一模)在三角形ABC中，。是BC中點(diǎn)，AB=2,AC=4,則

ADCB=.

【答案】-6

【分析】根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

ββc

【訐解】由三角形中A3=/+礪，CB=AB-AC'Ο=^>

可得：ADCB=(AB+BD)(AB-AC)=^AB+^BC^AB-AC)

=^ΛB+∣(AC-Λβ)j(AB-AC)=∣(∕lβ+AC}(AB-AC)=^Aβ2-AC2)=?(22-42)=-6,

故答案為：-6

12.(2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)OA5,滿足

|。AHAq=4,若∕U[O,1],卜0B-Od+(1-480_；24的最小值為2而，貝IJH=

【答案】2

【分析】設(shè)OC=208(0≤2≤1)?BD=；BA、NA80=0(0<。,作跌于網(wǎng)■稱的點(diǎn)。一如

圖，根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡題中的等式為IACl+|DCI,利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)可得

∣ADI∣=2√6,結(jié)合余弦定理可求出COS26,利用余弦的二倍角公式求出COS。，最后根據(jù)

Ioq=2|A@cos，計(jì)算即可.

【詳解】如圖，設(shè)OC=2O8(0"≤l),則點(diǎn)廉線段加上運(yùn)動(dòng)，

所以,0B-QAHOe_0AHAC∣,

設(shè)BD=；BA,則卜4=；忸4卜1,

所以(l-λ)BOSA=∣(Λ-1)OB-BD?=?λOB-(OB+BZ))∣=?θC-OD?=∣DC∣,

所以bO8-OA∣+(?-λ)BO-?A=∣AC∣+∣DC∣,g∣J(∣AC∣+∣DC∣)n,in=2√6,

TF

作快于應(yīng)對稱的點(diǎn)2,設(shè)NA80=0(0<0<5),

則+WCl=IA4+nq≥I,所以卜2"

在，ABD∣中，網(wǎng)=4,IBRHB4=1,卜用=2而，由余弦定理，得

C16+1-247),

cos2^ZI=----——=--,Xcos2θ=2cosθ-1,

2×4×18

所以cos。=；,f?∣OB∣=2∣AB∣cos(9=2×4×^=2.

故答案為：2

13.(2022?上海浦東新?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測)已知點(diǎn)G為ΔABC的重心，過G作

直線與A3、AC兩邊分別交于〃、N兩點(diǎn)，且AΛ√=xAB,AN=yAC,則士-的值為

x+y

【答案】?

1UUUUUUUIΛUUUIl

【分析】由以三角形的重心得到AG=§(A8+4C),再結(jié)合AM=XAB，AN=yAC，根據(jù)

HGA三點(diǎn)共線，易得到無加勺關(guān)系式,'即可得到結(jié)論.

1UUUULUUUUIUlJU

【詳解】如圖，因?yàn)镚為ΔABC的重心，所以AG=](A8+AC),又AM=XAB，AN^yAC>

所以AG=；AM+；AN,由題意知也GA三點(diǎn)共線，所以;+；=1,化簡得

3x3y3x3y

xy_1

^x+y~3'

故答案為：?.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，以及向量的基本定理和向量在幾何中的應(yīng)用，屬于

中檔題.

三、雙空題

UitiLiiai

14.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知菱形ABCD的邊長為1,ZBAD=60°,AP=AAB

(2>0).當(dāng)/I=］時(shí)，ACPD=;當(dāng)AP?f>P取得最小值時(shí)，2=________.

31

【答案】?7

44

【分析】當(dāng)2=；時(shí)，AP=^AB,根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算可得

AC?PO的值；而APOP=/M8(/M8-4O)=；l2-9，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出當(dāng)APoP取

得最小值時(shí)4的值.

