平面向量知識點和例題及平面向量知識點歸納

第二章平面向量1.向量：數(shù)學中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。數(shù)量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量。2.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段三要素：起點、方向、長度。3.向量的長度（模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作。4.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是兩個平行向量，那么通常記作∥。平行向量也叫做共線向量。我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任一向量，都有∥。6.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量、是兩個相等向量，那么通常記作=。7.如圖，已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點A，作=，=，則向量叫做與的和，記作，即。向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則。8.對于零向量與任一向量，我們規(guī)定：+=+=9.公式及運算定律：①②≤③④10.相反向量：①我們規(guī)定，與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作-。和-互為相反向量。②我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。③任一向量與其相反向量的和是零向量，即。④如果、是互為相反的向量，那么=-，=-，。⑤我們定義，即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量。11.向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘。記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①②當λ＞0時，的方向與的方向相同；當λ＜0時，的方向與的方向相反；λ=0時，=12.運算定律：①②③④⑤13.定理：對于向量（≠）、，如果有一個實數(shù)λ，使=，那么與共線。相反，已知向量與共線，≠，且向量的長度是向量的長度的μ倍，即||=μ||，那么當與同方向時，有=；當與反方向時，有=。則得如下定理：向量向量（≠）與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使=。14.平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使。我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。15.向量與的夾角：已知兩個非零向量和。作，，則（0°≤θ≤180°）叫做向量與的夾角。當θ=0°時，與同向；當θ=180°時，與反向。如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作。16.補充結論：已知向量、是兩個不共線的兩個向量，且m、n∈R，若，則m=n=0。17.正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18.兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）。即若，，則，19.實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。即若，則_x_y_L_P2_P_P120.當且僅當x1y2-x_x_y_L_P2_P_P121.定比分點坐標公式：當時，P點坐標為①當點P在線段P1P2上時，點P叫線段P1P2的內(nèi)分點，λ＞0②當點P在線段P1P2的延長線上時，P叫線段P1P2的外分點，λ＜-1；當點P在線段P1P2的反向延長線上時，P叫線段P1P2的外分點，-1＜λ＜0.22.從一點引出三個向量，且三個向量的終點共線，則，其中λ+μ=123.數(shù)量積（內(nèi)積）：已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作·即·=。其中θ是與的夾角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0。24.·的幾何意義：數(shù)量積·等于的長度與在的方向上的投影的乘積。25.數(shù)量積的運算定律：①·=·②（λ）·=λ（·）=·（λ）③（+）·=·+·④⑤⑥26.兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。即。則：①若，則，或。如果表示向量的有向線段的起點和中點的坐標分別為、，那么，②設，，則27.設、都是非零向量，，，θ是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標表示可得：2013-2014學年度XX學校XX月考卷試卷副標題1、在平面直角坐標系中，角與角的頂點為坐標原點，始邊為軸正半軸，終邊關于軸對稱，已知，則（）A.B.C.D.2、下列命題正確的是（）A.單位向量都相等B.若與是共線向量，與是共線向量，則與是共線向量C.，則D.若與是單位向量，則3、設是的相反向量,則下列說法一定錯誤的是()A.與的長度相等B.//C.與一定不相等D.是的相反向量4、設都是非零向量，下列四個條件，使成立的充要條件是（）A.B.C.且D.且方向相同5、下列命題：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一個向量的兩個向量是共線向量；④相等向量一定共線.其中不正確命題的序號是（）A.①②③B.①②C.②③D.②④6、下列命題正確的是（）A.單位向量都相等B.模為0的向量與任意向量共線C.平行向量不一定是共線向量D.任一向量與它的相反向量不相等7、下列說法不正確的是（）A.，為不共線向量，若，則B.若，為平面內(nèi)兩個不相等向量，則平面內(nèi)任意向量都可以表示為C.若，，則與不一定共線D.8、在平行四邊形ABCD中，點E為CD中點，點F滿足,則A.B.C.D.9、如圖，在中，，若，則的值為（）A.B.C.D.10、如圖，已知，，，，則（）A.B.C.D.11、點為的重心（三邊中線的交點）．設，則等于（）A.B.C.D.12、在中，若，則（）A.B.C.D.13、如圖，在中，為線段的中點，依次為線段從上至下的3個四等分點，若，則（）A.點與圖中的點重合B.點與圖中的點重合C.點與圖中的點重合D.