02平面向量（培優(yōu)提升題）-江蘇省 高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)專題練習(xí)（蘇教版）

試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁02平面向量（培優(yōu)提升題）-江蘇省高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)專題練習(xí)（蘇教版）一、單選題1．（2023下·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）已知中，點M是線段的中點，N是線段的中點，則向量為（

）A． B．C． D．2．（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2023下·江蘇常州·高一常州高級中學(xué)?？计谀┰谥?，，點M滿足，若，則BC的值為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023下·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期末）已知向量與的夾角為，，，則（

）.A． B． C．或 D．以上都不對5．（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，點，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點，點靠近點，點靠近點，交于點，設(shè)，，則（

）

A． B．C． D．6．（2023下·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．二、多選題7．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正六邊形的邊長為1，記，則（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量為8．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）如圖，在梯形中，，，，，，為線段的中點，為線段上一動點（包括端點），，則下列說法正確的是（

）

A． B．若為線段的中點，則C． D．的最小值為69．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）設(shè)點是的外心，且（，），則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若是正三角形，則D．若，，，則四邊形的面積是1710．（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，設(shè)點，，，是線段BC的五等分點，則（

）

A．B．C．D．的最小值為11．（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．當(dāng)時，與的夾角為銳角D．若，則與的夾角的余弦值為12．（2023下·江蘇南通·高一期末）下列命題為真命題的有（

）A．已知非零向量，，，若，，則B．若四邊形ABCD中有，則四邊形ABCD為平行四邊形C．已知，，，可以作為平面向量的一組基底D．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為三、填空題13．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┫蛄?，且，則．14．（2023下·江蘇常州·高一常州高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)點Q在半徑為1的圓P上運動，同時，點P在半徑為2的圓O上運動．O為定點，P，Q兩點的初始位置如圖所示，其中，當(dāng)點P轉(zhuǎn)過角度時，點Q轉(zhuǎn)過角度，則在運動過程中的取值范圍為．

15．（2023下·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知的垂心為點，面積為15，且，則；若，則.16．（2023下·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為．17．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的大小為，則，兩點之間的距離為.18．（2023下·江蘇連云港·高一?？计谀┤鐖D，在任意四邊形中，，分別為，的中點，，，邊與所成角為，則線段的長度是

四、解答題19．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)校考期末）已知中，是邊（含端點）上的動點．

(1)若點為與的交點，請用表示；(2)若點使得，求的取值范圍．20．（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．已知平面向量，都是單位向量，．(1)求與的夾角；(2)若，求在上的投影向量的坐標(biāo)．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．21．（2023下·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，.(1)若，試判斷，能否構(gòu)成平面的一組基底？并請說明理由.(2)若，且，求與的夾角大小.22．（2023下·江蘇常州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，，.

(1)求的長；(2)求的值．23．（2023下·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，，，．

(1)用表示；(2)求的值．24．（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知向量，的夾角為，且，．(1)求．(2)（其中），當(dāng)取最小值時，求與的夾角的大小．25．（2023下·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，E為DC的中點，，，，.

(1)求的值；(2)求與夾角的余弦值.答案第=page1616頁，共=sectionpages1616頁答案第=page1717頁，共=sectionpages1717頁參考答案：1．D【分析】利用的圖形關(guān)系并依據(jù)平面向量基本定理即可利用向量表示向量.【詳解】中，點M是線段的中點，N是線段的中點，則

故選：D2．A【分析】由得，根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】由得，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A3．C【分析】取中點O，由已知可確定，利用向量的運算和長度關(guān)系將轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造方程求得.【詳解】

取中點O，連接，，即，M為BC邊上靠近C的四等分點，，，，，又，，.故選：C.4．B【分析】由向量模的坐標(biāo)運算及數(shù)量積的運算律可得，再由數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以，因為向量與的夾角為，所以，所以.故選：B5．B【分析】利用表示，結(jié)合平面向量基本定理確定其表達(dá)式.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以，因為，所以，所以，解得，所以，故選：B.6．D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，因為點在上，則，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得的值.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．

已知，，，得，，，，，，，，，因為點在上，則，又，且、不共線，可得，且，解得．，．故選：D．7．BCD【分析】連接交于，利用向量加法判斷A；利用數(shù)量積定義及運算律計算判斷B；利用數(shù)量積定義計算判斷C；求出投影向量判斷D作答.【詳解】正六邊形的邊長為1，對于A，連接交于，則為正三角形，且為的中點，，

而，則，，所以，A不正確；對于B，，，，B正確；對于C，，則有，因此，C正確；對于D，，，，向量在方向上的投影向量為，D正確.故選：BCD8．AC【分析】對于選項A，過作的垂直，再根據(jù)條件即可求出，從而判斷出選項A的正誤；對于選項BCD，通過建立平面直角從標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)，逐一對BCD分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項A，過作的垂直，交于，所以，又，，，，，所以，故選項A正確；建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，選項B，因為為線段的中點，則，，，所以，由，得到，所以，故選項B錯誤；設(shè)，則，，選項C，由，得到，解得，故選項C正確；選項D，，，所以，令，對稱軸為，又，當(dāng)時，所以的最小值為，故選項D錯誤；