【詳解】當(dāng)年=；時(shí),AP=^AB,

ACPD=(AB+BC)(AO-AP)=(AB+AD)^AD-；伺=AD2-^AB'+^ABAD

113

=1——+—×1×1×cos60°=一；

224

DP=AP-AD=AAB-AD,

所以"?OP=λAB^λAB-4。)

=AAB2-λΛB?AD

=2∣AB∣2-Λ∣AB∣?∣AD∣?COS600

=A2--A

所以當(dāng)4=。時(shí)，4P?OP取得最小值，最小值為-

416

故答案為：］；?.

44

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于第二空，可由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則得出AP?OP=萬從而

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

四、解答題

2222

15.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知A、8為橢圓￡■+方=l(a>b>O)和雙曲線*-￡=1

的公共頂點(diǎn)，P,。分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP+BP=4AQ+8Q)

(2eR,W>D,設(shè)直線AP、R\A。、8。的斜率分別為尤、&、&、&?

(1)求證：點(diǎn)P、。、。三點(diǎn)共線；

(2)當(dāng)α=2,b=6時(shí)，若點(diǎn)尸、Q都在第一象限，且直線Po的斜率為求VBPQ的面積

S;

(3)若比用分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)，且QF/∕心,求好+后+后+代的值.

【答案】(1)證明見解析；(2)述-亞；(3)8.

510

【分析】(1)由AP+BP=4(AQ+BQ),得到。尸=4。。，由此可證明出點(diǎn)產(chǎn)、。、。三點(diǎn)共

線；

2h2YIh1X

(2)設(shè)點(diǎn)P(Xl,yj、Q(X2,以)，求出K+&2=—?—^,&+%=—2—^由。尸//OQ,可得出

,=」，從而可求出&I+e+匕+&4的值;

y?%

22

（3）由OP=UOQ,可得I,再由。月〃「人，得出（匕+的『=4,（?,+?4）=4,由

H=7一

此能求出&:+抬+后+后的值.

【詳解】解：（1）證明：因?yàn)锳,B為橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，P,。分別為雙曲線和橢圓上

不同于A,B的動(dòng)點(diǎn)，

又因?yàn)锳P+BP=∕（AQ+BQ）,

所以2OP=/l?2OQ,B∣JOP=λOQ,

所以點(diǎn)P,Q,。三點(diǎn)共線.

(2)設(shè)P(Xl,χ),Q(Λ2,%),直線PQ的方程為y=gχ,

1

y=-χ

",

聯(lián)立22，解得X=±6,

XV12

—+—=I

143

I

F

+√6

所以P,同理，解得X=±而,尸士了，解得。

工"=I

43

則IPQl=3-半，又因?yàn)椤?2,?=√3,

2

2

X一÷

423_=I

￡,解得5(±2,0),

X2

4--3

2

所以點(diǎn)8到直線PQ的距離d飛,

則SjdlPQI=述-

211510

xl=λx1

(3)因?yàn)镺P=∕IOQ,所以

%二%%

2)

?+?=A2

CTb2Λ2+l2

X：=-------a

M*=ι2

則

/b2蘭匚從

M=

2

a2

因?yàn)椤６?/P鳥,所以I。KI="鳩I,

所以萬=二里g、iX：把+1?2α”

，所以H=E.F=/'

a~-b~

所以/+32=4./.5=4,

2

同理(&+/J=%而伏=?/y,

Xy-Cl

又占2=。2+/年，所以"2=探，

同理人人=一」，所以好+收+抬+濕=8.

a~

16.(2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知向量。=|-,-sinx+^cosx和

向量匕=(Ij(X)),且〃〃從

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；

(2)已知ΔABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A及C,若有小高=5BC=幣,SinB=亨，求

AC的長度.

【答案】(1)最小正周期為2萬，最大值為2；(2)2.

【分析】由整理可得：/(x)=Sinx+√icosx=2sin(x+(}(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的最小

正周期和最值的求解方法直接求得結(jié)果；(2)利用=6求得SinA,利用正弦定理求

得結(jié)果.