點與圖中的點重合14、在三棱柱中，若，則等于()A.B.C.D.15、如圖，正六邊形中，（）A.B.C.D.16、已知，且，則等于（）A.B.C.D.17、在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同兩點，若，，為正數(shù)，則的最小值為A.2B.C.D.18、設兩個非零向量與不共線，如果和共線那么的值是（）A.1B.-1C.3D.19、點在直線上運動，，，則的最小值是（）A.B.C.3D.420、已知向量，，則向量與的夾角為()A.135°B.60°C.45°D.30°21、如圖，在半徑為的圓中，已知弦的長為，則（）A.B.C.D.22、若四邊形ABCD是正方形，E是DC邊的中點，且，則等于()A.b＋aB.b－aC.a＋bD.a－b23、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點，若=λ+μ，則λ+μ=（）A．2 B． C．D．24、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，則點O，N，P依次是的（）A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心25、已知平面向量在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，關于非零向量a的分解有如下四個命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實數(shù)，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量C和實數(shù)λ，使；④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量和單位向量，使.則所有正確的命題序號是________.26、已知，，則與方向相同的單位向量．27、已知向量，且，則__________．28、如圖，在正方形中，已知，為的中點，若為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點，則的取值范圍是29、設，，，且，則在上的投影的取值范圍是.30、把邊長為1的正方形如圖放置，、別在軸、軸的非負半軸上滑動．則的最大值是．31、如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，，則________．32、在邊長為1的正三角形中，設，，點滿足.（1）試用表示；（2）若（，且），求的最大值.33、在邊長為1的正三角形中，設，，點滿足．（1）試用，表示；（2）若（，，且），求的最大值．34、已知：、、同一平面內(nèi)的三個向量，其中（1）若，且，求的坐標；（2）若，且與垂直，求與的夾角．PAGEPAGE11參考答案【答案】D2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】D5、【答案】A6、【答案】B7、【答案】B8、【答案】B9、【答案】D10、【答案】D11、【答案】B12、【答案】A13、【答案】C14、【答案】D15、【答案】B16、【答案】C17、【答案】A18、【答案】D19、【答案】C20、【答案】C21、【答案】B22、【答案】B23、【答案】D24、【答案】C25、【答案】①②26、【答案】27、【答案】28、【答案】29、【答案】30、【答案】231、【答案】32、【答案】(1);(2).試題分析：(1)由向量加法的運算法則可得即可得結果；（2），換元后，利用基本不等式即可得結果.試題解析：（1）.（2）.33、【答案】（1）；（2）試題分析：（1）借助圖形，結合向量的線性運算將分解即可；（2）先求，將化為二次函數(shù)的形式，通過求二次函數(shù)的最值可得結果。試題解析：（1）如圖，結合圖形可得。（2）∵，∴，∴，∴，又，∴當時，取得最大值，且最大值為。34、【答案】（1）或；（2）．試題分析：（1）求的坐標，若設出，則需建立關于的兩個方程，而條件和恰好提供了建立方程的兩個初始條件，只需將它們轉(zhuǎn)化到用表示即可，（2）根據(jù)，還需求出的值，由條件與垂直，易得的值，從而得出夾角，從規(guī)范嚴謹?shù)慕嵌葋碇v，在此之前，一定要交待．試題解析：（1）設由∴或∴或（2），即（※），代入（※）中，，，，考點：平面向量的計算及向量數(shù)量積的應用．平面向量一．向量有關概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有)；④三點共線共線；6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2．符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；3．坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e2。如（1）若，則______（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.（答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（答：）；（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___（答：0）四．實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。五．平面向量的數(shù)量積：1．兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。2．平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（1）已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；（2）已知，則等于____（答：）；（3）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____（答：）3．在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）4．的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設兩個非零向量，，其夾角為，則：①；②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；③非零向量，夾角的計算公式：；④。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；六．向量的運算：1．幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（1）化簡：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____（答：）；2．坐標運算：設，則：①向量的加減法運算：，。如（1）已知點，，若，則當＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上（答：）；（2）已知作用在點的三個力，則