故選：AC.9．ACD【分析】分別根據(jù)平面向量三點共線定理及三角形外心的性質(zhì)判斷即可求解.【詳解】對選項A：因為，則，，三點共線，且點是的外心，所以，所以為中點，所以是以為直角頂點的直角三角形，故A正確；對選項B：因為，則，，三點共線，易知是以為直角頂點的直角三角形，且為的中點，則，，故B錯；對選項C：因為是正三角形，則也是的重心，故，則，故C對；對選項D：因為，故在外，又，所以，又，，則，故D對.故選：ACD.10．BCD【分析】對于A：根據(jù)平面向量基本定理直接用表示；對于B：用表示后計算驗證即可；對于C：設(shè)的中點為，根據(jù)向量加法運算轉(zhuǎn)化為即可；對于D：設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值解決.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：同上可得因為在等腰直角三角形ABC中，，所以，所以，，所以，故B正確；對于C：設(shè)的中點為，則所以，故C正確；

對于D：設(shè)的中點為，為線段上一點，設(shè)，則，

則，，所以，作點關(guān)于的對稱點，則四邊形為邊長為1的正方形，故，當(dāng)三點共線時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.11．ABD【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示判斷A，利用特例說明C，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算B、D.【詳解】因為，，對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B正確；對于C：當(dāng)時，此時，所以與共線同向，故C錯誤；對于D：若時，則，，，所以，即與的夾角的余弦值為，故D正確；故選：ABD12．ABD【分析】由平面向量基本定理結(jié)合投影向量的運算逐一判斷即可．【詳解】對于選項A，對于非零向量，，，由，，且為非零向量，可知，故A正確；對于選項B，四邊形ABCD中有，由平行四邊形判定定理可得，四邊形ABCD為平行四邊形，故B正確；對于選項C，，，則，即，則，不能作為平面向量的一組基底，故C錯誤；對于選項D，向量，，則，，故向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：ABD.13．/0.8【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合數(shù)量積的運算律可得，再建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解夾角的余弦作答.【詳解】由，得，即，而，則，即，以的方向分別為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，于是，有，所以.故答案為：14．【分析】建立直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由于,所以，故，故的取值范圍為，故答案為：

15．3025【分析】利用向量的運算表示出，利用數(shù)量積運算可得答案；先利用面積及第一空結(jié)果求出，對平方可求模長.【詳解】如圖，

是的邊上的高，則；設(shè)，因為，面積為15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因為，所以；故答案為：30

25.16．【分析】設(shè)，，，依題意可得，，又，可得、、三點共線，求出到直線的距離，即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】因為平面向量，滿足，與的夾角為，設(shè)，，，則，所以，，，、、三點共線，又到直線的距離，，即的取值范圍為.故答案為：17．【分析】過分別作由題意可求得由二面角的大小為，得到再利用可求得結(jié)果.【詳解】過分別作

則二面角的大小為,,,則,即兩點間的距離為.故答案為：.18．【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義便可得到：，從而①②便可得出，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，，分別是四邊形的邊，的中點，，，①②得，，又，，邊與所成角為，，，線段的長度為．故答案為：19．(1)；(2).【分析】（1）由已知得，再由A、O、P三點共線，令，由得，然后由C、O、Q三點共線，求出作答.（2）由（1）中信息，設(shè)，則，再由垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運算律，求出，借助函數(shù)的單調(diào)求解作答.【詳解】（1）因為，則，又A、O、P三點共線，有，，又，即有，而C、O、Q三點共線，于是，解得，所以.（2）由（1）知，，而，設(shè)，則，由，得，即，整理得，即，于是，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以的取值范圍.20．(1)(2)或【分析】（1）選①：根據(jù)數(shù)量積運算展開求得，然后可得夾角；選②：將條件平方展開可得，然后可得夾角；選③：根據(jù)垂直的向量表示展開可得，然后可得夾角；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論和單位向量定義列方程求得，然后由可得.【詳解】（1）選①：由知，又，所以，得，

則，又，則．選②：由知，又，所以有，得，

則，又，則.選③：由知，又，所以有，得，

則，又，則．（2）設(shè)，由（1）可知，解得或，所以或，即或．21．(1)證明見解析(2).【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)運算及基底的概念即可判斷；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)運算求解x，然后再利用數(shù)量積的夾角坐標(biāo)公式計算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，因為，所以向量，不共線，所以，能構(gòu)成平面的一組基底；（2）因為，，所以，又，且，所以，所以，此時，，則，又因為，所以，即向量與的夾角為.22．(1)(2)4【分析】（1）由向量的線性運算，即可由模長公式求解長度，（2）由數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】（1），，,，，，.；（2），23．(1)(2)13【分析】（1）由向量的線性運算求解即可；（2）分別由，向量表示，由向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，所以；（2），即的值為13．24．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的模長公式結(jié)合數(shù)量積的運算律求解即可.（2）根據(jù)向量的