【詳解】由d〃5得:??(?)??sin?+-COSx

2v722

則：/(?)=sinX÷cosX=2sinx+-

?4T-

(1)〃X)最小正周期為：T=千=2萬

當(dāng)Sin卜后卜時(shí)’小兀=2

(2)由/(A-1)二代得：2sinA=石，則SinA=咚

,BCACPlnSBCsinB"、7C

由正弦定理可知：即AC=———=一÷-=2

sinAsinBs?nA√s3

2

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定

理的應(yīng)用，涉及到平面向量共線定理、輔助角公式的應(yīng)用.

17.(2022?上海浦東新?校考一模)已知向量4=(病加,1),b=(cosx9-l).

(1)若?！╖?,求tan2x的值；

(2)若"x)=(α+6”,求函數(shù)/(x)的最小正周期及當(dāng)Xe0,|時(shí)的最大值.

【答案】(1)-√3(2)最小正周期為萬，最大值為:

【分析】(1)由α〃匕得tanx=-3,再根據(jù)二倍角的正切公式直接求解.

3

(2)根據(jù)平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的恒等變換，化簡f(x)即可求出T,再根據(jù)三角函

數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出x∈[0,時(shí)f(x)的最大值以及對應(yīng)X的值.

【詳解】解：(1)由°//。得，->∕5sinΛ=COSX，

??ta∏Λ=-----

3

?+2tanxrτ

??tan?=-------=—√3

l-tan^*x

(2)/(x)=(α+b)?b=?/?sinreos?+cos2x

=B._1C1,f_ππ]1

sιn2x+-cos2x+-=sm2x+-+—

~~22262

.?.函數(shù)f（χ）的最小正周期為T=言=》

當(dāng)Xe[0,衛(wèi)]時(shí)，^<2x+-<-

L2j666

.?.當(dāng)2x+方=方，即Xq時(shí)，"x）a=∕Q）=∣.

【點(diǎn)睛】本題考查了共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的恒等變換以及三角

函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目.

考點(diǎn)二：平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

一、單選題

1.（2022?上海嘉定?校考模擬預(yù)測）在，ABC中，AB=AC=3,BD=IDC.若

UuUUUul

ADBC=4,貝∣JA8?AC=（）.

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】B

LMJLiULUI/

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將AO?8C=4轉(zhuǎn)化為(^AB+^ACXAC-AB)=%結(jié)合數(shù)量積

的運(yùn)算，即可求得答案.

2

【詳解】由題意可得AmC=(A8+8Z?(AC-A8)=(AB+§BCA(AC-A8)=4,

212

^?1[AB+-(AC-AB)]-(AC-AB)=(-AB+-AO-(AC-AB)=4,

122.2121

即一一AB+-ACA8?AC=4,g∣J-3+-×9一一A8?AC=4,

解得A8?AC=-3，

故選：B

2.(2022?上海靜安?統(tǒng)考二模)設(shè)α=(x,y),b=(m,n),且“，人均為非零向量，則

“土=上"是''α〃/√'的（）條件

mn

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要

【答案】A

【分析】由向量共線的坐標(biāo)公式判斷充分性和必要性即可求解.

【詳解】若土=』，貝"式=四，則“〃人滿足充分性；反之，若則”=陽，不能推出

mn

3,

inn

比如m=x=0,顯然滿足皈=陽，但二=2無意義，不滿足必要性；故“土=2”是〃廠

m"mn

的充分非必要條件.

故選：A.

3.（2022?上海浦東新?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)P（2,0）,正方形

ABa）內(nèi)接于。。：/+丁=2,M、N分別為邊A8、BC的中點(diǎn)，當(dāng)正方形ABCD繞圓心。旋

轉(zhuǎn)時(shí)，PMoN的取值范圍是（）

C.[-2,2]D.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意易知ON=1,將PM表示為PO+QΛ∕,再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意可知正方形ABCO的邊長為2,

則ON=I,

,:OMlON,-OMON=O,

設(shè)尸O,QN的夾角為6,則6e[0,句,

.".PMON=(PO+OM)ON=POON=2×l×cosθ=2cosθe[-2,2].

故選：C.

4.(2022?上海浦東新?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測)在山ΔA3C中，AB=AC,點(diǎn)M、

UUUCtULU'

N是線段Ae的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段BC上運(yùn)動(dòng)且滿足PC=h8C,當(dāng)PMpN取得最小值時(shí),

實(shí)數(shù)Z的值為

【答案】C

所以當(dāng)QP?LBC,PMPN最小,則PC=^BC,即％=；

故選C.

5.(2022?上海普陀?統(tǒng)考一模)設(shè)％>0,若向量外b、C滿足“：用H=IM:3,且

匕-α=2(c-b),則滿足條件的郴J取值可以是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得(36)2=4.1+4夕0+,『，利用平面向量的數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的性

質(zhì)可得%2=37+12cos(α,c?)e[25,49],進(jìn)而標(biāo)∈g,f],結(jié)合選項(xiàng)即可求解.

Vy

【詳解】??—<2=2(c—b),得3A=2c+a,

所以(36)=(2c+")=4∣c∣+4Λ?C+∣^∕∣,

又卜用：H=IM：3,

所以9代=4×32+12+4x3x1XCoS卜,c),

即9公=37+12cos,,c)∈[25,49],

,254957

得八年,學(xué)，又2>0,所以女弓京,

所以〃的取值可以是2.

故選：B.

二、填空題

6.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知向量α=(3,4),6=(l,2),則“-2。=

【答案】(1,0)

【分析】由平面向量的減法的坐標(biāo)運(yùn)年即了求解.

【詳解】因?yàn)椤?(3,4),6=(1,2),所以i%=(3,4)-2(1,2)=(1,0)，

故答案為：(LO)

7.(2022?上海浦東新?統(tǒng)考一模)如圖，在，ABC中，點(diǎn)〃、￡是線段比上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

19

AD+AE=XAB+yAC,,則嚏+1的最小值為_____.

【答案】8

【分析】以向量ABAC為基底，表示向量A2AE,結(jié)合平面向量基本定理可得χ+y=2,再利

19

用基本不等式求一+一的最小值.

Xy

【詳解】設(shè)BO=28C,EC=HBC,則0W/W1,0≤χ√≤l,AD=AB+BD=AB+λBC

AE=AC+CE=AC-μBC,所以A。+AE=A8+AC+(∕l-〃)8C=AB+AC+("〃)(AC-AB),

所以AD+AE=(1—幾+〃)AB+(1+九一M)AC,又AD+AE=xAB+yAC,

所以X=I-4+M，y=l+/l-〃，所以x+y=2,

因?yàn)?W4W1,0≤χ/≤1,所以—1≤-〃:≤0,—1≤/1—≤1,所以0≤1+2—//≤2,

即0≤y≤2,同理可得0≤χ≤2,若N=O則，μ~λ=?,因?yàn)镈BjBC,EC=μBC,所以

DB+EC=BC,所以DB=BC+CE=BE,BE+BD=O,此時(shí)民。，E三點(diǎn)重合，與已知矛

盾，所以0<yV2,同理0<χ≤2

所可9

÷2=21÷(χ+y)=Ulo+2

y2y2X

當(dāng)且僅當(dāng)上V=9一x，即X=1：,y=39時(shí)取等號；

Xy22

19

所以一+一的最小值為8.

XJ

故答案為：8.

8.(2022?上海虹口?統(tǒng)考一模)在ΛBC中，AB=5,AC=6,cosA=∣,。是ABC的外

心，若。P=Λ?OB+yOC,其中x,y∈[O,l],則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為

【答案】稱###竺邁

2424

【分析】先利用余弦定理求出BC的長，因?yàn)?。是ABC的外心，

設(shè)外接圓的半徑為R,所以Q4=OB=OC=R,再利用正弦定理

求出R,由OP=XoB+yOC,x,y∈[O,l]

知道動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形為以O(shè)B為邊的菱形06EC

畫圖，由圖可知菱形OBEC為2SB0c,求出SBOC即可得.

【詳解】在.A8C中，因?yàn)锳B=5,AC=6,cosA=∣,

所以由余弦定理：COSA=AB2+AC2~BC2=-,

2ABAC5

所以=49=BC=7,

又因?yàn)?。是一ABC的外心，設(shè)外接圓的半徑為R,

所以。A=OB=OC=R,

所以SinA=√1-cos2A=.11--=，

V255

BC735√6

由正弦定理：亞一一五一，

丁

所以R=史區(qū)，

24

由。P=XoB+yOC,X,y∈[O,l],

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形為以O(shè)B為邊的菱形OBEC,

如圖所示：

由圖知NBOCNA為BC所對的圓心角與圓周角,

所以有NBOC=2ZA,

所以sinNBoC=sin2A=2sinACoSA

2√614√6

=o2×------x—=------,

5525

所以S.zfoc=gx08x°CxsinNB°C

135√635√64√649√6

=-X----------------X-----------X-----------=-—,

224242548

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所覆蓋圖形面積為：

”-49√6

BOC-04'

故答案為：竺史.

24

9.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考三模)在_ABC中，已知AB=1,AC=2,ZA=120°,若點(diǎn)P是

ASC所在平面上一點(diǎn)，且滿足AP=A8+2AC，BPCP=-X,則實(shí)數(shù)2的值為

【答案】1或9

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，分別把BHCP用AB,AC表示出來，再用8P?CP=T建

立方程，解出義的值.

【詳解】由AP=AB+4AC，得AP—AB=2AC,BPBP=AAC>

CP=AP-AC=AB+(λ-?)AC,

在,ABC中，已知AS=I,AC=2,ZA=120°,

所以BPCP=λAC(AB+(λ-?)AC)=λAC-ΛB+λ(λ-?)AC)

=22COSl20+4λ(Λ-l)=4Λ2-5Λ=-l,

即4萬-52+1=0,解得4=1或/I=1

4

所以實(shí)數(shù)冗的值為1或

4

故答案為：1或。.

4

10.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知向量”=(l,3),b=(sinα,cosa),若A〃很，則

tan(α+J-----------

【答案】2

【分析】由向量平行得tana,再由正切兩角和公式計(jì)算即可.

【詳解】由a〃方可得，3sina=cosa,得tanc=§,

.-+?

,.乃、tana+1?C

ffjjtan(a+-)=----------=2~=2.

4l-tanαr

^3

故答案為：2.

11.(2022?上海浦東新??？家荒?已知點(diǎn)A(-2,0),設(shè)6、提圓0：V+丫2=］上的兩個(gè)不同

的動(dòng)點(diǎn)，且向量O8=f04+(1T)OC(其中t為實(shí)數(shù))，則ABAC-

【答案】3

【分析】由向量O8=f04+(1T)OC(其中t為實(shí)數(shù))，可得：A,B,C三點(diǎn)共線，且AB，AC同

向，設(shè)圓。與X軸正半軸交于點(diǎn)￡,與X軸正半軸交于點(diǎn)F,由割線定理可得IABIIAC=IAMAFI,由

AB-AC=?AB^AC?COS0即可得解.

【詳解】由向量08="%+(IT)OC(其中t為實(shí)數(shù)),

可得：A,B,C三點(diǎn)共線，

且AB>AC同向，

設(shè)圓。與X軸負(fù)半軸交于點(diǎn)區(qū)與X軸正半軸交于點(diǎn)F,

由圓的割線定理可得，IABIlAel=IA磯M

AB?AC=∣AB∣∣AC∣cosO=∣AB∣∣AC∣=∣AE∣∣AF∣=l×3=3,

故答案為3

【點(diǎn)睛】本題考查了向量中三點(diǎn)共線的判斷，及圓的割線定理，屬于中檔題.

12.(2022?上海浦東新?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測)已知橢圓與+丁=1(。＞0)的焦

a

點(diǎn)片、F2,拋物線V=2x的焦點(diǎn)為尸，若

UUWUUU

FiF=3FF2,則。=_

【答案】√2

【詳解】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(；，o),

設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：E(-c,O),弱(c,O),

貝IhEF=(g一,0),

g,θ),則:g+c=3(c

由題意有:*0

求解關(guān)于C的方程可得：C=L則：”=√^1N=√Σ?

13.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)a=(?,2),b=(-↑,t),a-b=5,t=.

［答案］3

【分析】根據(jù)平面向量的平量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：ɑ??=l×(-l)+2×∕=2∕-l=5,解得f=3.

故答案為：3.

14.(2022?上海寶山?統(tǒng)考一模)已知平面向量“、人滿足忖=3,W=4,貝∣j2α+6在4方向

上的數(shù)量投影的最小值是.

【答案】2

Qα+b)?

【分析】先求出(2。+4。的范圍，根據(jù)2即可求得結(jié)果.

H

(2a+b\a

【詳解】因?yàn)?α+人在4方向上的數(shù)量投影為J√-

H

所以當(dāng)(2α+b)?.最小時(shí)，數(shù)量投影取得最小值.

設(shè)=6,則(2Q+A)?G=2a+a?b=2pz∣+仲陣05夕=18+12COS6.

因?yàn)?I≠fcos91,貝IJ當(dāng)CoSe=-1時(shí)，(2〃+/?)-〃=18+12cose有最小值6.

(2〃+/?).Q

所以，2〃+〃在”方向上的數(shù)量投影的最小值是Hr2

故答案為：2.

15.(2022?上海長寧?統(tǒng)考一模)設(shè)向量〃，力滿足同=1,附=2,貝∣Jɑ?(α+B=

【答案】3

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.

【詳解】由題意向=l,α%=2得α?(α+力)=〃2+a?b=1+2=3,

故答案為：3

16.(2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)41,0,0),點(diǎn)8(5,-4,3),點(diǎn)

C(2,0,l),則AB在CA方向上的投影向量的坐標(biāo)為________.

【答案】Gog)

【分析】先求出AB和CA的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的定義可得答案.

【詳解】依題意：AB=(4,3),C4=(-1,0,-1),

所以AB在CA方向上的投影向量為：

I,CAABCA_7(77

ABCOS(A8,CA?)X^—r=—■—?-XCA=T(T°—)=~,θ*~

I?/ICAl∣CA∣^2V22

故答案為：(g,αg)

17.(2022?上海崇明?統(tǒng)考一模)在邊長為2的正六邊形歷6W中，點(diǎn)/為其內(nèi)部或邊界上一

點(diǎn)，貝IJ4?BP的取值范圍為一

【答案】[yi2]

【分析】利用數(shù)量積的幾何意義去求4L>?8P的取值范圍即可解決.

【詳解】正六邊形板儂中，過點(diǎn)例乍333AD于夕，則IAq=4,,4=3,WA=I

AD-BP=∣AZ)∣?∣BHCoS(AD,BF^

又TADHB川≤k4?網(wǎng)COS(4萬,BP閆回.但4

即-4平葉網(wǎng)CoS(AnBP)≤12,故ADBP的取值范圍為[T12]

故答案為：[Y,12]

三、解答題

18.(2022?上海徐匯?位育中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)｛叫、也｝是兩個(gè)數(shù)列，

用(1,2)，4(2,q),紇(卓,，)為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).對〃6曠，M、A,,.B.三點(diǎn)共線.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

+

⑵若數(shù)列｛4｝滿足：1。酩,=3+：也j："也,其中仁｝是第三項(xiàng)為8,公比為4的等比數(shù)

6Z∣十Cif十ICIn

列.求證：點(diǎn)列4(1抱)、2(2,4)、、匕(〃,2)在同一條直線上；

(3)記數(shù)列｛q｝、｛2｝的前加項(xiàng)和分別為4,和Bm,對任意自然數(shù)”，是否總存在與〃相關(guān)的自然

數(shù)優(yōu)，使得4也.=24?若存在，求出川與〃的關(guān)系，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)勺=2〃

(2)證明見詳解

⑶存在，2n=m+?

【分析】(1)利用“〃8。再必=WX，代入運(yùn)算整理可得””=2〃；(2)根據(jù)題意求

2,

ax+a2++a,,=n+n,%=2"τ代入整理可得3++α也=(2〃-3兒/+〃)，再結(jié)合

q=CC、。運(yùn)算求得勿=3〃-4；⑶先求4=療+,”，,代入

[Sn-Sll.i,n≥22

3/7—43加—5

。,用“=如<可得3LJt=*√,分析整理得2〃=機(jī)+1.

nm-?-?

【詳解】⑴由題意得：MA,,=(l,a,,-2),MB,,=Γ-l,--2∣

Vnn)

12

???/、4、紇三點(diǎn)共線，則M%〃M紇，可得-2)=--2

nn

.*.?=2〃

(2)?(1)可得q+%+=I+〃

?.?{q,}是第三項(xiàng)為8,公比為4的等比數(shù)列，則C3=j∕=16q=8

Λcl=∣,則%=叱'=22"-3

又...log.=地+.+…+”"Y

q+電+…+a∣ι

/.a}by+a2b2+=(2"-3)(/+〃)

當(dāng)〃=1時(shí)，岫=-2

當(dāng)〃≥2時(shí)，albi+a2b2÷+?.1?,1=(2n-5)(∕r-/?)

2

.?.anbn=(2n-3)^π+〃)-(2九-5乂/_〃)=6/-8/7

2

綜上所述:anbn=6π-Sn,則a=3〃-4

???點(diǎn)列弓(14)、￡(2,2)、、弓5，勿)在同一條直線y=3χ-4上

⑶由(2)可得An=/+帆，紇,==3病一5〃?

22

a

丁,βftl=b"A,n,即2"3"725'"=(3〃_4)"+一)

3〃一43加一548

結(jié)合自然數(shù)加，〃整理可得‘一=衛(wèi)一，貝∣j3-I=3-)7

nm+1n∕n+l

/.2〃=m+1

若對任意自然數(shù)〃，〃?存在且為自然數(shù)

存在，2n=m+↑

19.(2022?上海黃浦?統(tǒng)考模擬預(yù)測)一質(zhì)點(diǎn)力從原點(diǎn)出發(fā)沿X軸的正向以定速度的進(jìn)，質(zhì)

點(diǎn)8從(0,-2)與/同時(shí)出發(fā)，且與質(zhì)點(diǎn)4以大小相同的速度向某方向前進(jìn)，/與貶間的最短距離

為L

(1)求砸前進(jìn)方向與諭正向間的夾角。；

(2)當(dāng)4用?距離最短時(shí)，求/、頌坐標(biāo).

【答案】⑴W

【分析】(1)設(shè)出發(fā)后，時(shí)，A位移為m,()),則B的位移(αcos。,-2+asin。)，利用距離公式求

得IM=J(2-2cos-4〃sin6+4,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(2)由(1)求得〃嗎?=√5,即可求得AB的坐標(biāo).

I-Cos”

【詳解】⑴解：設(shè)出發(fā)后Z時(shí)，A位移為3,0),則8的位移Seos。,-2+αsin6),

貝UAq=?/(ɑeos^-ɑ)2+(-2+6τsin0)2=J4>COS?。-2/CoSe+/+/sin」8-44sin8+4

2

=y∣(2-2cosθ)a-4asinθ+4

若2-2cos6=0時(shí)，即COSe=I時(shí)，可得卜q=2,不符合題意

4。SineSine

則2-2COSe￡(0,4],所以當(dāng)〃=

2(2—2COSe)1-cosθ

解得；

此時(shí)網(wǎng)=AS一灣+1,CoSe=,

TT

又因?yàn)閑e(0,∕r］,所以，=§.

(2)解：由(1)矢口e=f,可得ɑ=;21嗎?=相，

31一CoS夕

所以A位移的坐標(biāo)為(6,0